Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Сборник задач по теории вероятностей
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Сборник задач по теории вероятностей

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Сборник задач по ТВ .Раздел Случайные события.doc

библиотека
материалов


Министерство образования и науки Республики Казахстан

Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова



Кафедра математики







С. Рыщанова





СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Раздел: Случайные события


для студентов специальности 050602 – Информатика



















Костанай-2010


ББК 22.1

Р 40



Автор: Рыщанова Сания Мухамедияровна, старший преподаватель



Рецензенты:


Тастанов Мейрамбек Габдуалиевич - кандидат физико-математических наук, доцент

Қасымқанулы Борибай, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики КГПИ.




Рыщанова С.М.

Сборник задач по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», 2010г, ___ с


В данном сборнике даны задачи для самостоятельного решения, методы решения задач, приведены основные формулы и определения. Сборник предназначен для студентов специальности «Информатика».




ББК22.1


Одобрена и рекомендовано к изданию учебно-методическим советом факультета математики и компьютерных технологии (протокол от______________ 2010 года)










© Костанайский государственный университет

им. А. Байтурсынова







Содержание





Введение,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

4


1

Формулы комбинаторики,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

5

2

Теоремы сложения и умножения,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

12

3.

Формула полной вероятности и формула Байеса,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

21

4.

Повторные независимые испытания,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

30

5

Экзаменационные вопросы,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

39

6

Литература,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

41


























Введение



Теория вероятностей применяется в различных отраслях техники и естествознания: в информатике, теории надежности, теории массового обслуживания, теоретической физике и во многих других теоретических и прикладных науках. Без знания теории вероятностей невозможно построение таких важных теоретических курсов как «Теория управления», «Исследование операций», «Математическое моделирование», Теория вероятностей имеет широкое применение на практике. Многие случайные величины, такие как ошибки при измерениях, величины износа деталей некоторых механизмов, отклонения размеров от номинальных подчиняются нормальному распределению. В теории надежности нормальное распределение применяется при оценке надежности элементов, подверженных действию старения и изнашивания, а также разрегулировки, т.е. при оценке постепенных отказов.

Теория вероятностей является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также элементом общей культуры. Освоение курса «Теория вероятностей» в дальнейшем способствует успешному освоению специальных дисциплин.





























1. ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

Основные понятия

Опр. Испытание (опыт, эксперимент)- это выполнение определенного комплекса условий.

Опр. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении комплекса условий может произойти, а может и не произойти. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А,В,С…

Опр. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет.

Опр.. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти.

Опр. Два события назовем несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно, т.е. наступление одного из событий исключает наступление другого. Следовательно, если А и В несовместны, то их произведение - невозможное событие: АВ=.

Опр. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными.

Опр. Событие А называется благоприятствующим событию В, если в результате появления события А происходит и событие В

Опр. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из них. Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события.

Опр. Вероятность есть численная мера объективной воз­можности наступления случайного события при некотором испытании.

Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.

Свойства вероятности события

1.Если А- невозможное событие, то Р(А)=0

2.Если А- достоверное событие, то Р(А)=1

3.Вероятность любого события А удовлетворяет неравенству: 0 hello_html_62e10721.gif

Классический способ определения вероятности

Вероятность P случайного события А равна отношению m- числа благоприятных событию А исходов, к n- общему числу исходов для данного испытания: hello_html_bf5a156.gif

Элементарные события (исходы) равновозможны, единственно возможны и несовместимы. Классическое определение имеет ограниченное применение, т.к. предполагает конечное число возможных исходов испытания.



Статистический способ определения вероятности

Относительной частотой события А называется величина hello_html_5a13f374.gif , где n - число испытаний, а m - число появления события А в n испытаниях.

Статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной и статистическое определение наиболее часто используется в практических целях.

Геометрический способ определения вероятности

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.

hello_html_m68bfbd9f.gif

Примерами меры могут служить длина, площадь, объем и т.д.


Формулы комбинаторики.

Рассмотрим выборки объема m из совокупности n различных элементов

Опр. Размещениями из n элементов по m называются комбинации по m элементов, которые отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Их число равно:

hello_html_e5ba09e.gif

или hello_html_me56d5b0.gif= n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

Опр. Cочетаниями из n элементов по m называются комбинации по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Их число равно: hello_html_m38c2c01a.gif

или hello_html_490d210b.gif

n! =12…n, тогда 0! = 1; hello_html_3d8c6b93.gif


Опр. Перестановками из n элементов называются комбинации, которые отличаются только порядком расположения элементов

Их число равно: hello_html_2b5baaf8.gif

Если в размещениях (сочетаниях) из n элементов по m некоторые из элементов или все могут быть одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями из n элементов по m.

Число размещений с повторениями: hello_html_7e3cadde.gif



Примеры решения задач


Пример 1.1.

Набирая номер телефона, студент забыл последние три цифры и, помня, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение

Пусть С- событие, состоящее в том, что “набраны нужные цифры”. Общее число исходов испытания (общее число случаев) n равно числу размещений из 10 цифр по 3, т.е. А310. Число случаев, благоприятствующих событию С равно 1. Искомая вероятность находится по классической формуле:

Р(С) =hello_html_m962ca6c.gif


Пример 1.2.

На книжной полке произвольно расставлены четыре книги по информатике и три книги по физике. Какова вероятность того, что книги по одному и тому же предмету окажутся рядом?

Решение

Испытание состоит в том, что семь книг ставятся на полку. Так как они ставятся на полку произвольно, то все исходы испытания равновероятны, кроме того, они несовместны. Семь книг на полке могут быть упорядочены 7! способами. Следовательно, число всех исходов испытания n=7!. Событию А состоящую в том, что книги по одному и тому же предмету окажутся рядом, благоприятствует m=24!3! исходов испытания. Действительно, комплект книг по информатике может быть упорядочен 4! способами, и после каждого такого расположения книги по физике могут быть упорядочены 3! способами. Кроме того, сами комплекты книг могут быть упорядочены 2 способами. Таким образом, вероятность события А равна

hello_html_76e14be2.gif.

Пример 1.3.

Из 5 спортсменов 3 имеют спортивные разряды по шахматам. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 2 студента – разрядники по шахматам?

Решение

Обозначим событие А- 2 выбранных наудачу студента- разрядники по шахматам. Общее число случаев выбора 2 студентов из 5 найдем по формуле числа сочетаний:С25. Число случаев, благоприятствующих событию А, подсчитаем по формуле числа сочетаний из трех элементов по два: С23. Тогда

Р(А)= hello_html_589685ca.gif


Упражнения:


1.1. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, немецкого, французского, испанского- на любой другой из этих пяти языков?

1.2. На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2,4,6,7,8,11,12,13.Наудачу берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима.

1.3. Расписание одного дня состоит из 5 занятий. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

1.4. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умевший читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

1.5. Устройство состоит из 5 элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

1.6. Декан факультета вызвал через старосту 3 студентов из группы, состоящей из 6 человек, не сдавших экзамены в сессию. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу 3 студентов из указанной группы. Какова вероятность того, что к декану явятся вызванные им студенты?

1.7. В ящике находится 5 стальных, 3 латунных и 2 медных заклепки. Определить вероятность того, что две наудачу взятые заклепки будут сделаны из одного материала.

1.8. В первой подгруппе 16 человек, во второй 14. Для дежурства случайным образом отбираются из этих подгрупп 6 человек. Вычислить вероятность того, что 4 человека из отобранных будут из первой подгруппы.

1.9. Четыре тома математической энциклопедии расположены на полке в случайном порядке. Найти вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо.

1.10. Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность того, что данная партия будет принята , если она содержит 5% неисправных деталей?

1.11. Слово УЧЕБНИК составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешивают и из них извлекают по очереди 6 карточек. Какова вероятность того, что эти шесть карточек в порядке выхода составят слово УЧЕНИК ?

1.12. На книжной полке произвольно расставлены четыре книги по теории вероятности и три книги по информатике. Какова вероятность того, что книги по одному и тому же предмету окажутся рядом?

1.13. Представители торговых фирм 8 стран (от каждой страны по одному человеку) проводят совещание за круглым столом. Найти вероятность того, что представители торговых фирм Франции и Англии окажутся рядом.

1.14. На шести карточках написаны цифры 1,2,3,4,5,6. Какова вероятность, что вынимая три карточки и укладывая их рядом, получим число 123 ?

1.15. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 7,8 и 9 если цифра 7 повторяется 3 раза, а цифры 8 и 9 по 2 раза?

1.16. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Определить вероятность того, что все цифры различны.

1.17. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 8 защитников и 12 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?

1.18. Сколькими способами можно разложить в два кармана 9 монет различного достоинства?

1.19. В группе 15 юношей и 5 девушек. Нужно выбрать для дежурства 4 человека. Какова вероятность, что будут выбраны 2 юноши и 2 девушки?

1.20. В распоряжении агрохимика есть шесть различных типов минеральных удобрений. Он изучает совместное влияние каждой тройки удобрений на опытном участке площадью 1 га. Какой должна быть площадь всего опытного поля, если все возможные эксперименты проводятся одновременно?

1.21. В мешке лежат 33 жетона, помеченные буквами русского алфавита. Из него извлекают жетоны и записывают соот­ветствующие буквы, причем вынутые жетоны обратно не возвра­щают. Какова вероятность того, что при этом получится: 1). слово «око»? 2). слово «ар»?

1.22. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульях. Какова вероятность того, что мальчики сядут на места с чётными номерами, а девочки на места с нечетными номерами.

1.23. В газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Скольким способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

1.24. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

1.25. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7 , если цифры в числах не повторяются?

1.26. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать коды, содержащие 5 символов?

1.27. Сколькими способами в футбольной команде из 11 человек можно выбрать капитана и вратаря?

1.28. Для дежурства нужно отобрать 10 человек из студентов 1-.го, 2-го ,3-го и 4-го курсов. Сколькими способами можно избрать состав для дежурства?

1.29. В некоторой стране 10 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

1.30. В лифт десятиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Определить вероятность того, что все пассажиры выйдут на разных этажах.

1.31. В урне находятся 6 белых и 4 черных шара. Из урны вынимаются наугад два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

1.32. Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово «ТЕОРИЯ»?

1.33. Какова вероятность того, что при случайной расстановке букв

Ч, Е, С, Э, К, Т, Р, И, Т, В, Е, Л, О в ряд получится слово "ЭЛЕКТРИЧЕСТВО"?

1.34. Имеется партия товаров, состоящая из 50 предметов 1 сорта, 35 предметов 2 сорта, 10 предметов 3 сорта, а 5 предметов оказались браком. Какова вероятность того, что наудачу взятый один предмет будет доброкачественным (то есть 1, 2 или 3 сорта)?

1.35. В цехе работают четыре женщины и трое мужчин. Наудачу отобрали 4 человека на дежурство. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц, окажется одна женщина.

1.36. Числа 1,2,3,4,5 написаны на пяти карточках. Hаугад последовательно выбираются три карточки. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров показывает убывание.

1.37. Бросаются две игральные кости. Hайти вероятность того, что выпадет одинаковое число очков на обоих костях

1.38. На карточках написаны цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9.Наугад берем три карточки. Какова вероятность, что среди них окажется одна карточка с нечетной цифрой?

1.39. Четыре стандартных и четыре нестандартных деталей кладут в 8 расположенных подряд и пронумерованных ящиков. Причем стандартные кладут в ящики с чётными номерами, а нестандартные – в ящики с нечетными номерами. Скольким способами это можно сделать?

1.40. В коробке передач трактора работают 5 шестерен, из них 2 шестерни изношены. При включение коробки передач включаются 2 шестерни. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные шестерни.

1.41. Из 10 проб молока, подлежащих химическому анализу, 4 пробы имеют повышенную кислотность. Какова вероятность, что из взятых наудачу 3 проб одна проба имеет повышенную кислотность?

1.42. Из родившихся в городе в течение некоторого периода времени 127 000 детей зарегистрировано 65 024 мальчика и 61 976 девочек. Какова частость рождения детей того и другого пола? Чему равна сумма частостей?

1.43. Слово «ЭКЗАМЕН» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешивают и из них извлекают по очереди 3 карточки. Какова вероятность того, что эти 3 карточки в порядке выхода составят слово «ЗАМ»?

1.44. В ящике 25 шаров, из них 4 черных. Определить вероятность того, что извлеченные наудачу 3 шара будут не черные.

1.45. Четыре человека вошли в лифт девятиэтажного дома на первом этаже. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Определить вероятность того, что все пассажиры выйдут на пятом этаже.

1.46. Какова вероятность того, что номер наудачу взятого билета будет кратным 3 и 5, если всего билетов 200 и на них расставлены номера от 1 до 200?

1.47. Какова вероятность того, что при случайной расстановке букв

С,Т,И,С,Т,А,Т,И, К,А в ряд получится слово "СТАТИСТИКА?

1.48. Имеются 20 изделий первого сорта и 30 изделий второго сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколько способов выбора двух изделий возможно в данной ситуации, если учитывается порядок выбора изделий?

1.49. Грузовая машина, обслуживающая торговую базу один квартал (90 дней), перевозила в течение 20 дней по 18 т. груза, 30 дней – по 15 т, 35 дней – по 16 т и 5 дней – по 5 т. Какова частость перевозки этой машиной более 15 т в день?

1.50. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу внутрь круга, окажется и внутри квадрата?

1.51. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,65. Определить число попаданий, если было произведено 160 выстрелов.

1.52. Бросаются наудачу две игральные кости. Определить вероятность того, что на обеих костях сумма выпавших очков будет более 3 и не более 8.

1.53. В группе студентов некоторой группы 3О человек. При записи фамилий членов группы оказалось, что начальной буквой у семи студентов была А, у восьми-И, у пяти-О, у двух-Ю, у остальных фамилия начиналась с согласной буквы. Найти вероятность того, что фамилия наудачу вызванного студента начинается с согласной буквы.

1.54. Имеется 5 отрезков, длины которых равны 1,3,5,7,9 единиц. Берут наугад три отрезка. Какова вероятность, что из них можно построить треугольник?

1.55. В книге 205 страниц. Какова вероятность того, что порядковый номер наугад открытой страницы будет оканчиваться цифрой 3?

1.56. Из разрезной азбуки, в которой имеется 30 карточек с различными буквами алфавита, вынимается 5 карточек. Какова вероятность того, что 5 букв, расположенных в порядке появления составят слово «СПОРТ»?

1.57. Два студента договорились встретиться между 13 и 14 часами дня. Первый пришедший ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что встреча состоится?.

1.58. В группе 15 девушек и 10 юношей. Наудачу отобрали 4 человека на дежурство. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц, окажутся две девушки.

1.59. В ящике находятся жетоны, на которых выбиты номера от 1 до 100 Определить вероятность того, что номер наудачу вынутого жетона не будет содержать цифры 5 и 0.

1.60. В бригаде 16 строительных рабочих 8-штукатуры, 5-маляры и 3-столяра. Наудачу отбирается 5 рабочих. Какова вероятность того, что среди них будет 2 маляра, 3 штукатура и 1 столяр?



2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ

И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


Опр.. Суммой двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в появлении хотя бы одного события (или события А или события В или обоих событий вместе).

Т-1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т.е.

Р(А+В)= Р(А) + Р(В)

Следствие1.

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице.

Следствие2.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Т-2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А+В)= Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А1, А2,...Аn независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

Р(А) = 1 - q1 q2..... qn


Если все события имеют одинаковую вероятноcть р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна:

Р(А) = 1 - qn

Опр. Произведением двух совместных событий А и В называется событие

А В, состоящее в совместном появлении этих событий.

Опр. Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е. Р(В/А)=Р(В).

Свойство независимости событий взаимно, т.е. событие А также независимо от В, если Р(А/В)=Р(А).

Т-3.Если события А и В независимы, то вероятность их совместного появления равна произведению их вероятностей.


Р(АВ) = Р(А) Р(В)


Т-4. Если события А и В зависимы, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А)

Опр. Условная вероятность события В относительно события А есть отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, если Р(А) 0, т.е.
Р(В/А) = Р(АВ) / Р(А)




Примеры решения задач


Пример 2.1.

Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя хотя бы одного из трех элементов. Вероятность выхода из строя первого из элементов равна 0,2, для второго и третьего эта вероятность равна. 0,1 и 0,3. Какова вероятность разрыва электрической цепи?

Решение

Обозначим событие А - разрыв электрической цепи (т.е. хотя бы один элемент откажет.)

Хотя бы один элемент откажет означает, что откажут ровно один элемент , ровно два или ровно три элемента. Т.к. элементов три, то других случаев нет. Противоположным к событию, что хотя бы один элемент откажет будет то, что ни один элемент не откажет

Р(А) = 1 - q1 q2 q3 = 1-0,8 0,9 0,7 = 0,496



Пример 2.2

В урне имеется 6 черных и 4 белых шара. Поочередно вынимаются 2 шара. Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми, если:

  1. вынутый шар возвращается в урну;

  2. вынутый шар не возвращается в урну.

Решение

Обозначим событие А –оба вынутых шара белые . Это событие состоит из произведения двух простых событий: В1- первый шар белый, В2 –второй шар белый. Событие А=В1 В 2

1) Пусть вынутый шар возвращается в урну. Тогда соотношение белых и черных шаров в урне не меняется. Значит, события В1и В2 независимы и

Р(В 1)= Р(В 2)=4/10. Следовательно, Р (А)=Р (В1 В 2)=Р (В1) Р (В 2)=0,16.

2) Пусть вынутый шар не возвращается в урну и соотношение белых и черных шаров в урне меняется после того, как вынут первый шар. Тогда вероятность события В2 будет различной в зависимости от того, наступило или нет событие В1. Значит, события В1 и В2, будут зависимыми. Найдем условную вероятность события В2при условии, что наступило событие В1: РВ1 (B2) = 3/9

Отсюда: Р (А)=Р (В1 В 2)=Р (В 1) РВ 1 (B2) = 4/10 3/9=0,13


Пример 2.3

Студент ищет формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-м справочнике, равна 0,7, во 2-ом - 0,6 и в 3-ем -0,9. Какова вероятность того, что:

а) формула содержится только в двух справочниках

б) формула содержится хотя бы в одном справочнике

Решение.

Обозначим: hello_html_m2236dbe6.gif- том справочнике содержится формула, i=1, 2, 3.

А - в двух справочниках содержится формула

В - формула содержится хотя бы в одном справочнике

а) А= hello_html_m77f8ce42.gif + hello_html_707ad971.gif+hello_html_69864fae.gif

Для определения вероятности события А применим теорему сложения для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, а также формулу вероятности противоположного события hello_html_m73c82bc6.gif

hello_html_50df8ecf.gif0,70,60,1+0,70,40,9+0,30,60,9=0,456

б) hello_html_31dfccac.gif0,30,40,1=0,988.

Пример 2,4.

Два программиста независимо друг от друга составляют программу для ЭВМ. Вероятность правильного составления программы первым программистом – 0,8, вторым – 0,9 . Какова вероятность, что программа будет составлена ? (неправильное составление программы исключается)

Решение

Обозначим событие А- программа будет составлена.

Введем простые события:

В1 – программу составит первый программист

В2 – программу составит второй программист

Событие А произойдет, если программу составит первый программист, а второй нет, или только 2-ой, а 1-й нет, или оба вместе.

1-ый способ решения.

Событие А можно представить в виде суммы произведений следующих событий:

Р(А)=Р(hello_html_2b3ae1b0.gif) Р(hello_html_1b701115.gif)(hello_html_6c9dd133.gif) Р(hello_html_60dcc70c.gif )+Р(hello_html_2b3ae1b0.gif) Р(hello_html_60dcc70c.gif)=0,80,1+0,20,9+0,80,9=0,98.

2-й способ решения.

Событие А можно представить в виде суммы событий hello_html_2b3ae1b0.gifи hello_html_60dcc70c.gif: А= hello_html_2b3ae1b0.gif hello_html_60dcc70c.gif

Причем hello_html_2b3ae1b0.gifи hello_html_60dcc70c.gif совместные события . По теореме сложения совместных, независимых событий имеем :

Р(А)=Р(hello_html_2b3ae1b0.gif)+Р(hello_html_60dcc70c.gif) - Р(hello_html_2b3ae1b0.gif)Р(hello_html_60dcc70c.gif)=0,8+0,9-0,80,9=0,98.

3-й способ решения.

Перейдем к противоположному событию

А – программа не будет составлена. Тогда hello_html_68b47740.gif= hello_html_6c9dd133.gif hello_html_1b701115.gif

Т.к. hello_html_2b3ae1b0.gif и hello_html_60dcc70c.gif независимы, тогда hello_html_6c9dd133.gif и hello_html_1b701115.gif тоже независимы

Р(hello_html_68b47740.gif)=Р(hello_html_6c9dd133.gif) Р(hello_html_1b701115.gif)=0,20,1=0,02 и искомая вероятность Р(А)=1-Р(hello_html_68b47740.gif)=0,98



Упражнения:


2.1. Причиной сбоя электронного устройства служит выход из строя элемента К1 или одновременный выход из строя двух элементов К2 и К3 . Элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность сбоя электронного устройства?

2.2. При изготовлении деталей может быть брак как по форме, так и по размеру. Вероятность брака по форме равна 0,01, вероятность брака по размеру 0,02. Какова вероятность, что взятая наудачу деталь будет бракованной?

2.3. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3; 0,4 и 0,6.

2.4. Студент купил 10 различных книг, причем 5 книг стоят по 400 тенге каждая, 3 книги по 100 тенге и 2 книги по 300 тенге. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 книги стоят 500 тенге.

2.5. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует внимания первый станок, равна 0,7, второй – 0,75, третий – 0,8. Определить вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребует какие – либо два станка.

2.6. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

2.7. Торговая фирма продает компакт диски и вкладывает приз в каждую десятую единицу товара. Куплено три компакт диска. Какова вероятность, что хотя бы в одном из них будет приз?

2.8. Вероятность попадания в первую мишень для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обоих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.

2.9. В начале учебного года в группе по списку было 30 студентов. Из них 20 получали стипендию. В середине семестра 2 студента взяли академический отпуск. Определить вероятность того, что случайно отобранные после этого 3 студента этой группы окажутся стипендиатами.

2.10. Для производственной практики на группу в 30 человек выделено 10 мест в г. Астане, 15 мест в г. Алматы и 5 мест в г. Атырау. Определить вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город.

2.11. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой результат с одной попытки равна 0,4. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.

2.12. Вероятность хотя бы одного попадания шайбы в ворота соперника при четырех забросах равна 0,9984.Определить вероятность попадания шайбы при одном забросе

2.13. Через остановку проходят автобусы маршрутов № 4, 5, 14, 27. Пассажира устраивают маршруты № 4 и № 5. Определить вероятность того, что первый подошедший к остановке автобус будет нужного маршрута, если известно, что машин четвертого маршрута- 7, пятого-8, четырнадцатого-6, двадцать седьмого-10.

2.14. Два программиста независимо друг от друга составляют программу для ЭВМ. Вероятность правильного составления программы первым программистом – 0,8, вторым – 0,9 . Какова вероятность, что программа будет составлена ? (неправильное составление программы исключается)

2.15. В коробке лежат 15 электролампочек одинаковой величины и формы, причем 10 из них рассчитаны на напряжение 215-22О В, а остальные на 22О-23О В. Какова вероятность того, что из четырех взятых наудачу электроламп все окажутся с напряжением в 215-225 В?

2.16. На посадку заходят 4 воздушных судна .Вероятность приземления в зоне посадочного знака соответственно равна: 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность того, что приземление в зоне посадочного знака произведут не менее чем два самолета.

2.17. В экзаменационный билет входят 3 вопроса программы, насчитывающей 50 вопросов. Абитуриент не знает 20 вопросов программы. Какова вероятность, что он вытянет билет, где все вопросы ему известны?

2.18. Вероятность проработать без поломки в течение месяца для первого двигателя равна 0,6, для второго 0,7, для третьего 0,8. Найти вероятность того, что в течение месяца без поломки проработает только один двигатель.

2.19. Для сообщения об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора – автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй – 0,9. Определить вероятность того, что при аварии поступит сигнал хотя бы от одного сигнализатора.

2.20. В читальном зале имеется 6 учебников, из которых 3 нового выпуска. Студент один за другим взял 2 учебника. Найти вероятность того, что обе взятые книги нового выпуска.

2.21. Предприниматель вложил свои средства в два контракта. Вероятность того, что любой из контрактов не «лопнет», равна 0,7. Какова вероятность того, что по истечении контрактов он по меньшей мере ничего не потеряет ?

2.22. На олимпиаде два участника одной команды отвечают по очереди на вопросы, причем каждый из них должен ответить на два вопроса. Вероятность правильного ответа каждым из двух участников равна 0,3. За каждый правильный ответ участник получает очко. Найти вероятность того, что команда заработает очко.

2.23. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,8, второй – 0,7. Найти вероятность того, что студентом будет сдан только второй экзамен.

2.24.Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы один экзамен.

2.25. На ткацкой фабрике рабочий обслуживает одновременно четыре станка. Вероятность нарушения нормальной работы в течение часа для первого станка равна 0,02; для второго – 0,25; для третьего – 0,1; для четвертого – 0,04. Определить вероятность бесперебойной работы всех четырех станков в течение одного часа.

2.26. В двух коробках лежат электрические лампочки одинаковой величины и формы, но рассчитанные на различные напряжения: в одной коробке 7 лампочек, рассчитанных на 220 в, и 5 лампочек – на 127 в. Определить вероятность того, что обе лампочки, взятые из двух различных коробок, окажутся рассчитанными на 220 в; на 127 в.

2.27. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что цифра 2 появится хотя бы на одной грани?

2.28. Рабочий обслуживает три станка. Для первого станка вероятность того, что он в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,5, для второго – 0,5, для третьего – 0,4. Определить вероятность того, что ни один станок не потребует внимания рабочего.

2.29. Буквенный замок содержит на общей оси 3 диска. Каждый диск разделен на пять секторов, отмеченных одинаковыми буквами. Замок может быть открыт в том случае, если буквы образуют определенную комбинацию. Какова вероятность открыть замок при произвольной комбинации букв?

2.30. Три стрелка стреляют в одну и ту же мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,5, для третьего – 0,7. Определить вероятность того, что при одном выстреле каждым из стрелков будет сделана одна пробоина.

2.31. В студии телевидения имеются три телевизионные камеры. Вероятность того, что каждая камера в данный момент включена, равна 0,6. Определить вероятность того, что в данный момент включены хотя бы две камеры.

2.32. У сборщика имеется 20 деталей: шесть изготовлены заводом № 1 в Павлодаре, десять – заводом № 2 в Павлодаре, четыре – заводом в Уральске. Наудачу взяты две детали. Определить вероятность того, что хотя бы одна из них изготовлена в Павлодаре.

2.33. В коллективе 20 мужчин и 8 женщин. Наудачу выбирают трех человек (по табельным номерам). Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна женщина?

2.34. В мастерской стоят 4 токарных станка. Вероятность того, что в данный момент каждый из станков работает, равна 0,7. Определить вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одни станок.

2.35. В магазине имеются фотоаппараты различных фирм, причем вероятность того, что будет продан фотоаппарат фирмы «Сони», равна 0,2. Определить вероятность того, что из 6 проданных фотоаппаратов хотя бы одни будет фирмы «Сони».

2.36. В мастерской 3 токарных станка. Для каждого станка вероятность того, что он работает в данный момент, равна 0,8. Определить вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одни станок.

2.37. В цехе при резервных мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он включен в данный момент, равна 0,2. Определить вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один резервный мотор.

2.38. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,03; 0,01 и 0,04.

2.39. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна ½ . Определить вероятность того, что с двух выстрелов цель будет поражена, то есть будет одно или два попадания.

2.40. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,7. произведено 10 выстрелов. Определить вероятность поражения цели (цель считается пораженной, если имеется хотя бы одно попадание).

2.41. Два орудия стреляют одновременно в цель. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Определить вероятность того, что при одном залпе из обоих орудий цель будет поражена.

2.42. В механизм входят две одинаковые детали. Механизм не будет работать, если обе поставленные детали будут уменьшенного размера. У сборщика 10 деталей, из них 3 – меньше стандарта. Определить вероятность того, что механизм будет работать нормально, если сборщик берет наугад две детали.

2.43. В сосуде заключено 2 белых, 3 черных и 2 красных шара. Шары извлекаются наудачу один за другим, причем вынутые шары обратно в сосуд не возвращаются. Определить вероятность того, что белый шар появится ранее черного.

2.44. Имеется партия товаров, состоящая из 50 предметов 1 сорта, 35 предметов 2 сорта, 10 предметов 3 сорта, а 5 предметов оказались браком. Какова вероятность того, что наудачу взятый один предмет будет доброкачественным (то есть 1, 2 или 3 сорта)?

2.45. Рабочий обслуживает три станка. Для первого станка вероятность того, что он в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,5, для второго – 0,5, для третьего – 0,4. Определить вероятность того, что по крайней мере один станок потребует внимания рабочего

2.46. Из 5 спортсменов 3 имеют спортивные разряды по шахматам. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 2 студента – разрядники по шахматам?

2.47. Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя хотя бы одного из трех элементов. Вероятность выхода из строя первого из элементов равна 0,2, для второго и третьего эта вероятность равна. 0,1 и 0,3. Какова вероятность разрыва электрической цепи?

2.48. В урне имеется 6 черных и 4 белых шара. Поочередно вынимаются 2 шара. Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми, если вынутый шар возвращается в урну.

2.49. Вероятность поломки в течение смены каждого из трех тракторов равна соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что за смену хотя бы один трактор проработает без поломки.

2.50. В урне имеется 6 черных и 4 белых шара. Поочередно вынимаются 2 шара. Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми, если вынутый шар не возвращается в урну.

2.51. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

2.52. Вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов акций равна соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность, что владельцем будет получен доход от двух акций.

2.53.Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в августе равно шести. Найти вероятность того, что второго и третьего августа будет ясная погода.

2.54.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

2.55. В электронном устройстве 4 лампочки. Вероятности перегорания лампочек в течение года равна соответственно 0,3; 0,4; 0,6 и 0,7.Устройство не будет работать, если хотя бы одна лампочка перегорит. Найти вероятность, что в течение года устройство не будет работать.

2.56. Для производственной практики выделено 25 мест. Из них 20 мест в г. Астане и 5 мест в г. Павлодаре. Какова вероятность, что 3 друга поедут в г. Астану?

2.57. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по математике и информатике равна соответственно 0,8 и 0,7. Какова вероятность, что студент сдаст только один экзамен?

2.58. Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,3.Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.

2.59. В электрическую сеть последовательно включены 3 элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность, что тока в цепи не будет.

2.60. В кассе театра было продано 21 билет из 25 оставшихся, имеющихся в количествах: 5 билетов в партер, 7-на бельэтаж, и 13 -на ярус. Полагая, что вероятность быть проданным для каждого билета одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными билеты на бельэтаж и в партер.



3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

И ФОРМУЛА БАЙЕСА


Следствием двух основных теорем теории вероятностей -теоремы сложения и теоремы умножения являются формула полной вероятности и формула Байеса.

Т-1. Если событие А может наступить только при условии появления одного из событий ( гипотез) Н1 , Н2 . . . ,Нn , образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события А.

Р(А) = Р(Н1) РH1 (А)+ . . .+Р(Нn) PНn(А) ( 6 )

События Н1, Н2 . . . ,Нn называются гипотезами, т.к. заранее неизвестно, какое из этих событий наступит.

Формула ( 6 ) называется формулой полной вероятности

Так как события (гипотезы) образуют полную группу, то они единственно возможные и несовместные.. Так как событие А может произойти только с одной из них , то А= Н1А+ Н2А+. . .+НnА

Т.к. гипотезы несовместны, то можно применить теорему сложения вероятностей Р(А)=Р(Н1А)+ Р(Н2А)+ . . .+Р(НnА)

По теореме умножения: Р(А)=Р(Н1) РH1 (А)+ . . .+Р(Нn) PНn(А)

Если в задаче известно, что событие А уже наступило, то вероятности гипотез Hi меняются в связи с появлением события А. Для переоценки гипотез служит формула Байеса, дающая условную вероятность каждой гипотезы при условии, что событие А уже наступило:

РА(Нi)=(P(Нi ) PHi(A)) / P(A) (7)


Формула Байеса применяется когда нужно произвести количественную переоценку вероятностей гипотез, известных до испытания и нужно найти получаемые после проведения испытания условные вероятности гипотез.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере поступления новой информации мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы (например, корректировать управленческие решения в экономике.

Примеры решения задач


Пример 3.1.

Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо –хорошо, двое –удовлетворительно, а один совсем не готовился –понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся студенты могут ответить на все 20 вопросов, хорошо- на 16 вопросов, удовлетворительно- на 10, и неподготовившийся - на 5 вопросов. Каждый студент получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым студент ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

Решение

Обозначим событие: А- приглашенный студент ответил на 3 вопроса.

То событие, которое мы обозначим через А, не должно упоминаться в формулировке гипотезы. В наших рассуждениях событие А мы совмещаем с другими событиями, т.е. событие А происходит только совместно с событиями:

Гипотезы:

H1-приглашен студент, который подготовился отлично,

H2-приглашен студент, который подготовился хорошо,

H3-приглашен студент, который подготовился удовлетворительно,

H4-приглашенный студент к экзаменам не готов,

События H1, H2, H3, H4 попарно несовместны и образуют полную группу, следовательно, они являются гипотезами.

Найдем вероятности гипотез:

hello_html_m23a351d.gif

Р(H1)+ Р(H2)+ Р(H3)+ Р(H4)=1

hello_html_b8c6ce.gif

Подставим найденные вероятности в формулу полной вероятности

Р(А) = 0,3 1+0,4 0,491+0,2 0,105+0,10,009 = 0,517

Следует найти hello_html_m415ed2ec.gif

По формуле Байеса: hello_html_363c37a4.gif



Упражнения:


3.1. На маршруте полета из г. Алматы в г. Астана вероятность встречного ветра равна 0,5, попутного- 0,3 и штиля- 0,2. Самолет, своевременно вылетевший из г. Алматы, прибывает в г. Астана по расписанию с вероятностью 0,4 при встречном ветре; 0,8- при попутном и 0,9-при штиле. Известно, что в г. Астана самолет прибыл точно по расписанию. Вычислить вероятность того, что ветер был встречный.

3.2. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями р1, р2, р3, где р13=0,25, р2=0,5. Вероятности того, что лампа не выйдет из строя в течение гарантийного срока, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа не выйдет из строя в течение гарантийного срока.

3.3. В цехе 30% станков типа А, 20%- типа Б, и 50%- типа С. Из шести наладчиков один может налаживать все станки, три только типа А и С, а два только типа А и Б. Один из станков вышел из строя. Определить вероятность того, что станок будет налажен.

3.4. С первого автомата на сборку поступает 40 %, со второго 60% деталей. Первый автомат дает в среднем 1 % брака, второй - 2 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

3.5. Из 10 студентов, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо –хорошо, двое –удовлетворительно, а один совсем не готовился –понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся студенты могут ответить на все 20 вопросов, хорошо- на 16 вопросов, удовлетворительно- на 10, и неподготовившийся - на 5 вопросов. Каждый студент получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым студент ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

3.6. Половина поступивших на склад изделий изготовлена на первом заводе, третья часть – на втором заводе, остальные изделия – на третьем. Вероятности производства брака на первом, втором и третьем заводах соответственно равны р1=0,2 р2= р3=0,1. Произвольно выбранное изделие оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что это изделие изготовлено на первом заводе

3.7. В первой урне содержится 8 белых и 2 черных шара. Во второй урне 4 белых и 16 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

3.8. На некоторой фабрике машина А производит 40 % продукции, а машина В – 60 %. В среднем 8 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 4 из 250, произведенных машиной В, оказываются бракованными. Какова вероятность того, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной ?

3.9. С первого автомата на сборку поступает 30 %, со второго 70 % деталей. Первый автомат дает в среднем 2 % брака, второй - 3 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

3.10. При некотором технологическом процессе вероятность получения бракованной детали принимается равной 0,8. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было бы утверждать, что частость появления бракованных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01?

3.11. На некоторой фабрике машина А производит 30 % продукции, а машина В – 70 %. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 1 из 250, произведенных машиной В, оказываются бракованными. Какова вероятность того, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной ?

3.12. В сборочный цех завода детали поступают из двух цехов: из первого цеха – 70 %, из второго цеха – 30 %, причем детали из первого цеха имеют 10 %, а из второго – 20 % брака. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной.

3.13. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 конькобежцев, 4 горнолыжника. Вероятность выполнения нормы мастера спорта для лыжника равна 0,9, для конькобежца – 0,8, для горнолыжника равна 0,75. Определить вероятность того, что наудачу вызванный спортсмен выполнит норму мастера спорта.

3.14. В первой урне содержится 4 белых и 5 черных шара. Во второй урне 10 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

3.15. Имеется 5 партий радиоламп: три партии по 8 штук, в каждой из которых шесть стандартных и две нестандартных, и две партии по 10 штук, из которых семь стандартных и три нестандартных. Наудачу из этих пяти партий берется одна партия, и из этой партии выбирается одна деталь. Определить вероятность того, что взятая таким образом деталь будет стандартной.

3.16. В трех одинаковых коробках лежат товары: в первой – два изделия первого сорта и одно второго сорта, во второй – три изделия первого сорта и одно второго сорта, в третьей – два изделия первого сорта и два второго сорта. Наудачу берется коробка и из нее изделие. Определить вероятность того, что это изделие первого сорта.

3.17. Имеется две категории сосудов: первая состоит из трех сосудов, в каждом и которых находится по четыре красных и по пяти синих шаров; вторая категория сосудов – из семи сосудов, в каждом из которых по два красных и по пяти синих шаров. Из первого попавшегося сосуда вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар будет красным.

3.18. В ящике две категории сосудов; одна состоит из трех сосудов, причем в каждом из них по 5 белых и по 7 черных шаров; вторая – из пяти сосудов, содержащих каждый по 9 белых и по 3 черных шара. Всего сосудов 8. Сосуды той и другой категории перемешаны, и из наудачу взятого сосуда извлекается шар. Определить вероятность того, что этот шар будет белым.

3.19. Принесли 5 сосудов: 2 сосуда содержат по 2 белых и одному черному шару; в одном сосуде 10 черных шаров; в 2 сосудах по 3 белых и одному черному шару. Наудачу выбирается сосуд, и из него берется один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар будет белым.

3.20. В 6 одинаковых ящиках по 10 деталей, причем в трех ящиках по 8 деталей, в двух – по 6 деталей и в одном 5 деталей первого сорта. Наудачу выбираем одну деталь. Определить вероятность того, что эта деталь будет первого сорта.

3.21. Рабочий обслуживает три станка. Каждый из станков может выходить из строя независимо друг от друга с вероятностями соответственно р1=0,3, р2=0,4, р3=0,5. Стало известно, что вышел из строя один станок. Какова вероятность того, что это первый станок?

3.22..После капитального ремонта карбюраторы проверяются ОТК на техническую исправность. Вероятность того, что карбюратор попадет к первому работнику ОТК равна 0,7;ко второму-0,3.Вероятность того, что отремонтированный карбюратор будет признан технически исправным первым работником равна 0,9;а вторым-0,98.Карбюратор был признан технически исправным. Какова вероятность того, что карбюратор был проверен вторы

3.23. Из 20 учеников, которые пришли на экзамен по математике, 5 подготовились отлично, 4-хорошо,10-удовлетворительно, а 1-совсем не готовился- понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо на 15 вопросов, удовлетворительно- на 10, и не подготовившийся на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник.

3.24. Первый рабочий изготовляет 50%,второй-30% и третий-20% всех деталей. Вероятность, что деталь, изготовленная первым рабочим стандартна, равна 0,9: для второго и третьего эта вероятность равна соответственно 0,95 и 0,85.Изготовленные детали поступают на сборку. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Какова вероятность, что она изготовлена первым рабочим.

3.25. Фабрика получает станки-автоматы от трех заводов: от первого завода-30%, от второго-55% и от третьего-15% станков. Известно, что брак продукции первого завода составляет- 5%, второго- 6% и третьего-10%. Полученные станки до монтажа хранятся в общем складе. Наугад взятый для монтажа станок оказался бракованным. Какова вероятность того, что бракованный станок изготовлен на первом заводе?

3.26. Студент может купить билет в одной из трех касс автовокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, равна 1/2, ко второй-1/3, к третьей-1/6. Вероятность того, что билетов уже нет в кассах примерно такие: в первой кассе-1/5; во второй-1/6;в третьей-1/8. Студент обратился в одну из касс и получил билет. Определить вероятность того, что он направился к первой кассе.

3.27. На маршруте полета из г. Костаная в г.Алматы вероятность встречного ветра равна 0,3; попутного 0,4; и штиля 0,3. Самолет, своевременно вылетающий из г. Костаная, прибывает в г.Алматы по расписанию с вероятностью: 0,5 при встречном ветре; 0,8 при попутном ветре и 0,9 при штиле. Известно, что в г.Алматы самолет прибыл точно по расписанию. Вычислить вероятность того, что при этом ветер был встречный.

3.28. На склад поступила продукция трех заводов. Объемы продукции первой, второй и третьей фабрик относятся соответственно как 2:5:3. Известно также, что средний процент нестандартных деталей среди продукции первого завода равен 4%,второго 3% и третьего 2%. Взятая случайным образом деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она произведена на первом заводе.

3.29. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,8;второго-0,4.После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что пробоина сделана первым стрелком

3.30. На животноводческом комплексе имеется пять автоматических кормораздатчика, 3-полуавтоматических и 2-механических. Вероятности того, что за время раздачи кормов кормораздатчик не выйдет из строя соответственно равны: для автоматических-0,98;для полуавтоматических-0,86;для механических-0,73.Найти вероятность того, что до окончания раздачи кормов автоматический кормораздатчик не выйдет из строя.

3.31. Количество полупроводниковых и ламповых деталей в телевизоре относится как 2:3.Вероятность поломки полупроводниковой детали равно 0,7; ламповой-0,15. Телевизор сломался. Что вероятнее: сломалась ламповая или полупроводниковая деталь?

3.32. Три токаря обтачивают соответственно 25%, 35% и 40%, всех подшипников-202, допуская 5%, 4% и 2% брака, Случайно проверенный подшипник оказался с браком, Найти вероятность того, что брак допустил третий токарь.

3.33. С завода поступили три партии машин: в первой партии 15% машин не доукомплектованы, во второй и третьей партиях все машины укомплектованы. Определить вероятность того, что на удачу выбранная машина не доукомплектована.

3.34. Изготовленное изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8. Какова вероятность, что дефектное изделие будет обнаружено?

3.35. В магазины города первая птицефабрика поставляет 50%, вторая- 30% и третья 20% яиц. На первой птицефабрике из каждых 100 яиц 90 первой категории, на второй-95 и на третьей-85 яиц первой категории. Найти вероятность, что купленное яйцо будет первой категории.

3.36. Обучающая машина-экзаменатор содержит два набора вопросов: первый состоит из 5 трудных и 25 легких вопросов, второй-20 трудных и 10 легких. Машина с заданной вероятностью выбирает набор, затем выбирает вопрос и предъявляет его экзаменующемуся. Как нужно задать вероятности выбора первого и второго наборов, чтобы использовать в среднем одинаковое число трудных и легких вопросов, т.е. уравнять вероятности предъявления трудных и легких вопросов?

3.37. На остановке из автобуса в случайном порядке последовательно выходят 4 женщины и 3 мужчин. Определить вероятность того, что вторым по порядку выйдет мужчина.

3.38. Известно, что в четырех областях мозга, содержится примерно одинаковое количество клеток, клетки внимания(нейроны, реагирующие на изменение сигнала) имеют следующие удельные веса: 1-5%, 2-15%, 3-18%, 4-0,1%. Какова вероятность, заведомо находясь в пределах этих областей, попасть в клетку "внимания".

3.39. Турист, заблудившись в лесу, вышел на поляну, от которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет около 0,6; если по второй-0,3; если по третьей-0,2; если по четвертой-0,1; если по пятой-0,1.Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

3.40. Численность бактерий растет следующим образом: в каждом поколении каждая бактерия производит с вероятностью 0,25-ни одной, с вероятностью 0,5-одну и с вероятностью 0,25-две новых бактерий, а затем гибнет. При этом плодовитость каждой бактерии нисколько не влияет на плодовитость остальных. Предположив, что в начале у нас имелась только одна бактерия, найти вероятность того, что в третьем поколении не будет ни одной живой бактерии.

3.41. В бухгалтерию поступили документы. Из них по животноводству- 30%, по растениеводству-50%, по вспомогательному производству-20%. Вероятность того, что документ заполнен правильно по животноводству равна 0,7,по растениеводству и вспомогательному производству соответственно 0,6 и 0,3. Взятый наугад документ был заполнен правильно. Найти вероятность того, что этот документ заполнен по животноводству.

3.42. Два экономиста дают экономическую оценку эффективности использования новой техники для уборки пшеницы. Вероятность того, что первый экономист допустит ошибку равна 0,05,для второго 0,1. При сверке оценок была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошибся первый экономист.

3.43. Две бригады ремонтируют трактора. Производительность первой бригады вдвое больше производительности второй. Первая бригада выполняет 60% месячного плана, а вторая 84%. Наудачу выбранный трактор оказался отремонтированным. Найти вероятность того, что трактор отремонтирован первой бригадой.

3.44. В первом ящике содержится 18 деталей, из них 10 стандартных и 8 нестандартных; во втором ящике 20 деталей, из них 13 стандартных и 7 нестандартных. Слесарь из первого ящика наугад вынимает одну деталь и перекладывает во второй. Найти вероятность того, что деталь, извлеченная из второго ящика, будет стандартной.

3.45. Имеется 5 партий ламп: три партии по 8 штук, в каждой из которых шесть стандартных, и две нестандартных, и две партии по 10 штук, из которых семь стандартных и три нестандартных. Наудачу из этих пяти партий берется одна партия, и из этой партии выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что взятая таким образом лампа будет стандартной.

3.46. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых, проезжающих по тому шоссе, как 3:2. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и 2 из 50 легковых машин подъезжают к бензоколонке для заправки. Чему равна вероятность того, что подъехавшая к бензоколонке машина будет заправляться?

3.47. Для посева заготовлены семена пшеницы первого сорта, содержащие небольшое количество семян других сортов. Вероятность того, что наудачу взятое зерно будет первого сорта, равна 0,95; второго-0,03; третьего-0,02.Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен, равна для первого сорта 0,7; для второго-0,15;для третьего-0,2.Определить вероятность того, что колос будет иметь не менее 50 зерен.

3.48. Одну и ту же операцию выполняют токари третьего, четвертого и пятого разрядов .В бригаде 25% токарей 3 разряд, 35% четвертого разряда и 40% токарей пятого разряда. Токари третьего разряда допускают 5% брака,четвертого-4% и пятого-2%.При проверке деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что брак допустили токарь не пятого разряда.

3.49. В начале учебного года в группе по списку было 30 студентов. Из них 20 получали стипендию. В середине семестра один студент взял академический отпуск. Определить вероятность того, что случайно отобранный после этого студент этой группы окажется стипендиатом.

3.50. В овощехранилище поступает сахарная свекла с трех хозяйств. Первый хозяйство поставляет 30% всей свеклы, второе 60% и третье 10%. В продукции первого хозяйства 10% поврежденных корнеплодов, в продукции второго и третьего хозяйства соответственно 5% и 8%. Определить вероятность того, что взятый корнеплод окажется поврежденным.

3. 51. Одинаковые детали обрабатываются тремя рабочими на трех станках. Вероятность брака равна для первого - 0,01;для второго-0,02;для третьего - 0,03.Обработанные детали складываются в один ящик. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь будет бракованной, если производительности станков относятся, как 2:3:5?

3.52. В двух командах, участвующих в математической олимпиаде, 20 человек. В команде экономического факультета 7 первокурсников и 3 второкурсника, а в команде факультета механизации сельского хозяйства 6 первокурсников и 4 второкурсника. Сборная института, составленная из студентов двух команд, содержит 10 человек: 6 из первой команды и 4 из второй. Из сборной наудачу вызвали одного студента. Какова вероятность того, что он первокурсник?

3.53. На складе имеются электрические лампочки, изготовленные на двух различных заводах, причём на первом изготовлено 75% всех лампочек, а на втором – 25%. Среди лампочек, изготовленных первым заводом, 83% удовлетворяют условиям определённого стандарта, а для продукции второго завода этот процент равен 63. Найти вероятность того, что случайно взятая со склада лампочка окажется удовлетворяющей условиям стандарта.

3.54. В коробке лежат 1О семян пшеницы, из них четыре- сорта "Саратовская", два- сорта "Безенчукская" и четыре -сорта "Мироновская 8О".Вероятность всхожести семян сорта "Саратовская " равна 0,9; сорта "Безенчукская" -0,89 и сорта "Мироновская 8О"-0,95. Посаженное зерно дало всходы. Какова вероятность, что дало всходы зерно сорта «Саратовская»?

3.55. На склад поступила продукция трех заводов. Объемы продукции первой, второй и третьей фабрик относятся соответственно как 3:5:2. Известно также, что средний процент нестандартных деталей среди продукции первого завода равен 1%,второго 2% и третьего 3%. Взятая случайным образом деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она произведена на первом заводе.

3.56. В овощехранилище поступает картофель с трех хозяйств. Первый хозяйство поставляет 20% всей свеклы, второе 50% и третье 30%. В продукции первого хозяйства 5% поврежденных корнеплодов, в продукции второго и третьего хозяйства соответственно 5% и 8%. Определить вероятность того, что взятый корнеплод окажется поврежденным.

3.57. У студента три варианта решения задачи. Если студент выберет первый вариант, то вероятность решения задачи в течение 10 минут равна около 0,4; если второй-0,5; если третий-0,1..Какова вероятность того, что студент выбрал первый вариант, если через 10 минут он решил задачу?

3.58. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 конькобежцев, 4 горнолыжника. Вероятность выполнения нормы мастера спорта для лыжника равна 0,9, для конькобежца – 0,8, для горнолыжника равна 0,75. Определить вероятность того, что наудачу вызванный спортсмен выполнит норму мастера спорта.

3.59. В первой урне содержится 6 белых и 8 красных шара. Во второй урне 10 белых и 6 красных шара. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

3.60. Одинаковые детали обрабатываются двумя рабочими на двух станках. Вероятность брака равна для первого - 0,01;для второго-0,02.Обработанные детали складываются в один ящик. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь будет бракованной, если производительности станков относятся, как 2:3?


4. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ


Формула Бернулли

Производится n независимых и однородных (одинаковых) испытаний, в результате каждого из которых может произойти событие A с вероятностью или ему противоположное событиеA с вероятностью q=1-, причем вероятность появления события не зависит от номера испытания и в каждом испытании одна и та же.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p (0<p<1), событие наступит ровно m раз, равна

hello_html_1e894d53.gifформула Бернулли

где q=1-

Вероятность того, что событие наступит:

  1. менее m раз: Рn(0) + Рn(1) +…+ Рn(m-1)

  2. более m раз: Рn(m+1) + Рn(m+2) +…+ Рn(n)

  3. не менее m pаз Рn(m) + Рn(m+1) +…+ Рn(n)

  4. не более m раз Рn(0) + Рn(1) +…+ Рn(m)



Наивероятнейшее число появлений события

Число m0 , которому соответствует наибольшая вероятность Рn (m0) называется наивероятнейшим числом появлений события или модой.

Наивероятнейшее число появлений события определяется из неравенства:

пр - q т0 < пр + р

где п- число независимых испытаний,

р- вероятность появления события в каждом испытании,

q- вероятность не появления события.

Очевидно, что т0 как число появлений события А может принимать только целые значения. Следовательно, целое число, заключенное в интервале [пр-q; пр+р] и будет модой .

Причем:

  1. если число пр -q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число m0

  2. если число пр -q - целое, то существует два наивероятнейших числа: m0 и m0 +1.

  3. если число пр - целое, то наивероятнейшее число m0 = пр

.

Формула Пуассона

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю hello_html_m62594a36.gifпри неограниченном увеличении числа n испытаний hello_html_1c6f8488.gif, причем произведение np стремится к постоянному числу hello_html_35d8f3e6.gif, то вероятность того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, равна

hello_html_m1664fe06.gif

где n -последовательность независимых испытаний, np = ( среднее число появлений события в n испытаниях, [0,3; 10]. Формулу Пуассона используем когда имеем дело с редко происходящими событиями.

Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра- Лапласа

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие произойдет, m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n приближенно равна

hello_html_m767c437c.gifhello_html_m2d94679c.gif где hello_html_2cd1cb39.gif а hello_html_m77e3a70c.gif

Значения (x) находят по соответствующей таблице с учетом свойств этой функции: hello_html_7cac0f55.gif – четная функция, т.е. hello_html_76e8c89d.gif = hello_html_7cac0f55.gif.

С практической точки зрения больший интерес представляет вероятность того, что в п независимых испытаниях число т появлений события А будет заключено в границах т1 т т2.

1). Если п 10, то вероятность находится с помощью формулы Бернулли как сумма вероятностей: Рп1 т т2)=Рп1)+Рп1+1)+ . . . +Рп2)

2).Если же число испытаний n велико, то используют интегральную теорему Муавра-Лапласа. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 1 и 0. Тогда вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от m1 до m2 раз, приближенно равна

hello_html_2664b6a2.gifhello_html_m69e553b5.gif, где hello_html_m2be18948.gifhello_html_2db4bd3f.gif

hello_html_m3142002a.gifhello_html_8f45e26.gifинтегральная функция Лапласа.

Значения функции Ф (х) находятся по таблице с учетом свойств этой функции:

1). Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х)= - Ф(х),

2). Функция hello_html_455f193b.gif является монотонно возрастающей. При х>5 Ф(х)=0,5

С помощью интегральной теоремы Лапласа можно вычислить вероятность того, что отклонение частности наступления события А в n повторных независимых испытаниях от вероятности наступления этого события в каждом отдельном испытании по абсолютной величине не превзойдет произвольно заданного положительного числа . Эта вероятность равна:

hello_html_m5bb28f79.gif

Это формула отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях


Примеры решения задач


Пример 4.1.

Пять элементов вычислительного устройства работают независимо. Вероятность безотказной работы за время t для каждого элемента равна 0,9. Найти вероятность того, что за это время только четыре элемента будут работать безотказно.

Решение

Пусть событие А - четыре элемента будут работать безотказно.

Рассматривается ряд независимых испытаний. Наступление события А не зависит от того, какие результаты были или будут в остальных испытаниях, причем в каждом из этих испытаний событие А может наступить, а может и не наступить.

Т.к. число испытаний невелико, то применяем формулу Бернулли

hello_html_4691e73b.gif= hello_html_m6c41e8a6.gif= hello_html_m5969b0f8.gif


Пример 4,2.

В магазин по продаже компьютеров вошли девять покупателей. Найти наивероятнейшее число покупателей, которые купят компьютер, если вероятность совершить покупку для каждого равна 0,5

Решение

По условию задачи п=9, р=0,5; q=0,5. Наивероятнейшее число найдем из неравенства (1):

90,5-0,5 m0 < 90,5+0,5,

4 m0 < 5.

В этом случае мы имеем 2 целых числа, удовлетворяющих неравенству.

Т.е. из 9 покупателей наиболее вероятное число купивших компьютер 4 или 5


Пример 4,3.

Число технически исправных компьютеров составляет 0,7 общего количества компьютеров данного предприятия. При каком общем количестве компьютеров наивероятнейшее число технически исправных будет равно 20 ?

Решение

По условию задачи р=0,7 ; q=0,3; m0=20. Составим неравенство для m0:

0,7 n –0,3 20 < 0,7 n +0,7 .

Распишем его на два неравенства: 0,7 n-0,3 20 и 0,7 n+0,7 > 20 .

Отсюда: 0,7 n 20,3 и 0,7 n > 19,3 , или 27,6 < п 29.

Таким образом, общее число компьютеров может быть равным 28 или 29 .

Пример 4,4.

Вычислительное устройство состоит из 500 независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента равна 0,002. Какова вероятность того, что откажут ровно 3 элемента?

Решение

В этом случае n=500, k=3, p=0,002. Отсюда =1.

hello_html_mb9d5aa6.gif


Пример 4,5.

Электростанция обслуживает сеть на 1000 электроламп, вероятность включения каждой из которых днем равна 0,135. Какова вероятность того, что днем будет включено 120 электроламп?

Решение

Обозначим событие А – включение электролампы днем. Число включенных электроламп должно быть m=120. Вероятность включения электролампы днем в каждом из n=1000 (n>10) независимых испытаний равна р=0,135 (р>0,1), тогда q=0,865. Вероятность Р1000(120) найдем по локальной формуле Лапласа

Вычислим сначала аргумент функции (х) hello_html_259c2d2f.gif

Т.к. (х) - четная функция, то (-1,39)= (1,39)

и по таблице находим (1,39)=0,1518.

Окончательно имеем: hello_html_m2be95c91.gif


Пример 4.6.

Найти вероятность того, что событие появится от 10 до 20 раз, если вероятность появления события в каждом из 100 испытаний равна 0,2.

Решение

р=0,2; q=0,8; n=100; m1=10; m2=20. Т.к. п велико, используем интегральную формулу Лапласа

hello_html_1a6cad71.gifhello_html_6023f2c1.gif

Найдем по таблице Ф(х1)=Ф( - 2,5)= -Ф(2,5) =0,4938 Ф(х2)=Ф( 0 )=0

Р100 (10 m 20)=Ф(0) – Ф(- 2,5)=0,4938


Упражнения:


4.1. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна р=0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов.

4.2. Пять элементов вычислительного устройства работают независимо. Вероятность безотказной работы за время t для каждого элемента равна 0,9. Найти вероятность того, что за это время только четыре элемента будут работать безотказно.

4.3. В вузе 40% студентов из сельской местности. Найти вероятность того, что из 100 случайно отобранных студентов от 45 до 90 студентов будут из сельской местности.

4.4. В банк отправлено 2000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0005. Найти вероятность того, что при проверке будут обнаружено 4 ошибочно укомплектованных пакета.

4.5. Вероятность получения дефектной детали с данного станка – автомата равна 0,25. Найти вероятность того, что среди 120 деталей, изготовленных на этом станке, число качественных окажется от 80 до 100.

4.6. В лаборатории определяется механический состав 1000 образцов почв некоторой области. Вероятность того, что в образце содержится 20% частиц размерами более 3 мм равна 0,001. Найти вероятность того, что взятые наудачу 3 образца почвы содержат 20% частиц размерами более 3 мм.

4.7. В пруд запустили 500 мальков зеркального карпа. Вероятность выжить для каждого из них одинакова и равна 0,7. Какова вероятность, что выживут не менее 300 мальков?

4.8. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течении часа позвонят 3 абонента?

4.9. Учебник издан тиражом 10000 экз. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001, Найти вероятность того, что тираж содержит хотя бы 2 бракованные книги.

4.10. В магазин по продаже компьютеров вошли девять покупателей. Найти наивероятнейшее число покупателей, которые купят компьютер, если вероятность совершить покупку для каждого равна 0,5

4.11. 30% аварий происходят из-за превышения скорости машин. Найти вероятность того, что из 100 дорожно- транспортных происшествий ровно 30 происходят из-за превышения скорости машин.

4.12. На связке 5 ключей. К замку подходит только один ключ. Найти вероятность того, что потребуется не более двух попыток открыть замок, если опробованный ключ в дальнейших испытаниях не участвует.

4.13. Вероятность того, что абонент правильно наберет телефонный номер, принимается для всех абонентов равной 0,999. Определить вероятность того, что среди 500 произведенных независимо один от другого вызовов окажется менее двух ошибочных.

4.14. Вероятность обращения в банк клиента за возвратом депозита равна 0,3. Найти вероятность того, что из 100 клиентов, посетивших банк, ровно 30 потребует возврата депозита.

4.15. 80 % волокон хлопка определенного сорта имеет длину, меньшую, чем 50 мм. Определить вероятность того, что из 4 наудачу взятых волокон три будут короче 50 мм.

4.16. В мастерской 5 токарных станков. Вероятность, что в данный момент станок работает, равна 0,7. Определить вероятность того, что в данный момент работают 4 станка.

4.17. В партии изделий двух форматов число крупных деталей вдвое больше, чем мелких. Детали сложены без всякого порядка. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 10 деталей окажется 6 крупных?

4.18. Вероятность появления события А в отдельном испытании равна ¾. Определить вероятность того, что число появлений этого события при 8-кратном повторении окажется больше шести.

4.19. Вероятность того, что отобранная для проверки деталь будет стандартной, равна 0,9. Проводится контрольная выборка: берут наудачу пять деталей. Если из этих пяти деталей бывает более двух нестандартных, то вся партия задерживается. Определить вероятность того, что партия будет задержана.

4.20. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки равна 0,3. Произведено шесть выстрелов. Определить вероятность того, что не менее трех пуль попадет в цель.

4.21. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять партий из восьми?

4.22. Вероятность появления некоторого события в одном отдельном испытании равна 0,7. Определить наивероятнейшее число появлений этого события при 16 испытаниях.

4.23. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,2. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель и вероятность такого исхода стрельбы, если было сделано шесть выстрелов.

4.24. При автоматической наводке орудия вероятность попадания принимается равной 0,7. Определить наиболее вероятное число попаданий при 235 выстрелах.

4.25. Число длинных волокон в партии хлопка составляет в среднем 0,7 от общего числа волокон. При каком общем количестве волокон наивероятнейшее число длинных волокон окажется равным 25?

4.26. Сколько следует выполнить повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 23, если вероятность появления этого события в одном отдельно взятом испытании 0,85?

4.27. Брак при изготовлении штампованных деталей составляет 5%. Сколько нужно взять деталей, чтобы наиболее вероятное число годных деталей равнялось 150?

4.28. Два студента приобрели лотерейные билеты: один – 10, а другой – 15 штук. Каково наиболее вероятное число билетов, по которым может выиграть каждый из студентов, если вероятность выигрыша на один билет равна ¼?

4.29. Чему равна вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступления события А в отдельном испытании составляет 15, а всего испытаний было произведено 20?

4.30. Произведено 35 независимых испытаний, причем установлено, что наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях оказалось равным 20. Какова вероятность наступления события?

4.31. Вероятность прорастания семян данного растения 0,75. Сколько следует взять семян, чтобы наибольшее число взошедших семян равнялось 100?

4.32. В институте обучается 1000 студентов. Вероятность того, что день рождения каждого из студентов приходиться на определенный день года, равна 1/365. Определить наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января.

4.33. По данным многолетних наблюдений установлено, что в сентябре число ненастных дней для некоторой местности в среднем равно 10. Определить наивероятнейшее число ясных дней в первой половине сентября.

4.34. Сколько нужно взять единиц товара, чтобы наивероятнейшее число изделий первого сорта было равно 450, если вероятность появления изделия первого сорта 2/3?

4.35. Прибор выходит из строя, если перегорит не менее пяти ламп I типа или не менее двух ламп II типа. Определить вероятность выхода из строя прибора, если известно, что перегорело пять ламп, а вероятность перегорания ламп I и II типов равны соответственно 0,2 и 0,1.

4.36. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Определить вероятность 18 попаданий при 25 выстрелах.

4.37. Доля второго сорта некоторой массовой продукции составляет 40%. Взято 100 экземпляров этой продукции. Какое количество изделий второго сорта наиболее вероятно и какова вероятность того, что именно такое количество второго сорта окажется в отобранной группе?

4.38. В сосуде находится 3 белых и 4 черных шара. Шары извлекаются таким образом, что каждый извлеченный шар возвращается обратно в сосуд. Определить вероятность того, что при 250 извлечения белый шар появится 100 раз.

4.39. Вероятность бракованного изделия равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из 400 изделий будет 104 бракованных.

4.40. Определить вероятность одновременной остановки 30 машин из 100 работающих, если вероятность остановки одной машины равна 0,2.

4.41. В партии из 50 деталей доля первого сорта составляет 0,4. Сколько деталей в партии будет первого сорта, если результат необходимо гарантировать с вероятностью 0,0407?

4.42. Определить вероятность того, что событие А, вероятность наступления которого при каждом отдельном испытании равна 2/3, при 600 испытаниях появится число раз, заключенное между 372 и 402.

4.43. Определить вероятность того, что событие А, вероятность наступления которого при каждом испытании равна ¾, при 768 испытаниях появится число раз, заключенное между 582 и 618.

4.44. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3. Определить вероятность того, что из 800 головок готовых колец число непригодных заключено между 225 и 255.

4.45. По данным длительной проверки качества выпускаемых запчастей, брак составляет 13%. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 150 запчастей пригодных будет не менее 125 и не более 135.

4.46. Автоматическая штамповка металлических клемм для соединительных пластин дает 20% отклонений от принятого стандарта. Определить вероятность наличия в партии из 600 клемм от 100 до 125 клемм, не соответствующих стандарту.

4.47. На каждые 20 штампованных изделий из пластмассы приходится в среднем 3 дефектных. Определить вероятность того, что из 50 взятых наудачу изделий более 42 будут без дефекта.

4.48. Вероятность наступления события А в отдельном испытании равна 2/3. Определить вероятность того, что при 500 независимых испытаниях абсолютная величина отклонения частости наступления событии от его вероятности в каждом отдельном испытании окажется равной 0,08.

4.49. Вероятность положительного результата в каждом отдельном испытании равна 2/3. Проведено 800 независимых испытаний. Определить вероятность того, что отклонение частости от вероятности не будет превышать по абсолютному значению 0,04.

что число проб с промышленным содержанием металла будет заключено между 290 и 350.

4.50. Сколько необходимо произвести испытаний, чтобы вероятность того, что отклонение частости от вероятности в каждом отдельном испытании, равной 3/8, по абсолютной величине будет меньше чем 0,01?

4.51. Сколько необходимо произвести испытаний для того, чтобы с вероятностью, 0,9948 можно было бы ожидать, что частость наступления события А будет отличаться по абсолютной величине от его постоянной для всех испытаний вероятности, равной 3/5, менее чем на 0,01?

4.52. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,3. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью 0,99 получить один отказ?

4.53. В одном из институтов установлено, что студентки составляют 64%. Определить с вероятностью 0,9545, в каких границах может заключаться частость количества студенток во всем коллективе, если численность выборки взять равной 900.

4.54. 90% выпуска радиоламп бывает годными. Определить с вероятностью 0,3998, в каких границах может заключаться частость бракованных радиоламп в партии из 400 штук.

4.55. Вероятность остановки токарного станка в результате некоторых технических неполадок в течение недели равна 0,088. Определить вероятность того, что из 25 станков, работающих в цехе, остановятся в течение недели два станка.

4.56. В денежной лотерее на каждые 1000 билетов выигрывает 20. Определить вероятность того, что из 100 билетов выиграет 4 билета.

4.57. При контролируемом производственном процессе доля брака не превышает 0,02. При обнаружении в партии из 150 изделий более 5 бракованных изделий вся партия задерживается. Определить вероятность того, что партия будет принята

4.58. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 5 вариантов ответов, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного ответа на два вопроса теста для неподготовленного студента.

59. При некотором технологическом процессе вероятность получения бракованной детали принимается равной 0,8. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было бы утверждать, что частость появления бракованных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01?

4.60. Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа в течении 1ч работы устройства равна 0,004. Какова вероятность того, что за 100 ч работы устройства придется пять раз менять микросхему


Экзаменационные вопросы


  1. Предмет теории вероятностей. Основные понятия

  2. Классификация событий

  3. Три определения вероятности; классическое, статистические, геометрическое.

  4. Элементы комбинаторики. Формула числа перестановок, размещений, сочетаний.

  5. Основные теоремы теории вероятности

  6. Формула полной вероятности и формула Байеса.

  7. Вероятность появления хотя бы одного события

  8. Повторные независимые испытания. Схема и формула Бернулли.

  9. Формула Пуассона.

  10. Локальная и интегральная теоремы Муавра Лапласа.

  11. Дискретные случайные величины.

  12. Числовые характеристики ДСВ. Свойства

  13. Непрерывные случайные величины.

  14. Числовые характеристики НСВ. Свойства.

  15. Функция распределения. Свойства.

  16. Плотность распределения. Свойства.

  17. Основные законы распределения дискретных случайных величин.

  18. Основные законы распределения непрерывных случайных величин

  19. Нормальный закон распределения.

  20. Системы случайных величин

  21. Числовые характеристики многомерных слцучайных величин

  22. Многомерная функция распределения и ее свойства

  23. Закон больших чисел

  24. Центральная предельная теорема

  25. Характеристические функции. Свойства

  26. Выборочный метод. Способы отбора.

  27. Полигон.Гистограмма. Эмпирическая функция распределения.

  28. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки

  29. Интервальные оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном и неизвестном hello_html_7691e7c8.gif

  30. Корреляция. Коэффициент корреляции. Уравнение регрессии.

  31. Проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотеза.

  32. Критерий Пирсона проверки статистических гипотез

  33. Характеристики вариационного ряда?

  34. Полигон частот и полигон относительных частот

  35. Какая функция называется эмпирической? Перечислите свойства.

  36. Статистические характеристики рядов распределения?

  37. Что называется модой, медианой ?

  38. Что характеризует коэффициент вариации и в чем он измеряется?

  39. Какая оценка называется точечной?

  40. Основные требования к оценкам.

  41. Что является статистической оценкой математического ожидания?

  42. Что является статистической оценкой дисперсии?

  43. Как определяется выборочное среднее квадратическое отклонение?

  44. Как определяется выборочная дисперсия, когда число опытов мало

  45. Какая выборка называется сгруппированной?

  46. Какой интервал называют доверительным?

  47. Для чего строится доверительный интервал?

  48. Что называется надежностью или доверительной вероятностью?

  49. Как строится доверительный интервал для математического ожидания,

  50. дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины при нормальном законе распределения?

  51. Что означает величина в формуле доверительного интервала для математического ожидания и как она строится ?

  52. В чем заключается процесс проверки статистической гипотезы?

  53. Что называется ошибкой первого рода?

  54. Что называется ошибкой второго рода?

  55. Что такое критическая область?

  56. В чем суть критерия Пирсона?

  57. Какое распределение называется нормальным?

  58. Что называется эмпирическим (статистическим) распределением случайной величины?

  59. Каковы основные виды статистических распределений?

  60. Какие основные задачи решает корреляционный метод?

  61. Какая зависимость называется статистической?

  62. Что называется корреляцией? Что характеризует коэффициент корреляции?

  63. Перечислите свойства коэффициента корреляции.

  64. Как определяется выборочный коэффициент корреляции?

  65. Для чего служит корреляционное отношение? Перечислите свойства.

  66. Что называется уравнением регрессии? Что показывает кривая регрессии?













ЛИТЕРАТУРА:


  1. Севастьянов Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.Наука, 1982

  2. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» М.: 1975.

  3. Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей» М.: 1969.

  4. Карасев А.И. «Теория вероятностей и математическая статистика» М.: 1977.

  5. Булдык Г.М. «Теория вероятностей и математическая статистика» Минск., 1977.

  6. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986

  7. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов, - М.: Наука, 1977

  8. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика, -М.: 1999г

  9. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика .-М.: Высшая школа, 1977

  10. Кремер Н.Ш. Математическая статистика. - М.: Экономическое образование

  11. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М. Наука, 1975

  12. Иванова В.М., Калинина В.Н. и др. Математическая статистика.- М.: Высшая школа, 1981

  13. Калинина В.Н., Панкин В.Н. Математическая статистика -М.: Высшая школа, 1998

  14. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Инфра- М, 1997

  15. Вентцель Е.С. «Теория вероятностей» М.: 1962.

  16. Крамер Г. «Математические методы статистики» М.: 1975.

  17. Карасев А.И., Аксютина З.М. Курс высшей математики для экономических вузов.- М: Высшая школа, 1982,ч.2

  18. Ермолов Л.С. и др. Основы надежности сельскохозяйственной техники- М.: Колос, 1982.

  19. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения- М.: Наука, 1988

  20. Венецкий Н.Г, Кильдишев Г.С. Основы теории вероятностей и математической статистики .-М., Статистика, 1968.

  21. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики .-М., Высшая школа,1971.

  22. А.С.Солодовников. Теория вероятностей. М., Просвещение, 1983.

  23. Рыщанова С.М. Случайные величины. 2000г.

  24. Севастьянов Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.Наука, 1982

  25. Норден А.П. Теория вероятностей.М., 1956

  26. Елисеева И.И. и др. Теория статистики с основами теории вероятностей. – Юнити. М. 2001.

  27. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Юнити. М. 2000.

  28. Рябушко А.П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Минск, Вышэйшая школа, 1990.

  29. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.-М., Мир, 1984

  30. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.-М., Наука. 1979

  31. Коваленко И.И., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая

статистика.- М., Высшая школа, 1982.






Краткое описание документа:

Теория вероятностей применяется в различных отраслях техники и естествознания: в информатике,  теории надежности, теории массового обслуживания, теоретической физике и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей имеет широкое применение на практике. Многие случайные величины, такие как ошибки при измерениях, величины износа деталей некоторых механизмов, отклонения размеров от номинальных  подчиняются нормальному распределению. В теории надежности нормальное распределение применяется при оценке надежности элементов, подверженных действию старения и изнашивания, а также разрегулировки, т.е. при оценке постепенных отказов. 

Общая информация

Номер материала: 123101060749

Похожие материалы