Министерство образования и науки Ставропольского края

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Курсавский региональный колледж «Интеграл»

Методическая разработка

урока обобщения и систематизации знаний

«Задачи, изменившие математику»

по дисциплине «Математика»

Курсавка

2014 год.

Автор: преподаватель общеобразовательных дисциплин Толоконников А.В.

Рассмотрена и рекомендована к использованию в учебном процессе на заседании Методического Совета КРК «Интеграл»

Протокол  №        от  «    »        2014    г.

Председатель методсовета ____________

357070 Россия

Ставропольский край

Андроповский район

с. Курсавка, ул. Титова , 15

ГОУ СПО Курсавский

Региональный колледж «Интеграл»

Тел. 5-15-81, 5-15-92

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 Математические методы проникают во все области знаний, находят практическое применение в практической деятельности человека. Более того, наибольшего рассвета достигают те научные области, которым удается использовать накопленные математические знания и методы.

На данном уроке делается попытка показать примеры возникновения новых разделов математики в результате решения задач, вначале не относящихся к математике и даже не имеющих практической ценности на тот момент.

На представленном уроке рассматривается история появление теории вероятностей, теории графов и топологии. Эти разделы появились сравнительно недавно, хорошо известны задачи их породившие и известны математики - родоначальники этих теорий.

Урок подготовлен для группы студентов специальности – «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем». Учебный план специальности предусматривает изучение различных математических разделов, в том числе и тех, что названы  выше. Более того студенты часто применяют эти методы через пакеты прикладных программ, даже не осознавая как происходят преобразования, например графические эффекты, основанные на топологии или перемещение информации в компьютерных сетях с применением теории графов.

Урок  направлен на обобщение и систематизацию знаний, стимулирование интереса к математике. Ко всем этапам урока подготовлены материалы для интерактивной доски, презентации студентов.  

Методика

организации и проведения занятия.

Данный урок обобщения и систематизации знаний по математике  проводится в кабинете математики с использованием компьютерных технологий в форме устного журнала.

Продолжительность занятия 40 минут. Метод проведения урока - беседа в сочетании с иллюстративно-презентационным методом.

Урок проводится в группе первого курса, специальность – Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем.

Устный журнал состоит из трех страниц: «Теория вероятностей», «Теория графов» и «Топология». Каждая страница открывается преподавателем с кратким сообщением, далее следует сообщение студентов. Для иллюстрации подготовлены слайды ко всем этапам урока с помощью приложения Microsoft Office PowerPoint и Notebook интерактивной доски.

Применение и смена различных методов (Наглядные: метод иллюстраций и демонстраций; словесные) позволили каждые 5-10 минут проводить  смену учебной деятельности.

В конце урока подводятся итоги урока.

План- конспект урока

Тема урока: «Задачи, изменившие математику»

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА:

Образовательные - Формировать умение чётко и ясно излагать свои мысли. Активизировать познавательных способностей, стремления к самообразованию на базе информационных технологий.

Развивающие - Способствовать развитию интеллектуальных качеств, таких, как наблюдательность, умение анализировать и обобщать. Развивать внимание, память, мышление.

Воспитательные - Воспитывать от­ветственное отношение к учебному труду, аккуратность, внимательность.

Дидактические - Способствовать воспроизведению студентами системы основных знаний и умений по данной теме. Способствовать сознательному и прочному усвоению материала на основе вовлечения студентов в творческую работу при подготовке к уроку.

ОБЕСПЕЧЕНИЕ  УРОКА: 

- компьютер

- проектор;

- интерактивная доска;

- презентационный материал;

- страницы для интерактивной доски

- рефераты по истории появления теории вероятностей, теории графов и топологии .

ТИП УРОКА: Урок обобщения и систематизации знаний.

ХОД УРОКА:

Вводная часть

a.       Организационный момент. (1 мин)

Содержание этапа:

а) Приветствие.

б) Определение отсутствующих.

в) Проверка готовности студентов к уроку.(Наличие тетрадей, письменных и чертежных принадлежностей)

г) Организация внимания.

b.     Целеполагание и мотивация.  (3мин)

Содержание этапа:

а) Постановка цели перед студентами.

б) Знакомство студентов с планом урока, актуализация мотивов учебной деятельности.

в) Формирование установок на восприятие и осмысление учебной информации. (Место и роль данной темы в курсе математики, важность рассматриваемых разделов математики при изучении других предметов)

 Человек часто ставит перед собой какие-то задачи и пытается их решить. Именно таким путем идет развитие любой науки, в частности математики. Сегодня вы увидите как задачи, вообще-то  не связанные с математикой, привели к созданию новых разделов математики. И более того, люди их решавшие, не осознавали роли сделанных открытий на тот момент. Многое из того что будет рассмотрено сегодня нашло применение в компьютерных, коммуникационных технологиях, транспорте, строительстве и т. д. Урок пройдет в форме устного журнала, на котором рассмотрим историю развития некоторых разделов математики

Основная часть.(33 мин)

Страница 1

Вступительное слово преподавателя: Первая страница посвящена истории теории вероятности. Мы часто используем слово вероятно в смысле появления некоторого случайного события: вероятность осадков, вероятность знания ответа на выбранный билет, вероятность выигрыша в лотерею, вероятность рождения мальчика или девочки и т д. Кстати по многолетним наблюдениям на каждую 1000 родившихся детей 514 мальчиков. Первые предпосылки к изучению вероятности событий были сделаны еще до нашей эры, но становление теории вероятности началось в 17 веке с азартных игр, в частности игры в кости. О задачах породивших теорию вероятностей сделает сообщение студент 

Сообщение студента:

ИСТОРИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В 1653 году со своими знатными друзьями — герцогом Роаннским, кавалером де Мезе и Дамьеном Митоном — Паскаль ездил в Пуату. Во время этого путешествия де Мере задал Паскалю два вопроса об азартных играх, о которых в 1654 году Паскаль переписывался с Ферма. В ходе этой переписки и зародилась теория вероятностей. Письма посвящены двум вопросам, заданным кавалером де Мере. Первый вопрос состоит в следующем: сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы вероятность хотя бы однажды выбросить две шестерки была больше половины? Эту задачу решил сам де Мере.

Второй вопрос потруднее, и ответить на него де Мере не смог. Вопрос заключается в следующем. Два игрока играют в азартную игру; в каждой партии шансы на выигрыш у них одинаковы; в начале игры ставки одинаковы; ставку выигрывает тот, кто первым наберет N выигранных партий. Как следует разделить ставку, если по какой-то причине игра прервана в тот момент, когда один игрок выиграл A партий, а другой B партий?

 Теория вероятностей — сравнительно молодая ветвь математики. Ее развитие как самостоятельной науки началось с переписки Паскаля и Ферма в 1654 году, хотя значительно раньше этих ученых многие математики занимались задачами, относящимися к азартным играм.

Азартные игры появились на заре человечества. Так, в археологических раскопках, начиная с V тысячелетия до нашей эры, можно обнаружить астрагалы – специально обработанные кости животных с нанесенными на них точками. Для кого-то кости становились источником богатства, для кого-то – источником нищенства и позора.

Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берет
И мечет их один в унылой злости...

«Божественная Комедия» Данте

Мысль о том, что законы природы проявляются через множество случайных событий, впервые возникла у древнегреческих материалистов.

В 1658 году появилась книга Христиана Гюйгенса (1629 — 1695) «О расчетах в азартных играх» («De ratiociniis in ludo aleae»), в которой давалось подробное изложение вопросов, рассмотренных Ферма и Паскалем (автор явно опирался на переписку этих двух ученых), но, кроме того, им было выдвинуто и много аналогичных вопросов. С работой Гюйгенса непосредственно связана основная работа Якоба Бернулли (1654 — 1705) «Искусство догадок» («Ars conjectandi»), которая была опубликована лишь после его смерти в 1713 году. В первой части своего труда Бернулли воспроизводит и комментирует книгу Гюйгенса, приводит полные решения тех вопросов, которые Гюйгенс поставил, но не решил. Однако важнейшей частью книги является четвертая, в которой изложен закон больших чисел. Произведение Монморта (1678 — 1719) «Опыт анализа азартных игр», написанное несколько позже, чем «Искусство догадок» Бернулли, появилось раньше (в 1708 году). Оно также опирается на книгу Гюйгенса и тем самым косвенно связано с перепиской Паскаля и Ферма. То же можно сказать и относительно важнейшей работы Абрахама де Муавра (1667 — 1754) «Об измерении случайности, или о вероятностях результатов в азартных играх» («De Мепзига mortis seu de Probabilitate Eventuum in Ludis а Casu Fortuito Pendentibus»), которая была опубликована в журнале Philosophical Transactions в 1711 году.

Наряду с задачами азартных игр уже в самом начале возникновения теории вероятностей появились задачи, связанные с составлением таблиц смертности и вопросами страхования. В Лондоне уже с 1592 года велись точные записи о смертности. На основе этих записей Джон Граунт (1620 — 1674) в 1662 году впервые составил таблицы вероятности смерти как функции возраста. Несколькими годами позднее Ван Худде и Ван де Витт в Голландии, проделав аналогичные расчеты, использовали их для вычисления пожизненной ренты. Подробнее эти вопросы в 1693 году были изложены Галлеем. Не доказано, но вполне естественно предположить, что уже Паскаль обратил внимание на связь теории вероятностей с закономерностями смертности и страхованием.

В истории развития теории вероятностей можно выделить следующие этапы.

1. Предыстория теории вероятностей. В этот период, начало которого теряется в глубине веков, ставились и примитивно решались задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов решения в этот период не было. Этот период закончился в XVI веке появление работ Кардано, Пачоли, Тарталья.

2. Возникновение теории вероятностей как науки. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, устанавливаются первые теоремы. Начало этого периода связано с именами Паскаля, Ферма, Гюйгенса. В этот период теория вероятностей находят свои первые применения в демографии, страховом деле, оценке ошибок наблюдения.

3. Следующий этап начинается с появления работы Я. Бернулли «Искусство предположения» (1713 год). Здесь была доказана теорема Бернулли, которая дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. К этому периоду относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона, теория вероятностей начинает применяться в различных областях естествознания.

4. Следующий этап развития теории вероятностей связан, прежде всего, с русской (Петербургской) школой. Здесь можно назвать имена Чебышева, Маркова, Ляпунова. В это время теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания, в первую очередь – в физике.

5. Современный этап развития теории вероятностей. Для успешного применения теории вероятностей к физике, биологии и другим наукам, а также к технике и военному делу необходимо было уточнить и привести в стройную систему основные понятия теории вероятностей. Поэтому этот период начался с установления аксиом науки. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы XX века, когда была опубликована и получила всеобщее признание аксиоматика Андрея Николаевича Колмогорова.

Статистический подход используется для расшифровки надписей на языке древних народов. Искусство шифрования и дешифровки применяемых при передачи данных по компьютерным сетям основано на использовании статистических закономерностей языка. Другие направления связаны с изучением повторяемости слов и букв, распределения ударений в словах, вычислением информативности языка конкретных писателей и поэтом. Статистические методы используются для установления авторства и изобличения литературных подделок. Например, авторство М.А. Шолохова по роману «Тихий Дон» было установлено с привлечением вероятностно-статистических методов. Выявление частоты появления звуков языка в устной и письменной речи позволяет ставить вопрос об оптимальном кодировании букв данного языка для передачи информации. Расположение букв на  клавиатуре компьютера, определяется статистическим изучением частоты сочетаний букв в данном языке .

Страница 2. История теории графов.

Вступительное слово преподавателя: Вторая страница посвящена истории  теории графов, появление которой связано с задачей о Кёнигсбергских мостах. Никакого практического смысла на тот момент решение этой задачи не имело, о чем писал Леонард Эйлер в своем письме инженеру Мариони. Только в 20 веке нашлось применение этой теории в транспорте, коммуникационных технологиях, информатике и программировании, экономике, логистике.  В химии (для описания структур, путей сложных реакций, может быть интерпретировано как задача теории графов); компьютерная химия — сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов. Теория графов представляет собой математическую основу хемоинформатики. Теория графов позволяет точно определить число теоретически возможных изомеров у углеводородов и других органических соединений.

В схемотехнике (топология межсоединений элементов на печатной плате или микросхеме представляет собой граф или гиперграф).

Сообщение студента:

Возникший в XIII веке город Кёнигсберг (ныне Калининград) состоял из трёх формально независимых городских поселений и ещё нескольких «слобод» и «посёлков». Расположены они были на островах и берегах реки Прегель (ныне Преголя), делящей город на четыре главные части. Для связи между городскими частями уже в XIV веке стали строить мосты. В связи с постоянной военной опасностью со стороны соседних Польши и Литвы, а также по причине междоусобиц между Кёнигсбергскими городами (в 1454—1455 году между городами даже произошла война, вызванная тем, что Кнайпхоф перешёл на сторону Польши, а Альтштадт и Лёбенихт остались верны Тевтонскому ордену). В Средние века кёнигсбергские мосты имели оборонные качества. Перед каждым из мостов была построена оборонительная башня с закрывающимися подъёмными или двустворчатыми воротами из дуба и с железной кованой обивкой. Да и сами мосты приобретали характер оборонительных сооружений. Опоры некоторых мостов имели пятиугольную форму, типичную для бастионов. Внутри этих опор располагались казематы. Из опор можно было вести огонь через амбразуры.

Задача о мостах

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).

На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (рёбра графа), а частям города - точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:

§     Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.

§     Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.

§     Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Граф кёнигсбергских мостов

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Созданная Эйлером теория графов нашла очень широкое применение: например, её используют при изучении транспортных и коммуникационных систем, в частности, для маршрутизации данных в Интернете.

На карте старого Кёнигсберга был ещё один мост, появившийся чуть позже, и соединявший остров Ломзе с южной стороной. Своему появлению этот мост обязан самой задаче Эйлера-Канта. А произошло это вот как. Кайзер (император) Вильгельм славился своей прямотой, простотой мышления и солдатской «недалёкостью». Однажды, находясь на светском рауте, он чуть не стал жертвой шутки, которую с ним решили сыграть учёные умы, присутствующие на приёме. Они показали кайзеру карту Кёнигсберга, и попросили попробовать решить эту знаменитую задачу, которая по определению была нерешаемой. Ко всеобщему удивлению, кайзер попросил перо и лист бумаги, сказав, что решит задачу за полторы минуты. Ошеломлённый немецкий истеблишмент не мог поверить своим ушам, но бумагу и чернила быстро нашли. Кайзер положил листок на стол, взял перо, и написал: «приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Так в Кёнигсберге и появился новый мост, который так и назвали — мост кайзера. А задачу с восемью мостами теперь мог решить даже ребёнок.

Страница 3. История топологии.

Вступительное слово преподавателя: Эта страница посвящена топологии. Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение). Открытие связано с наблюдательностью и неординарным мышлением. Самое поразительное, что свойства ленты заметили практически одновременно два немецких математика. Когда топология еще только зарождалась (конец XIX века), ее называли геометрия размещения или анализ размещения. Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике. В музее Бостона представлена модель ленты Мебиуса с демонстрацией ее особенностей.

Основополагающие работы принадлежат Хаусдорфу, Пуанкаре, Александрову, Урысону, Брауэру.

Сообщение студента:

Август Фердинанд Мёбиус- это немецкий геометр и астроном, профессор университета города Лейпциг. Родился в Шульпфорте 17.11.1790. Он учился в Лепццигском университете (1809 – 1813), а учил его великий математик - К. Гаусса, в Геттигенском университете (1813-1814). Некоторое время Август Фердинанд изучал астрономию. В 1816 года стал профессором Лейпцигского университета, в дальнейшем вел астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории.

Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию, систему координат и аналитические методы исследования, получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования; исследовал коррелятивные преобразования и в 1858 году,  уже не молодой профессор (68 лет) сделал удивительное открытие. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса. А подтолкнуло его к этому открытию то ли созерцание лихо завязанного шарфика его домоправительницы, то ли неправильно сшитая служанкой ленточка.

Свою работу (открытие) Мебиус послал в Парижскую академию наук, в которую входили сведения о листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Но не все так красиво как кажется на первый взгляд! Мёбиус оказался не единственным ученым, который сделал это открытие. Одновременно с Августом Фердинандом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус,— в 1862 году.

Но называется лента все-таки именем Мёбиуса.

Что же могло так привлечь этих двух немецких профессоров? Все просто, их привлекло необычное обстоятельство! У листа Мёбиуса – всего одна сторона. Как? - вы спросите. У любой поверхности две стороны ( крышка парты, поверхность доски, лист альбома для рисования), а у ленты Мёбиуса всего одна сторона!

Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: Мы взяли ленту Мёбиуса и стали закрашивать ее с одной стороны, не переворачивая ленту. И что же у нас получилось! Лента стала полностью закрашенной. Можно приводить бесконечно много примеров, с помощью которых доказывается односторонность поверхности.

Свойство геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, изучает математическая наука топология. Топология обеспечивает возможность получить ответы на вопросы, касающиеся смежности, связности, близости и совпадения. Название этой науке дал Иоганн Листинг.

Математики прошлого, изучавшие свойства деформированных тел, внешние и внутренние области геометрических фигур не предполагали, что в современном мире на стыке наук появятся, и будут изучаться такие явления как топологическая анатомия – послойное изучение расположения органов и частей тела; топологическая психология – теория психологического поля, описание статистических и динамических особенностей психики;

Многие компьютерные технологии созданы на основе топологии линий, поверхностей (Топология компьютерных сетей, топология микросхем, графические эффекты и др.)

Географическая информационная система (ГИС) – это современная компьютерная технология для картирования и анализа объектов. 

Топология правит деформацией, а деформация есть старинный прием искусства. Олень в наскальной галерее деформирован бегом, детский рисунок деформирован видением времени, фигуры Микеланджело – напором энергии, фигуры Сальвадора Дали – спроектированным хаосом.

Заключительное слово преподавателя (3мин).

Как вы уже поняли во многие графических редакторах применяются топологические преобразования. Графические эффекты применяют в компьютерных играх, фильмах и т.д. Иначе до сих пор играли бы в тетрис и Джеймс Кэмерон не смог бы создать фильм «Аватар».

На уроке мы рассмотрели всего три раздела математики, сравнительно молодых, история которых хорошо известна. Открытие делали и делают люди наблюдательные, увлеченные наукой, неординарно мыслящие и свои идеи воплощавшие в теории. Впоследствии эти теории нашли широкое применение на практике. В вашей выбранной специальности  нашли применение многие математические теории при создании программ, технологий, конструировании компьютеров и т.д.

Литература и интернет – источники

1.     Познакомьтесь с топологией (на подступах к топологии). Книга для внеклассного чтения. VIII--X классы.  Авторы: Саркисян А. А. и Колягин Ю. М.  М.: Просвещение, 1976.  

2.     Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика (4-е изд.). М.: Высшая школа, 2002

3.     Мельников О.И.Занимательные задачи по теории графов.
Издательство: ТетраСистемс, 2001

4.     Новиков С.П. Топология. 2-е изд. испр. доп. 2002 год. 167 стр.

5.     Бухштабер В.М., Панов Т.Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. 2004 год. 272 стр

6.     Незнайка в стране графов. Пособие для учащихся.   Автор: Мельников Олег Исидорович   Издательство: КомКнига   Год издания: 2007  

7.     ru.wikipedia.org

8.     slovari.yandex.ru

9.     iuris-civilis.ru

10. images.yandex.ru

11. peoples.ru › science/

12. dic.academic.ru

13. exponenta.ru