Достижения древних математиков в развитии интегрального исчисления

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т.е. вычисления площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисления объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408-ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. С этой модификацией мы  знакомы: вывод формулы площади круга, предложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда. Напомним основные этапы, характеризующие метод Архимеда:

1.                      доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади вписанного;

2.                      доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю;

3.                      для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится площадь правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа π   ) , нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра)

ИСТОРИЯ  ПРОИСХОЖДЕНИЯ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же ,  в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как “начальный”: F(x) - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием, т. е. F'(x) = f(x)

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

Министерство образования и науки Ставропольского края

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Курсавский региональный колледж «Интеграл»

Методическая разработка

урока обобщения и систематизации знаний

«Применение первообразной для вычисления площади криволинейной трапеции»

по дисциплине «Математика»

Курсавка

Автор: Толоконников А. В.

Рассмотрена и рекомендована к использованию в учебном процессе на заседании Методического Совета КРК «Интеграл»

Протокол  №    

357070 Россия

Ставропольский край

Андроповский район

с. Курсавка , ул. Титова , 15

ГОУ СПО Курсавский

Региональный колледж «Интеграл»

Тел. 5-15-81, 5-15-92

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Для нашего времени характерна интеграция наук, стремление получить как можно более точное представление об общей картине мира. Эти идеи находят  отражение в концепции современного образования. Поэтому в теории и практике обучения наблюдается тенденция к интеграции учебных дисциплин, которая позволяет студентам  достигать межпредметных обобщений и приближаться к пониманию общей картине мира.

Первообразная и ее геометрическая интерпретация широко используется в геометрии, физике, химии, специальных дисциплинах. Поэтому так важно осмысленное понимание процесса нахождения площади криволинейной трапеции

Данный урок  направлен на обобщение и систематизацию знаний по теме «Применение первообразной», выработку навыка нахождения площади с применением формулы Ньютона- Лейбница.

Ко всем этапам урока подготовлены материалы для интерактивной доски, презентации студентов по истории формирования интегрального исчисления и истории происхождения терминов по данной теме.

При решении упражнений используются коллекции графиков, системы координат и все возможности интерактивной доски для ускорения построения чертежей, улучшения наглядности и эстетики.

Методика

организации и проведения занятия.

Данный урок обобщения и систематизации знаний по математике  проводится в кабинете математики с использованием компьютерных технологий. Этот тип урока выполняет следующие функции;

·         воспроизведение и коррекция опорных знаний;

·         повторение и анализ основных фактов, событий, явлений;

·        обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий;

·        усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний;

·        подведение итогов урока.

На уроке проводится повторение понятия первообразной, правил вычисления первообразной, основных свойств, правил вычисления площади криволинейной трапеции. Продолжительность занятия 80 минут. Метод проведения урока - беседа в сочетании с иллюстративно-презентационным методом.

Урок проводится в группе второго курса, специальность – Технология продукции общественного питания

Для иллюстрации подготовлены слайды ко всем этапам урока с помощью приложения Microsoft Office PowerPoint и Notebook интерактивной доски.

Применение и смена различных методов (Наглядные: метод иллюстраций и демонстраций; словесные; практические: упражнения, тренировки, графические тренировки; устные; письменные) позволили каждые 5-10 минут проводить  смена учебной деятельности.

В конце урока подводятся итоги урока.

План урока № 39-40

Тема урока: «Применение первообразной для вычисления площади криволинейной трапеции»

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА:

Образовательные - Закрепить знания и  умения студентов по нахождению первообразной, построению графиков функций, применению формулы Ньютона-Лейбница.

Развивающие - Способствовать развитию интеллектуальных качеств, таких, как наблюдательность, умение анализировать и обобщать. Формировать навыки коллектив­ной и самостоятельной работы, умение чётко и ясно излагать свои мысли. Активизация познавательных способностей, стремления к самообразованию на базе информационных технологий. Развитие внимания, памяти, мышления.

Воспитательные - Воспитывать от­ветственное отношение к учебному труду, аккуратность, внимательность.

Дидактические - Способствовать воспроизведению студентами системы основных знаний и умений по данной теме. Способствовать сознательному и прочному усвоению материала на основе вовлечения студентов в творческую работу при подготовке к уроку.

ОБЕСПЕЧЕНИЕ  УРОКА: 

- компьютер

- проектор;

- интерактивная доска;

- презентационный материал;

- страницы для интерактивной доски

- рефераты по истории интегрального исчисления.

ТИП УРОКА: Урок обобщения и систематизации знаний.

ХОД УРОКА:

1.Организационный момент. (2 мин)

Содержание этапа:

а) Приветствие.

б) Определение отсутствующих.

в) Проверка готовности студентов к уроку.(Наличие тетрадей, письменных и чертежных принадлежностей)

г) Организация внимания.

2. Целеполагание и мотивация.  (3мин)

Содержание этапа:

а) Постановка цели перед студентами.

б) Знакомство студентов с планом урока, актуализация мотивов учебной деятельности.

в) Формирование установок на восприятие и осмысление учебной информации. (Место и роль данной темы в курсе математики, важность интегрального исчисления для изучения физики, химии других предметов)

3. Актуализация ранее усвоенных знаний и проверка сформированности умений. (35 мин)

Содержание этапа:

1) Устное повторение теоретического материала (фронтально):

- Дайте определение первообразной.

- Как называется процесс нахождения первообразной?

- Как читается основное свойство первообразной?

- Назовите правила нахождения первообразной

- Что называется криволинейной трапецией?

- Как выглядит формула Ньютона – Лейбница?

2) На экране спроецирована таблица для устного счёта. Для функций, указанных в таблице, назвать хотя бы одну первообразную.

3) На слайде для каждой функции f(x) записана первообразная F(x), но в записи первообразной есть ошибка. Найдите ошибку и прокомментируйте.

f(x)=х², F(x)=х ³+C

Ответ: не хватает перед первообразной множителя 1/3.

f(x)=cos(11+3x), F(x)= 1/11sin(11+3x)+C

Ответ: перед первообразной должен быть множитель1/3, а не 1/11так, как коэффициент к=3.

Как доказать, что F(х) =3х⁴– первообразная для функции f(х)= 12х³ на промежутке хR.

4) на слайдах представлены криволинейные фигуры, Какие из них являются криволинейными трапециями, Почему?

Как найти площадь криволинейной фигуры?

5) Выступление студентов, которые готовили сообщения по истории интегрального исчисления.

4.  Решение тренировочных упражнений.(35)

1. Для функции f(х)= 6х⁵ -2х найти первообразную, график которой проходит через заданную точку  А(1; 2)

2. Найти множество всех первообразных для функций:

  f(х) = 4 +

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у =3-2Х-Х² , Х=-3, Х=0, У=0

4. (Дополнительно) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² и  у = 2х- х²

5. Рефлексивно – оценочная часть.(4 мин)

Подводится итог урока. Цель нашего урока была обобщить знания по теме «Первообразная». Давайте посмотрим как мы работали.

Поднимите руку, если вы:

- знаете таблицу первообразных;

- умеете пользоваться таблицей для нахождения первообразной сложной функции;

- знаете как находить площадь криволинейной трапеции;

Те, кто поднял руку на все вопросы, готовы к выполнению контрольной работы. Остальным надо подготовиться лучше. Выставляются оценки за работу на уроке.

6. Домашнее задание. (1 мин)

Повторение теоретического материала п 26-29

Решить упражнения № 1(в), 3(г), 4(в) (подсказка преподавателя по выполнению задания)  стр. 205, 206

Список используемой литературы:

1.     Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10-11 кл. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. Колмогорова.- М.: Просвещение, 2002 г.

2.     В. К. Егерев и др. Методика построения графиков функций. Учеб. пособие. -М.: «Высшая школа», 1970.

3.     Графики функций. Учеб. пособие./ А. М. Дороднов, И. Н. Острецов и др. - М.: «Высшая школа», 1972 г.

Интернет - ресурс

1.1.  Площадь криволинейной трапеции

 www.terver.ru/plowadkrivoltrap.php

2.    Площадь криволинейной трапеции

schools.keldysh.ru/…/Web_matem/txt14.htm

3.    Площадь криволинейной трапеции

www.uztest.ru/abstracts/?id=44&t=4

4.    school-collection.edu.ru/…/113019

5.   Интегральное исчисление — Википедия

ru.wikipedia.org/wiki/

6.    Интегральное исчисление - Яндекс.Словари

slovari.yandex.ru/…/article/00029/80800.htm

Сообщения  студентов

Приложение 1

Достижения древних математиков в развитии интегрального исчисления

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т.е. вычисления площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисления объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408-ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. С этой модификацией мы  знакомы: вывод формулы площади круга, предложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда. Напомним основные этапы, характеризующие метод Архимеда:

1.                      доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади вписанного;

2.                      доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю;

3.                      для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится площадь правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа π   ) , нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра)

Приложение 2

Становление интегрального исчисления

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

В дальнейшем эту идею применили при переходе от конечного разбиения отрезка интегрирования к бесконечному при стремлении Δх к нулю.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =x ⁿ , где n - целое (т. е. вывел формулу ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано. В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.), А. Я. Хинчин  (1894 -1959 гг.)

Приложение 3.

ИСТОРИЯ  ПРОИСХОЖДЕНИЯ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же ,  в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как “начальный”: F(x) - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием, т. е. F'(x) = f(x)

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

Становление интегрального исчисления

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

В дальнейшем эту идею применили при переходе от конечного разбиения отрезка интегрирования к бесконечному при стремлении Δх к нулю.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =x ⁿ , где n - целое (т. е. вывел формулу ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано. В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.), А. Я. Хинчин  (1894 -1959 гг.)