Выбранный для просмотра документ семинар С6@SEP@с6презент.ppt
Скачать материал "Конспект + презентация по математике «Задачи на делимость»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
1 слайд
Задачи на делимость натуральных чисел
(по материалам ЕГЭ)
Кретова Д.Н. МОУ «Лицей №47» г.Саратов
2 слайд
Задача 1.
Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).
3 слайд
Для решения используем формулу нахождения числа (количества) делителей какого-либо числа :
где y - количество делителей
- показатель степени в разложении на простые
множители-
4 слайд
1) Разложим число 42 на простые множители:
42 = 2 · 3 · 7
2) Пусть А - некоторое число. Раз 42 – делитель числа А, то число А делится на 2, 3 и 7, значит разложение числа А на множители можно записать в виде:
где Q - некоторое число
3) Применим формулу нахождения количества делителей какого-либо числа:
где у = 42
Получим:
5 слайд
4) Заменим 42 на его разложение на простые множители:
5) Т.к. 42 раскладывается на 3 простых множителя, значит k = 3
5) Т.к. левая и правая части состоят из произведения одинакового числа простых множителей, тогда сами множители равны с точностью до порядка.
6 слайд
6) Найдем показатели степеней в разложении
числа A:
7 слайд
7) Решив системы, получим, что
8 слайд
Задача 2.
Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
9 слайд
Решение
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, делится на 11.
10 слайд
1) Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5.
9+7+3+1=25 , 8+6+4+2+0=20 , 25-20=5
2) Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 1, или 3 и 6, получаем требуемые примеры.
Ответ: Да.
11 слайд
Задача 3.
Натуральные числа удовлетворяют условию ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?
12 слайд
Решение.
Выразим переменную а через остальные
переменные из равенства : .
Подставим этот результат в выражение
13 слайд
Заметим, что последняя дробь является целым числом (т.к. исходно мы преобразовали целое число a+b+c+d). Следовательно, числитель должен нацело делиться на знаменатель, или, иначе говоря, данную дробь можно сократить так, чтобы в знаменателе осталась единица. При сокращении этой дроби, часть делителей числа b (имеются в виду делители, присутствующие в каноническом представлении числа b) сократится с первой скобкой, оставшаяся часть – со второй. Предположим, что после сокращения от первой скобки осталось натуральное число m от второй натуральное число n.
14 слайд
В этом случае можно утверждать, что
( , аналогично – c n).
Следовательно, число a+b+c+d=mn, где m,n>1.
Значит, это число не простое.
Ответ: это число не может быть простым.
15 слайд
Задача 4.
Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.
16 слайд
Решение.
1. Пусть a и b натуральные числа, тогда по свойству НОК(a,b)∙НОД(а,b)=а∙b имеем 13∙78=a∙b.
2. Разложим левую часть равенства на простые множители 13∙13∙2∙3=а∙b
3. Подбором находим искомые пары чисел a=13∙3=39 b=13∙2=26 или a=13∙3∙2=78 b=13
Ответ: 39 и 26, 78 и 13.
17 слайд
Задача 5.
Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).
18 слайд
Решение
1. Пусть p натуральное число, удовлетворяющие условию задачи. Если натуральное число p имеет 15 различных делителей и кол-во делителей определяется по формуле p=(m+1)(n+1), где m, n кратности простых делителей.
19 слайд
2. По условию задачи должны быть по меньшей мере 2 простых делителя – 2 и 5.
3. 15=(m+1)(n+1); m=2, n=4 (единственное решение без привязки к конкретным множителям).
Существуют 2 числа и
Ответ: 2500; 400
20 слайд
Задача 6.
Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.
21 слайд
Решение
Пусть m и n натуральные числа и ,
тогда (m-n)(m+n)=5∙11 или (m-n)(m+n)=55∙1.
Рассмотрим системы:
1) 3)
2) 4)
2 из 4 систем не имеют решения в натуральных числах, следовательно m=8, n=3 и m=28, n=27.
Ответ: m=8, n=3 и m=28, n=27.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ семинар С6@SEP@теория С6.docx
Задачи на делимость ЕГЭ С 6.
1.Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число, отличное от единицы, может быть представлено в виде произведения простых сомножителей и притом единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей). Таким образом, если m- целое положительное число, а р1, р2,…,рк простые множители, то
m = р1 р2…рк. Если, среди чисел р1, р2,…,рк есть одинаковые, то
-такое представление называют
каноническим разложением натурального числа.
2. Теорема 2. Пусть n имеет каноническое разложение (1).
(1)
Тогда сумма натуральных делителей числа n равна
3.Число натуральных делителей числа можно найти по формуле n=(x+1)(y+1)(z+1) где x ,y, z-кратность делителей (показатель степени в разложении на простые множители).
4.Для любых натуральных а и b НОД(a,b)
НОК(а,b)=аb
Задачи. Задача 1. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).
Задача 2. Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
Задача 3. Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).
Задача 4. Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.
Задача 5. Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.
Задача 6.
Натуральные числа удовлетворяют условию a
b=cd . Может ли число a+b+c+d быть простым?
Литература. «Математика ЕГЭ 2010. Типовые тестовые задания.МИОО» под ред.А.Л.Семенова, И.В.Ященко.,М.,2010, изд. «Экзамен»
2.»ЕГЭ 2010.Математика Используемая литература1. «Математика.ЕГЭ 2010. Типовые тестовые. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданийЕГЭ.ФИПИ», общая редакция А.Л.Семенова.,И.В.Ященко, М., изд. «Астрель»
3.»Математика.ЕГЭ2010.Универсальные материалы для подготовки учащихся.ФИПИ» под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко,М.,2010 , изд. «Интелект-Центр»
4.Открытый банк заданий по математике www.mathege.ru
5. Математика ЕГЭ. Задачи на делимость. Вольфсон Г.И. 2010
6.сайт Шевкин.ru
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рассмотрено несколько задач на делимость по материалам ЕГЭ (С6).
Основная теорема арифметики, понятие НОК и НОД, теоремы о натуральных числах, прзнаки делимости, - все это позволяет решать данный класс задач.
Разобраны задачи разного уровня сложности. Некоторые задачи вполне доступны для обычного крепкого ученика, некоторые задачи олимпиадного уровня. Данная презентация позволяет ученику реально оценить свои силы при решении задач данного типа, а учителю поможет при работе с темой «Действительные числа» в классах с изучением математики на профильном уровне.
К презентации прилагается краткая теория для решения задач на делимость и сами задачи.
6 781 201 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кретова Дина Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Вы сможете бесплатно проходить любые из 4630 курсов в нашем каталоге.
Перейти в каталог курсов
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.