Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка занятия кружка по математике для 10 класса
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка занятия кружка по математике для 10 класса

библиотека
материалов



Разработка занятия кружка по математике для 10 класса



Тема: « Решение задач для нахождения наибольшего и наименьшего значения некоторых выражений»

Цель: совершенствовать навыки составления и решения уравнений по условию задачи.

Учебная задача: научить учащихся по одному или нескольким условиям задачи получить либо дополнительное уравнение, либо выделить единственное решение из многих возможных.

Развивающие задачи:

-развивать творческую сторону мышления, сообразительность и наблюдательность

- учить школьников самостоятельно осуществлять исследовательскую деятельность

Воспитательная задача: формировать навыки умственного труда - поиск рациональных путей решения.

План занятия:

  1. Информационный ввод.

Сообщить учащимся тему занятия, цель

  1. Актуализация ЗУН.

Повторение:

1) признаки возрастания и убывания функции;

2) критические точки и экстремумы функции

  1. Решение задач.

  2. Итог занятия.

Ход занятия:



  1. Информационный ввод

Сообщается тема занятия и цель

  1. Актуализация ЗУН

Устные упражнения:

  1. Укажите промежутки возрастания функции

А) f(x) = hello_html_m7fc6e1e1.gif – 2, б) f(x) = hello_html_m396ef534.gif в) f(x) = hello_html_5cf4a071.gif. г) f(x) = х3 + х2 + х



  1. Укажите промежутки убывания функции

А) f(x) = -2х2 + 5х -3, б) f(x) = hello_html_m24f51728.gif - х3 .

  1. При каком значении а функция f(x) = х2 - ах + 3 убывает на промежутке (-hello_html_m192b6b21.gif; 7], возрастает на промежутке [7; +hello_html_m7ea8694.gif ?

  2. Укажите наибольшее целое отрицательное число, принадлежащее промежутку возрастания функции f(x) = х + hello_html_6cdc35ad.gif

  3. Дана функция f(x) = х3 – (а2 – 4)х2. При каких значениях а точка х = 0 является точкой максимума этой функции?

  4. Точка х =-2 является точкой максимума функции f(x0) = - х3 – х2 – ах. Найдите значение а и определите в этом случае точку минимума этой функции.



  1. Решение задач

На первом этапе учащиеся делятся на 2 группы. Каждой группе предлагается разобрать условие задачи 1

Задача 1. Автомобиль выезжает из пункта А и едет с постоянной скоростью v км/ч до пункта В, отстоящего от пункта А на расстояние 24,5 км/ч . В пункте В автомобиль переходит на равнозамедленное движение, причем за каждый час его скорость уменьшается на 54 км/ч , и движется так до полной остановки. Затем автомобиль сразу же поворачивает обратно и возвращается в А с постоянной скоростью v км/ч. Какова должна быть скорость v, чтобы автомобиль за наименьшее время проехал путь от А до полной остановки и обратно до пункта А указанным выше способом?



И записать в виде выражения:

  • время, за которое автомобиль проезжает расстояние в 24,5 км

  • время в течении которого автомобиль двигался до полной остановки с ускорением 54 км/ч2

  • время, затраченное на обратный путь

  • полное время движения

Затем идет обсуждение выполненного задания, выбирается верное; и учащиеся приходят к заключению, что: «время движения автомобиля от пункта А до полной остановки и обратно является функцией одной переменной hello_html_m2fa2cb1c.gif - его скорости на первом участке». После этого оформляется в тетрадях учащихся решение задачи 1:



Решение:

Подсчитаем время, которое затрачивает автомобиль на весь путь от А до полной остановки и обратно:

  1. Расстояние 24,5 км автомобиль проезжает за время t1 = hello_html_5d5e4fcd.gif.

  2. Вслед за этим он двигался до полной остановки с ускорением 54 км/ч2 в течение времени t2 = hello_html_745e3648.gif , пройдя при этом расстояние, которое можно определить по формуле для равноускоренного движения: S = hello_html_m2fa2cb1c.gif ·t2 - hello_html_51611189.gif, S = hello_html_m4f30988b.gif - hello_html_53d51f75.gif = hello_html_3672633a.gif .

  3. Время t3? затраченное на обратный путь, равно t3 = hello_html_13353776.gif = hello_html_5d5e4fcd.gif + hello_html_m3197c2a9.gif.

Поэтому полное время движения автомобиля T = t1 + t2 +t3 = hello_html_5d5e4fcd.gif + hello_html_745e3648.gif + (hello_html_5d5e4fcd.gif + hello_html_m3197c2a9.gif) = hello_html_4e9f3eb1.gif + hello_html_1ec6ed38.gif

Таким образом, время движения автомобиля от пункта А до полной остановки и обратно является функцией одной переменной hello_html_m2fa2cb1c.gif - его скорости на первом участке: T = T(hello_html_m2fa2cb1c.gif) =hello_html_4e9f3eb1.gif + hello_html_1ec6ed38.gif



Определим, при каком значении hello_html_m2fa2cb1c.gif эта функция достигает своего минимума:



T'(hello_html_m2fa2cb1c.gif) = hello_html_435e96cc.gif - hello_html_5ef0232c.gif.

Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю ее производной hello_html_435e96cc.gif - hello_html_5ef0232c.gif = 0. Находим корни данного уравнения v = ± 42, но учитываем, что hello_html_m2fa2cb1c.gif > 0. Получается, что при hello_html_m2fa2cb1c.gif = 42 функция T(hello_html_m2fa2cb1c.gif) имеет минимум, поскольку T'(hello_html_m2fa2cb1c.gif) > 0 при hello_html_m2fa2cb1c.gif > 42 и T'(hello_html_m2fa2cb1c.gif)< 0 при hello_html_m2fa2cb1c.gif < 42.

Итак, при скорости 42 км/ч автомобиль, двигаясь указанным выше способом, затратит на весь путь минимально возможное время.



Ответ: 42 км/ч





На втором этапе каждая группа решает предложенную задачу (1 группа получает задачу 2, 2 группа получает задачу 3).



Решение задач записываются на доске и обсуждаются всем классом.



Задача 2. Три бригады должны выполнить работу. Первая бригада делает в день 200 деталей, вторая - на m деталей меньше, чем первая ( 0< m<200), а третья - на 5 m деталей больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполняют hello_html_3b7b3c70.gif всей работы, а затем все три бригады, работая вместе, выполняют оставшиеся hello_html_36b5a9e0.gif

Работы. На сколько деталей в день меньше должна делать вторая бригада, чем первая, чтобы вся работа была выполнена указанным способом как можно скорее?









Решение:

Из условия задачи понятно, что вторая бригада делает в день 200 – m деталей, а третья бригада - 200 + 5 m деталей. Обозначим общее количество деталей, которое нужно сделать через Q. Тогда время всей работы (T) слагается из двух частей:

t1 = hello_html_505b1eef.gif - время работы отдельно первой и второй бригад и t2 = hello_html_m2f0c4f67.gif - время совместной работы всех трех бригад. Итак, T = t1 + t2 = hello_html_505b1eef.gif + hello_html_m2f0c4f67.gif = hello_html_m4a73fed1.gif.

Таким образом, время всей работы T является функцией (t(m)) только одной переменной m.

Найдем, при каком значении m функция t(m) достигает минимума. Решим уравнение t'(m) = 0. t'(m) = hello_html_7bdf8077.gif = 0.

Откуда m = 125 и при m hello_html_6956de73.gift'(m) hello_html_m332f5c12.gifm hello_html_6956de73.gif t'(m) hello_html_m63c33baf.gif

Итак, при m = 125 функция t(m) действительно достигает минимума.

Значит, работа будет выполнена за наименьшее время, если вторая бригада будет делать на 125 деталей в день меньше, чем первая.

Ответ: на 125 деталей меньше.



Задача 3. Между двумя портами, удаленными друг от друга на расстояние 1200 км, с постоянной скоростью курсирует теплоход. Затраты на рейс в одном направлении слагаются из двух частей. Первая часть, связанная с обслуживанием пассажиров, пропорциональна времени нахождения теплохода в пути, а другая, обусловленная стоимостью топлива, пропорциональна кубу скорости движения. Найти скорость, с которой должен идти теплоход, чтобы затраты на рейс были минимальны, если известно, что при скорости 90 км/ч затраты равны 11,61 тыс. руб., причем стоимость обслуживания пассажиров составляет hello_html_m4daf1243.gif стоимости топлива.

Решение: Обозначим искомую скорость теплохода через hello_html_55a6974b.gif а затраты на рейс через Q. Выразим время движения теплохода в одном направлении : t = hello_html_m1e6f6d75.gif (ч)

Из условия задачи имеем : Q = k1t + k2hello_html_m2c3b113e.gif = k1 ·hello_html_m1e6f6d75.gif + k2hello_html_m2c3b113e.gif , где k1 и k2 - коэффициенты пропорциональности. Получается, что Q –является функцией только одной переменной hello_html_m3b771b5f.gif

Для определения k1 и k2 используем остальные условия задачи, согласно которым Q(90) = k1 ·hello_html_m1f9f3dda.gif + k2· hello_html_m7d3bb7de.gif = 11610 и k1 ·hello_html_m1f9f3dda.gif = hello_html_m4daf1243.gif· k2· hello_html_m7d3bb7de.gif. Получаем систему двух линейных уравнений: hello_html_m2d238195.gif

Решая которую, получаем: k1 = 324, k2 = 0,01.

Таким образом, затраты на рейс теплохода при скорости движения hello_html_m2fa2cb1c.gif определяются выражением Q(hello_html_m72ad841b.gif

Найдем, при каком значении hello_html_m2fa2cb1c.gif > 0 эта функция достигает минимума. Для этого решим уравнение: Q'(hello_html_m3a18f30f.gif = 0.

Q'(hello_html_m3a18f30f.gif = - hello_html_5e7e2712.gif = 0.

Получаем, что hello_html_m181da7fe.gifКроме того, Q'(hello_html_607fc516.gif при hello_html_m1caab032.gif Q'(hello_html_m3a18f30f.gif <0 при hello_html_m360b6d4c.gif Q(hello_html_m95377b9.gif hello_html_6bfc68ea.gif

Значит, затраты на рейс будут минимальны при скорости движения 60 км/ч.



Ответ: 60 км/ч.



После обсуждения решения учитель подводит итог занятия, задавая вопрос учащимся: «Можно ли отметить закономерность решения этих задач?»

  1. Итог занятия.

-Рассмотрев эти задачи, можно отметить общую закономерность их решения. В каждой задаче сначала выявлялось выражение, изменение которого позволило бы дать ответ поставленный вопрос.

-В первой задаче это было время всего движения, во второй задаче - время выполнения работы, в третьей - затраты на рейс.

-Затем вводился переменный параметр, от которого это выражение зависело. И таким образом , возникала функция, для которой отыскивалось наибольшее или наименьшее значение.

- Во всех рассмотренных случаях для этой цели использовалась производная









Используемая литература:

  1. М.В. Лурье, Б.И. Александров. Задачи на составление уравнений. М. Наука, 1990.

  2. Е.В. Алтухова и др. Математика. 5-11 классы: уроки учительского мастерства. Волгоград, Учитель, 2007.

  3. Б.Г.Зив, П.И. Алтынов. Алгебра и начала анализа. Геометрия.10-11 кл.: Учебн.- метод.пособие. М. Дрофа,1999









8



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Разработка  занятия   кружка   по   математике   для   10   класса по  теме « Решение  задач   для      нахождения    наибольшего   и  наименьшего    значения    некоторых   выражений» предназначена  для  формирования   умений  и  навыков учащихся решения  текстовых  задач  и  может  быть  использована  учителем   как  дополнительный   материал  по   теме «  Применение   производной   к  исследованию   функции».   Решение   задач  подобного   рода   способствует    развитию   логического   мышления,   сообразительности  и   наблюдательности,  умения   самостоятельно   осуществлять   небольшие   исследования.
Автор
Дата добавления 20.06.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров749
Номер материала 129600062018
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх