• 

  1 слайд

  ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
  ПРЯМЫХ
  И
  ПЛОСКОСТЕЙ
  МБОУ «СОШ №17» г.АНГАРСК
  Учитель Марченко С.С.
  

• 

  2 слайд

  1) ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
  ПЛАН:
  2) ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
  3) ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
  4) ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ
  5) СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
  ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ
  6) СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
  

• 

  3 слайд

  ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
  В ПРОСТРАНСТВЕ
  

• 

  4 слайд

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  Две прямые в пространстве называются
  параллельными, если они лежат в одной
  плоскости и не пересекаются.
  α
  а
  b
  {а,b} є α
  а ║ b
  

• 

  5 слайд

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  Прямые, которые не лежат в одной
  плоскости и не пересекаются,
  называются скрещивающимися.
  α
  а
  b
  а є α
  b ∩ α
  a х b
  

• 

  6 слайд

  Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
  Дано:
  А є а
  Доказать:
  А є а1
  а1 ║ а
  а1 – единственная прямая
  ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
  а
  А
  

• 

  7 слайд

  Доказательство:
  А
  α
  1) {а, А} є α
  а1
  2) Докажем, что а1 – единственная прямая.
  Согласно аксиомы А є а1, а1 ║ а.
  Пусть существует
  а2 ║ а А є а2.
  Тогда {а, а2} є α2,
  т.е. {а, А} є α2
  α = α2
  а1 = а2,
  т.е. а1 – единственная прямая.
  а
  а2
  А
  α2
  

• 

  8 слайд

  ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
  В ПРОСТРАНСТВЕ
  

• 

  9 слайд

  
  Дано:
  Доказать:
  Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
  a ║ с, b ║ c
  a ║ b
  a
  b
  c
  

• 

  10 слайд

  
  1) Рассмотрим случай когда {a, b, c} Є α.
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
  М
  a
  b
  c
  Предположим, что a || b
  a ∩ b = М
  М є {a,b}.
  По условию a || c и b || c.
  Это противоречит аксиоме
  Предположение, что a || b
  не верно
  a // b
  

• 

  11 слайд

  2) Рассмотрим случай, когда прямые не лежат в одной
  плоскости, т.е. {a, b, c} є α.
  Пусть {a, с} Є γ, {b, c} Є β
  β ≠ γ
  Пусть B Є b.
  Проведём через a и B плоскость γ1.
  a
  c
  b
  β
  γ
  В
  γ1
  γ1 ∩ β = b1.
  b1
  b1 ∩ γ
  точка, пересечения должна Є c, т.к. b1 Є β.
  С другой стороны она должна Є a, т.к. b1 Є γ1.
  =>, a ∩ c
  Это противоречит условию,
  что а || c.
  Итак, b1 є β и b1 ∩ c
  b1 || c
  по аксиоме b = b1
  

• 

  12 слайд

  2) Рассмотрим случай, когда прямые не лежат в одной
  плоскости, т.е. {a, b, c} є α.
  Пусть {a, с} Є γ, {b, c} Є β
  β ≠ γ
  Пусть B Є b.
  Проведём через a и B плоскость γ1.
  a
  c
  b
  β
  γ
  В
  γ1
  γ1 ∩ β = b1.
  b1
  b1 ∩ γ
  точка, пересечения должна Є c, т.к. b1 Є β.
  С другой стороны она должна Є a, т.к. b1 Є γ1.
  =>, a ∩ c
  Это противоречит условию,
  что а || c.
  Итак, b1 є β и b1 ∩ c
  b1 || c
  по аксиоме b = b1
  {b,a} є γ1 и b ∩ a
  a || b
  

• 

  13 слайд

  А
  В
  С
  Д
  М
  N
  Р
  К
  №34 Какого взаимное расположение прямых?
  1) NД И АВ
  2) РК И ВС
  3) МN И АВ
  4) МР И АС
  5) КN И АС
  6) МД И ВС
  

• 

  14 слайд

  
  
  
  ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
  ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
  

• 

  15 слайд

  
  Дано:
  Доказать:
  Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
  a ║ α
  a
  b
  α
  a ║ b, b ϵ α, а ϵ α
  

• 

  16 слайд

  Проведём через a и b плоскость β.
  a
  b
  β
  α
  α ∩ β = b.
  Если бы a ∩ α, то точка пересечения принадлежала бы прямой b.
  Итак, а ∩ α
  а || α
  Доказательство:
  Пусть a ║ b, b ϵ α, а ϵ α
  Это невозможно, т.к. a ║ b.
  

• 

  17 слайд

  ПРИЗНАК
  ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
  ПЛОСКОСТЕЙ
  

• 

  18 слайд

  Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  Дано: а ϵ α; в ϵ α;
  а ∩ в = М;
  а1 ϵ β; в1 ϵ β;
  а║а1; в║в1
  
  
  Доказать: α || β
  α
  β
  а
  b
  М
  b1
  а1
  М1
  

• 

  19 слайд

  Доказательство от противного
  α
  β
  а
  b
  М
  b1
  а1
  М1
  с
  а ϵ α; а1 ϵ β; а║а1  а║β
  в ϵ α; в1 ϵ β; в║в1 в║β
  
  Пусть α ∩ β = с
  Тогда
  а || β, α ∩ β = с  а || с.
  b || β, α ∩ β = с  b || с.
  
  а ∩ в = М; а║с и в║с  а||b
  
  Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с.
  Предположение α ∩ β = с - неверно
  α || β
  

• 

  20 слайд

  СУЩЕСТВОВАНИЕ
  ПЛОСКОСТИ,
  ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
  ДАННОЙ
  ПЛОСКОСТИ
  

• 

  21 слайд

  Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
  α
  β
  М
  Дано: М ϵ α
  Доказать:
  что существует
  плоскость β такая, что
  М ϵ β и α || β
  

• 

  22 слайд

  α
  β
  а
  b
  b1
  а1
  Доп. построение а ϵ α; b ϵ α; а ∩ b
  Через т. М проведём а1 || а и b1 || b
  По признаку параллельности
  прямой и плоскости β || α
  Предположим, что через т. М проходит другая плоскость
  β1 || α
  М
  β1
  Отметим на плоскости β1
  т. С не лежащую в плоскости β
  С
  В
  Отметим на плоскости α
  т. В
  Через точки М, С, В проведём плоскость γ
  γ
  

• 

  23 слайд

  α
  β
  а
  b
  b1
  а1
  СМ ||b
  b1 || b
  М
  β1
  γ ∩ α = b
  γ ∩ β = b1
  γ ∩ β1 = CМ
  С
  В
  Через т. М проходит две прямые, параллельные прямой b.
  Это противоречит теореме о параллельных прямых.
  γ
  d
  b1 ∩ b
  СМ ∩ b
  т.к. не пересекают плоскость α
  β и β1 совпадают
  

• 

  24 слайд

  ПРОВЕРИМ ПАМЯТЬ
  

• 

  25 слайд

  1. ТОЧКИ А, В, С, Д НЕ ЛЕЖАТ В ОДНОЙ
  ПЛОСКОСТИ. ВЫБЕРИТЕ ВЕРНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ:
  А) прямая АВ параллельна прямой СД
  Б) прямая АВ пересекает прямую ВД
  В) прямая АС пересекает прямую ВД
  Г) прямые АС и ВД – скрещиваются.
  

• 

  26 слайд

  2. Сторона АВ треугольника АВС принадлежит
  плоскости α, точка Д, не принадлежащая прямой
  АВ, - проекция точки С на плоскость α. Точка Т –
  середина АВ. Выберите верное утверждение.
  
  А) прямые СТ и АВ не пересекаются
  Б) прямые СТ и АВ параллельны
  В) прямые ВТ и АД пересекаются
  Г) прямые АТ и ВД скрещивающиеся.
  

• 

  27 слайд

  3. Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость α и точку С – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие
  плоскость α в точках А1, В1 и С1 соответственно. Найдите длину отрезка СС1, если АА1 = 12см, а ВВ1 = 6см.
  А) 6см
  Б) 9см
  В) см
  Г) другой ответ
  

• 

  28 слайд

  4. Плоскость α, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках М и N соответственно. Найдите длину отрезка ВС, если МN=6см, а АМ : МВ = 3 : 5.
  А) 16см
  Б) 4,8см
  В) 12см
  Г) другой ответ
  

• 

  29 слайд

  5. Через концы отрезка АВ и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А1, В1, С1 соответственно. Найдите длину отрезка СС1, если АА1=6см, ВВ1=13см, а АС : СВ = 2 : 5. Отрезок АВ не пересекает плоскость α.
  А) 9,5см
  Б) 7см
  В) 8см
  Г) другой ответ
  

• 

  30 слайд

  6. Точки М, N, Р – параллельные проекции точек
  А, В, Д на плоскость α, причём точка Д принадлежит отрезку АВ. Найдите АВ, если МN=12см, NР=8см, ВД=14см.
  А) 21см
  Б) 28см
  В) 24см
  Г) другой ответ
  

• 

  31 слайд

  7. Выберите верное продолжение фразы: проекция
  трапеции на плоскость при параллельном
  проектировании может быть…
  А) параллелограммом или трапецией
  Б) только трапецией
  В) отрезком или трапецией
  Г) ромбом или трапецией.
  

• 

  32 слайд

  8. ТОЧКИ А, В, С, Д ЛЕЖАТ В ОДНОЙ
  ПЛОСКОСТИ. ВЫБЕРИТЕ НЕВЕРНОЕ
  УТВЕРЖДЕНИЕ:
  А) прямая ВС параллельна прямой АД
  Б) прямая АС пересекает прямую ВД
  В) прямая АД пересекает прямую ВС
  Г) прямые АВ и СД – скрещиваются.
  

• 

  33 слайд

  9. Сторона АД треугольника АВД принадлежит
  плоскости α, точка С, не принадлежащая прямой
  АД, - проекция точки В на плоскость α. Точка F –
  середина АВ. Выберите неверное утверждение.
  
  А) прямые FД и АС пересекаются
  Б) прямые FС и АД скрещиваются
  В) прямые ВС и FC пересекаются
  Г) прямые ВС и АД скрещивающиеся.
  

• 

  34 слайд

  СВОЙСТВА
  ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
  ПЛОСКОСТЕЙ
  

• 

  35 слайд

  Свойство I:
  Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.
  

• 

  36 слайд

  Дано:
  α || β
  γ ∩ α = а
  γ ∩ β = b
  
  Доказать:
  
  a || b
  α
  β
  γ
  a
  b
  

• 

  37 слайд

  Доказательство:
  1) γ ∩ α = а (по условию),
  а є γ
  {a,b} є γ
  γ ∩ β = b (по условию),
  b є γ
  
  2) γ ∩ α = а (по условию),
  a є α
  
  α || β (по условию)
  
  a || β
  3) γ ∩ β = b (по условию),
  
  
  b є β
  
  a ∩ b
  4) {a,b} є γ, a ∩ b,
  a || b
  
  α
  β
  a
  b
  γ
  

• 

  38 слайд

  Свойство II:
  Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями равны.
  

• 

  39 слайд

  Дано:
  α || β
  a || b
  a ∩ α = A
  
  b ∩ α = B
  
  a ∩ β = A’
  b ∩ β = B’
  
  Доказать:
  AA’ = BB’
  α
  β
  a
  b
  A
  B
  A’
  B’
  

• 

  40 слайд

  Доказательство:
  { a, b } є γ (по определению параллельных прямых)
  По 1 свойству параллельных плоскостей
  AB || A’B’
  ABA’B’- # (т.к. AB || A’B’, AA’ || BB’)
  AA’ = BB’
  α
  β
  a
  b
  γ
  A
  B
  A’
  B’
  

• 

  41 слайд

  Отвечаем на вопросы
  Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
  Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
  Плоскости  и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
  Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
  Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости ?
  Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?
  Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?
  Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?
  Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
  Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости , то и третья сторона параллельна плоскости ?
  

• 

  42 слайд

  Проверяем свою работу
  Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Да
  Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Нет
  Плоскости  и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? Да
  Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? Нет
  Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости ? Да
  Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? Нет
  Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости? Нет
  Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей? Нет
  Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Нет
  Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости , то и третья сторона параллельна плоскости ? Да
  

Краткое описание материала