Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация «О построении касательной к окружности»
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Презентация «О построении касательной к окружности»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
О ПОСТРОЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ Учитель математики ФКОУ ВСОШ-2 УФСИН Ро...
Цель работы: рассмотрение способов построения к окружности касательной, прохо...
1 способ 	Традиционное построение касательной циркулем и линейкой сводится к...
2 способ 	Построим окружность 1 (А, |АО|) и пересечем ее окружностью 2(О, 2...
3 способ 	 Проводим окружность 1 (А, |АО|) (см. рис.). Строим в точке Р= [А...
4 способ Чтобы сделать построение, проведем окружность 2 (N, |АМ|). Одна из...
5 способ 	Строим последовательно окружность 1 (А, |АО|), касательную к окруж...
6 способ Проведем прямую ОА, пересекающую окружность  в точках Р и Q (см. ри...
6 способ (продолжение) Заметим, что прямая KL перпендикулярна PQ. В самом дел...
Сопоставляя (1) и (2), получаем |PD|:|PA| = |DQ|: |AQ|, или (|OD| + R)∙(|OA|...
7 способ Способ построения касательной только циркулем, т. е. без привлечения...
7 способ (продолжение) Для этого строим окружности 2 (O, |ОM|) и 3 (M, |MO|...
Если на отрезке AQ как на диаметре построить окружность 1 и пересечь ее каса...
Так, строим окружность  (А, |АР|), пересекающую (АР) в точке D, затем строим...
Построение касательной можно выполнить просто, если не связывать его непосред...
Пусть искомая касательная АВ пересекает касательную l к (О, R) в ее точке Q...
Наиболее простое построение точки S такое: откладываем на l два конгру­энтных...
Спасибо за внимание!
Список использованной литературы Скопец З. А. «Геометрические миниатюры» / Со...
Конгруэнтный — соразмерный, совпадающий, совмещаемый; матем. о геометрических...
20 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 О ПОСТРОЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ Учитель математики ФКОУ ВСОШ-2 УФСИН Ро
Описание слайда:

О ПОСТРОЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ Учитель математики ФКОУ ВСОШ-2 УФСИН России по Белгородской области, г. Новый Оскол Двойнина Наталья Владимировна

№ слайда 2 Цель работы: рассмотрение способов построения к окружности касательной, прохо
Описание слайда:

Цель работы: рассмотрение способов построения к окружности касательной, проходящей через точку А, не принадлежащую данной окружности.

№ слайда 3 1 способ 	Традиционное построение касательной циркулем и линейкой сводится к
Описание слайда:

1 способ Традиционное построение касательной циркулем и линейкой сводится к следующему: на отрезке ОА как на диаметре строят окружность 1, пересекающую данную окружность  в точках В и С (см. рис.). Прямые АВ и АС— искомые касательные. Указанное построение основано на том, что ОВА, вписанный в окружность 1 и опирающийся на диаметр, равен 90°.

№ слайда 4 2 способ 	Построим окружность 1 (А, |АО|) и пересечем ее окружностью 2(О, 2
Описание слайда:

2 способ Построим окружность 1 (А, |АО|) и пересечем ее окружностью 2(О, 2R). Обозначим полученные точки пересечения через М и N (см. рис.). Отрезки ОМ и ON пересекают данную окружность  в точках В и С. Прямые АВ и АС — искомые касательные. Характерно, что в первых двух способах для построения касательных были предварительно найдены точки касания. Действительно, точка В является серединой основании ОМ равнобедренного треугольника ОАМ, поэтому АВ — его высота, а значит, ОВА прямой. Отсюда следует, что АВ — касательная к окружности .

№ слайда 5 3 способ 	 Проводим окружность 1 (А, |АО|) (см. рис.). Строим в точке Р= [А
Описание слайда:

3 способ Проводим окружность 1 (А, |АО|) (см. рис.). Строим в точке Р= [АО] касательную t к окружности , пересекающую 1 в точках М и N. Отрезки ОМ и ON пересекают  в точках В и С; прямые АВ и АС — искомые касательные. Действительно, треугольники РОМ и ВОА конгруэнтны, так как у них общий угол при вершине О, заключенный между соответственно конгруэнтными сторонами (|OР| = |OВ|, |ОМ| = |ОА|). Но треугольник ОРМ прямоугольный, (P = 90°). поэтому B = 90°, и, следовательно, прямая АВ — касательная к окружности . Построение касательной к окружности, содержащееся в третьей книге «Начал» Евклида (предложение 17).

№ слайда 6 4 способ Чтобы сделать построение, проведем окружность 2 (N, |АМ|). Одна из
Описание слайда:

4 способ Чтобы сделать построение, проведем окружность 2 (N, |АМ|). Одна из этих двух точек пересечения 2 и 1 и есть точка Q, а именно та, для которой направленный угол МОА равен направленному углу NOQ. Построение второй касательной к окружности  сводится к выполнению поворота , при котором точка N переходит в точку А. В этом случае точка М переходит в точку S и прямая AS — вторая касательная. Построение касательной к окружности без предварительного построения точек касания. Проведем окружность 1 (А, |АО|). Касательная к окружности  в произвольной точке Р0 пересекает окружность 1 в точках М и N (см. рис.). Поворот , при котором М  А, отображает точку N на точку Q. Прямая AQ — искомая касательная. Действительно, поворот отображает касательную к  на касательную к  ((MN)  (AQ)).

№ слайда 7 5 способ 	Строим последовательно окружность 1 (А, |АО|), касательную к окруж
Описание слайда:

5 способ Строим последовательно окружность 1 (А, |АО|), касательную к окружности  в произвольной точке Р0, пересекающую 1 в точках M и N, и окружность 2 (А, |MN|), пересекающую 1 в точках Р и Q (см. рис.). Прямые АР и AQ — искомые касательные. Действительно, хорды АР и AQ конгруэнтны хорде MN, поэтому прямые АР и AQ находятся от центра О на таком же расстоянии R, как и прямая MN. Но в таком случае прямые АР и AQ — касательные к окружности . Следующий способ сводится к использованию свойств хорд окружности, равноудаленных от ее центра,— эти хорды конгруэнтны.

№ слайда 8 6 способ Проведем прямую ОА, пересекающую окружность  в точках Р и Q (см. ри
Описание слайда:

6 способ Проведем прямую ОА, пересекающую окружность  в точках Р и Q (см. рис.). Далее, через точку А проведем произвольную прямую, пересекающую  в точках N и М. Пусть прямые РМ и QN пересекаются в точке К, а прямые PN и QM — в точке L. Прямая KL пересекает окружность  в точках В и С. Прямые АВ и АС — искомые касательные. Докажем это. Касательную к окружности в данной на ней точке А можно построить одной линейкой. Также одной линейкой можно построить касательные к окружности, если данная точка А не принадлежит окружности. Эти построения можно выполнить одной линейкой и тогда, когда центр окружности не задан. Рассмотрим случай, когда центр О окружности  задан, и задана точка А.

№ слайда 9 6 способ (продолжение) Заметим, что прямая KL перпендикулярна PQ. В самом дел
Описание слайда:

6 способ (продолжение) Заметим, что прямая KL перпендикулярна PQ. В самом деле, в треугольнике PQL отрезки РМ и QN — высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL содержит третью высоту, и, следовательно, KL  PQ. Если KL ∩ PQ=D, то |OD|∙|OA|=R2. Действительно, пусть DPK = ά, DQK = β. Тогда |PD|:|DQ| = ctg ά : ctg β (1) Построим перпендикуляр к прямой АР в точке A, пересекающий прямую РМ в точке S. Очевидно, что |PA| = |AS|∙ctg ά и |AQ| = |AS|∙ctgAQS. Так как AQS = AMS=180° - PMN = PQN = β, то |AQ| = |AS|∙ctg β. Поэтому |PA|:|AQ| = ctg ά : ctg β. (2)

№ слайда 10 Сопоставляя (1) и (2), получаем |PD|:|PA| = |DQ|: |AQ|, или (|OD| + R)∙(|OA|
Описание слайда:

Сопоставляя (1) и (2), получаем |PD|:|PA| = |DQ|: |AQ|, или (|OD| + R)∙(|OA| - R) = (R - |OD|)∙(|OA|+R). После раскрытия скобок и упрощений находим, что |OD|∙|OA|=R2. (3) Из соотношения (3) следует, что |OD|:R = R:|OA|, т. е. треугольники ODB и ОВА подобны. Поскольку ODB = 90°, то OBA = 90°. Следовательно, прямая АВ - искомая касательная. 6 способ (продолжение) Предложенное построение выполняется только линейкой. Чтобы построить касательные AB и AC, потребовалось провести 9 прямых: AO, AM, PM, QN, KL, QM, PN, AB, AC.

№ слайда 11 7 способ Способ построения касательной только циркулем, т. е. без привлечения
Описание слайда:

7 способ Способ построения касательной только циркулем, т. е. без привлечения линейки построим точки касания В и С по заданным окружности  (О, R) и точке А. Проведем окружность 1 (А, |ОА|) см. (рис.). Далее найдем раствор циркуля, равный 2R, для чего выберем на окружности  точку S и отложим три дуги, содержащие по 60 дуговых градусов: SP = PQ = QT = 60°. Точки S и Т диаметрально противоположны. Строим окружность (О, |ST|), пересекающую 1 в точках М и N. Теперь остается одним циркулем построить середину отрезка МО.

№ слайда 12 7 способ (продолжение) Для этого строим окружности 2 (O, |ОM|) и 3 (M, |MO|
Описание слайда:

7 способ (продолжение) Для этого строим окружности 2 (O, |ОM|) и 3 (M, |MO|), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V (см. рис.). Далее строим окружность 4 (U, |UM|), пересекающую 3 в точках К и L. Наконец, строим окружности 5 (K, |KM|) и 6 (L, |LM|), пересекающиеся в искомой точке В — середине MО. Действительно, треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что |КМ| = ½ |MU|, следует, что |MB| = ½|MK| = ½ R. Итак, точка В — искомая точка касания. Аналогично находим точку касания С.

№ слайда 13 Если на отрезке AQ как на диаметре построить окружность 1 и пересечь ее каса
Описание слайда:

Если на отрезке AQ как на диаметре построить окружность 1 и пересечь ее касательной l, проведенной в точке Р к , то получим точки М и N. Очевидно, |АМ|2=|АР|∙|AQ|. Поэтому окружность 2 (А, |АМ|) пересечет  в точках В и С касания искомых касательных АВ и АС. 8 способ Еще одно построение касательной к окружности основано на следующем свойстве отрезков секущей, проведенной к окружности( см. рис.): |AB|2=|AP|∙|AQ|

№ слайда 14 Так, строим окружность  (А, |АР|), пересекающую (АР) в точке D, затем строим
Описание слайда:

Так, строим окружность  (А, |АР|), пересекающую (АР) в точке D, затем строим окружность 2 на диаметре QD и пересекаем ее перпендикуляром к прямой АР в точке А. Для полученных точек М и N имеем: |AM|2=|AN|2=|AD|∙|AQ| = |AP|∙|AQ|, поэтому окружность 3 (А, |AМ|) пересекает  в искомых точках касания В и С. 8 способ (продолжение) Другой вариант построения касательной в данном случае основан на ином способе построения отрезка АВ по отрезкам АР и AQ (см. рис.).

№ слайда 15 Построение касательной можно выполнить просто, если не связывать его непосред
Описание слайда:

Построение касательной можно выполнить просто, если не связывать его непосредственно с данной окружностью (О, R) и данной точкой А. Если В есть точка касания, то треугольник ОАВ прямоугольный, причем известно, что |ОВ|=R, |OA|=d, В=90°. Следовательно, задача сводится к по­строению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе. Катет АВ построенного треугольника позволяет строить окружность 1 (А, |АВ|), пере­секающую  в искомых точках В и С. 9 способ

№ слайда 16 Пусть искомая касательная АВ пересекает касательную l к (О, R) в ее точке Q
Описание слайда:

Пусть искомая касательная АВ пересекает касательную l к (О, R) в ее точке Q в некоторой точке М (см.рис.). Очевидно, [МО) — биссектриса угла QMA. Биссектриса угла, смежного с QMA, пересекает прямую АР в точке S, для которой |QS| : |SA| = |QO|:|OA|. Построив точку S, можно построить окружность 1 на диаметре OS. Поскольку SMO прямой, то 1 пересечет l в точках М и N, таких, что (AM) и (AN) — искомые касательные. 10 способ Приведем еще одно построение, основанное на свойствах биссектрис треугольника.

№ слайда 17 Наиболее простое построение точки S такое: откладываем на l два конгру­энтных
Описание слайда:

Наиболее простое построение точки S такое: откладываем на l два конгру­энтных отрезка QK и QL (рис. 12); находим точку D пересечения прямой КО с перпендикуляром к прямой ОА в точке А; строим прямую DL, пересекающую прямую ОА в точке S. 10 способ (продолжение)

№ слайда 18 Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

№ слайда 19 Список использованной литературы Скопец З. А. «Геометрические миниатюры» / Со
Описание слайда:

Список использованной литературы Скопец З. А. «Геометрические миниатюры» / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.: ил.

№ слайда 20 Конгруэнтный — соразмерный, совпадающий, совмещаемый; матем. о геометрических
Описание слайда:

Конгруэнтный — соразмерный, совпадающий, совмещаемый; матем. о геометрических объектах — при наложении на другой объект полностью совпадающий с ним соответствующими углами, отрезками и т. п. В евклидовой геометрии две фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую сдвигом, вращением и зеркальным отображением.

Краткое описание документа:

К числу конструктивных задач в курсе планиметрии относится построение циркулем и линейкой касательной к данной окружности. Если построение касательной к окружности (с центром в точке О) в точке А, принадлежащей данной окружности, сводится к построению перпендикуляра к прямой ОА в точке А, то более содержательной задачей является построение к окружности касательной, проходящей через точку А, не лежащей на данной окружности. В данной презентации рассматриваются 10 способов такого построения касательной к окружности. Данный материал может быть использован как на уроке геометрии. Так и в рамках элективного курса по математике.

Общая информация

Номер материала: 135671070700

Похожие материалы