Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
О ПОСТРОЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ К ОКРУЖНОСТИ Учитель математики ФКОУ ВСОШ-2 УФСИН России по Белгородской области, г. Новый Оскол Двойнина Наталья Владимировна
2 слайд
Цель работы: рассмотрение способов построения к окружности касательной, проходящей через точку А, не принадлежащую данной окружности.
3 слайд
1 способ Традиционное построение касательной циркулем и линейкой сводится к следующему: на отрезке ОА как на диаметре строят окружность 1, пересекающую данную окружность в точках В и С (см. рис.). Прямые АВ и АС— искомые касательные. Указанное построение основано на том, что ОВА, вписанный в окружность 1 и опирающийся на диаметр, равен 90°.
4 слайд
2 способ Построим окружность 1 (А, |АО|) и пересечем ее окружностью 2(О, 2R). Обозначим полученные точки пересечения через М и N (см. рис.). Отрезки ОМ и ON пересекают данную окружность в точках В и С. Прямые АВ и АС — искомые касательные. Характерно, что в первых двух способах для построения касательных были предварительно найдены точки касания. Действительно, точка В является серединой основании ОМ равнобедренного треугольника ОАМ, поэтому АВ — его высота, а значит, ОВА прямой. Отсюда следует, что АВ — касательная к окружности .
5 слайд
3 способ Проводим окружность 1 (А, |АО|) (см. рис.). Строим в точке Р= [АО] касательную t к окружности , пересекающую 1 в точках М и N. Отрезки ОМ и ON пересекают в точках В и С; прямые АВ и АС — искомые касательные. Действительно, треугольники РОМ и ВОА конгруэнтны, так как у них общий угол при вершине О, заключенный между соответственно конгруэнтными сторонами (|OР| = |OВ|, |ОМ| = |ОА|). Но треугольник ОРМ прямоугольный, (P = 90°). поэтому B = 90°, и, следовательно, прямая АВ — касательная к окружности . Построение касательной к окружности, содержащееся в третьей книге «Начал» Евклида (предложение 17).
6 слайд
4 способ Чтобы сделать построение, проведем окружность 2 (N, |АМ|). Одна из этих двух точек пересечения 2 и 1 и есть точка Q, а именно та, для которой направленный угол МОА равен направленному углу NOQ. Построение второй касательной к окружности сводится к выполнению поворота , при котором точка N переходит в точку А. В этом случае точка М переходит в точку S и прямая AS — вторая касательная. Построение касательной к окружности без предварительного построения точек касания. Проведем окружность 1 (А, |АО|). Касательная к окружности в произвольной точке Р0 пересекает окружность 1 в точках М и N (см. рис.). Поворот , при котором М А, отображает точку N на точку Q. Прямая AQ — искомая касательная. Действительно, поворот отображает касательную к на касательную к ((MN) (AQ)).
7 слайд
5 способ Строим последовательно окружность 1 (А, |АО|), касательную к окружности в произвольной точке Р0, пересекающую 1 в точках M и N, и окружность 2 (А, |MN|), пересекающую 1 в точках Р и Q (см. рис.). Прямые АР и AQ — искомые касательные. Действительно, хорды АР и AQ конгруэнтны хорде MN, поэтому прямые АР и AQ находятся от центра О на таком же расстоянии R, как и прямая MN. Но в таком случае прямые АР и AQ — касательные к окружности . Следующий способ сводится к использованию свойств хорд окружности, равноудаленных от ее центра,— эти хорды конгруэнтны.
8 слайд
6 способ Проведем прямую ОА, пересекающую окружность в точках Р и Q (см. рис.). Далее, через точку А проведем произвольную прямую, пересекающую в точках N и М. Пусть прямые РМ и QN пересекаются в точке К, а прямые PN и QM — в точке L. Прямая KL пересекает окружность в точках В и С. Прямые АВ и АС — искомые касательные. Докажем это. Касательную к окружности в данной на ней точке А можно построить одной линейкой. Также одной линейкой можно построить касательные к окружности, если данная точка А не принадлежит окружности. Эти построения можно выполнить одной линейкой и тогда, когда центр окружности не задан. Рассмотрим случай, когда центр О окружности задан, и задана точка А.
9 слайд
6 способ (продолжение) Заметим, что прямая KL перпендикулярна PQ. В самом деле, в треугольнике PQL отрезки РМ и QN — высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL содержит третью высоту, и, следовательно, KL PQ. Если KL ∩ PQ=D, то |OD|∙|OA|=R2. Действительно, пусть DPK = ά, DQK = β. Тогда |PD|:|DQ| = ctg ά : ctg β (1) Построим перпендикуляр к прямой АР в точке A, пересекающий прямую РМ в точке S. Очевидно, что |PA| = |AS|∙ctg ά и |AQ| = |AS|∙ctgAQS. Так как AQS = AMS=180° - PMN = PQN = β, то |AQ| = |AS|∙ctg β. Поэтому |PA|:|AQ| = ctg ά : ctg β. (2)
10 слайд
Сопоставляя (1) и (2), получаем |PD|:|PA| = |DQ|: |AQ|, или (|OD| + R)∙(|OA| - R) = (R - |OD|)∙(|OA|+R). После раскрытия скобок и упрощений находим, что |OD|∙|OA|=R2. (3) Из соотношения (3) следует, что |OD|:R = R:|OA|, т. е. треугольники ODB и ОВА подобны. Поскольку ODB = 90°, то OBA = 90°. Следовательно, прямая АВ - искомая касательная. 6 способ (продолжение) Предложенное построение выполняется только линейкой. Чтобы построить касательные AB и AC, потребовалось провести 9 прямых: AO, AM, PM, QN, KL, QM, PN, AB, AC.
11 слайд
7 способ Способ построения касательной только циркулем, т. е. без привлечения линейки построим точки касания В и С по заданным окружности (О, R) и точке А. Проведем окружность 1 (А, |ОА|) см. (рис.). Далее найдем раствор циркуля, равный 2R, для чего выберем на окружности точку S и отложим три дуги, содержащие по 60 дуговых градусов: SP = PQ = QT = 60°. Точки S и Т диаметрально противоположны. Строим окружность (О, |ST|), пересекающую 1 в точках М и N. Теперь остается одним циркулем построить середину отрезка МО.
12 слайд
7 способ (продолжение) Для этого строим окружности 2 (O, |ОM|) и 3 (M, |MO|), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V (см. рис.). Далее строим окружность 4 (U, |UM|), пересекающую 3 в точках К и L. Наконец, строим окружности 5 (K, |KM|) и 6 (L, |LM|), пересекающиеся в искомой точке В — середине MО. Действительно, треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что |КМ| = ½ |MU|, следует, что |MB| = ½|MK| = ½ R. Итак, точка В — искомая точка касания. Аналогично находим точку касания С.
13 слайд
Если на отрезке AQ как на диаметре построить окружность 1 и пересечь ее касательной l, проведенной в точке Р к , то получим точки М и N. Очевидно, |АМ|2=|АР|∙|AQ|. Поэтому окружность 2 (А, |АМ|) пересечет в точках В и С касания искомых касательных АВ и АС. 8 способ Еще одно построение касательной к окружности основано на следующем свойстве отрезков секущей, проведенной к окружности( см. рис.): |AB|2=|AP|∙|AQ|
14 слайд
Так, строим окружность (А, |АР|), пересекающую (АР) в точке D, затем строим окружность 2 на диаметре QD и пересекаем ее перпендикуляром к прямой АР в точке А. Для полученных точек М и N имеем: |AM|2=|AN|2=|AD|∙|AQ| = |AP|∙|AQ|, поэтому окружность 3 (А, |AМ|) пересекает в искомых точках касания В и С. 8 способ (продолжение) Другой вариант построения касательной в данном случае основан на ином способе построения отрезка АВ по отрезкам АР и AQ (см. рис.).
15 слайд
Построение касательной можно выполнить просто, если не связывать его непосредственно с данной окружностью (О, R) и данной точкой А. Если В есть точка касания, то треугольник ОАВ прямоугольный, причем известно, что |ОВ|=R, |OA|=d, В=90°. Следовательно, задача сводится к построению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе. Катет АВ построенного треугольника позволяет строить окружность 1 (А, |АВ|), пересекающую в искомых точках В и С. 9 способ
16 слайд
Пусть искомая касательная АВ пересекает касательную l к (О, R) в ее точке Q в некоторой точке М (см.рис.). Очевидно, [МО) — биссектриса угла QMA. Биссектриса угла, смежного с QMA, пересекает прямую АР в точке S, для которой |QS| : |SA| = |QO|:|OA|. Построив точку S, можно построить окружность 1 на диаметре OS. Поскольку SMO прямой, то 1 пересечет l в точках М и N, таких, что (AM) и (AN) — искомые касательные. 10 способ Приведем еще одно построение, основанное на свойствах биссектрис треугольника.
17 слайд
Наиболее простое построение точки S такое: откладываем на l два конгруэнтных отрезка QK и QL (рис. 12); находим точку D пересечения прямой КО с перпендикуляром к прямой ОА в точке А; строим прямую DL, пересекающую прямую ОА в точке S. 10 способ (продолжение)
18 слайд
Спасибо за внимание!
19 слайд
Список использованной литературы Скопец З. А. «Геометрические миниатюры» / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.: ил.
20 слайд
Конгруэнтный — соразмерный, совпадающий, совмещаемый; матем. о геометрических объектах — при наложении на другой объект полностью совпадающий с ним соответствующими углами, отрезками и т. п. В евклидовой геометрии две фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую сдвигом, вращением и зеркальным отображением.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
К числу конструктивных задач в курсе планиметрии относится построение циркулем и линейкой касательной к данной окружности. Если построение касательной к окружности (с центром в точке О) в точке А, принадлежащей данной окружности, сводится к построению перпендикуляра к прямой ОА в точке А, то более содержательной задачей является построение к окружности касательной, проходящей через точку А, не лежащей на данной окружности. В данной презентации рассматриваются 10 способов такого построения касательной к окружности. Данный материал может быть использован как на уроке геометрии. Так и в рамках элективного курса по математике.
6 660 105 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Двойнина Наталья Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.