Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Стереометрияның таңдамалы есептері
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Стереометрияның таңдамалы есептері

библиотека
материалов

Стереометрияның таңдамалы есептері



Альсейтов Амангелді Гумарович

БҚО Теректі аудандық «Үміт» лингвистикалық гимназиясының математика пәнінің мұғалімі



Бұл еңбекте көп жылдар бойы Батыс Қазақстан облысының бірнеше жалпы орта білім беретін мектептерінде, лицейлер мен гимназияларда оқушылармен өткізген сабақтар мен әріптестеріммен әртүрлі деңгейлердегі семинарлар мен конференцияларда талқыланған және «Математика» пәнінен 2000-2013 жылдар аралығындағы Ұлттық Бірыңғай Тестілеу (ҰБТ) емтихандары мен сынақ тестілерінде кездескен бірқатар «стандартты емес» және күрделірек есептердің шешу жолдарын көрсетеміз.

1-есеп (2007 ж). Кубтың диагоналі 12 см-ге тең. Кубтың көлемін табыңыз.

Шешуі. Тік бұрышты параллелепипедтің диагоналі hello_html_670dbcc3.gif оның үш өлшемі hello_html_1c490fe0.gif, hello_html_7b0b20e7.gif және hello_html_m4cd7061.gif арқылы былайша өрнектеледі: hello_html_m113f5c49.gif. Куб барлық қырлары тең тікбұрышты параллелепипед болғандықтан hello_html_53ad20d3.gif, сондықтан hello_html_m135bac9.gif. Бұдан hello_html_m296a4474.gif екендігі шығады. Кубтың көлемі hello_html_3bf02eec.gif немесе hello_html_m727a7730.gif. Есептің шарты бойынша hello_html_m783d48e2.gif см. Олай болса hello_html_m57f4e8c9.gif (см3).

Жауабы. 192hello_html_41b8eca7.gif см3.

2-есеп (2000 ж). Тік бұрышты параллелепипедтің үш өлшемі 2 см, 3 см, 6 см. Оның диагоналінің ұзындығын табыңыз.

Шешуі. Тік бұрышты параллелепипедтің диагоналі hello_html_670dbcc3.gif оның үш өлшемі hello_html_1c490fe0.gif, hello_html_7b0b20e7.gif және hello_html_m4cd7061.gif арқылы былайша өрнектеледі: hello_html_m97d5f74.gif. Осы формулаға есептің берілгендерін қойсақ:

hello_html_3748a84c.gif(см).

Жауабы. 7 см.

3-есеп (2000 ж). Кубтың қыры а-ға тең. Диагоналі табан жазықтығына

қандай бұрышпен көлбеген.

a

a

a

d

D

hello_html_f9361ae.gifhello_html_7d338231.gif

A

B

C

Шешуі. ABC тікбұрышты үшбұрышын қарастырамыз. Пифагор теоремасын және оның жалпылауын қолданамыз:

hello_html_m7118474e.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_2cd43f65.gifhello_html_5f45407f.gifсм. hello_html_m5bd61a5b.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_m7d1fce3d.gifhello_html_33ab857.gifсм.

Тікбұрышты үшбұрыштың элементтері арасындағы байланыстардан: hello_html_7dccda38.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_m4924c102.gif,

hello_html_m26b7e75.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_6dcd2203.gif, hello_html_m184a914b.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_m1c8e5247.gif.

Жауабы. hello_html_781f1e1d.gif немесе hello_html_m60a927fd.gif немесе hello_html_1c6ec15f.gif.

Ескерту. Авторға күні бүгінге дейінгі кездескен нұсқалардың 85 %-ында бұл есептің дұрыс жауабы «hello_html_781f1e1d.gif» деп, 10 %-ында дұрыс жауап «hello_html_781f1e1d.gif немесе hello_html_1c6ec15f.gif» деп, 5 %-ында дұрыс жауап «hello_html_781f1e1d.gif немесе hello_html_m60a927fd.gif немесе hello_html_1c6ec15f.gif» деп берілгенін ескерте кеткенді жөн көрдік.

4-есеп (2000 ж). Үш шардың радиустары 3 см, 4 см, 5 см. Көлемі осы шарлардың көлемдерінің арифметикалық ортасына тең болатын шардың радиусы неге тең?

Шешуі. hello_html_m5936e8e8.gif см, hello_html_m18cf5101.gif см, hello_html_m215d5829.gif см. Шардың көлемінің формуласы: hello_html_68d58e56.gif. Есеп шартын ескерсек hello_html_68d58e56.gifhello_html_m3f1c1302.gifhello_html_6db37460.gifhello_html_m531d8d8f.gifhello_html_m48a1872b.gifhello_html_m5ce6fdeb.gifhello_html_m93db01d.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_60f9f181.gifhello_html_6e488b7.gifhello_html_m41443eb5.gif.

Жауабы. hello_html_44e56629.gif.

5-есеп (2008 ж). Екі шардың беттерінің аудандарының қатынасы 4:1. Көлемдерінің қатынасын табыңыз.

Шешуі. 1-тәсіл. hello_html_107c643b.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_m73a8b0e6.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_1415e86f.gif. Көлемдерінің

қатынасы hello_html_m17ebe3c6.gifhello_html_1386ca92.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_791e420.gif.

2-тәсіл. Ұқсас денелердің көлемдері мен беттерінің аудандарының қатынасы арасындағы байланыс формуласын қолданамыз: hello_html_6232c18c.gifhello_html_m7b1a60d3.gif

hello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_m17ebe3c6.gifhello_html_6a2e6e7e.gifhello_html_40b1522d.gifhello_html_11cdab33.gif. Сонымен,

көлемдерінің қатынасы hello_html_791e420.gif.

Жауабы. hello_html_m419b3b76.gif.

6-есеп (2000 ж). Радиусы 41 см шар центрінен 9 см қашықтықта жазықтықпен қиылған. Қиманың ауданын табыңыз.

hello_html_2c51788.gifd

R

R

O

A

B

C

Шешуі. hello_html_m261cdad7.gif см. Шарды жазықтықпен қиғанда қимада дөңгелек шығады. Біздің жағдайымызда ол – диаметрі АВ, центрі С болатын дөңгелек. Есеп шартынан hello_html_m16caa39a.gif см. hello_html_6caf42a7.gif – тікбұрыштыhello_html_6e488b7.gif

hello_html_6e488b7.gifhello_html_75ab89da.gif. Қима ауданы hello_html_m72fb9e17.gif см2.

Жауабы. hello_html_m44c6ed99.gif см2.

7-есеп (2000 ж). Конусқа іштей шар сызылған. Егер ұзындығы L конус

A

L

S

O

α

O1

C

жасаушысы табанымен hello_html_m1c848f2d.gif бұрыш жасайтын болса, онда шар көлемі неге тең?

Шешуі. Шардың радиусын R арқылы белгілейік.

Тікбұрышты AOS үшбұрышынан

AO=AS·cosα =L·cosα.

Тікбұрышты AOO1 үшбұрышынан

R=OO1 =AO·tg(α/2) =L·cosα·tg(α/2),

себебі конустың өстік қимасындағы шар қимасы болатын шеңбер үшбұрышқа іштей сызылған, ал үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер центрі биссектрисалардың қиылысу нүктесінде жатады. Соңында

hello_html_581a3e3c.gif.

Жауабы. hello_html_13799f00.gif.

8-есеп (2008 ж). Биіктігі hello_html_378778e8.gif конус радиусы hello_html_m5074071f.gif шарға іштей сызылған. Конус көлемін табыңыз.

A

Т

O1

O

Шешуі. hello_html_5847943.gif – шар центрі, hello_html_5c692e63.gif – конус табаны центрі. Есеп шартынан hello_html_19398f90.gif, hello_html_m5e7a9bff.gif. hello_html_79120f46.gif– тікбұрыштыhello_html_m7b1a60d3.gif

hello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_m6a0f5575.gifhello_html_m1d7c82c7.gifhello_html_m64500136.gif

hello_html_m5ee2a114.gifhello_html_m1b0b3aa2.gifhello_html_m68d4a85.gif.

hello_html_m6acaab45.gifhello_html_4e5b81b9.gif

hello_html_m55f94726.gifhello_html_437b2dbc.gif.

Жауабы. hello_html_652f7e88.gif.

9-есеп (2008 ж). Бір шардың бетінің ауданы 18 см2. Көлемі берілген шар көлемінен 8 есе үлкен болатын екінші шардың бетінің ауданын табыңыз.

Шешуі. Есеп шарттарынан hello_html_a045005.gif см2, hello_html_m4531fc27.gif. Ұқсас денелердің беттерінің аудандарының қатынасының кубы олардың көлемдерінің қатынасының квадратына тең болады. Сондықтан

hello_html_4783f206.gifhello_html_6961eeb9.gifhello_html_m1b0a13be.gifhello_html_6e488b7.gifhello_html_m6b96f7ab.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_m573e227a.gifсм2.

Жауабы. hello_html_m6846e206.gif см2.

10-есеп (2008 ж). Екі шардың көлемдерінің қатынасы hello_html_394d9fd7.gif қатынасындай. Олардың аудандарының қатынасын табыңыз.

Шешуі. Бірінші шардың көлемін hello_html_m29ed5101.gif, бетінің ауданын hello_html_3f2f15b1.gif арқылы, ал екінші шардың көлемін hello_html_m5b64eac4.gif, бетінің ауданын hello_html_m2c340f53.gif арқылы белгілейік. Сонда есеп шарты бойынша hello_html_2e4149c9.gif. Кез келген екі шар ұқсас болады. Ұқсас денелердің беттерінің аудандарының қатынасының кубы олардың көлемдерінің қатынасының квадратына тең болады:

hello_html_d4ffdb.gifhello_html_m7b1a60d3.gifhello_html_2da0492.gifhello_html_5b297cd5.gifhello_html_6a3e8694.gifhello_html_2c2641cc.gifhello_html_m574efab8.gif.

Жауабы. hello_html_303e0b04.gif.

11-есеп (2007 ж). Дұрыс тетраэдрдың жақтарының центрлері жаңа тетраэдрдың төбелері болып табылады. Соңғы және бастапқы тетраэдрлардың қырларының қатынасын табыңыз.

A

Т

O1

O

C

B

K

N

Шешуі. Дұрыс тетраэдрдың жақтары дұрыс үшбұрыштар, ал жақтарының центрлері медиана-ларының қиылысу нүктелері болады. hello_html_m199f38a9.gif үшбұрышының центрі hello_html_5847943.gif нүктесі, hello_html_7bd583b3.gif үшбұрышының центрі hello_html_5c692e63.gif нүктесі болсын. hello_html_m5d47a7c0.gif соңғы тетраэдрдың қыры болады. Сондықтан hello_html_10fc7105.gif қатынасын табу керек. Медиананың қасиеті бойынша hello_html_m6d704780.gif, hello_html_m7601e48b.gif. Сонда hello_html_1053691a.gif болғандықтан: hello_html_m7af8fccc.gif.

Жауабы. hello_html_m36f81ad6.gif.

12-есеп (2007 ж). Дұрыс тетраэдрдың жақтарының центрлері жаңа тетраэдрдың төбелері болып табылады. Соңғы және бастапқы тетраэдрлардың жақтарының аудандарының қатынасын табыңыз.

Шешуі. Дұрыс тетраэдрдың жақтары дұрыс үшбұрыштар, ал жақтарының центрлері медианаларының қиылысу нүктелері болады. hello_html_m199f38a9.gif үшбұрышының центрі hello_html_5847943.gif нүктесі, hello_html_7bd583b3.gif үшбұрышының центрі hello_html_5c692e63.gif нүктесі болсын. hello_html_m5d47a7c0.gif соңғы тетраэдрдың қыры болады. Сондықтан hello_html_fb666a0.gif қатынасын табу жеткілікті. Медиананың қасиеті бойынша hello_html_m6d704780.gif, hello_html_m7601e48b.gif. Сонда hello_html_1053691a.gif болғандықтан: hello_html_m7af8fccc.gif. Ұқсас фигуралардың аудандарының қатынасы олардың сәйкес сызықтық элементтерінің қатынасының квадратына тең болатындықтан: hello_html_md50ac55.gif.

A

Т

O1

O

C

B

K

N

O2

Жауабы. hello_html_5026f88e.gif.


13-есеп (2007 ж). Дұрыс тетраэдрдың жақтарының центрлері жаңа тетраэдрдың төбелері болып табылады. Соңғы және бастапқы тетраэдрлардың көлемдерінің қатынасын табыңыз.

Шешуі. Дұрыс тетраэдрдың жақтары дұрыс үшбұрыштар, ал жақтарының центрлері медианаларының қиылысу нүктелері болады. hello_html_m199f38a9.gif үшбұрышының центрі hello_html_5847943.gif нүктесі, hello_html_7bd583b3.gif үшбұрышының центрі hello_html_5c692e63.gif нүктесі болсын. hello_html_m5d47a7c0.gif соңғы тетраэдрдың қыры болады. Сондықтан hello_html_fb666a0.gif қатынасын табу жеткілікті. Медиананың қасиеті бойынша A

Т

O1

O

C

B

K

N

O2

hello_html_m6d704780.gif, hello_html_m7601e48b.gif. Сонда hello_html_1053691a.gif болғандықтан, hello_html_m7af8fccc.gif. Ұқсас денелердің көлемдерінің қатынасы олардың сәйкес сызықтық элементтерінің қатынасының кубына тең болатындықтан: hello_html_7a71b8b6.gif.

Жауабы. hello_html_m12007f94.gif.

14-есеп (2013 ж). Конустың өстік қимасы қабырғасы 1-ге тең дұрыс үшбұрыш. Конустың өсін, табанын және бүйір бетін жанайтын сфераның радиусын табыңыз.

Шешуі. C – шар центрі делік. Конустың өстік қимасын қарастыратын болсақ, ізделінді сфераның өстік қимасы АСТ тікбұрышты үшбұрышына іштей сызылған шеңбер екендігіне көз жеткіземіз. Тікбұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер радиусы формуласын қолданамыз:

A

Т

C

r

r

r

O

hello_html_643ed687.gifhello_html_4d73bcc0.gifhello_html_2c0b99b8.gifhello_html_m6be02681.gif

hello_html_m65f2a715.gif.

Жауабы. hello_html_m1ae742c3.gif.

15-есеп (2009 ж). M нүктесі теңбүйірлі ABCD трапеция жазықтығынан тысқары жатыр және трапеция төбелерінен бірдей 7 см қашықтықта орналасқан. Егер AB=6 см, BC=8 см, AD=12 см болса, M нүктесінен трапеция жазықтығына дейінгі ара қашықтықты табыңыз.

C

M

A

7

D

7

В

7

O

К

Шешуі. ACD үшбұрышында СК биіктігін жүргіземіз. Сонда hello_html_7104d75e.gif м. CKD тікбұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша

hello_html_m2d921d1a.gif.

Бұдан hello_html_741d0614.gif.

ACD үшбұрышының ауданы hello_html_58b8edae.gif.

CKА тікбұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша hello_html_m42e09d16.gif. Бұдан hello_html_m630c854f.gif.

ACD үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы hello_html_m5e41c56b.gif.

MOC тікбұрышты үшбұрышынан Пифагор теоремасы бойынша

hello_html_439b5d76.gif.

Бұдан hello_html_m10705b39.gif.

Жауабы. hello_html_15403fc5.gif см.

16-есеп (2010 ж). Конустың көлемі 375 см2. Конустың биіктігі 5 см. Конустың төбесінен 2 см қашықтықтан өтетін және де оның табанына параллель жазықтық қияды. Пайда болған қиық конустың көлемін табыңыз.

H2

H1


Шешуі. Үлкен конустың көлемі мен биіктігін сәйкесінше V1, H1, ал қию нәтижесінде шыққан кіші конустың көлемі мен биіктігін сәйкесінше V2, H2 десек, онда ұқсас денелердің көлемдері мен сызықтық элементтерінің арасындағы байланыс hello_html_m4bccbd2b.gif бойынша hello_html_401ac366.gif см3. Қиық конустың көлемі осы конустарының көлемдерінің айырмасы болатыны түсінікті: hello_html_m5407c8dd.gif см3.

Жауабы. 351 см3.

17-есеп (2010 ж). Пирамиданың табанына параллель жазықтық қимасы биіктікті 1:1 қатынасындай етіп бөледі. Қима ауданы 2 м2 болса, табан ауданын табыңыз.

H2

H1

Шешуі. Үлкен пирамиданың табан ауданы мен биіктігін

сәйкесінше S1, H1, ал қию нәтижесінде шыққан кіші пирамиданың табан ауданы мен биіктігін сәйкесінше S2, H2 десек, онда ұқсас денелердің сәйкес беттерінің аудандары мен сызықтық элементтерінің арасындағы байланыс hello_html_med1a96a.gif бойынша (есеп шарттарынан H1=2H2) hello_html_m3c2ccd21.gifhello_html_31916d3e.gifм2.

Жауабы. 8 м2.

18-есеп (2010 ж). Ромбының сүйір бұрышы α, үлкен диагоналі d. Ромб

өзінің төбесі арқылы өтетін және үлкен диагоналіне перпендикуляр өстен айналады. Айналу денесінің көлемін табыңыз.

А

В

С

D

α/2

H

d

К

L

Т

Шешуі. ABCD ромбысын өзінің төбесі арқылы өтетін және үлкен диаго-наліне перпендикуляр өстен айналдырғанда шыққан дене көлемі ADKLC қиық конусы мен CDK конусының көлемдерінің айырмасын екі еселегенге тең, яғни hello_html_m5638437b.gif. Суреттен hello_html_574fdfaa.gif. Сонда

hello_html_72405be9.gifhello_html_50d30b4e.gif

hello_html_m129109ca.gifhello_html_7ab7b254.gif

hello_html_m6c35fba9.gifhello_html_m5feb4cab.gif.

Жауабы. hello_html_f3096c8.gif.

19-есеп (2008 ж). Сфера центрінің бір жағында орналасқан, сфераны қиятын параллель жазықтықтардың қималарының ұзындығы 10 және 24. Жазықтықтар арасы 7 болса, сфераның бетінің ауданын табыңыз.

Шешуі. Сфераны жазықтықпен қиғанда қимада шеңбер шығады. Есеп шарттарына сай O1O2=7 см, қимада шыққан үлкен және кіші шеңберлердің ұзындықтары сәйкесінше 2πr1=24π және 2πr2=10π; бұлардан r1=AO1=12 және r2=BO2=5 екендігі шығады. OO1=х, ал сфера радиусы OA=OB=R делік. Сонда AO1O және BO2O тікбұрышты үшбұрыштарынан Пифагор теоремасы бойынша hello_html_777e2d34.gif теңдеулер жүйесін аламыз. Оны шешеміз: hello_html_m2e3392a6.gif, hello_html_m24dc2778.gif, hello_html_ca05b08.gif.

OО

АО

O1О

O2О

ВО

Жүйенің бірінші теңдеуінен x2=R2-144, оны екінші теңдеуге қойсақ R2-144+14x+74=R2 теңдеуі шығады, және бұл теңдеуден x=5 екендігі шығады. Сонда R2=x2+144=52+144=25+144=169. Сонымен, ізделінді сфера бетінің ауданы S=4πR2=4π∙169=676.

Жауабы. 676.

CО

OО

хО

B

AО

хО

20-есеп (2007 ж). Шар бетіндегі бір нүктеден оны қиятын екі жазықтық жүргізілген. Екеуі де центрден 2hello_html_4f8841f1.gif см қашықтықта, ал арасындағы бұрыш 60° болса, қималардың ауданын табыңыз.

Шешуі. Шар радиусын R делік және шар бетіндегі берілген нүкте (А) мен қималар болатын екі дөңгелектің центрлері (В және С нүктелері) арқылы өтетін қиманы қарастырамыз. Есеп шарттарына сәйкес x=OB=OC=2hello_html_m7fc81ad2.gif см және hello_html_6fe75c94.gif. hello_html_6fe75c94.gif болғандықтан, hello_html_113686fb.gif (O нүктесі AB және AC түзулерінен бірдей қашықтықта, сондықтан ол ВАС бұрышының биссектрисасында жатады). ABO тікбұрышты үшбұрышынан қиманың радиусы болатын hello_html_377b89d1.gif hello_html_728be2cf.gif см. Сонда қима ауданы hello_html_42de2f49.gif см2.

Жауабы. 36 см2.


Қолданылған әдебиеттер тізімі


1. Математика пәнінен тест тапсырмалары // Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған оқу-әдістемелік құрал. – Алматы: Білім беру мен тестілеудің мемлекеттік стандарттарының ұлттық орталығы, 2000. – 465 б.

2. Математика – 2007 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2007. – 256 б.

3. Математика – 2008 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2008. – 224 б.

4. Математика – 2009 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2009. – 272 б.

5. Математика – 2010 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2010. – 240 б.

6. Математика – 2013 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2013. – 145 б.

7. Альсейтов А.Г. Математика талапкерге: Ұлттық Бірыңғай Тестілеуге дайындалуға арналған тест нұсқалары. – Орал, 2012. – 220 б.

8. Альсейтов А.Г. Математика: Формулалар жинағы (анықтамалық материалдар). – Орал, 2012. – 156 б.

9. Альсейтов А.Г. Мендибаева Н.М. Тест жинақтарындағы кейбір «стандартты емес» есептер. «Ғылым және білім», №1 (2), 2006. Б. 75-79.

10. Альсейтов А.Г., Хамидуллин Д.Т. Таңдамалы есептер. «Математика және логика». №2, 2012. 11-14 бет.

11. Альсейтов А.Г. Математикадан қиындығы жоғары есептер. «Математика және логика». №6, 2012. 12-14 бет.





13


Краткое описание документа:

"Описание материала:

"Математика пәнінен Ұлттық бірыңғай тестілеу емтихан есептерінің ішінде ең күрделі есептер қатарына бірінші кезекте стереометрия есептері жататындығы белгілі.

Сонымен қатар математика пәнінен ҰБТ емтихандарына олимпиадалық сипаттағы есептердің де енгізіліп отырғанын ескерсек, онда стереометрияның есептерін басқа тақырыптардан бөліп алып, жеке қарастырудың қажеттілік екендігін түсіну қиын емес.

Екінші жағынан, ҰБТ сияқты тест түрінде өткізілетін емтихандарда уақыт факторының алатын орны ерекше екендігін ескеретін болсақ, бұл тараудың есептерін бөлек қарастырудың маңыздылығы айқындала түседі.

Бұл мақалада сьереометрияның бірқатар күрделірек есептері толық шешулерімен келтіріледі.

Автор оқушыға түсініп талдауға қолайлы болсын дегенмен мақсатта есептердің шешімдерін жазу барысында математикалық символдарды көбірек қолданған.

Автор
Дата добавления 12.07.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2390
Номер материала 136780071214
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх