ЛОГАРИФМ. ЛОГАРИФМДІК ФУНКЦИЯ. ЛОГАРИФМДІК ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ОЛАРДЫҢ ЖҮЙЕЛЕРІ

 

 

Альсейтов Амангелді Гумарович

 

БҚО Теректі ауданыдық «Үміт» лингвистикалық гимназиясының мұғалімі

 

 

Бұл мақалада оң санның логарифмінің анықтамасы мен қасиеттері, логарифмдік функцияның анықтамасы мен қасиеттері, логарифмдік теңдеулердің түрлері мен оларды шешу тәсілдері және логарифмдік теңдеулердің жүйелері қарастырылады. «Логарифм» тақырыбы 11-сыныптың материалы екендігін және бұл сыныпта материалдың өте көптігін, сонымен қатар оқушы Ұлттық Бірыңғай Тестілеуге дайындалу барысында математикадан басқа тағы төрт пәнге дайындалуға тиісті екендігін ескерсек, тақырыпты бұлай жинақтап қарастырудың қажеттілігі өзінен-өзі көрініп тұрғандай.  

 

1   Логарифм және оның қасиеттері 

 

Оң b санының a (a  0, a 1) негізі бойынша логарифмі деп b санын алу үшін  а  санын дәрежелеу керек болатын  с  дәреже көрсеткіші аталады: 

log_a b  c  a^c  b.

а –  логарифм негізі, b –  логарифмденетін сан.

a^logab b –  негізгі логарифмдік теңбе-теңдік.

10 негізі бойынша алынған логарифм ондық логарифм деп аталып, былай белгіленеді: log₁₀b  lgb. 

е  негізі бойынша алынған логарифм натурал логарифм деп аталып, былай белгіленеді: log_e b  lnb. 

n

e  lim ^_1 ^1_  2,718281828... n^ n

log^cb, c 0.

Жаңа негізге көшу формуласы:   log_ab log_c a

1

Дербес жағдай:  Егер b  c болса, онда log_ab . log_b a

Ондық және натурал логарифмдер арасындағы байланыстар:

lge  0,4343... саны ондық логарифмдердің модулі деп аталып, M әрпімен lgb

белгіленеді:       lnb   2,302585lgb, lgb  0,4343lnb.

M

Логарифмдердің қасиеттері  (a  0, a 1, b  0, c  0):

1º. log_a a 1.                    

2º. log_a1 0.              

3º. log_a(bc)  log_ablog_ac.          

4º. log_a^_^b_ log_ab log_a c.     

c

5º. log_a bⁿ  nlog_a b.  

6º. log_a ⁿ b  ¹ log_a b.                        n

1

7º.  log_an b  _n log_a b.      

8º.  log_am bⁿ  _mⁿ log_a b.         

9º.  log_an bⁿ  log_ab.                           

10º. log_a b  log_c blog_a c.                  

 

2   Логарифмдік функция және оның қасиеттері 

 

y  log_a x^, мұндағы a  0, a 1, түріндегі функция логарифмдік функция деп аталады.           

1º. Анықталу облысы:  (0; ),  яғни x  0.

2º. Өзгеру облысы (мәндерінің облысы): (; ),  яғни  yR.

3º. Функция жұп та емес, тақ та емес.

4º. Функция периодты емес.

5º. Функция шенелмеген.

6º. Функция (0; ) аралығында үзіліссіз.

7º. Функция a 1 жағдайында бүкіл сан түзуінде өседі, 0  a 1 жағдайында бүкіл сан түзуінде  кемиді.

8º. Функцияның нөлі: x₀ 1, яғни графигі Oxөсін (1; 0) нүктесінде қияды.

9º. Графигі  Oy өсін  қимайды.

 a 1                                                      0  a 1

                                                                       

 

3   Қарапайым логарифмдік теңдеулер

 

                                   loga x  b a  0, a 1                                                        (1) түріндегі теңдеу логарифмдік теңдеу деп аталады. Бұл ең қарапайым логарифмдік теңдеу. Бұл түрдегі теңдеулер логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы тікелей шешіледі.

Теңдеудің бір ғана түбірі бар:  x  a^b. 

Мысалы: log₃ x  5  x  3⁵  243.

Логарифмдік теңдеулерді логарифмнің қасиеттерін қолданып түрлендіру барысында бөгде түбірлердің пайда болуы да, берілген теңдеудің түбірлерін жоғалтып алу да орын алуы  мүмкін. Сондықтан қолданылатын түрлендірулердің мәндес түрлендірулер болуын қадағалап отыру қажет.

 

                                 loga f (x)  b a  0, a 1                                                   (2)

түріндегі теңдеу де қарапайым логарифмдік теңдеулер қатарына жатады да, f (x)  a^b теңдеуімен мәндес болады.

3.1. Теңдеуді шешіңіз:  log₃(2x 1)  2.            

Шешуі. 2x 1 3²,  x  5.                                                

Жауабы.  5.

3.2. Теңдеуді шешіңіз:  log₃(tgx) 1/2.    

Шешуі. tgx 3^1/2  3, x _^ k , kZ .  

3

Жауабы.  x _^ k , kZ . 3

3.3. Теңдеуді шешіңіз:  log₂ log₃(tgx) 1.    

Шешуі. Бұл теңдеу жоғарыдағы қарастырылған екі теңдеуге қарағанда күрделірек сияқты болып көрінгенімен, шын мәнінде олай емес. Мұнда логарифмнің           анықтамасын       екі     рет     қолданамыз:        log₃(tgx)  2,         tgx 9, x arctg9 k , kZ .            

Жауабы.  x arctg9 k , kZ .

 

                                            ^logx ^{a  b a  0                                                          (3)}

түріндегі теңдеу де қарапайым логарифмдік теңдеулер қатарына жатады да,

1

log_x a  log_x x^b немесе  a  x^b   немесе   x  a^b теңдеуімен мәндес болады.

Теңдеулердің

1

a ¹ және  b  ⁰ жағдайында бір ғана түбірі болады:  x  a^b; a ¹ және b  0 жағдайында бірге тең емес кез келген нақты сан түбірі

бола алады; a ¹ және b  0 жағдайында түбірлері жоқ; a ¹ және b  0 жағдайында түбірлері жоқ.

(3)                  түріндегі теңдеудің (1) түріндегі теңдеуден айырмашылығы – соңғы теңдеудің негізінің айнымалы болуында. Соған қарамастан (3) түріндегі теңдеу (1) түріндегі теңдеу сияқты логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы тікелей шешіледі. Мұнда тек логарифмнің негізі бірге тең емес оң сан болатындығын қадағалап отыру керек.

3.4.   Теңдеуді шешіңіз:  log_x14  2.           

Шешуі. (x 1)²  4,     x₁  3,  x₂  1 A.o.                        

Жауабы.  3.

3.5.   Теңдеуді шешіңіз:  log_x 9 3  5/2.    

2

Шешуі. (x/2)^5/2  9 3, (x/2)⁵  243 3⁵,  x/2 3,  x  6.                          

Жауабы.  6.

     

4   Логарифмдік теңдеулердің негізгі түрлері

 

               log_a f (x)  log_a g(x)          және         log_a(x) f (x)  log_a(x) g(x)         теңдеулері

логарифмдік теңдеулердің негізгі түрлеріне жатады да, сәйкесінше 

 

f (x)  g(x),

1.    log_a f (x)  log_a g(x) ^_ f (x)  0,       (4)

                                                                                                          ^^g(x)  0                                        

және

 f (x)  g(x), ^a(x)  0,



2.    log_a(x) f (x)  log_a(x) g(x)  ^_a(x) 1, (5) ^ f (x)  0, 

                                                                                                                     g(x)  0                                        



жүйелерімен мәндес болады. Бұл түрлерге жататын теңдеулерді шешудің мысалдарын келесі пунктте келтіретін боламыз.

 

5   Логарифмдік теңдеулерді шешу (жалпы ережелер)

 

Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу барысында анықталу облысына ерекше мән беру керек. Қарапайым жағдайларда логарифмдік теңдеуді log_a f (x)  log_a g(x) түріне келтіреді, бұдан f (x)  g(x) болады. Ол үшін түрлендірулерді келесі ретпен орындайды:

1)                     анықталу облысын (АО) табады. Мысалы, log _{f (x)} g(x) өрнегі үшін анықталу облысы былай жазылады: f (x)  0, f (x) 1, g(x)  0;

2)                     барлық логарифмдерді бірдей негізге келтіреді; егер осы негіз бүтін жай сан болса, онда әрі қарайғы барлық есептеулер қарапайымырақ болады;

3)                     теңдеудегі логарифм   емес қосылғыштардың          барлығын   негізгі

логарифмдік теңбе-теңдікті, яғни b  a^logab қасиетін (теңбе-теңдігін) қолданып, логарифмге келтіреді;

4)                     nlog_ab  log_a bⁿ қасиетін қолданып барлық көбейткіштерді логарифм астына енгізеді;

5)                     логарифмнің 3º және 4º қасиеттерін, яғни log_a b  log_a c  log_a(bc) және

log_a b log_a c  log_a^^b   теңдіктерін қолдана,     отырып       логарифмдердің c

қосындысы мен айырмасын бір логарифмге келтіреді; осы қадамдардың нәтижесінде берілген теңдеу  log_a f (x)  log_a g(x) түрін қабылдайды.

Енді логарифмдік теңдеулердің әр түрін жоғарыда айтылғандарды қолданып шешу тәсілдерін көрсетейік. 

                                   f (loga x)  0 a  0, a 1                                                 (6) түріндегі теңдеулер

                             loga x  t1, loga x  t2 , ... , loga x  tn                                        (6')

теңдеулер жиынтығымен мәндес; мұндағы t₁, t₂ ^{, ...,} t_n  – f (t)⁰ теңдеуінің барлық түбірлері.

                                                                       1             5

5.1.   Теңдеуді шешіңіз:         1.    lg x  6         lg x  2

1 5 ² 10t 16  0,  t₁  2,  t₂ 8;  Шешуі. x  0, lg x t :    1, t  t 6 t  2

lg x₁  2,  x₁ 100, lg x₂ 8,  x₂ 10⁸ .                    

Жауабы.  100; 10⁸ .

5.2.   Теңдеуді шешіңіз:  31lg lgx 2 x2 11lg x .        

             Шешуі.    x  0,    lg x 1,     x 10,      x 1/10; lg x t :     31t^t₂²  _1¹ _t ,

2t² t 1 0, t₁ 1,  t₂  1/2;  lg x₁ 1,  x₁ 10 A.o.,  lg x₂  1/2,  x₂ 10^1/2 1/ 10 .                                                          

Жауабы.  1/ 10.

                                                                          1                1

5.3.   Теңдеуді шешіңіз:         1.      

                                                                5  log₂ x    1 log₂ x

                                                                     1        1           ²                 4t 1 0, t  2 3,  log₂ x  2 3 , 

Шешуі. log₂ x t,           1, t  5t  1t

x  2^23 .                      

Жауабы.  x₁  2^23 , x₂  2^23.

                                            f (logx a)  0, a  0                                                  (7) түріндегі теңдеулер

                            logx a  t1, logx a  t2 , ..., logx a  tn                                         (7')

теңдеулер жиынтығымен мәндес; мұндағы t₁, t₂ ^{, ...,} t_n  – f (t)⁰ теңдеуінің барлық түбірлері.

5.4. Теңдеуді шешіңіз:  log_x ⁵ 5  log²_x        5.     

             Шешуі.            log_x 5^1/5 _ ⁵  log²_x 5^{1/ 2} ,                           log _x 5       log²_x 5, 

4

4log _x 525  5log²_x 5,        log _x 5  y,               5y² 4y 25  0,       дискриминант

D 16500  484 0, яғни берілген теңдеудің түбірі жоқ.     

Жауабы.  Түбірі жоқ.

 

                             log_a f (x)  log_a g(x),           a  0, a 1                                         (8)

түріндегі теңдеулерді мәндес жүйемен екі тәсілмен алмастыруға болады.                    

1-тәсіл. 

                                            loga f (x)  loga g(x) f (x)  g(x),                                          (8')

                                                                f (x)  0.

                                         

2-тәсіл. 

                                               loga f (x)  loga g(x) f (x)  g(x),                                       (8'')

                                                                  g(x)  0.

                                       

Ескерту. f (x)  0 және g(x)  0 теңсіздігінің қайсысын шешу қарапайымырақ болса,  соған байланысты  (8') және (8'') мәндес алмастыруларының бірін қолданады.

5.5. Теңдеуді шешіңіз:  log₃(3x 5) log₃(x 9).                  

Шешуі. 3x 5  x 9,   x  7.                   

Жауабы.  7.

5.6. Теңдеуді шешіңіз:  log₇(4x² 18x 13) log₇(2x 8)  0.    

4x2

                 Шешуі. log₇(4x2 18x 13)  log7(2x 8),             18x 13  2x 8,   

_x  4

4x2 20x 21 0,  4x2 20x  21 0,  x10 194,  ø.    

_x 4                                                                    4

Жауабы.  Түбірі жоқ.

5.7. Теңдеуді шешіңіз:  ln(x² 6x9)  ln3ln(x3).            

Шешуі. ln(x² 6x9)  ln(3x9),   x² 6x9 3x9,  x² 9x  0,   x₁  0,  x₂  9.                    

Жауабы.  x₁  0,  x₂  9.

                                 log f (x) a  logg(x) a, a  0                                                    (9)

түріндегі теңдеулерді де мәндес жүйемен екі тәсілмен алмастыруға болады.                                                                                         

1-тәсіл. 

 f (x)  g(x),

                                            log _{f (x)} a  log _g(x) a  ^_ f (x)  0,                                             (9')

                                                               f (x) 1                                                

2-тәсіл. 

 f (x)  g(x),

                                           log _{f (x)} a  log _g(x) a  ^_g(x)  0,                                              (9'')

                                                              g(x) 1.                                               

Ескерту. f (x)  0 және g(x)  0 теңсіздігінің қайсысын шешу қарапайымырақ болса,  соған байланысты  (9') және (9'') мәндес алмастыруларының бірін қолданады.

5.8. Теңдеуді шешіңіз:  ^log_x2_6x₅ 7  log_x1 7.       

Шешуі. x 1 0 теңсіздігін шешу  x² 6x 5  ⁰ теңсіздігін шешуден x²  6x  5  x 1,  жеңілірек болғандықтан, берілген теңдеу  x 1 0,   аралас 

^x 11

x₁  6,

                                                                                                                   x²  7x 6  0,  ^_^_x₂ 1

     ^       ,    x6. жүйесімен мәндес болады. Оны шешеміз:  x1,    ^,   _x1,

                                                                                                                 ^x 2                  ^x 2.



Жауабы.  6.

 

                                           logg(x) f (x)  b                                                           (10)

түріндегі теңдеулерді келесі онымен мәндес аралас жүйемен алмастыруға                                                             болады:  f (x)  g^b(x),



                                                                      g(x)  0,                                                                (10')

g(x) 1.                                                                                                         _

5.9. Теңдеуді шешіңіз:  log_x(x² 5x 5)  2.      

Шешуі. x² 5x 5  x² ,  5x 5  0,   x 1D(log),  ø.

Жауабы.  Түбірі жоқ.

                                        loga(x) f (x)  loga(x) g(x)                                                (11)

түріндегі теңдеулерді мәндес жүйемен екі тәсілмен алмастыруға болады.

                                               

1-тәсіл. 

f (x)  g(x),

^f (x)  0,

                                                log_a(x) f (x)  log_a(x) g(x) _                                                    (11')

_     0, a(x)

                                                                       _a(x) _1.                                    

2-тәсіл. 

f (x)  g(x),

^g(x)  0,

                                              log_a(x) f (x)  log_a(x) g(x) _                                                    (11'')

_a(x)  0,

                                                                      _a(x) _1.                                    

5.10. Теңдеуді шешіңіз:  log_x1(x²  4x 8)  log_x1(x  2).      

Шешуі. x  2  0 теңсіздігін шешу  x² 4x 8 ⁰ теңсіздігін шешуден

x²  4x 8  x  2,

 x  2  0,

жеңілірек болғандықтан, берілген теңдеу               _                                   аралас

_x 1 0, x 11.

жүйесімен мәндес болады. 

x2 5x  6  0,    xx12 23, x  2,     ^,   _x 1,       ,    x3.

 Оны шешеміз:  

                                          x 1,                   x  2.

                                        x  2.                 



Жауабы.  3.        

                                                     

                                     logg(x) f (x)  logh(x) f (x)                                                   (12)

түріндегі теңдеулерді мәндес жүйемен екі тәсілмен алмастыруға болады.

                                                  

1-тәсіл. 

g(x)  h(x),

^f (x)  0,

                                     log_g(x) f (x)  log_h(x) f (x) _                                                          (12')

_g(x)  0,

                                                                 _g(x) _1.                                          

2-тәсіл. 

g(x)  h(x),

^f (x)  0,

                                     log_g(x) f (x)  log_h(x) f (x) _                                                          (12'')

_h(x)  0,

                    _h(x) _1.                                                      2nlog_a f (x)  log_a g(x), a  0,  a 1,  nN                                 (13) түріндегі теңдеулерді келесі онымен мәндес аралас жүйемен алмастыруға          болады.

 f (x)  0,

f

                                             2n(x)  g(x).                                                         (13')

                                                          

 

5.11. Теңдеуді шешіңіз:  2lg2x  lg(x²  75).               

Шешуі. A.o.: x 0. lg(2x)²  lg(x² 75), 4x²  x² 75, 3x²  75, x²  25, x₁  5, x₂  5 A.o.                          

Жауабы.  5.

5.12. Теңдеуді шешіңіз:  lg x  2lg3.                             

Шешуі. lg x  lg3²  lg9,  x  9.  

Жауабы.  9.

1                      log_a f (x)  log_a g(x),      a  0^,  a 1                                   (14)   2

         

түріндегі теңдеулерді онымен мәндес

                                    loga f (x)  2loga g(x)                                                      (14')

түріндегі теңдеулермен, ал оларды өз кезегінде келесі онымен мәндес аралас жүйемен алмастыруға болады:

g(x)  0,

                                           2(x). (14'') f (x)  g

                                                             

lg(x² 5x  4)

5.13. Теңдеуді шешіңіз:  1.        2lg x

Шешуі. A.o.: x  0, x 1.  lg(x² 5x 4)  2lg x, lg(x² 5x 4)  lg x²,   x² 5x  4  x² ,   5x  4  0,   x4/5A.o.,  ø.

Жауабы.  Түбірі жоқ.

      

                     log_a f (x) log_a g(x)  log_a h(x),        a  0,  a 1                       (15) түріндегі теңдеулерді келесі онымен мәндес аралас жүйелердің бірімен                   алмастыруға болады:  f (x)  0,



                                                  g(x)  0,                                                                            (15')

                               ^log_af (x) g(x) log_a h(x)                                                

немесе

 f (x)  0,



                                                               g(x)  0,                                                                   (15'')

                                       ^ f (x) g(x)  h(x).                                                       

 

5.14. Теңдеуді шешіңіз:  log₃ x  log₃1,5 log₃8.      

Шешуі. log₃ x  log₃(1,58)  log₃12, x 12.       

Жауабы.  12.

          

    log_a f (x) log_a g(x)  log_a h(x) log_a(x), a  0^,  a 1                    (16) түріндегі теңдеу         

                 loga f (x) loga(x)  loga h(x) loga g(x)                                         (16')

теңдеуімен мәндес және келесі онымен мәндес аралас жүйелердің бірімен алмастыруға болады:

 f (x)  0, ^(x)  0,



                                           h(x)  0,                                                                               (16'')

                                         ^g(x)  0,                                                                               

                           _log_af (x)(x) log_ah(x) g(x)

немесе

 f (x)  0, ^(x)  0,



                                                             h(x)  0,                                                                    (16''')

^g(x)  0,                                                                                        f (x)(x)  h(x) g(x).

 

5.15. Теңдеуді шешіңіз: lg(x² 7x 3)  lg(2x 1)  lg(x²  x 3)  lg(2x 1).

                                         x²  7x  3        x²  x 3     x² 7x 3     x²  x 3

Шешуі. lg      lg   ,         ,   2x 1       2x 1 2x 1 2x 1

2x³ 14x² 6x x² 7x3 2x³ 14x² 6x x² 7x1,                      30x² 12x  0,  

5x²  2x  0,  x₁  0 A.o.,  x₂  2,5 A.o.         

Жауабы.  Түбірі жоқ.

5.16. Теңдеуді шешіңіз:  lg(x  6)  2 lg(2x 3)  lg25.     

                                                                                                                    1x^{6                                            2x3}

              Шешуі. 2 lg100,   lg(2x3)  lg     2x3, сондықтан lg           lg             , 

                                                                                                                    2100                                          25

x6 2x3 ,  x 6  2x3,  x6  4 2x3,  x2 12x36 32x48,  

100           25           4

x² 20x 84  0,  x₁  6,  x₂ 14.                                                             

Жауабы.  6; 14.

5.17. Теңдеуді шешіңіз:  lg 1 x² 3lg 1 x  lg(1 x)  2.

Шешуі.  lg 1x lg( 1x)  lg lg ( 11^ ^xx²)₃  lg( 1 x 100),         1 x 100,     

(1 x)(1 x)1

³          1 x 100,           ( 1x)² 100,    ( 1 x)

       1                               1

   100,      1 x   0,01,         x 0,99.                      

1 x                           100

Жауабы.  0,99.

5.18. Теңдеуді шешіңіз:  log₂(2x 1)  log₂(x 5) log₂ 52  2.  

Шешуі. log₂((2x1)(x5))  log₂(52:4), 2x² 9x5 13,  2x² 9x18  0,   x _ ^{9 81144} _ ^915 ,  x₁  6A.o., x₂ 1,5.                                

                            4                   4

Жауабы.  1,5.

5.19. Теңдеуді шешіңіз:  log₂(3x 1) log₂(4  x)  4 log₂(x 1). 

Шешуі. log₂((3x1)/(4 x))  log₂(16/(x1)),   (3x1)/(4x) 16/(x1),    3x² 4x1 6416x, 3x² 12x63 0,  x₁  7A.o., x₂  3.                 

Жауабы.  3.

5.20. Теңдеуді шешіңіз: lg10  lg xlg(ab) lgb.

Шешуі. lg(10x) lg((ab)/b),     10x  (ab)/b,   x  (ab)/(10b).

Жауабы.  (ab)/(10b).

 

 

6   Логарифмдік теңдеулердің жүйелері

 

lg(x²  y²) 1, 6.1. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: _ .       _x  y  2

                                    x²  y² 10        (x  y)(x  y) 10 _xy5

             Шешуі. _                  ,                               ,                 ,  x 3,5,  y 1,5.

                                  _x  y  2        x  y  ²                   _xy2

Жауабы.   (3,5; 1,5).

6.2. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:   _ log⁴x^y^1 .

_log₂(xy) 1

x y 4

                                x  y  41  4    

Шешуі. x  y  21  2 ,     _x y 2 ,    xx  3,1;yy1;3.    

                                                                                    x y 4     

x y 2

Жауабы.   (3; 1),  (-1; -3).

 

 

7   Күрделірек логарифмдік теңдеулерді шешу

 

7.1. Теңдеуді шешіңіз:  10^lg(0,5x2) 8.  

Шешуі.  Негізгі логарифмдік теңбе-теңдіктен 0,5x² 8, яғни x² 16, x 4.

Жауабы.   4.

7.2. Теңдеуді шешіңіз:  1     2      2log⁹(2x^9)  0.              

                                                                        log₉ x          log₃ x

Шешуі. A.o.: x  4,5.  1 2  log9(2x9)  0,   log₉ x log₉ x

log₉ x 2log₉(2x 9)  0, log₉(x(2x 9))  2,  2x² 9x 81,  2x² 9x 81 0,   x₁  9,  x₂  9/2 A.o.                          

Жауабы.  9.

7.3. Теңдеуді шешіңіз:  2^{log2 x} 5^log5(1/3) .                Шешуі. 2log2 x1 5log5(1/3) ,  x1  1 ,  x1  31,  x  3.                 

3 Жауабы.  3.

7.4. Теңдеуді шешіңіз:  x^1lgx  0,01.        

Шешуі. 1-тәсіл.  Екі жағынан да ондық логарифм алып, логарифмнің қасиеттерін қолдана отырып, берілген теңдеуді квадраттық теңдеуге келтіреміз: lg x^1lgx  lg0,01,  (1lg x)lg x 2, lg² x lg x  2  0. Оны шешеміз: lg x 1 немесе  lg x  2, бұдан x 0,1 немесе x 100.                              

2-тәсіл. lg x ^t алмастыруын енгізсек, онда x 10^t  және берілген теңдеу (10^t )^1t  0,⁰¹ түріне келеді. Дәрежені дәрежелегенде дәреже көрсеткіштері көбейтілетіндігін және 0,0110^2  екендігін ескерсек, онда теңдеу 10^tt2 10^2 түріне келтіріледі және бұдан  t t²  2  квадраттық теңдеуін аламыз; оның түбірлері t₁  ¹ және  t₂  2.  Сондықтан берілген теңдеудің түбірлері x₁ 10^1  0,¹  және x₂ 10² 100.

Жауабы.  0,1; 100.

7.5. Теңдеуді шешіңіз:  6^{log62 x}  x^{log6 x} 12.    

Шешуі. log₆ x t алмастыруын енгізейік, онда x  6^t , және теңдеу

6^t2  (6^t )^t 12  түріне келеді.  Оны шешеміз. 6^t2 6^t2 12, 26^t2 12, 6^t2  6, 

t² 1,   t  1,   x₁  6,  x₂ 1/6.                          

Жауабы.  6; 1/6.

7.6. Теңдеуді шешіңіз:  lg²(x)  lg x² 1 0.     

Шешуі. A.o.: x  0.   x  t  0 алмастыруын енгізейік.  (x)²  x² болғандықтан,  теңдеу lg² t  lgt² 1 0 түріне келеді. t  0 болғандықтан логарифмнің қасиетін қолданып теңдеуді lg²t  2lgt 1 0 түрінде жазып, lgt  y алмастыруын енгіземіз, сонда y²  2y1 0 квадраттық теңдеуі шығады.  (y 1)²  0, y 1, lgt 1,  t 1/10,   x  1/10.                                                    

Жауабы.  -1/10.

7.7. Теңдеуді шешіңіз:  log_x16 log_x2 16  3.        

Шешуі. log_x16log_x16  3,   log_x16 3,  log_x16  2,  x² 16,   x  4,

x₁  4,  x₂  4 A.o.                                     

Жауабы.  4.

7.8. Теңдеуді шешіңіз:  3 5log⁵x² _ 2.  

Шешуі. 5(1/3)log5 x2  2,  5log5(x2)1/3  2,  5log5 x2/3  2,  x2/3  2,  x  2 2.

Жауабы.  2 2.

7.9. Теңдеуді шешіңіз:  5^3lgx 12,5x.       

Шешуі. lg5^3lgx  lg(12,5x),  3lg xlg5  lg12,5lg x, 3lg xlg5lg x  lg12,5, 

lg x(3lg51)  lg12,5,                lg x(lg1251)  lg12,5,   lg12,5  lg12,5 lg12,5

         lg x                                                1,    lg x 1,  x 10.                       

                         lg1251     lg125lg10     lg12,5

Жауабы.  10.

7.10. Теңдеуді шешіңіз:  log₃²(9x²)  log₃ 81.      

Шешуі. log₃²(9x²)  4, log₃(9x²) 2; 

1)   log₃(9x²)  2,   9x²  9,  x  1,   x₁ 1,   x₂  1,   

2)   log₃(9x²) 2,  9x² 1/9,  x  1/9,   x₃ 1/9,  x₄  1/9.                                 

Жауабы.  x₁ 1,  x₂  1, x₃ 1/9, x₄  1/9.

7.11. Теңдеуді шешіңіз:  x^{loga x}  (a^)^{log3a x} .    

Шешуі. Бұл түрдегі теңдеулерді екі тәсілмен шешуді көрсетеміз. 

1-тәсіл (жаңа айнымалы енгізу тәсілі – алмастыру тәсілі). log_a x  t алмастыруын енгіземіз. Сонда x  a^t болады да, берілген теңдеу (a^t )^t  (a^)^t3 түріне келеді. Оны шешеміз. t² t³, t₁  0, t₂ 1/;  x₁ a⁰ 1,  x₂  a^1/.                   

2-тәсіл (логарифмдеу тәсілі). Берілген теңдеудің екі жағын да а негізі

бойынша логарифмдейміз, сонда log_a x^{loga x} log_a(a^)^{log3a x},  log_a xlog_a x log³_a xlog_a a^,  l o g²_a x l o g³_a x1,  log²_a x log³_a x  0,  log²_a x(1log_a x)  0. Соңғы теңдеуді шешеміз.  1) log²_a x 0,  log_a x0,  x  a⁰ 1;

1

                                                                                      1           ^

2) 1log_a x  0, log_a x   ,  xa .



1

Жауабы.   1,  a^ .

7.12. Теңдеуді шешіңіз:  log₄(x 12)log _x 2 1.     

             Шешуі.      log₄(x12)/log₂ x 1,       log₂       x12  log₂ x,                 x12  x, 

x 12  x² ,   x²  x 12  0,  x₁  3 A.o., x₂  4.                 

Жауабы.  4.

log2 xx 2log2 x log2 2x3.     7.13. Теңдеуді шешіңіз:   log₂

2

log² x   log₂( x)² log₂ 2log₂ x  3,   Шешуі.

log₂ xlog₂ 2

log2 x log2 x1log2 x  3,    log2 x  2,  log2 x t,  t  2,  t  2,   log₂ x1 log₂ x1 t 1 log₂ x  2,  x  4.                                                                                               

Жауабы.  4.

7.14. Теңдеуді шешіңіз:  2log _x 27 3log₂₇ x 1.  

Шешуі. 2log_x 273/log_x 27 1, log _x 27  t ,  2t 3/t 1,  2t² t 3 0,  t₁  1,   t₂  3/2;  log _x 27  1,  x 1/27,  log _x 27  3/2, x  9.                      

Жауабы.  1/27; 9.

7.15. Теңдеуді шешіңіз:  log₃ xlog₉ xlog₂₇ xlog₈₁ x   .   

Шешуі. log₃ x^log₃2 x^log₃3 x^log₃4 x  ,      

1                             1  1

log₃ x log₃ x log₃ x log₃ x     ,  

2                             3  4

(log₃ x)⁴ 16,  log₃ x  2,  x₁  9, x₂ 1/9.                                           

Жауабы.  9; 1/9.

7.16. Теңдеуді шешіңіз:  log₄ log₂ x  log₂ log₄ x  2.      

1

Шешуі.                                log₂ log₂ xlog₂( log₂ x)  2,   2

1

log₂ log₂ xlog₂ log₂ log₂ x  2,

2

log₂ log₂ x  3,  log₂ log₂ x  2,  log₂ x  4,  x 16.                                                                  

Жауабы.  16.

 

Қолданылған әдебиеттер тізімі:

 

1.                 Математика пәнінен тест тапсырмалары // Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған оқу-әдістемелік құрал.  – Алматы: Білім беру мен тестілеудің мемлекеттік стандарттарының ұлттық орталығы, 2000. – 465 б.

2.                 Математика – 2004 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2004. – 256 б. 

3.                 Математика – 2005 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2005. – 256 б. 

4.                 Математика – 2007 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2007. – 248 б. 

5.                 Математика – 2008 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2008. – 240 б. 

6.                 Математика – 2011 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚМ, 2011. – 176 б. 

7.                 Математика – 2012 // Математика пәні бойынша оқу-әдістемелік құрал. – Астана: «Ұлттық тестілеу орталығы» РМҚК, 2012. – 134 б. 

8.                 Альсейтов А.Г. Математика талапкерге: Ұлттық Бірыңғай Тестілеуге дайындалуға арналған тест нұсқалары. – Орал,  2012. – 220 б. 

9.                 Альсейтов А.Г. Математика: Формулалар жинағы (анықтамалық материалдар). – Орал,  2012. – 156 б. 

10.            Альсейтов А.Г. Математика: Ұлттық бірыңғай тестілеу емтихандарында кездесетін күрделілігі жоғары, таңдамалы және «стандартты емес» есептер. –

Орал,  2013. – 332 б.