Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе "Бенефис одной задачи"

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе "Бенефис одной задачи"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Урок «Бенефис одной задачи»

11 класс

Учитель математики высшей категории

МОУ «СОШ № 12» г. Щекино Тульской области

ТИМОФЕЕВА Галина Александровна

Цели: – рассмотреть различные способы решения одной задачи;

развитие творчества, логического мышления, речи, вычислительных навыков и навыков самостоятельной работы;

воспитание интереса к математике, расширение кругозора.

Ход занятия.

  1. Организационный момент.

  2. Решение задачи.

  3. Подведение итогов занятия. Задание на дом.

Оборудование.

    1. мультимедийный проектор, компьютер;

    2. плакат с высказываниями о математике;

    3. экран.

Организационный момент.

- Здравствуйте, садитесь!

- Сегодня у нас не совсем обычный урок, а урок - бенефис – бенефис одной задачи. Одним из требований к уроку бенефису является возможность увидеть несколько способов решения задачи.

Урок -бенефис – это урок - отчет о самостоятельных домашних исследованиях.

И сегодня мы рассмотрим 6 способов решения одной задачи, которая была вам представлена для обдумывания неделю назад.

Решение задачи.

Познакомит нас с «героиней» сегодняшнего занятия -

ЗАДАЧА. На графике функции у = |3х - 2| найдите точку, ближайшую к точке А(3;0).

Решение.

ООФ: хhello_html_m79f24a27.gifhello_html_m38a881b.gif

ОЗФ: уhello_html_m79f24a27.gifhello_html_m7030a0ee.gif

Зададим данную функцию в виде двух аналитических выражений:

у = |3х - 2| = hello_html_58c4ce27.gif

Построим график данной функции.

х

hello_html_m6a772bb3.gif

2

у

0

4

у = 3х – 2, хhello_html_2f058e8d.gif





х

0

-2

у

2

8

у = 2 - 3х, хhello_html_m1a2395c8.gif



Наша задача сводится к нахождению расстояния АК, где АК hello_html_487a07c.gifl1.

Это можно сделать несколькими способами, а именно:

1. используя подобие треугольников;

2. теорему Пифагора;

3. через угловые коэффициенты и взаимное расположение прямых на плоскости;

4. координатный способ;

5. с помощью производной;

6. используя формулу нахождения расстояния от точки до прямой.

1 способ. (на доске)

По графику функции видно, что hello_html_12394a4.gif

Рассмотрим треугольник АКС. По теореме Пифагора имеем: АС2 = СК2 + АК2.

Выразим через х и у СК и АК.

СК = hello_html_m6fb2a994.gif; АК = hello_html_67387c0d.gif.

Заметим, что АС = АО – ОС = 3 - hello_html_m4d5aea0d.gif

Поэтому имеет место система hello_html_m6b2a518a.gif

Воспользовавшись подстановкой у = 3х – 2, составляем уравнение 30х2 – 47х + 18 = 0.

Решив его, получаем: х1 =0,9 и х2 = hello_html_m5e7147f2.gif

х2 – не удовлетворяет области допустимых значений. Поэтому у = 3 ·0,9 – 2 = 0,7.

Ответ: К(0,9; 0,7).

2 способ. (через проектор)

Проведем АЕ hello_html_m7532947c.gif ОА, точка Е(3; 7). Получим ∆ САЕ ~ ∆ АКС.

Из ∆ САЕ получим: СЕ = hello_html_3c6b4ea5.gif.

Отсюда S∆ САЕ =hello_html_m1b704854.gifАС· АЕ =hello_html_m277eb009.gif.

Но S∆ САЕ =hello_html_m1b704854.gifАК· СЕ, значит, АК = hello_html_2d4206a5.gif.

А теперь выразим расстояние между двумя точками А и К через их координаты:

АК = hello_html_m5b19c51b.gif.

Составим и решим систему уравнений: hello_html_473775d.gif

Получим: х=0,9; у=0,7.

Ответ: К(0,9; 0,7).


3 способ (на доске)

При хhello_html_2f058e8d.gif функция у = |3х - 2| имеет вид: у = 3х – 2, а ее графиком является прямая l1.

Угловой коэффициент k прямой l1 равен 3. так как АК hello_html_487a07c.gifl1, то угловой коэффициент k1 прямой АК связан с коэффициентом k соотношением k1 = - hello_html_m25ab3ed3.gif, т.е. k1 = -hello_html_m5f640c3e.gif.

Тогда уравнение прямой АК имеет вид: у = - hello_html_m5f640c3e.gif(х – 3).

Точка пересечения прямых АК и l1 определяется системой: hello_html_7da41028.gif

Решение этой системы дает точку К(0,9; 0,7).

Ответ: К(0,9; 0,7).

4 способ (через проектор)

Выразим длину отрезка АК через х и у.

АК = hello_html_67387c0d.gif.

По условию у = 3х – 2, поэтому имеем равенство: АК = hello_html_56ecdb3e.gif.

По условию задачи расстояние АК – кратчайшее. Оно достигается когда (х-0,9)2=0, т.е. при х = 0,9. тогда у=3·0,9 – 2 = 0,7.

Ответ: К(0,9; 0,7).

5 способ (на доске)

В этом способе воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки до прямой: от А(хо; уо) до прямой ах+bу +с=0 по формуле d = hello_html_m18a9d43f.gif.

Найдем расстояние от точки А(3,0) до прямой у= 3х -2 или 3х –у -2 =0.


d = hello_html_m77980c73.gif.

АК = hello_html_67387c0d.gif и у= 3х -2.

Тогда hello_html_m166df74f.gif;

hello_html_7fac795b.gif;

hello_html_6bc87c0e.gif;

hello_html_38c72bcd.gif;

hello_html_m314bf911.gif;

(10х -9) = 0;

10х-9 =0;

х = 0,9;

у = 0,7.

Ответ: К(0,9; 0,7).

6 способ (через проектор)

Выразим через х расстояние от точки А до точки К.

АК = hello_html_m2eb3ebf8.gif,где hello_html_12394a4.gif

Обозначим f(x)= hello_html_m377f3d46.gif и найдем f'(x)=20x -18.

f '(x)= 0 20x – 18 = 0;

20x =18;

x =0,9, заметим, что 0,9hello_html_m79f24a27.gif(hello_html_40d1dfb3.gif.

Кроме того f '(0,7)<0 и f '(1)>0,следовательно, функция f(x) достигает минимума в точке х=0,9.

Найдем значение функции f(x) на границах интервала (hello_html_40d1dfb3.gif и при х = 0,9.

hello_html_m4f94b9c9.gif; f(3)=49; f(0,9)=4,9.

Сравнив эти значения, мы убедились, что f(x) принимает наименьшее значение при х=0,9.

Тогда у= 0,7.

Ответ: К(0,9; 0,7).

Подведение итогов.

Итак, сегодня на уроке мы рассмотрели шесть способов решения одной задачи, а именно:

1. используя подобие треугольников;

2. теорему Пифагора;

3. через угловые коэффициенты и взаимное расположение прямых на плоскости;

4. координатный способ;

5. с помощью производной;

6. используя формулу нахождения расстояния от точки до прямой.

Какой способ решения вам понравился? Почему?

Домашнее задание: найдите задачу с несколькими способами решения.

Краткое описание документа:

Это не совсем обычный урок, а урок - бенефис одной задачи. Это урок на котором рассматривается несколько способов решения задачи. Представленный урок -бенефис – это урок - отчет о самостоятельных домашних исследованиях. На этом уроке рассматривается 6 способов решения одной задачи, которая была предложена учащимся для обдумывания неделю назад. Целью данного урока является: рассмотрение различных способов решения одной задачи; развитие творчества, логического мышления, речи, вычислительных навыков и навыков самостоятельной работы; воспитание интереса к математике, расширение кругозора.

Общая информация

Номер материала: 140121072333

Похожие материалы