Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка элективного курса по теме "Многоликие многочлены" для 9 классов
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка элективного курса по теме "Многоликие многочлены" для 9 классов

библиотека
материалов

РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО ТЕМЕ «МНОГОЛИКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9-Х КЛАССОВ

Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

В рамках Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования (приказ МО РФ№2783 от 18.07.2002)для более полного учета интересов, склонностей и способностей учащихся, их намерений в отношении продолжения образования вводиться данный элективный курс «Многоликие многочлены».

Целью изучения предлагаемого курса является создание условий для существенной дифференциации содержания образования, с широкими и глубокими возможностями для осознанного выбора профиля на старшей ступени обучения.

Задачи курса:

  • создать положительную мотивацию для дальнейшего обучения на физико-математическом профиле;

  • систематизировать знания о многочленах, подготовить необходимый аппарат для решения уравнений;

  • познакомить учащихся с ведущими для данного профиля видами деятельности;

  • продолжить выработку навыков самостоятельной работы с источниками информации.

Курс целесообразно предлагать учащимся 9 классов в начале учебного года, когда по базовой программе изучается тема «Квадратный трехчлен». Понятия, вводимые на основных уроках, находят свое продолжение на занятиях элективного курса. Вместе с тем совершенствуются навыки тождественных преобразований, в частности, разложение на множители, что необходимо в 9 классе для успешного прохождения итоговой аттестации.

Знакомство с различными видами многочленов: однородными, симметрическими и т.п. – способствует расширению арсенала приемов для решения уравнений соответствующего вида, что, несомненно, помогает школьникам решать задачи повышенной сложности и вырабатывает системный подход в решении уравнений. Эти умения актуальны для успешной сдачи ЕГЭ в 11 классе.

Несмотря на традиционность темы, идеология предпрофильного обучения требует включения в материал элементов нового знания. Современная алгебра опирается на понятие «операция». Знакомство с операциями на доступном уровне вошло в данный курс.

Методы обучения:

  • объяснительно- иллюстративный;

  • практические методы;

  • самостоятельная работа учащихся;

  • сочетание индуктивного и дедуктивного методов. Одним из основных методов изложения материала на многих занятиях курса является обобщение, что способствует развитию логической культуры учащихся.

Технологии обучения:

  • современная традиционная технология;

  • элементы технологии обучения на основе решения задач;

  • элементы проектной технологии;

  • по возможности, уместно использовать ИТК.

Формы обучения:

  • фронтальная;

  • групповая;

  • контрольно – оценочная;

  • взаимоконтроль.

Предполагаемые результаты:

Одним из основных умений, которое должно совершенствоваться, в том числе и на занятиях данного элективного курса, умение работать с учебной и иной литературой. В процессе работы учащиеся должны познакомиться с несколькими книгами для внеклассного чтения по математике.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

  • Выполнять деление многочленов «столбиком» по схеме Горнера;

  • Уверенно выполнять разложение на множители сложных выражений;

  • Применять изученные свойства многочленов к решению задач.

Формы контроля:

  • Презентация прочитанной статьи;

  • Сборник занимательных задач по теме (из литературы);

  • Создание банка заданий по теме «Делимость многочленов»;

  • Итоговая контрольная работа.



Содержание элективного курса

Понятие многочлена с одной переменной и связанные с ним простейшие понятия и их свойства: коэффициенты, стандартный вид, равенство многочлена, старший коэффициент, степень. Нулевой и единичный коэффициент.

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Стандартные теоремы о целых и дробных корнях. Следствие теоремы, о том, что многочлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1 имеет либо целые, либо рациональные корни. Количество корней многочлена и соответствующего уравнения.

Схема Горнера. Деление многочлена «столбиком». Деление многочлена с остатком. Теорема Безу и ее следствия. Примеры применения следствий при решении уравнений.

Таблица 1

Тематическое планирование:

Тема занятия

Количество часов

1.

Многочлены с одной переменной.

1 ч.

2.

Поиск рациональных корней многочлена.

1 ч.

3.

Запуск проекта «Листая книги по математике».

1 ч.

4.

Схема Горнера.

1 ч.

5.

Деление во множестве многочленов.

2 ч.

6.

Теорема Безу.

1 ч.

7.

Контрольная работа.

1ч.


Итого:

8 ч.






Фрагменты уроков

Методическая часть

Поскольку содержание темы традиционное и полно изложено в литературе нет необходимости в данной работе излагать содержание темы. Один из вариантов удачного и современного изложения темы предлагается в учебнике Дорофеева и задачнике к этому учебнику.

Для организации индивидуального контроля по теме неоценимую помощь окажут пособия С.Я и И.Э Гриншпон, в которых представлены дидактические материалы по всем предлагаемым темам.

В методических комментариях представлены следующие материалы:

  • Перечень вопросов, рассматриваемых на соответствующих занятиях.

  • Примеры реализации деятельностного подхода в обучении.

  • Темы рефератов.

  • Техническое задание для проекта «Листая книги по математике».

Занятие №1. Что такое многочлен?

1. В этой теме рассматривается понятие многочлена с одной переменной и связанные с ним простейшие понятия и их свойства: коэффициенты, стандартный вид, равенство многочлена, старший коэффициент, степень.

2. Уместно обсудить проблемы, связанные с нулевым и единичным коэффициентом, а также вопрос о том, какие выражения являются многочленами.

3. Логически развитый ученик должен понимать, что судить о вопросе принадлежности выражения к данному классу только по внешнему виду нельзя. (Выражения hello_html_6bbb587.gif, hello_html_6d4fa83a.gif являются многочленами, а выражения hello_html_7ae9a920.gif, hello_html_m65a8269a.gif, не являются).

4. Полезными при решении задач будут следующие свойства:

  • Старший коэффициент произведения многочленов равен произведению старших коэффициентов множителей.

  • Свободный член произведения многочленов равен произведению свободных членов сомножителей.

  • Степень произведения многочленов равна сумме их степеней.

  • Свободный член многочлена равен его значению при х=0.

  • Значение многочлена при х=1 равно сумме его коэффициентов.

5. Для закрепления свойств можно предложить следующие задачи:

- Найти сумму коэффициентов многочлена hello_html_73f7a70b.gif.

- Найти старший коэффициент многочлена

hello_html_m2e4229c0.gif.

  1. В качестве домашнего задания предлагается познакомиться с книгой Л.Ф.Пичурина «За страницами учебниками алгебры». В этой работе должны принять все учащиеся.

  • 1 группа. «Переходим к третьему киту»;

  • 2 группа. «А как было у древних?»;

  • 3 группа. «Снова про обобщение».

Поскольку автор книги блестящий публицист и популяризатор математики, знакомство с книгой принесет не только пользу, но и удовольствие.

7. При поиске корней многочлена часто приходиться раскладывать на множители. В ряде случаев полезным оказывается метод неопределенных коэффициентов. Автором этого метода является Рене Декарт.

8. В качестве домашнего задания предлагается познакомиться с жизнью и деятельностью Декарта.

Занятие №2. Рациональные корни многочлена.

  1. В качестве проверки домашнего задания предлагается в пяти минутном выступлении каждой группы в тезисной форме изложить содержание прочитанного.

Уместно именно здесь заявить темы рефератов:

  • Геометрическая алгебра древних.

  • Новый взгляд на алгебру (по книге МПИ « Алгебраические дроби», глава «Ксюша на Кварте, или взгляд на алгебру с космических высот).

  • Треугольник Паскаля.

2. В теме решается вопрос о нахождении рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

3. Приводятся стандартные теоремы о целых и дробных корнях.

4. Следствие теоремы, о том, что многочлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1 имеет либо целые, либо рациональные корни, позволяет решать многие задачи с иррациональными числами.

5. Алгоритм поиска рациональных корней должен быть отработан до уровня навыка и поэтому в этой теме необходимо большое число упражнений.

6. Кроме этого, полезно обсудить терминологический вопрос о количестве корней многочлена и соответствующего уравнения.

Занятие №3. Запуск проекта «Листая книги по математике».

Урок проходит в библиотеке. Ученикам представлен доступ к книгам и журналам. Работа организована по группам.

Цели проектной деятельности:

  • Познакомить учащихся с литературой по математике.

  • Начать формирование умений работы с учебной и научной литературой.

  • Познакомить учащихся с нестандартными задачами и их решениями.

  • Готовить учащихся к олимпиадам.

Техническое задание:

1. Просмотреть сборники олимпиадных задач, книги по занимательной математике, подшивки журналов «Квант» на предмет поиска интересных задач о многочленах.

2. Разобрать предложенные решения, попробовать вычленить метод решения, составить указания для решения предлагаемых задач.

3. Подготовить презентацию книг (статей) на итоговой конференции.

4. Подготовить сборник нестандартных задач по теме «Многочлены».

Занятие №4. Схема Горнера.

1. Важным инструментом в решении задач на многочлены является схема Горнера. Не смотря на то, что при применении этой схемы учащиеся могут испытывать определенные затруднения, но, сэкономив время и силу учащихся на изучении данной темы, мы рискуем потерять ее как эффективный метод быстрого нахождения значений многочлена, поиска рациональных корней, деления с остатком и др.

2. Кроме этого, данный материл, работает на развитие алгоритмической культуры, так как эта схема используется в реальных компьютерах. Изучение темы можно провести и путем выстраивания межпредметных связей с информатикой.

3. В качестве возможного варианта изучения темы можно предложить работу с электронным учебником – справочником «Алгебра 7 – 11класс», в котором рассмотрена эта тема и предложены упражнения для отработки.

Занятие №5 -6. Деление многочленов.

1. Эта тема позволит повторить известные свойства делимости чисел и убедиться, что многие из них выполняются и во множестве многочленов, а доказательства отличаются только терминологией и символикой.

2. В теме необходимо отработать алгоритм деления многочленов «столбиком». Это совершенствует вычислительные навыки.

3. Один из уроков можно провести в компьютерном классе с электронным учебником – справочником «Алгебра 7 – 11класс».

4. В качестве домашнего задания придумать 3 примера на деление многочленов. Постараться при этом отразить разные случаи (делание с остатком и нацело, присутствие нулевых коэффициентов и др.). Эти задания нужны для работы в парах на следующем уроке.

5. Индивидуальное задание: книги Л.Ф. Пичурина «За страницами учебника алгебры» пункт «необычное деление».

Переходим к третьему киту.

  • Проверь, как ты умеешь преобразовывать многочлены к стандартному виду.

  • Для многочленов, так же как для целых чисел всегда выполняются операции сложения, вычитания, умножения. Операция деления выполнима не всегда.

  • Можно изучать некоторые общие свойства совершенно различных множеств – различным по свойствам элементам, но «похожих» по поведению относительно некоторых операций.

  • Определение кольца.

  • Аксиомы алгебры многочленов.

  • Для возможности делить многочлены вводят рациональные выражения.

  • Проверь себя на нескольких упражнениях на действия с рациональными выражениями.

А как было у древних?

  • Читайте классиков.

  • Геометрическая алгебра Евклида.

  • Геометрический распределительный закон.

  • Геометрическое доказательство формулы квадрата суммы.

  • Геометрический вывод формулы

hello_html_m2840af6f.gif

  • Изопериметрические задачи.

Снова про обобщения.

  • Квадрат суммы нескольких слагаемых.

  • Бином Ньютона.

  • Треугольник Паскаля.

Занятие №7. Теорема Безу.

Теорема Безу относится к основным факта теории многочленов. Она позволяет доказать рад следствий, которые находят широкое практическое применение при решении уравнений высших степеней.

Также можно предложить творческие задания, например, объединить детей в группы и на темы: «История многочленов», «Вклад Горнера в тему многочлены», «Безу – знаменитый математик», «Треугольник Паскаля», «Бином Ньютона», сделать стен газеты, написать рассказы, доклады, приготовить презентацию.

Занятие №8. Контрольная работа.

Занятие можно провести в компьютерном классе с электронным учебником – справочником «Алгебра 7-11 класс» в режиме зачета.

А можно предложить контрольную работу.

Таблица 2

Вариант № 1

Вариант №2

1)Разложите на множители многочлен: х4+3х3-5х2-6х-8

1)Разложите на множители многочлен: х43-7х2+13х-6

2)Найти корни многочлена по схеме Горнера:

а) f (x) =  x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;


2)Найти корни многочлена по схеме Горнера: f (x) =  x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6

3) Выполнить деление «углом».

     P(x) = x4 + x3 + 2x2 + x +1  

на  Q(x) = x2 – x + 1


3)Выполнить деление «углом».

     P(x) = х4 + 2х3-3х2 + 5х-2

   на   Q(x) = х2-2х-2


4)Найти значение многочлена Р5(х) = 2х5 – 4х4 – х2 + 1 при х = 7.

4)Найти значение многочлена Р6(х) =х6-4х4 + х3-2х2 + 5 при х = 3.

5)При каком значении а многочлен hello_html_fcc2b30.gif делиться на hello_html_3b70014d.gif?


5)При каком значении а многочлен hello_html_31c316b5.gif делиться на hello_html_104cc8bc.gif?





Задания, используемые учеником для проверки знаний и учителем для методических работ по предложенной теме

Из анализа литературы и бесед с учителями математики, был выявлен следующий факт, что существует множество литературы, сборников, содержащих задания по теме «Многочлены», но, во-первых, учитель не всегда имеет возможность предложить их детям на уроках в связи с тем, что время на прохождение темы ограничено, во – вторых, формулировка и содержание заданий носят скучный характер, что часто вызывает негатив у учащихся, снижение интереса к их выполнению.

В связи с этим возникла необходимость подобрать и разработать задания, позволяющие развить творчество, повысить интерес к предмету математики, углубить знания по изучаемой теме.

Таким образом, в каждой теме предложенного элективного курса задания классифицируются следующим образом:

- задания с элементами занимательности, делают занятие более увлекательным, способствуют активизации знаний ребят, расширению кругозора, поддержание интереса к предмету, формированию гибкости ума, освобождению мышления от шаблонов;

- задания творческого характера, способствуют развитию творческих способностей, максимально вовлечь учащихся в процесс обучения, формированию познавательного интереса к математике, развитию интеллектуальных умений учащихся, повышается качество знаний, уровень исследовательской деятельности;

- задания повышенного уровня сложности, направлены на то, что степень самостоятельности школьников со временем возрастала, а помощь учителя постепенно снижалась. Сильные учащиеся нуждаются в заданиях повышенной трудности, нестандартных работах творческого характера, именно это позволит им максимально реализовать и развить свои учебные возможности.


Рассмотрим задания с элементами занимательности:

Задание 1.Заполните пропуски:

2х * 3х³= ...

а³с * 2а²в= ...

2а* ... =-18к³а³р

-15х³у²/ ... =5ху

(20х²- ... ):4х=5х-1

... *(5х-4)= 10х-8

/…=2а³в

(-4у²-6х²)/…=2у²+3х²

2*(-2у+ ... )=-4у-6х

-18к³р³п:9кр²= ...

( ... -3х)*(5-4у)=10-15х- ... + ...

( ...-... )* ... =ав+5а-2в-10

( ...-... ) * +(...-…)=ск-2с+к²-2к


Это задание направленно на отработку действий над многочленами, на формирование и развитие таких способностей как внимание, мышление, логических приемов мыслительной деятельности, познавательной активности и самостоятельности.

Задание 2. Игра «Поле чудес»:

У каждого карточка с заданием, на доске таблица ответов. Номер вашей карточки соответствует порядковому номеру буквы, которая находится в таблице ответов, по выполнению задания, таблица заполняется буквами. Составить зашифрованное высказывание и объяснить правила расстановки знаков препинания.

Таблица 3

1

2

3

4

5

6

7

5

8

9

1

10

5

11

5

12

13

1

14

15

5

11

6

1

14

1

9

10

16

17

1

18


































Задания на карточках:

Таблица 4

(х-у)(х+у)

х²-у²

о

1

(а+в)(2а-в)

2а²+ав-в²

б

2

(а-3)(2а-1)

2а²-7а+3

у

3

(с+а)²

с²+2ас+с²

ч

4

(5+к)(к²-4)

5к²-20+к³-4к

е

5

(х-у)(х²+у²)

х³+ху²-х²у-у³

н

6

(в-2а)(в+2)

в²+2в-2ав-4а

и

7

(5х+3)(х-1)

5х²-2х-3

э

8

(2х-р)(2х+2)

4х²+4х-2рх-2р

т

9

(2а²-2)(а+3)

2а³+6а²-2а-6

р

10

(14-а)(2а+1)

27а+14-2а²

м

11

(а-2в)(а+2в)

а²-4в²

с

12

(а+х)(а²-2х)

а³-2ах+а²х-2х²

л

13

(ав-1)(ав+1)

а²в²-1

г

14

(5-ху)(5+ху)

25-х²у²

д

15

(ав-сп)(ав+сп)

а²в²-с²п²

ю

16

(17-а)(а-5)

22а-а²-85

к

17

(в+с)(2в+3с)

2в²+5вс+3с²

в

18

Выполняя задания, ученик раскладывает на множители с помощью формул сокращенного умножения, способа группировки и приведением подобных слагаемых.

Скажите, все ли знаки препинания здесь стоят? Это задание направленно на интеграцию предметов математики и русского языка.

Задание 3. Тест по теме: “Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения”.

Выберите себе вариант, внимательно прочитайте задание. К каждому заданию даны три ответа, из которых один верный. Решите задание, сравните полученный ответ с предложенным.

Таблица 5

I вариант

Задания

Ответ

А

Б

В

1)

2)

3)

(2а + в)2

(х -1)2

(2m + 3)2

2 + 2ав + в2

х2 + 2х + 1

4m2 + 12m + 9

2 +2ав + в2

х2 – 2х + 1

2m2 + 12m + 9

2 + 4ав + в2

х2 – х +1

4m2 + 6m +9

Таблица 6

II вариант

Задания

Ответ

А

Б

В

1)

2)

3)

4)

(с +8)2

(12 - р)2

(10z + 3t)2

( -3а + 5х)2

с2 + 8с + 16

24 – 24р +р2

100z2 +60zt +9t2

-9а2 +30ах + 25х2

с2 – 16с + 64

144 – 24р + р2

100t2 -30zt +9t2

2 – 30ах +25х2

c2 + 16с +64

144 – 12р +р2

20z2 + 60 zt + 9t2

2 – 15ах +25х2

Таблица 7

III вариант

Задания

Ответ

А

Б

В

1)

2)

3)

4)

5)

(7у +6)2

(-3m + 4n)2

(6а – 1/6)2

(m2 – 6n)2

(-0,2х – 5а)2

49у2 – 84у +36

9m2 + 24mn + 16n2

36а2 – 2а + 1/36

m2 – 12mn +36n2

-0,04х2-2ах– 0,25а2

49у2 +42у +36

9m2 -24mn +16n2

36а2 – а +1/36

m4 – 12mn + 36n2

0,4х2 + 2ах +25а2

49у2 + 84у + 36

9m2–12mn+ 16n2

36а2 + 2а +1/36

m2 – 12mn +6n2

0,04х2+2ах+0,25а2

В бланке ответов под номером задания поставьте букву в клеточке, которая соответствует выбранному ответу. Перед самопроверкой учащиеся сдают бланки учителю, затем сверяют свои ответы и ставят себе оценки.













Задание 4.

Таблица 8

1) Найдите ошибку:

1. 3х (х-3)=3х2-6х;

2. 2х+3ху=х(2+у);

3. (8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х+3ху;

4. х(а+с)-2 (а+с)=(а+с)(х+2).

2) Вставьте пропущенное выражение:

1. 5х(2х2-х)=10х3-…;

2. -3ау-12у=-3у (а+…);

3. (а-5)(11-в)=11а-ав-55+…;

4. (в-с)-а(с-в)=(в-с)(…).



Задание 5. Игра с действиями.

Я многочлен от слова «много»
Во мне всегда звучит тревога:
Как одночлены все собрать,
В какую сумму записать?
Живу всегда с друзьями в мире,
Люблю играть в примеры с ними,
А знаки «плюс», «отнять», «умножить»
Всегда играть готовы тоже.
Так вот, мой друг, сейчас давай-ка
В игру вот эту поиграй-ка.
Даю тебе два выраженья
Ты результат найди сложенья,
Затем я знаки поменяю
И все примеры прорешаем.

Даны два выражения, которые нужно сложить, вычесть из первого выражения второе, умножить.

а) (8+3х) и (2у-1);

б) (m2-2n) и (m2+3n).





Задание 6. Игра «Математическое лото».

Учащимся предлагается большая карта с заданиями и маленькие карточки с ответами. Выполнив задание на большой карте, необходимо найти результат на маленькой карточке и этой карточкой накрыть соответствующее задание на большой карте. Чтобы проверить результат, нужно перевернуть маленькие карточки, обратная сторона которых содержит какой-либо рисунок, если рисунок получился, то учащийся выполнил задание верно.

Таблица 9

Вариант I

Выполнить действие:

(3х+10у) – (6х+3у)

Вынести общий множитель за скобки:

2-3х

Разложить на множители:

а3-2а2+а-2

Привести к стандартному виду многочлен:

-х+5х2+3х3+4х-х2

Выполнить умножение:

(4х-3)(8х+6)

Выполнить действие:

2(2х-0,5у)

Разложить на множители:

12х(х-у)-6у(у-х)

Решить уравнение:

8х+5(2-х)=13

Вынести общий множитель за скобки:

12х(х-у)-6у(х-у)

Карточки с ответами

7у-3х

3х(2х-1)

(а-2)(а2+1)

3+4х2+3х

32х2-18

3-1,5х2у

6(х-у)(2х+у)

1

6(х-у)(2х-у)











Таблица 10

Вариант II

Выполнить действие:

(2а-1)+(3+6а)

Вынести общий множитель за скобки:

7а-7в

Разложить на множители:

ас+вс+2а+2в

Привести к стандартному виду многочлен:

2+3х-5х23

Выполнить умножение:

2(а-в)

Выполнить действие:

(х-2)(х+3)

Разложить на множители:

6а(в-1)-3(в-1)

Решить уравнение:

4(а-5)+а=5

Вынести общий множитель за скобки:

6а(в-1)-3(1-в)

Карточки с ответами

8а+2

7(а-в)

(а+в))(с+2)

х32+3х

3-4а2в

х2+х-6

3(в-1)(2а-1)

5

3(в-1)(2а+1)



Задание 7. Тест

  1. Выполните умножение многочленов (а2 - 2b3)(7a2b2 + 6a - 3b2) и укажите степень получившегося многочлена.

а) 8; б) 7; в) 6; г) 5.

  1. Приведите многочлен (3х - 7у)(2х + 3у) - (4х - 5у)(3х + у) к стандартному

виду.

а) -6х2-16ху-26у2; б) -6х2+6ху-16у2; в) 18х2-16ху-26у2; г) -6х2+6ху+16у2.

  1. Укажите количество корней уравнения 3х3 = -27х.

а) нет корней; б) 1 корень; в) 2 корня; г) 3 корня.

  1. Разложите на множители 4m2 - n + 2m - n2.

а) (2m-n)(2m+n+1); б) (2m+n)(2m-n+1); в) (2m-n)(-n+2m); г) (2m+1)(2m-n2-n)

  1. Выполните деление многочленов (6с3-19с2+31с-14) : (3с-2).

а) 2с2 - 7с + 15; б) 2с + 7; в) 2с2 - 5с - 7; г) 2с2 - 5с + 7.

Задание 8.

Дети знакомы с тождеством hello_html_78e1ce53.gif, им предлагается игра «Лабиринт», показанная на рисунке 2, как одно из средств самоконтроля.

hello_html_m6aee2eb8.png

Рис. 1. Игра «Лабиринт»

При этом учащимся дается следующая инструкция: путешествуя по лабиринту, помните: чтобы открыть последнюю дверь, вам необходимо собрать шесть обусловленных драгоценных камней. Вы отыщете их, если правильно выполните задания. У каждого входа нужный камень находится справа от двери (по ходу движения), если к этому моменту получается полный квадрат разности, и слева, если - квадрат суммы.

Далее представлены задания творческого характера:

Задание 1. Составьте кроссворд.

Задание творческого характера - составление кроссворда, где ученик обобщает теоретический материал по изученной теме. Например, задание сделанное учеником может выглядеть так. Задание: составьте кроссворд по теме «Действия над многочленами», также проектируется взаиморешение кроссвордов.


http://festival.1september.ru/articles/210253/img1.jpg

По вертикали:

1. Произведение, состоящее из одинаковых множителей (степень).

2. Какова степень одночлена 7а3b4с (восьмая).

4. Показатель степени, который обычно не пишут (единица)

5. Слагаемые, отличающиеся только коэффициентами (подобные).

6. “А ну-ка, отними!” наоборот (сложение).

7. Какова степень многочлена 2а6 + а – 1 – 3а4 + а7?

9. Число, при подстановке которого в уравнение, получается верное равенство (корень).

10. Раздел математики (алгебра).

По горизонтали:

3. Числовой множитель, стоящий перед буквенным выражением (коэффициент).

8. Произведение чисел, переменных и степеней переменных (одночлен).

11. Сумма одночленов (многочлен).

Задача повышенного уровня сложности может звучать следующим образом: При каком целом значении hello_html_m417594b3.gif один из корней уравнения hello_html_50bfa29.gif втрое меньше другого?

Подобные задания увеличивают математическую культуру и развитие математической речи, так же логического мышления, привитие интереса к предмету, воспитание прилежания, самостоятельности, точности, аккуратности.

Задание 2. Сочините задачу по теме «Многочлены».

Детям предлагается составить задачу, связанную непосредственно с темой многочлены. Например, она может звучать так:

Колхоз планировал провести сев за 14 дней. Перевыполнил план, колхозники засевали в день на 30 га больше, чем планировалось, и уже за 4 дня до срока им оставалось засеять только 20 га. Сколько гектаров должен был засеять колхоз?

Обозначим дневную норму сева в (га) буквой х, тогда

1) Сколько всего га должно был засеять колхоз 14х.

2) Сколько га засевалось за 1 день х + 30.

3) Сколько га было засеяно за 4 дня до срока 10 * (х + 30).

Сравните число засеянных за 4 дня до срока, с числом га, которые планировал засеять колхоз за 14 дней, и напишите уравнение.

14х = 10 * (х +30) + 20

х = 80 га

120 га должен был засеять колхоз.

Задание 3.Математические сочинения.

Одной из форм творческой работы учащихся при обучении математике являются математические сочинения. Сочинение развивает самостоятельность мышления школьников и умение кратко изложить текст в письменной форме. При написании математических сочинений ученики выполняют разные виды деятельности:

1) самостоятельные изучения литературы;

2) отбор материала по выбранной теме;

3) связное изложение материала;

4) проведение небольших самостоятельных исследований;

5) подбор или самостоятельное составление задач и их решение.

Тематика сочинений разнообразна. Например: «История многочленов» .

Приложение математики в какой-нибудь области знаний «Применение многочленов в области техники».

Задание 4. Написать доклад на темы: «История многочленов», «Вклад Горнера в тему многочлены», «Безу – знаменитый математик», «Треугольник Паскаля», «Бином Ньютона».

Задание 5. Составьте контрольную работу по теме:

«Действия над многочленами»;

«Нахождение корней многочлена»;

«Схема Горнера и теорема Безу»;

«Производная многочлена».

Оцените сложность выполнения каждого задания (в баллах), и уровень сложности всей контрольной работы.

Закончим классификацию заданиями повышенного уровня сложности:

Задание 1.

а) Найти НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) по алгоритму Евклида.

Решение:http://festival.1september.ru/articles/410641/img1.gif

НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1.

Задание 2. Узнайте, делится ли многочлен f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2)

Решение: По теореме Безу, если f(1) = 0, то f(x) делится на (x – 1). Проверим это.

f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) не делится на (x – 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) делится на (x – 2).

Задание 3. Многочлен P(x) при делении на (x – 1) дает остаток 3, а при делении на (x – 2) дает остаток 5. Найти остаток от деления многочлена P(x) на (x 2 – 3 x + 2).

Решение:

P(x) = (x – 1) Q 1(x) + 3                                        (1)
P(x) = (x – 2) Q 2(x) + 5                                        (2)
Из (1) и (2) следует, что
P(1) = 3, P(2) = 5.
Пусть
P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b или
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b                    (3)

Подставив в (3) последовательно x = 1 и x = 2, получим систему уравнений, из которой a = 2, b = 1.

Ответ: 2 x + 1.

Задание 4. При каких m и n многочлен x 3 + m x + n при любых x делится на x 2 + 3 x + 10 без остатка.

Решение: При делении “уголком” получим x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)).

Т.к. деление выполняется без остатка, то (m – 1) x + (n + 30) = 0, а это возможно (при любом x) только в случае, когда m = 1, n = –30.

Ответ: m = 1, n = –30.

Задание 5. Применяя схему Горнера, узнайте, делится многочлен (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят одну объединенную схему.

 

3

5

0

7

0

12

1

3

2

2

9

9

3

1

3

8

8

15

15

3

2

3

1

2

3

6

0

В последнем столбце в третьей, четвертой и пятой строках – остатки от деления. Тогда f(x) делится без остатка на (x – 2), т.к. r = 0

Задание 6. Найти корни многочлена f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3).

Решение: Делители свободного члена: – 11– 33 могут быть корнями многочлена. При x = 1 очевидно сумма коэффициентов равна нулю. Значит, x1 = 1 – корень. Проверим по схеме Горнера на корень число – 1 и другие делители свободного члена.

 

1

1

6

1

3

– 1

1

2

4

3

0

1

1

3

1

4

 

3

1

1

1

0

 

x = –1 — корень
второй раз
x = –1 — не корень
проверим
x = 3
x = 3
– корень.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,

http://festival.1september.ru/articles/410641/img2.gif

Задание 7. Табличный процессор Excel можно применить для графического решения уравнений третьей степени. Из курса математики нам известно, что корнями уравнения являются значения точек пересечения графика функции с осью абсцисс. С помощью программы Excel можно строить практически любые графики. Но графическое решение дает только приблизительные результаты.

Решите уравнение: х3-2х2+4х-12=0

Это уравнение мы решим с помощью программы EXCEL.

Алгоритм будет следующий:

1. Построим таблицу: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента х=0, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу А2+0,15 и скопировать её до ячейки А20.

2. При заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2*А2-2*А2*А2+4*х-12, которая затем копируется до ячейки В20.

http://festival.1september.ru/articles/314834/img2.jpg

 С помощью мастера диаграмм выберем тип диаграммы точечная и построим диаграмму.

На диаграмме видно, что график данной функции имеет точку пересечения с осью ОХ, которое является решением. х=1,9

Ответ: х=1,9

Таким образом, мы видим, что используя программу Excel можно графически решить практически любое уравнение.

Подобные задания повышают интерес, что повышает математическую культуру и интерес подготовленности по математике.

Задание 8.

Определите  a  и  b  так,  чтобы  -2  было корнем  многочлена  

P(x) = x5  + ax2 + bx + 1,  имеющим,  по  крайней  мере,  кратность  два.

 Решение:  Если  -2  –  корень  многочлена  P(x)  кратности  два,  P(x)  делится  на 

(x + 2)2 без  остатка (R = 0)

          (x + 2)2 = x2 + 4x + 4

  _x5  + ax2 + bx + 1 x2 + 4x + 4

                  x5  + 4x4 + 4x3       x3 – 4x2 + 12x – (a + 32)

                _-4x4–4x3–ax2+bx+1

                  -4x4 – 16x3 – 16x2

                     _12x3 + (16 – a)x2 + bx + 1

                       12x3 +48x2 + 48x

                       _-(a + 32)x2 + (b – 48)x + 1

                         -(a + 32)x2 – 4(a + 32)x – 4(a + 32)

                           (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129

R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 = (4a +b + 80)x + 4a + 129

Но  R = 0 ,  значит

                       (4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0   при  любых  x .

     


Это  возможно  при  условии,  что

                                                           4a +b + 80 = 0 ,

                                                           4a + 129 = 0. Решим  систему  двух  уравнений:

          4a +b + 80 = 0            a = -32,25

          4a + 129 = 0               b = 49

Ответ  a = -32,25 ,   b = 49 .

Подобные задания увеличивают математическую культуру и развитие математической речи, так же логического мышления, привитие интереса к предмету, воспитание самостоятельности, точности и аккуратности.



Краткое описание документа:

Целью изучения предлагаемого курса является создание условий для существенной дифференциации содержания образования, с широкими и глубокими возможностями для осознанного выбора профиля на старшей ступени обучения. Задачи курса: создать положительную мотивацию для дальнейшего обучения на физико-математическом профиле; систематизировать знания о многочленах, подготовить необходимый аппарат для решения уравнений; познакомить учащихся с ведущими для данного профиля видами деятельности; продолжить выработку навыков самостоятельной работы с источниками информации. Курс целесообразно предлагать учащимся 9 классов в начале учебного года, когда по базовой программе изучается тема «Квадратный трехчлен». Понятия, вводимые на основных уроках, находят свое продолжение на занятиях элективного курса. Вместе с тем совершенствуются навыки тождественных преобразований, в частности, разложение на множители, что необходимо в 9 классе для успешного прохождения итоговой аттестации. Знакомство с различными видами многочленов: однородными, симметрическими и т.п. – способствует расширению арсенала приемов для решения уравнений соответствующего вида, что, несомненно, помогает школьникам решать задачи повышенной сложности и вырабатывает системный подход в решении уравнений. Эти умения актуальны для успешной сдачи ЕГЭ в 11 классе. Несмотря на традиционность темы, идеология предпрофильного обучения требует включения в материал элементов нового знания. Современная алгебра опирается на понятие «операция». Знакомство с операциями на доступном уровне вошло в данный курс. Методы обучения: объяснительно- иллюстративный; практические методы; самостоятельная работа учащихся; сочетание индуктивного и дедуктивного методов. Одним из основных методов изложения материала на многих занятиях курса является обобщение, что способствует развитию логической культуры учащихся. Технологии обучения: современная традиционная технология; элементы технологии обучения на основе решения задач; элементы проектной технологии; по возможности, уместно использовать ИТК. Формы обучения: фронтальная; групповая; контрольно – оценочная; взаимоконтроль.
Автор
Дата добавления 18.08.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров666
Номер материала 157291081846
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх