Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект занятия "Действительные числа"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект занятия "Действительные числа"

библиотека
материалов

БОУ СПО «Чебоксарский медицинский колледж» Минздравсоцразвития Чувашии







Конспект урока по алгебре
в 10 классе

Действительные числа.





подготовила

преподаватель математики

Вернова Наталья Евгеньевна

Чебоксары 2014





Дисциплина:

Алгебра

Семестр: 1 семестр

Курс: 1, (класс:10)

Тема:

Действительные числа.

Тип занятия:

Урок овладения новым материалом.

Вид занятия:

Аудиторное теоретическое занятие

Цели занятия:


Образовательные:

- рассмотреть множество иррациональных чисел;

- рассмотреть множество действительных чисел;

- рассмотреть правила выполнения действий с бесконечными десятичными дробями;

- ввести понятие модуля действительного числа;

- дать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии

- сформировать умение нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

- сформировать желание самостоятельно изучать материал;

Воспитательные:

- воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;

- воспитывать ответственность за свои действия и поступки;

- вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики.

Развивающие:

- формировать навыки познавательного мышления;

- формировать умения и навыки учебного труда.

Методы обучения:

Лекция объяснительно - иллюстрированная

Планируемый результат:

Студент знает:

Определение иррационального числа. Множество действительных чисел. Определение модуля действительного числа. Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формулы геометрической прогрессии. Формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Умеет выполнять действия с бесконечными десятичными дробями. Умеет находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Структура занятия:

1. Устная работа

2. Объяснение темы «Действительные числа»

  1. Определение иррационального числа

  2. Множество действительных чисел

  3. Действия с бесконечными десятичными дробями

  4. Модуль действительного числа

3. Решение тренировочных упражнений из учебника на закрепление темы (№9,10) (нечетные пункты)

4. Объяснение темы «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»

  1. Геометрическая прогрессия (повторение)

  2. Основные формулы геометрической прогрессии (повторение)

  3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

  4. Решение ключевой задачи №1

  5. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

  6. Решение ключевых задач №2, №3, №4

5. Решение тренировочных упражнений на закрепление темы (нечетные пункты).

6. Самостоятельная работа.

7. Домашнее задание.

1

Устная работа:


Переведите в десятичную дробь:

Переведите в обыкновенную дробь:


  1. hello_html_m3032c46.gif



  1. hello_html_4b994081.gif



  1. hello_html_m5357a4ce.gif


  1. hello_html_6818537.gif



  1. hello_html_22e00a00.gif



  1. hello_html_m5418035c.gif

2

Объяснение темы «Действительные числа»:


  1. Определение иррационального числа


Определение

Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Иррациональные числа, как и рациональные, могут быть положительными и отрицательными.

Например, число 0,123456…., в котором после запятой записаны подряд все натуральные числа, является положительным иррациональным числом. Число -5, 246810…., в которм после запятой записаны подряд все четные числа, является отрицательным иррациональным числом.

Числа hello_html_2f990d7d.gif также являются иррациональными, так как можно доказать, что они могут быть представлены в виде бесконечных десятичных непериодических дробей.


  1. Множество действительных чисел


Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

hello_html_11fc4d8c.png

  1. Действия с бесконечными десятичными дробями.


Известно как выполняются действия над конечными десятичными дробями. Арифметические операции над действительными числами, т.е. бесконечными десятичными дробями, заменяются операциями над их приближениями.

Например, вычислим приближенные значения hello_html_m254463ae.gif

Решение:

  1. Воспользуемся калькулятором и найдем значения hello_html_39f1b7ec.gif и hello_html_5909bbae.gif

Имеем hello_html_m4c640dd3.gif

  1. Найдем hello_html_m254463ae.gif с точностью до единицы

hello_html_m516b7c2.gifи hello_html_15d6d832.gif, тогда hello_html_5c749819.gif

  1. Найдем hello_html_m254463ae.gif с точностью до одной десятой

hello_html_5433bdb.gifи hello_html_b1ba870.gif, тогда hello_html_m75b07bae.gif

  1. Найдем hello_html_m254463ae.gif с точностью до одной сотой

hello_html_6a517e21.gifи hello_html_747ba5e.gif, тогда hello_html_m5e32678b.gif

Анальгично, вычисляя произведение hello_html_m4ad879ce.gif с точностью до 0,1, получаем

hello_html_363eb1ff.gif

Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).


  1. Модуль действительного числа

Определение.

Модуль действительного числа hello_html_m4f3a936b.gif обозначается hello_html_24eac141.gif и определяется так же, как и модуль рационального числа:

hello_html_138fae16.png


3

Решение тренировочных упражнений


9. Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:


hello_html_m609ca30f.gif

hello_html_7981244f.gif


Решение: Перемножим скобки

hello_html_46e1f43f.gif

Ответ: является рациональным числом

Решение: Перемножим скобки

hello_html_4a1e2f0.gif

Ответ: является иррациональным числом


hello_html_m52b3a2e9.gif

hello_html_47467c43.gif


Решение: Раскроем скобки (распределительный закон)

hello_html_mcaa3499.gif

Ответ: является рациональным числом

Решение: Раскроем скобки (распределительный закон)

hello_html_2ede12a4.gif

Ответ: является рациональным числом


hello_html_3fd33612.gif

hello_html_m7d1fe6ec.gif


Решение: Раскроем скобки (формулы сокращенного умножения)

hello_html_m2c74137a.gif

Ответ: является рациональным числом

Решение: Раскроем скобки (формулы сокращенного умножения)

hello_html_m2542329b.gif

Ответ: является иррациональным числом


10. Вычислить:


  1. hello_html_35710608.gif

  1. hello_html_m3cc4a731.gif


  1. hello_html_577a0410.gif

  1. hello_html_3076e57d.gif

4

Объяснение темы «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»:

  1. Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность hello_html_m5e75cf39.gif что для всех натуральных hello_html_443248c0.gif выполняется равенство

hello_html_m6c3eba32.gif

Например, hello_html_4edc44d6.png


  1. Основные формулы геометрической прогрессии

  1. Формула hello_html_443248c0.gif -го члена геометрической прогрессии:

hello_html_1492baae.gif



  1. Формула суммы hello_html_443248c0.gif первых членов геометрической прогрессии:



hello_html_m5cf39c41.gif, если hello_html_m309ed225.gif



  1. Если hello_html_1a2474d2.gif, то hello_html_m62083913.gif


  1. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют бесконечно убывающие геометрические прогрессии.

Пример. Рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке. Сторона первого квадрата равна 1, сторона второго равна hello_html_6eec8aff.gif , соторна третьего hello_html_m4af6802b.gif и т.д. hello_html_78e1ad99.png

Таким образом, стороны квадратов образуют геометрическую пргрессию со знаменателем hello_html_6eec8aff.gif:

hello_html_m62e15d35.gif



Площади этих квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем hello_html_685d8d49.gif



hello_html_11a7c13f.gif




Из рисунка видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера hello_html_443248c0.gif становятся все меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из прогрессий (1) и (2) называется бесконечно убывающей.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

hello_html_43672ade.gif

Знаменатель этой прогрессии hello_html_m3e7d16c7.gif, а ее члены hello_html_51a0109d.gif

С возрастанием номера hello_html_443248c0.gif члены этой прогрессии приближаются к нулю. Эту прогрессию так же называют бесконечно убывающей. Ометим, что модуль ее знаменателя меньше единицы: hello_html_m18a78139.gif

Определение.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

  1. Решение ключевой задачи



Задача №1.

Доказать, что геометрическая прогрессия, заданная формулой -го члена hello_html_65a56f90.gif , является бесконечно убывающей.

Решение:

  1. Найдем первый и второй члены заданной геометрической прогрессии:

hello_html_m5810970f.gif

  1. Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

hello_html_7899ffde.gif

  1. Так как модуль полученного знаменателя меньше единицы, т.е. hello_html_39bf64ef.gif, то по определению данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.


  1. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим квадрат состороной равной единице. Отметим штриховкой его половину, затем половину оставшейся части и т.д. Площади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

hello_html_m3ff9095d.gif



hello_html_11852162.gif

Если заштриховать все полученные таким образом прямоугольники, тоштриховкой покроется весь квадрат. Естественно считать, что сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников равна единице, т.е.

hello_html_m10b4b06e.gif


Выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с помощью формулы суммы hello_html_443248c0.gif первых членов геометрической прогрессии

hello_html_m5cf39c41.gif



  1. Запишем ее так:hello_html_m513e8185.gif

  2. Так как hello_html_m18a78139.gif, тоhello_html_m66dea933.gif, hello_html_m32b02823.gif,



поэтомуhello_html_m72a81c58.gif



  1. Таким образом, сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:



hello_html_m4a8f505c.gif(4)



  1. Из формулы (4) при hello_html_m3f14e4be.gif получаем hello_html_4419c5f6.gif.

  2. Это равенство обычно записывают так:

hello_html_5c7f95dc.gif

Заметим, что это равенство справедливо при hello_html_m18a78139.gif, в частности при hello_html_36585e7.gif

  1. Решение ключевых задач



Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

hello_html_m37dfd0c.gif

Решение:

  1. Выпишем hello_html_57fe8768.gif и hello_html_m6af634b7.gif и найдем hello_html_m483bb7fc.gif:



hello_html_m5128c92f.gif



  1. hello_html_m3bb6c044.gif


Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если hello_html_m635a274.gif, hello_html_m34c66e3d.gif

Решение:

  1. Необходимо найти hello_html_m1c1140f0.gif, поэтому воспользуемся формулой hello_html_m4450acdc.gif, тогда hello_html_m48d8b3c9.gif



  1. Подставим данные, hello_html_m515b0f0d.gif



  1. hello_html_m17ba7bf5.gif


Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 1,1(3) в виде обыкновенной.

Решение:

  1. Число 1,1(3) можно записать в виде суммы hello_html_2b22ef10.gif

Сумма слагаемых, начиная со второго, является суммой hello_html_m717d20c4.gif бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

  1. Тогда hello_html_m232db938.gif



  1. Получаем, hello_html_414db5f1.gif



  1. Учитывая исходные данные, получаем 1,1(3)hello_html_m5b44295.gif




5

Решение тренировочных упражнений из учебника «Алгебра и начала анализа 10-11» на закрепление темы:

17. Вычислить:

  1. hello_html_189b0ed6.gif

  1. hello_html_m1b903b71.gif

3)hello_html_31276c87.gif

4) hello_html_m51c67d78.gif

18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если

  1. hello_html_m14fe54ef.gif, hello_html_m5b077713.gif

Решение:

  1. hello_html_m5ccc628a.gif

  1. hello_html_m1a99672b.gif, hello_html_1572e446.gif

Решение:

  1. hello_html_2156ce76.gif

  2. hello_html_1c32e27b.gif

  1. hello_html_m1ddccec5.gif, hello_html_m3e7d16c7.gif

Решение:

hello_html_mb95266f.gif

  1. hello_html_m75e447a7.gif, hello_html_m5b077713.gif

Решение:

  1. hello_html_m18f6b5ba.gif

  2. hello_html_m701d8108.gif


19. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

  1. hello_html_7278f4f2.gif

  1. Выпишем hello_html_m61fbef8c.gif и hello_html_m3cff650.gifи найдем hello_html_m483bb7fc.gif:



hello_html_59eda2fa.gif



  1. hello_html_m71ca992e.gif


  1. hello_html_425c4243.gif

  1. Выпишем hello_html_6a15c2c3.gif и hello_html_m40de3fd6.gif и найдем hello_html_m483bb7fc.gif:



hello_html_5a642994.gif



  1. hello_html_m40575509.gif


20. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.


  1. hello_html_11e3f968.gif

Решение:

  1. Представим hello_html_62b8a76.gif

Сумма слагаемых является суммой hello_html_m717d20c4.gif бесконечно убывающей

геометрической прогрессии.

  1. Тогда hello_html_45eb6576.gif

  2. Получаем, hello_html_m2ea5a1fa.gif



  1. Итак, 0,(5)hello_html_m64941c39.gif


  1. hello_html_m70826894.gif

Решение:



  1. Представим hello_html_7e3ee04e.gif

Сумма слагаемых является суммой hello_html_m717d20c4.gif бесконечно убывающей

геометрической прогрессии.

  1. Тогда hello_html_m44cfdade.gif

  2. Получаем, hello_html_37867cbb.gif



  1. Итак, 0,(8)hello_html_3574897b.gif


6

Самостоятельная работа


Вариант 1.

Вариант 2.


  1. Выяснить, является ли бесконечно убывающей геометрической прогрессией последовательность заданная формулой hello_html_443248c0.gif -го члена hello_html_45731e71.gif

Решение:

  1. hello_html_42b8f732.gif

  2. hello_html_m5fb69d8b.gif

  3. hello_html_2ef8daa8.gif

  4. hello_html_474d656f.gif является бесконечно убывающей геометрической прогрессией по определению.

  1. Выяснить, является ли бесконечно убывающей геометрической прогрессией последовательность заданная формулой hello_html_443248c0.gif -го члена hello_html_m373fed2a.gif

Решение:

  1. hello_html_m3d665954.gif

  2. hello_html_78dc43bc.gif

  3. hello_html_m396a65df.gif

hello_html_m144462ea.gif является бесконечно убывающей геометрической прогрессией по определению.


  1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

  1. hello_html_47d4d067.gif, hello_html_m5b077713.gif

Решение:

hello_html_db14e42.gif

  1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

  1. hello_html_m7335941b.gif, hello_html_m2c716cca.gif

Решение:

hello_html_4f9f475e.gif

  1. hello_html_m43a3fc0a.gif

Решение:



  1. Выпишем hello_html_m490ed694.gif и hello_html_m3cff650.gifи найдем hello_html_m483bb7fc.gif:



hello_html_m79a03ed6.gif



  1. hello_html_m1df7e2e9.gif

  1. hello_html_m1a845493.gif

Решение:



  1. Выпишем hello_html_70cd2f78.gif и hello_html_1ef300fc.gifи найдем hello_html_m483bb7fc.gif:



hello_html_1bc7f353.gif



  1. hello_html_m50af31d0.gif


hello_html_m32e432cc.gif, hello_html_36939aaf.gif;

Решение:

  1. hello_html_m48d8b3c9.gif, hello_html_m47133de3.gif

  2. hello_html_579bf829.gif, hello_html_2f043864.gif

  3. hello_html_m6c755efb.gif

hello_html_m2147fd17.gif



  1. hello_html_7236d54b.gif

  2. hello_html_12deda95.gif




  1. hello_html_3d7f6e5d.gif;

Решение:

  1. hello_html_621d6650.gif, hello_html_m537ba305.gif

  2. hello_html_m75fd728c.gif, hello_html_58e5d5a3.gif

  3. hello_html_30eee90c.gif

hello_html_m6b510c38.gif



  1. hello_html_m5b657111.gif



  1. hello_html_mec9c5e7.gif



3)Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 1,(5) в виде обыкновенной дроби



Решение:

  1. Представим hello_html_m627b4294.gif

Сумма слагаемых, начиная со второго, является суммой hello_html_m717d20c4.gif бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

  1. Тогда hello_html_45eb6576.gif

  2. Получаем, hello_html_m39c189cf.gif



  1. Итак, 1,(5)hello_html_3d60c349.gif

  1. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 2,(8) в виде обыкновенной дроби



Решение:

  1. Представим hello_html_m60ff5f74.gif

Сумма слагаемых, начиная со второго, является суммой hello_html_m717d20c4.gif бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

  1. Тогда hello_html_m44cfdade.gif

  2. Получаем, hello_html_37867cbb.gif



  1. Итак, 2,(8)hello_html_652780d9.gif


4)Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,01(2) в виде обыкновенной дроби



Решение:

  1. Представим hello_html_m42b3cc46.gif

Сумма слагаемых, начиная со второго, является суммой hello_html_m717d20c4.gif бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

  1. Тогда hello_html_5586eb5a.gif

  2. Получаем, hello_html_m1ef6a03c.gif



Итак, 0,01(2)hello_html_21df1b76.gif


4)Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 3,02(3) в виде обыкновенной дроби



Решение:

  1. Представим hello_html_7b2bc142.gif

Сумма слагаемых, начиная со второго, является суммой hello_html_m717d20c4.gif бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

  1. Тогда hello_html_773a7d73.gif

  2. Получаем, hello_html_4a2b198d.gif



Итак, 3,02(3)hello_html_m28d806ba.gif


7

Домашнее задание: Решение №17, №18, №19, №20– четные пункты.


Литература

  1. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. - Москва: Просвещение, 2011г.

М.И. Шабунин, М.В. Ткачева и Н.Е. Федорова, Р.Г. Газарян. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы 10 класс. – Москва: Просвещение, 2011г



Краткое описание документа:

Конспект аудиторно-теоретического занятия состоит из двух частей, каждая из которых раскрывает объяснение отдельной темы. Вначале, предварительно ознакомившись с множеством иррациональных чисел, рассматривается множество действительных чисел, выполняется разбор опорной задачи, приводятся решения упражнений на закрепление материала, а затем изучается бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Каждая часть конспекта содержит решение ключевых задач, а также подробное решение тренировочных упражнений. В заключении предлагается самостоятельная работа с пошаговым решением каждого задания.
Автор
Дата добавления 18.08.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров5915
Номер материала 157569081810
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх