Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Элективный курс по математике 9 класс "Развертки многогранников и фигур вращения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Элективный курс по математике 9 класс "Развертки многогранников и фигур вращения"

библиотека
материалов







ПРОГРАММА

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

ПО МАТЕМАТИКЕ


«РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ

И ФИГУР ВРАЩЕНИЯ»




Программа элективного курса по математике для 9 класса

в рамках предпрофильной подготовки (34 часа)


Выполнила

Козлова Светлана Витальевна –

учитель математики

I квалификационной категории

МОУ «СОШ №4» г. Новодвинск;

Архангельской области




г. Новодвинск

2014 год







Аннотация программы.


Проблемой, с которой сталкиваются и учащиеся 10,11 класса и учителя, является то, что ученики не «видят пространства». Им трудно увидеть видимые и невидимые линии, представлять, из каких на самом деле фигур состоит тот или иной многогранник. Часто, изображая пирамиду, с основанием - квадрат, на рисунке появляется именно квадрат, а не его изображение. Учащиеся, окончившие основную школу, имеют знания по основным формулам планиметрии, умеют решать задачи на плоскости, а перенести известную информацию в пространство не могут. Всем известно, что в геометрии правильно сделанный рисунок – половина успеха в решении задачи. Возникает проблема, неправильно делается рисунок- задача не решается.

Поэтому, целью работы является, научить учащихся «видению пространства», изображению пространственных фигур, знанию основных элементов и умению пользоваться формулами для расчета площадей и объемов на основе уже имеющихся знаний.





















Пояснительная записка

С изображением некоторых пространственных фигур (параллелепипед, куб, призма) учащиеся уже знакомы. Их рассматривали на уроках математики (в 5, 6 классах) и черчения. Кроме того, у учащихся 9 класса есть уже определенный багаж знаний по планиметрии. Поэтому, не давая строгих определений многогранников, и, опираясь на представления об этих фигурах, будем приумножать знания уже известные и добавлять новые.

Целью курса является создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности; развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений в видении пространственных фигур.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:

  • научить учащихся видению объемных фигур, видимых граней, рёбер и невидимых; видению изображения фигур на плоскости; проектированию разверток; умению снимать необходимые измерения; умению пользоваться уже известными и совершенно новыми формулами; умению работать с математической литературой, умению решать задачи на анализ формул практическим и теоретическим способом.

Самой продуктивной является работа, в которой учащийся принимает непосредственное участие.

Поэтому, форма проведения занятий- практические работы.

В ходе выполнения работ учащиеся не только делают развертки по моделям, или модели по разверткам, анализируют их, изобразив на плоскости объемную фигуру, но и сделав необходимые измерения, имея определенный багаж знаний, и, пополняя копилку новыми знаниями, вычисляют требуемые величины. На занятиях повторяются не только формулы планиметрии, элементы стереометрии, но и используется понятие масштаба. Кроме того, с целью пропедевтики подготовки к ЕГЭ, используются задачи из прототипов В-9, в которых надо проанализировать зависимость, например, площади поверхности или объема от изменяемых величин (длины ребра, высоты, длины образующей) и наоборот.

Курс предназначен для учащихся 9 классов, рассчитан на 34 часа аудиторного времени, и ориентирована на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по геометрии, для дальнейшего изучения курса стереометрии. По своему содержанию он соответствует познавательным возможностям девятиклассников и предоставляет им попробовать себя в работе на уровне повышенных требований, а так же готовит учащихся к изучению и использованию полученных знаний в старшей школе на уроках геометрии.











Тематическое планирование

Данный элективный курс рассчитан на 34  тематических занятий.

Планирование занятий элективного предмета по математике в 9 классе.


п/п

Тема занятий

Количество часов

1.

Введение. Что такое развертка.

1

2.

Развертка куба.

3

3.

Развертка параллелепипеда.

3

4.

Развертка правильной треугольной призмы.

3

5.

Развертка прямой призмы, у которой основание-прямоугольный треугольник

2

6.

Развертка правильная треугольной пирамиды

3

7.

Развертка правильной четырехугольной пирамиды.

3

8.

Развертка правильной усеченной треугольной пирамиды.

2

9.

Развертка правильной усеченной четырехугольной пирамиды.

1

10.

Развертка цилиндра.

3

11.

Развертка конуса.

3

12.

Развертка усеченного конуса

1

13.

Развертка правильной пятиугольной призмы.

1

11.

Подготовка к защите.

2

12.

Защита проектов. Подведение итогов.

3



Методические рекомендации по проведению элективного курса.

Чтобы курс был интересен, занятия предлагается проводить в форме практических работ.

Для этого предложен материал практических работ с подробным описанием.


Для занятий необходимо, чтобы у каждого учащегося была своя коробка с необходимыми принадлежностями.

Список того, что должно быть под рукой:

  • Плотная прозрачная пленка (можно обложку для учебника)

  • Бумага, картон

  • Скотч

  • Клей

  • Ножницы

  • Линейка

  • Циркуль

  • Транспортир

  • Карандаш

  • Спица

  • Набор фломастеров или карандашей.


Педагогу к каждому практическому занятию надо приготовить шаблоны разверток или модели.

В начале курса целесообразно, для того, чтобы у учащихся возник интерес, показать математический этюд «Что такое развертка» [http://www.etudes.ru/]. Также в ходе курса, раз в 2-4 занятия, желательно показывать этюды. Очень удобно использовать миниатюры, где можно самим поворачивать фигуры. К этим работам дан текстовый комментарий, который учителю необходимо озвучить, можно с добавлением каких-то своих мнений.

Далее, приступая уже к практическим работам желательно сказать, что поверхность необходимо рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. Поэтому на занятия лучше пользоваться макетами таких плоскостей в виде прозрачных пленок.

Также учителю надо следить за индивидуальной работой каждого учащегося. Никогда не получается двух одинаковых фигур. У каждого будут свои размеры, свои вычисления. Желательно, с целью воспитания аккуратности, терпения и взаимо и самоуважения, хвалить лучшие, самые аккуратные работы, и самых старательных учеников. Ситуация успеха даст новый импульс в работе. Можно устраивать конкурсы на лучшую работу.

В качестве домашнего задания желательно попросить учащихся найти формулы, необходимые для заданий, которые они будут выполнять на следующем занятии. При этом у учеников возникает желание заглянуть в книжку или поискать требуемую информацию в Интернете.


Закончить курс рекомендуется проектными работами. Примерно за 1-1,5 месяца до окончания учащимся надо раздать задания.

При этом лучше заранее оговорить план оформления работы

1) Название

2) Развертка

3) Рисунок модели на плоскости

4) Измеренные величины

5) Расчет площади боковой, полной поверхности и объема.

6) Задачи (необходимо составить самому учащемуся не менее 2), с правильным оформлением (текст задачи, данные, рисунок, решение, ответ)

7) Обязательно предоставить саму модель.

Этот план надо оформить в печатном виде, чтобы был у каждого учащегося.

При подготовке проектов учитель вправе помочь ученику советом.


Примерные темы проектов: «Развертка правильной шестиугольной призмы», «Развертка правильной пятиугольной пирамиды», «Развертка усеченной правильной пятиугольной пирамиды», «Развертка усеченной правильной шестиугольной пирамиды» и т.д.


Каждый учащийся защищает свой проект, рассказывая о своей работе. Желательно, чтобы учащиеся рассказали и о трудностях, с которыми столкнулись в ходе выполнения проекта.

По окончании защиты ученики получают вместе с зачетом сертификат о прослушанном курсе. При этом рекомендуется выделить каким-либо образом более понравившиеся работы и создать выставку. Также, в дальнейшем, можно использовать эти модели на уроках геометрии в 10-11 классах.



Учитель вправе корректировать задания практических работ в зависимости от уровня знаний и работоспособности учащихся.




Пояснения к выполнению практических работ.


Прежде чем приступить к выполнению работы, необходимо ознакомить учащихся с определенным планом, которого мы будем, в основном, придерживаться.

1. Переносим на плотный прозрачный материал (например, на обложку от учебника или папку для тетрадей) нашу развертку. (конечно, развертка должна быть больше, чем та, что показана на рисунке в нашей работе)

2. Делаем основные измерения.

3. Красим основания каким-либо фломастером.

4. Собираем нашу модель, закрепив ребра скотчем.


Практическая работа №1.hello_html_m6f3cb5c3.png

Используя развертку куба, выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Постройте модель куба, вычислите его объем.


1)Прежде чем приступать к работе вспомним, что такое куб. Глядя на развертку, сосчитаем, сколько у него граней, какие они. Напомним, что все стороны квадратов будут являться ребрами куба. Посмотрим, где находятся основания, из чего состоит боковая поверхность. Теперь приступим к выполнению пункта 1. Далее, так как все грани квадраты, то замеряем сторону квадрата, записываем. После этого выполняем пункты 2, 3 и 4.

После того, как наша модель готова давайте её рассмотрим. Так как она сделана из прозрачного материала, то мы может видеть, что находится за передней гранью. Так как основания покрашены, то видим, что верхнее основание видимое, а нижнее нет, поэтому видимые ребра мы должны рисовать сплошными линиями, а невидимые- пунктирными.hello_html_m465f6349.png

Теперь вспомним, как выглядело основание в развертке. Это был квадрат. А теперь, если мы посмотрим сбоку- это параллелограмм. Здесь обязательно надо уделить внимание тому, что изображением квадрата будет уже не квадрат.

А теперь попробуем зарисовать модель куба с учетом видимых и невидимых линий.

Проанализируем выполненный эскиз.

2) Рассчитаем по измеренным данным площади полной и боковой поверхности и объем.

Так как боковая поверхность состоит из 4 квадратов, а площадь квадрата hello_html_666cfca6.gif,


то площадь боковой поверхности hello_html_4b82027c.gif. У куба 2 основания – тоже квадраты со стороной а, то площадь полной поверхности hello_html_4973cd63.gif.

Объем куба hello_html_m5a971c42.gif.

Остается только подставить и вычислить.


В ходе работы учащиеся учатся изображать пространственную фигуру на плоскости с учетом видимых и невидимых линий, определяют площади и объем.





Практическая работа №1.1.

Используя развертку куба из работы 1.

А) Увеличить все ребра в n раз. Выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Вычислить его объем. Сравнить с результатами работы 1.


Эту работу можно делать на плотном картоне. Требуется самим сделать развертку исходя из данной развертки куба, при этом необходимо увеличить все ребра, например, в 1,5 раза.

Затем сделать замер стороны квадрата, собрать модель, соединив ребра скотчем и вычислить площади боковой и полной поверхности и объем.

Делаем вывод, что площадь увеличилась в n2 раз, а объем в n2раз.


Б) Увеличить все диагонали квадратов в n раз.

Выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Вычислить его объем. Сравнить с результатами работы 1.


Эту работу также можно делать на плотном картоне. Требуется самим сделать развертку исходя из данной развертки куба, при этом необходимо увеличить все диагонали, например, в 2 раза.

Затем сделать замер стороны квадрата, собрать модель, соединив ребра скотчем и вычислить площади боковой и полной поверхности и объем.

При это мы делаем вывод, что площадь всё равно увеличилась в n2 раз, а объем в n2раз.



Такие и последующие аналогичные задания выполняются с целью пропедевтики для подготовки учащихся к ЕГЭ 11 класса, так как такого типа задачи встречаются в В 9.



Практическая работа № 2.

Используя развертку прямоугольного параллелепипеда, выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Постройте модель параллелепипеда и вычислить его объем.hello_html_7cf60c8b.png


1)Прежде чем приступать к работе проанализируем, чем параллелепипед отличается от куба. Глядя на развертку, сосчитаем, сколько у него граней, какие они. Напомним, что все стороны прямоугольников будут являться ребрами параллелепипеда. Посмотрим, где находятся основания, из чего состоит боковая поверхность. Теперь приступим к выполнению пункта 1. Далее, так как все грани квадраты, то измеряем стороны основания, записываем, обозначив длину и ширину буквами а и b. После этого выполняем пункты 2, 3 и 4.hello_html_m4aecfc91.png

После того, как наша модель готова давайте её рассмотрим. Так как она сделана из прозрачного материала, то мы может видеть, что находится за передней гранью. Так как основания покрашены, то видим, что верхнее основание видимое, а нижнее нет, поэтому видимые ребра мы должны рисовать сплошными линиями, а невидимые- пунктирными.

Теперь вспомним, как выглядело основание в развертке. Это был прямоугольник. А теперь, если мы посмотрим сбоку- это параллелограмм. Здесь обязательно надо уделить внимание тому, что изображением прямоугольника будет уже не прямоугольник.

Измеряем высоту параллелепипеда, записываем, обозначив буквой h.

А теперь попробуем зарисовать модель параллелепипеда с учетом видимых и невидимых линий.

Проанализируем выполненный эскиз.

2) Рассчитаем по измеренным данным площади полной и боковой поверхности и объем. При вычислении площади боковой поверхности учтем , что она состоит из двух попарно равных прямоугольника со сторонами a и h; bи h. Таким образом hello_html_77495a51.gif. А так как периметр прямоугольника hello_html_69015d76.gif, то hello_html_6daeacf4.gif.

Площадь основания hello_html_2eda153c.gif, а так как площадь полной поверхности hello_html_12ca1e88.gif.

Из курса 5 класса известно, что объем параллелепипеда равен произведению трех его измерений, поэтому V=abh.

Остается только подставить измеренные величины и вычислить.


Практическая работа № 2.1.

Используя развертку параллелепипеда из работы 2.

А) Увеличить все ребра в n раз. Выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Вычислить его объем. Сравнить с результатами работы 2.


Эту работу можно делать на плотном картоне. Требуется самим сделать развертку исходя из данной развертки параллелепипеда, при этом необходимо увеличить все ребра, например, в 2 раза.

Затем измерить стороны основания параллелепипеда, собрать модель, соединив ребра скотчем, измерить высоту и вычислить площади боковой и полной поверхности и объем.

Делаем вывод, что площадь увеличилась в n2 раз, а объем в n2раз.


Б) Ответить на вопрос: Во сколько раз изменится высота параллелепипеда. Если при неизменном объеме стороны основания уменьшить в n раз?


Так как объем параллелепипеда

V=abh= hello_html_m9e670bc.gif. Отсюда k=n2. То есть, если стороны основания уменьшить в 3 раза. То высоту надо будет увеличить в 9 раз.



Практическая работа № 3.

hello_html_m34ce845d.png

Постройте развертку правильной прямой треугольной призмы. Выполните необходимые измерения и вычислите площадь поверхности (боковой и полной) и объем модели призмы.


1) Надо спроектировать развертку правильной прямой треугольной призмы сначала на бумаге. Для этого определим, что такое призма- многогранник с двумя одинаковыми основаниями и боковой поверхностью, состоящей из прямоугольников.

В нашем случае, основания- правильные треугольники, а боковая поверхность- 3 одинаковых прямоугольника. Одна сторона прямоугольника будет являться высотой, а другая равна стороне треугольника.

После того, как на бумаге готова развертка, выполняем пункт 2. Измеряем сторону а и высоту основания h (треугольника). Далее выполняем пункты 1,3,4 плана. Модель готова. Измеряем высоту H призмы. Опять определяем видимые и невидимые линии. Вспомним, как выглядело основание в развертке. Это был правильный треугольник. А теперь, если мы посмотрим сбоку, то треугольник уже не выглядит правильным. Обращаем внимание, что изображением правильного треугольника будет произвольный треугольник. hello_html_2c854c45.pnghello_html_1f0f92f1.png

Изображаем модель на листе, анализируем.

2) Находим Sбок. пов.,Sполн. повер., Vпризмы.

Sбок. пов.=Р∙H, где Р=3∙а – периметр правильного треугольника. Sбок. пов.=3а∙H.

Sполн. повер.= Sбок. пов.+2∙Sосн.

Площадь треугольника можно найти по формуле hello_html_4cad110f.gif. (так как учащиеся пока не проходили правильные многоугольники).

Получили Sполн. повер.= 3а∙H+ah.

Объем призмы Vпризмы=Sосн.H

hello_html_2f0d95b3.gif.


Практическая работа № 3.1


Используя развертку правильной треугольной призмы из работы 3.

А) Уменьшить все ребра в n раз. Выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Вычислить его объем. Сравнить с результатами работы 3.


Эту работу можно делать на плотном картоне. Требуется самим сделать развертку исходя из уже имеющейся развертки правильной треугольной призмы, при этом необходимо уменьшить все ребра, например, в 2 раза.

Затем измерить сторону и высоту основания призмы, собрать модель, соединив ребра скотчем, измерить высоту и вычислить площади боковой и полной поверхности и объем.

Делаем вывод, что площадь уменьшилась в n2 раз, а объем в n2раз.


Б) Ответить на вопрос:hello_html_57c0b66d.png

1. Во сколько раз измениться объем призмы, если при неизменном основании высоту увеличить в 1,9 раза?

Решение: Если при неизменном объеме, высоту призмы увеличить в 1,9 раза, то и объем увеличится в 1, 9 раза.

2. Сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1900 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 22 см. Найдите объем детали.

Решение: Следует обратить внимание, что площадь основания остается неизменной. Начальная высота воды 20см. Поднялась вода на 2 см. Определим, какой объем воды приходится на эти 2 см высоты. hello_html_1bb68eac.gif.

Ответ: hello_html_36947233.gif.


Практическая работа № 4.


Постройте развертку прямой треугольной призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Выполните необходимые измерения и вычислите площадь поверхности (боковой и полной) и объем модели призмы.hello_html_m5b755017.png


1) Надо спроектировать развертку прямой треугольной призмы с основанием – прямоугольным треугольником, сначала на бумаге. Для этого определим, что

основания- прямоугольные треугольники, а боковая поверхность- 3 прямоугольника. У всех прямоугольников, составляющих боковую поверхность одна сторона является высотой. Вторая же сторона будет равна одной из сторон треугольника, лежащего в основании.

После того, как на бумаге готова развертка, выполняем пункт 2. Измеряем длины катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника, лежащего в основании (обозначим буквами a, b и с). Выполняем пункты 1,3,4 плана. Модель готова. Измеряем высоту H призмы. Опять определяем видимые и невидимые линии. Вспомним, как выглядело основание в развертке. Это был прямоугольный треугольник. Если мы посмотрим сбоку- это уже не прямоугольный треугольник. Обращаем внимание, что изображением прямоугольного треугольника будет произвольный треугольник. Изображаем модель на листе, анализируем. hello_html_223478cb.png

2) Находим Sбок. пов.,Sполн. повер., Vпризмы.

Sбок. пов.=Р∙H, где Р=а+b+c – периметр треугольника. Sбок. пов.=(а+b+c)∙H.hello_html_m378d99e7.png

Sполн. повер.= Sбок. пов.+2∙Sосн.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле hello_html_m66247f89.gif.

Получили Sполн. повер.= (а+b+c)∙H+ab.

Объем призмы Vпризмы=Sосн.H

hello_html_m40c2f460.gif.


Практическая работа №5.

Используя развертку правильной треугольной пирамиды, выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Постройте модель пирамиды и вычислить ее объем.hello_html_24339588.png


1) Прежде чем приступать к работе вспомним, что такое пирамида. Проведем примеры из жизни. Глядя на развертку, сосчитаем, сколько у нее граней, какие они. Напомним, что все стороны треугольников будут являться ребрами пирамиды.


Посмотрим, какой многоугольник лежит в основании, из чего состоит боковая поверхность. Теперь приступим к выполнению пункта 1. Так как в основании правильный треугольник, то измеряем сторону и высоту основания, обозначаем их буквами a и h . После этого выполняем пункты 2, 3 и 4. Когда будем склеивать скотчем, желательно, вершину не заклеивать.

После того, как наша модель готова, определим высоту пирамиды. Высоту пирамиды определяют специальным прибором-катетометром. Таким прибором в медицинских учреждениях измеряют рост человека. Но, мы за неимением этого прибора воспользуемся спицей. Обозначим высоту пирамиды буквой H.

Теперь её рассмотрим, определим видимые и невидимые ребра.

Вспомним, как выглядело основание в развертке. Это был правильный треугольник. Нам уже известно, что правильный треугольник изображается произвольным.

А теперь попробуем зарисовать модель пирамиды с учетом видимых и невидимых линий.

Проанализируем выполненный эскиз.

2) Рассчитаем по измеренным данным площади полной и боковой поверхности и объем.

Так как боковая поверхность состоит из 3 треугольников, а площадь треугольника hello_html_77f1b7fe.gif, где hello_html_34ce1c46.gif- апофема- высота боковой грани.hello_html_7996b786.png

Измеряем высоту боковой грани, обозначим hello_html_34ce1c46.gif.

Следовательно, Sбок. повер.= hello_html_1bd60e6f.gif, где периметр правильного треугольника Р=3а.

Площадь основания hello_html_m7f437d93.gif. Проверить результат по совершенно новой формуле, которая используется только для правильного треугольника hello_html_m29127973.gif.

Площадь полной поверхностиhello_html_m76d70724.gif

Тогда hello_html_17087f4f.gif.

Объем правильной треугольной пирамиды hello_html_63480098.gif.

Остается только подставить и вычислить.


Практическая работа № 5. 1.

Используя развертку правильной треугольной пирамиды из работы 5.

А) Увеличить все ребра в n раз. Выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Вычислить его объем. Сравнить с результатами работы 1.


Эту работу можно делать на плотном картоне. Требуется самим сделать развертку исходя из данной развертки правильной треугольной пирамиды, при этом необходимо увеличить все ребра, например, в 3 раза.

Затем измерив сторону и высоту правильного треугольника, лежащего в основании, собрать модель, соединив ребра скотчем. Измеряем апофему и высоту пирамиды, вычисляем площади боковой и полной поверхности и объем.

Делаем вывод, что площадь увеличилась в n2 раз, а объем в n2раз.


Б) Уменьшите сторону основания в 2 раза, оставив неизменным высоту.

Выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Вычислить его объем. Сравнить с результатами работы 1.


Эту работу также можно делать на плотном картоне. Требуется самим сделать развертку исходя из данной развертки правильной треугольной пирамиды, при этом необходимо увеличить сторону основания, например, в 2 раза.

Затем измерить сторону, собрать модель, соединив ребра скотчем и вычислить площади боковой и полной поверхности и объем.

Делаем вывод, что площадь всё равно увеличилась в n2 раз, а объем в n2раз.

В) Решить задачу.

1. Как изменится объем правильной треугольной пирамиды, если сторону основания увеличить в 1,5 раза, а высоту уменьшить в 3 раза?

2.Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если при том же о сновании высоту пирамиды увеличить в четыре раза?

Решение: Согласно формуле объема пирамиды hello_html_e3d317.gif. Отсюда следует, что если при неизменном основании высоту увеличили в 4 раза, то и объем увеличиться в 4 раза.

Ответ: 4



Практическая работа №6.

hello_html_m46e8e5de.png

Постройте развертку правильной четырехугольной пирамиды, выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Соберите модель пирамиды и вычислить ее объем.


1) Надо спроектировать развертку правильной четырехугольной пирамиды сначала на бумаге. Для этого определим, что основание- правильный четырехугольник- квадрат, а боковая поверхность- 4 одинаковых треугольника, с основанием, равным стороне квадрата.

После того, как на бумаге готова развертка, выполняем пункт 2. Измеряем длину квадрата, лежащего в основании. Выполняем пункты 1,3,4 плана. Модель готова. Измеряем высоту H призмы, апофему hello_html_34ce1c46.gif. Опять определяем видимые и невидимые линии. Вспомним, как выглядело основание в развертке. Это был квадрат. Если мы посмотрим сбоку- это параллелограмм. Вспоминаем, что изображением квадрата – параллелограмм.

Изображаем модель на листе, анализируем. hello_html_6a6d264e.png

2) Рассчитаем по измеренным данным площади полной и боковой поверхности и объем.

Так как боковая поверхность состоит из 3 треугольников, а площадь треугольника hello_html_77f1b7fe.gif, где hello_html_34ce1c46.gif- апофема- высота боковой грани.

Измеряем высоту боковой грани, обозначим hello_html_34ce1c46.gif.

Следовательно, Sбок. повер.= hello_html_28baad65.gif, где периметр правильного треугольника Р=4∙а.

Площадь основания hello_html_30927e27.gif.

Площадь полной поверхностиhello_html_m76d70724.gif

Тогда hello_html_29dbacf5.gif.

Объем правильной треугольной пирамиды hello_html_334319a8.gif.

Остается только подставить и вычислить.



Практическая работа №6.1.

Составить самим задания, аналогичные заданиям практической работы № 5.1, для правильной четырехугольной пирамиды.




Практическая работа №7.


Используя развертку правильной усеченной треугольной пирамиды, выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Постройте модель правильной усеченной треугольной пирамиды и вычислить ее объем.hello_html_570f87aa.png


1) Прежде чем приступать к работе попробуем описать, что такое усеченная пирамида. Проведем примеры. Глядя на развертку, сосчитаем, сколько у нее граней, какие они.


Посмотрим, какие многоугольники лежит в основании (это два подобных правильных треугольника), из чего состоит боковая поверхность (это 3 трапеции с основаниями, равными сторонам оснований). Теперь приступим к выполнению пункта 1. Так как в основании правильный треугольник, то измеряем сторону одного и второго основания. Обозначим a и b. После этого выполняем пункты 2, 3 и 4.

После того, как наша модель готова, определим высоту Н и апофему m пирамиды. hello_html_4051209c.png

Теперь её рассмотрим, определим видимые и невидимые ребра.

Вспомним, как выглядели основания в развертке. Это были правильные треугольники. Повторим, что правильный треугольник изображается произвольным.

А теперь попробуем зарисовать модель пирамиды с учетом видимых и невидимых линий.

Проанализируем выполненный эскиз.

2) Рассчитаем по измеренным данным площади полной и боковой поверхности и объем.

Так как боковая поверхность состоит из 3 трапеций, а площадь трапеции hello_html_m7cd19c5c.gif, где m- апофема- высота боковой грани.

Следовательно, Sбок. повер.= hello_html_m66f106b6.gif.

Площадь оснований hello_html_349c76e4.gif и hello_html_273a6cfb.gif

Площадь полной поверхностиhello_html_75955a13.gif

Тогда hello_html_m6002ca7c.gif.

Объем правильной треугольной пирамиды hello_html_m3fd7fb3b.gif.

Остается только подставить и вычислить.



Практическая работа №8.


Используя развертку правильной четырехугольной усеченной пирамиды, выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Соберите модель правильной четырёхугольной пирамиды и вычислить ее объем.hello_html_29e66781.png


1) Глядя на развертку, сосчитаем, сколько у нее граней, какие они.


Посмотрим, какие многоугольники лежит в основании (это два подобных правильных квадрата), из чего состоит боковая поверхность (это 4 трапеции с основаниями, равными сторонам оснований). Теперь приступим к выполнению пункта 1. Так как в основании квадраты, то измеряем сторону одного и второго основания. Обозначим a и b. После этого выполняем пункты 2, 3 и 4.

После того, как наша модель готова, определим высоту Н и апофему m пирамиды. hello_html_m7a1276d3.png

Теперь её рассмотрим, определим видимые и невидимые ребра.

Вспомним, как выглядели основания в развертке. Это были правильные треугольники. Повторим, что квадрат изображается параллелограммом.

А теперь попробуем зарисовать и проанализировать выполненный эскиз.

2) Рассчитаем по измеренным данным площади полной и боковой поверхности и объем.

Так как боковая поверхность состоит из 4 трапеций, а площадь трапеции hello_html_m7cd19c5c.gif, где m- апофема- высота боковой грани.

Следовательно, Sбок. повер.= hello_html_78be9ba4.gif.

Площадь оснований hello_html_11661f3b.gif и hello_html_644839d.gif

Площадь полной поверхностиhello_html_75955a13.gif

Тогда hello_html_m1a73f68e.gif.

Объем правильной треугольной пирамиды hello_html_m3fd7fb3b.gif.

Остается только подставить и вычислить.




Практическая работа № 9.

Дома (с помощью родителей, соблюдая технику безопасности) разрезать банку из под сгущенного молока, сделайте развертку цилиндра.hello_html_4707e38e.png

На занятиях выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Соберите модель цилиндра и вычислить его объем.


1) Дома спроектировать развертку банки на бумаге.

После того, как на бумаге готова развертка, выполняем пункт 2. Анализируем, из чего состоит развертка. Это прямоугольник, составляющий боковую поверхность и 2 круга, лежащие в основании. Измеряем радиус R, диаметр D, длину окружности С (с помощью нити) круга, лежащего в основании. Из материалов 6 класса вспоминаем, как вычислить длину окружности (формула С=2 ∙π∙R, где π≈3,14), диаметр (D=2∙R). Сравниваем теоретические расчеты с практическими.

Выполняем пункты 1,3,4 плана. Модель готова. Измеряем высоту Н. Поясняем, что цилиндр, это фигура, образованная вращением прямоугольника вокруг одной из сторон, что высота Н является образующей цилиндра. hello_html_m5604d9ba.png

Рассмотрим модель, определим видимые и невидимые линии. Вспомним, как выглядело основание в развертке. Это был круг. Если мы посмотрим сбоку- это овал. Следовательно, изображением круга – овал.

Изображаем модель на листе, анализируем.

2) Рассчитаем по измеренным данным площади полной и боковой поверхности и объем.

Так как боковая поверхность состоит из прямоугольника со сторонами, равными длине окружности основания и высоте цилиндра. Следовательно, площадь боковой поверхности hello_html_m30636959.gif.

Площадь круга так же известна из 6 класса hello_html_m72120338.gif.

Площадь полной поверхностиhello_html_37260824.gif

Тогда hello_html_930c52d.gif.

Объем цилиндра hello_html_m5cc6703f.gif.

Остается только подставить и вычислить.



Практическая работа № 9.1.

Используя развертку цилиндра из работы 9.

А) Уменьшить радиус цилиндра в n раз. Выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Вычислить его объем. Сравнить с результатами работы 9.


Эту работу можно делать на плотном картоне. Требуется самим сделать развертку исходя из данной развертки банки (цилиндра), при этом необходимо уменьшить радиус, например, в 2 раза.

Затем рассчитать, какой будет основание прямоугольника, составляющего боковую поверхность, по формуле С=2 ∙π∙R. Высоту оставить такой, какая была в работе №9. Измерить диаметр, собрать модель, соединив все детали скотчем, измерить высоту и вычислить площади боковой и полной поверхности и объем.

Сделать вывод.


Б) Оставив неизменным радиус основания, уменьшить высоту в 3 раза. Выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Вычислить его объем. Сравнить с результатами работы 9.


Эту работу также можно делать на плотном картоне. Требуется самим сделать развертку исходя из данной развертки банки (цилиндра), при этом необходимо, не уменьшая радиус, уменьшить высоту цилиндра в 3 раза.

Взяв из практической работы № 9 радиус, собрать модель, соединив все детали скотчем, измерить высоту и вычислить площади боковой и полной поверхности и объем.

Сделать вывод.


В) Решить задачу: E8C97518A74C425EA3D9D1CD457C93D7/img1.png

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 125 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раза больше первого?

Решение: Объем цилиндра hello_html_1e49abef.gif или hello_html_m374cf6d1.gif. При неизменном объеме hello_html_7842f482.gif. То есть при условии, что d2=5∙d1, получается hello_html_m44fce383.gif

Здесь важно уяснить, что при увеличении площади основания, высота уменьшится.

Ответ: hello_html_m5ef29c1.gif

hello_html_m703339eb.png

Практическая работа №10.

Используя развертку конуса, выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Соберите модель конуса и вычислить его объем.


1) Прежде чем приступать к работе вспомним, что такое конус. Проведем примеры из жизни. Развертка представляет собой боковую поверхность в виде сектора (с ним вы знакомились ещё в 6 классе) и основание- круг.

Теперь приступим к выполнению пункта 1. Так как в основании круг, то измеряем его радиус, диаметр, длину окружности. Проверяем теоретические расчеты [длина окружности (формула С=2 ∙π∙R, где π≈3,14) и диаметр (D=2∙R)] с практическими измерениями. После этого выполняем пункты 2, 3 и 4. hello_html_m27ad4dac.png

После того, как наша модель готова, обратим внимание на то, что конус образован вращением прямоугольного треугольника вокруг катета. Один катет является высотой, вокруг него и происходило вращение, а второй является радиусом круга, лежащего в основании. Измеряем высоту конуса Н. У конуса есть образующая hello_html_34ce1c46.gif. Измеряем её. Так как конус образован вращением прямоугольного треугольника, а гипотенузой в этом треугольнике и является образующей, выполним теоретический подсчет с использованием теоремы Пифагора hello_html_m57240d3d.gif. Сравниваем теоретический подсчет с практическим измерением.

Определим видимые и невидимые линии.

Вспомним, как выглядело основание в развертке. Это был круг. Нам уже известно, что круг изображается овалом.

А теперь попробуем зарисовать модель конуса с учетом видимых и невидимых линий.

Проанализируем выполненный эскиз.

2) Рассчитаем по измеренным данным площади полной и боковой поверхности и объем.

Так как боковая поверхность состоит из сектора. Следовательно, а площадь боковой поверхности hello_html_m6d1cf408.gif.

Площадь основания (круга) hello_html_m72120338.gif.

Следовательно, площадь полной поверхностиhello_html_m76d70724.gif

Тогда hello_html_6c7250d3.gif.

Объем конуса hello_html_3e58e46d.gif.

Остается только подставить и вычислить.



Практическая работа №10.1.

Используя развертку конуса из работы 10.

А) Увеличить радиус в n раз. Выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Вычислить его объем. Сравнить с результатами работы 10.


Эту работу можно делать на плотном картоне. Требуется самим сделать развертку исходя из данной развертки конуса при этом необходимо увеличить радиус, например, в 1,5 раза.

Затем рассчитать, какой будет дуга сектора, составляющего боковую поверхность, по формуле С=2 ∙π∙R. Высоту оставить такой, какая была в работе № 10. Измерить диаметр, собрать модель, соединив все детали скотчем, измерить высоту, образующую и вычислить площади боковой и полной поверхности и объем.

Сделать вывод.


Б) Оставив неизменным радиус основания, уменьшить высоту в 2 раза. Выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Вычислить его объем. Сравнить с результатами работы 10.


Эту работу также можно делать на плотном картоне. Требуется самим сделать развертку исходя из данной развертки конуса .При этом необходимо, не уменьшая радиус, уменьшить высоту цилиндра в 2 раза.

Взяв из практической работы № 10 радиус, собрать модель, соединив все детали скотчем, измерить высоту, длину образующей и вычислить площади боковой и полной поверхности и объем.

Сделать вывод.

В) Решить задачу:

1. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

Решение: Согласно формуле площади боковой поверхности конуса hello_html_m7618f41d.gif. Если при неизменном радиусе образующая увеличилась в 3 раза, то и площадь боковой поверхности конуса увеличится в 3 раза.

Следует обратить внимание на то, что чем больше радиус основания или длина образующей, тем больше и площадь боковой поверхности конуса.

Ответ: 3.

2. Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличить в 1,5 раза?

Решение: Согласно формуле объема конуса hello_html_m65c81fcd.gif . В этом случае, если радиус основания увеличить в 1,5 раза. То объем увеличится в 1,52 раза. То есть в 2,25 раза.

Ответ: 2,25.

Практическая работа № 11.

Используя развертку правильного усеченного конуса, выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Соберите модель конуса и вычислить его объем.

hello_html_m5f81d30a.png

1) Прежде чем приступать к работе, определим, что такое усеченный конус. Это фигура, образованная вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основанию. Развертка представляет собой боковую поверхность (см рисунок) и два основания- круги радиусом R и r.

Теперь приступим к выполнению пункта 1. Так как в основании круги, то измеряем их радиусы, диаметры, длины окружностей. Проверяем теоретические расчеты [длина окружности (формула С=2 ∙π∙R, где π≈3,14) и диаметр (D=2∙R)] с практическими измерениями. После этого выполняем пункты 2, 3 и 4.

После того, как наша модель готова. Измеряем высоту конуса Н, длину образующей hello_html_34ce1c46.gif. encyclopediyaRU-294661258

Определим видимые и невидимые линии.

Вспомним, как выглядели основания в развертке. Это круги. Вспомним, что круг изображается овалом.

А теперь попробуем зарисовать модель усеченного конуса с учетом видимых и невидимых линий.

Проанализируем выполненный эскиз.

2) Рассчитаем по измеренным данным площади полной и боковой поверхности и объем.

Так как площадь боковой поверхности вычисляется по формуле hello_html_256040c0.gif.

Площади оснований (кругов) hello_html_2fec45c2.gif и hello_html_77782d6f.gif

Следовательно, площадь полной поверхностиhello_html_75955a13.gif

Тогда hello_html_m7a94272f.gif.

Объем усеченного конуса hello_html_m6e4f1c05.gif.

Остается только подставить и вычислить.


Практическая работа № 12.

Используя развертку правильной пятиугольной призмы, выполните необходимые измерения и найдите площадь боковой и полной поверхности. Соберите модель призмы и вычислить её объем.hello_html_2701eaef.png

1) Прежде чем приступать к работе вспомним, напомним, что пирамида. Глядя на развертку, сосчитаем, сколько у нее граней, какие они.

Посмотрим, что в основании лежат правильные пятиугольники. Вспомним, как с помощью циркуля, транспортира, линейки и карандаша построить правильный многоугольник. Боковая поверхность состоит из 5 прямоугольников, имеющих стороны, одна равна высоте призмы, а вторая – стороне основания.

Теперь приступим к выполнению пункта 1. Так как в основании правильный пятиугольник, то измеряем сторону а и апофему r (радиус вписанной окружности) основания. После этого выполняем пункты 2, 3 и 4.

После того, как наша модель готова, измеряем высоту призмы Н. hello_html_67ae6a02.png

Теперь её рассмотрим, определим видимые и невидимые ребра.

Вспомним, как выглядело основание в развертке. Это был правильный пятиугольник. Нам уже известно, что правильный пятиугольник изображается произвольным пятиугольником.

А теперь попробуем зарисовать модель пирамиды с учетом видимых и невидимых линий.

Проанализируем выполненный эскиз.

2) Находим Sбок. пов.,Sполн. повер., V.

Sбок. пов.=Р∙H, где Р=5∙а – периметр правильного треугольника. Sбок. пов.=5∙а∙H.

Sполн. повер.= Sбок. пов.+2∙Sосн.

Площадь многоугольника можно найти по формуле hello_html_m2c0aae64.gif, где r- апофема, Р- периметр основания.

hello_html_654c8560.gif

Объем призмы Vпризмы=Sосн.H.

hello_html_m32ad6b0b.gif.














Литература


Г.Д. Глейзер «Геометрия: учебное пособие для 7-10 классов вечерней (сменной) школы и самообразования, М.: Просвещение, 1992 г.

Г.Д. Глейзер «Геометрия: учебное пособие для 10-12 классов вечерней (сменной) школы и самообразования, М.: Просвещение, 1989 г.






































Краткое описание документа:

Программа рассчитана на 34 учебных часа. Она является пропедевтической для облегчения дальнейшего изучения в 10-11 классах тем "Стереометрии". В документе предоставлен теоретический, практический материал и примерные темы проектов. Учащиеся на занятиях сами изготавливают геометрические фигуры, делают необходимые измерения и расчеты. Учебный процесс проходит в виде практических работ.Все практическое работы разработаны. На занятиях учащиеся решаю задачи из материалов ЕГЭ и учебников 10-11 классов, что является хорошей подготовкой к ОГЭ и ЕГЭ. Результатом работы учеников должен быть проект - это самостоятельная разработка, изготовление какой- либо геометрической фигуры, произведение определенных расчетов и последующая его защита.Примерный план подготовки проекта есть. Учителя могут изменять вид и форму занятий в зависимости от уровня знания и интереса учеников. Я надеюсь, что этот материал будет интересен для педагогов.
Автор
Дата добавления 20.08.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1836
Номер материала 158574082002
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх