Конспект и презентация по алгебре для 9 класса "Квадратичная функция, ее график и свойства"

Разработала учитель математики

МОУ Большечирклейской СОШ

Айбулатова Гюзяль Алиевна

Конспект урока по алгебре.

Класс: 9

Учебник: Ю.Н.Макарычев «Алгебра 9 кл.»

Тема: Функция y=ax², ее график и свойства.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

• Ввести определение квадратичной функции.

• Рассмотреть графики функций y=ax² (а>0, и а<0) и их свойства.

• Повторить решение квадратных уравнений.

Оборудование: доска, мел, линейка, презентация (Приложение 1).

Место проведения: Кабинет математики.

Время: 45 минут.

План урока

1. Организационный момент (1 мин).

2. Актуализация знаний (10 мин).

3. Ознакомление с новым материалом (20 мин).

4. Первичное закрепление темы (12 мин).

5. Подведение итогов урока. Домашнее задание (2 мин).

Ход урок

Ход урок

1. Организационный момент. Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих. Сообщение темы урока и поставка целей урока. (Слайд № 1.)

2. Актуализация знаний.

Учитель: Ребята, сегодня мы будем изучать новую тему. Для этого вспомним ранее изученный материал, в частности повторим определение функции, некоторые понятия, связанные с функциями и вспомним известные нам функции и их некоторые свойства.

Далее задаем вопросы (Слайд № 2 – 5.):

• Что называется функцией? Дайте определение функции?

Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, переменную y называют зависимой переменной.

• Что называется областью определения и областью значений функции?

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

• Что называется графиком функции?

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

• С какими функциями вы уже знакомы?

С линейной функцией, прямой и обратной пропорциональности, функциями, заданными формулами:

• Что представляет собой график:

• Линейной функции?

Прямую

• Прямой пропорциональности?

Прямую

• Обратной пропорциональности?

Гиперболу

• Функции, заданной формулой

параболу

• Дайте определение функции, возрастающей в промежутке; убывающей в промежутке?

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

3. Ознакомление с новым материалом.

Введение понятия квадратичной функции осуществляем, используя метод целесообразных задач. Для этого предлагаем учащимся последовательно решить две задачи. (Слайд № 6.).

Задача1.

Выразить площадь поверхности куба через его ребро x. Найти площадь S при x=2; 3; 5.

Решение.

S1=x², число граней равно 6,

S=6x² ,

x=2 S=24;

x=3 S=54;

x=5 S=150.

Задача2.

Тело движется с ускорением а=6 м/с² и к началу отсчета времени t прошло путь S₀=20 м, имея в этот момент скорость V₀=5 м/с. Найдите пройденный путь S при t=2, 4.

Решение.

Выразим зависимость пути S от времени t.

S=+V₀t+S_{0 ,} S=3t²+5t+20,

T₁=2 S₁=3*4+5*2+20=42;

T₂=4 S₂=3*16+5*4+20=88.

После решения предложенных задач, задаем учащимся следующие вопросы:

• И в первой, и во второй задаче зависит ли значение переменной S от какой – либо другой переменной?

(Да. В первой задаче S зависит от x; во второй задаче S зависит от t)

• Значит, S какая переменная? (зависимая переменная)

• А переменные x и t? (независимые переменные)

• А сколько значений зависимой переменной соответствует каждому значению независимой переменной в первой задаче? А во второй задаче?

(Каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной и в первой, и во второй задаче)

• Значит, что мы получили? (Функции)

Теперь, запишем полученную функцию в общем виде. Для этого заменим переменную S на переменную y, переменную t на – x, а числа обозначим через a, b и c. Тогда полученная функция будет иметь следующий вид: y=ax²+bx+c. Ребята, функция вида y=ax²+bx+c называется квадратичной функцией.

• В этой функции число а – коэффициент при x² может ли быть равным нулю? Тогда, что мы получаем?

(Число а может быть равным нулю, тогда функция примет вид: y=bx+c)

• А с функцией y=bx+c мы знакомы? Какая это функция?

(Да. Это линейная функция)

Значит, на число а накладывается ограничение – оно не может быть равным нулю. Теперь, ребята, давайте попробуем дать определение квадратичной функции.

Учащиеся вместе с учителем формулируют определение квадратичной функции. (Слайд №7.)

Определение: Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax²+bx+c , где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

• Как вы думаете, что является областью определения квадратичной функции?

(Множество всех чисел)

Правильно, областью определения квадратичной функции является множество всех чисел или вся числовая прямая.

Изучение квадратичной функции начнем с частного случая, а именно с функции y=ax², которая получается из функции y=ax²+bx+c при b=0 и c=0. Примером является функция S=6x², полученная в первой задаче.

При а=1 формула y=ax² принимает вид y=x². С этой функцией вы встречались, ее графиком является парабола.

Теперь давайте построим график функции y=2x². Для этого составим таблицу значений этой функции.

Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.

X

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

y

8

4,5

2

0,5

0

0,5

2

4,5

8

Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=2x².

Ученики строят график функции y=2x² в тетрадях, а у учителя на слайде появляется график функции y=2x², а потом график функции y=x². (Слайд №8.)

Далее задаем вопросы:

• Сравнивая графики функций y=2x² и y=x², что мы видим?

(Они похожие, при любом x значение функции y=2x² больше соответствующего значения функции y=x² в 2 раза)

Правильно, при любом x ≠ 0 значение функции y=2x² больше соответствующего значения функции y=x² в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции y=x² вверх так, чтобы расстояние от этой точки до оси x увеличилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции y=2x². При этом каждая точка графика функции y=2x² может быть получена из некоторой точки графика функции y=x².

Иными словами, график функции y=2x² можно получить из параболы y=x² растяжением от оси x в 2 раза.

Далее предлагаем ученикам построить график функции y=1/2x². Для этого составляем таблицу значений этой функции.

Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.

X

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

8

4,5

2

0,5

0

0,5

2

4,5

8

Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=1/2x².

Ученики строят график функции y=1/2x² в тетрадях, а у учителя на этом же слайде появляется график функции y=1/2x². На данном слайде также для более наглядного сравнения появляются графики всех трех функций на одной координатной плоскости. (Слайд №8.)

Далее задаем вопросы:

• Сравнивая графики функций y=1/2x² и y=x², что мы видим?

(Они похожие, при любом x значение функции y=1/2x² меньше соответствующего значения функции y=x² в 2 раза)

Правильно, при любом x ≠ 0 значение функции y=1/2x² меньше соответствующего значения функции y=x² в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции y=x² вниз так, чтобы расстояние от этой точки до оси x уменьшилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции y=1/2x², причем каждая точка графика функции y=1/2x² может быть получена из некоторой точки графика функции y=x².

Таким образом, график функции y=1/2x² можно получить из параболы y=x² сжатием к оси x в 2 раза.

• Какой вывод из всего выше сказанного можно сделать? Как можно получить график функции y=аx² из параболы y=x²?

Ученики вместе с учителем делают краткий вывод:

В общем случае, график функции y=аx² можно получить из параболы y=x² растяжением от оси x в a раз, если а>1, и сжатием к оси x в 1/а раза, если 0<а<1.

Далее, рассматривая графики функций, учитель вместе с учениками перечисляют свойства функции y=аx², при а>0 (Слайд №9.):

1. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начало координат.

2. Если x≠0, то y›0. График функции расположен в верхней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.

4. Функция убывает в промежутке(-∞;0] и возрастает в промежутке [0;+∞).

5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+∞).

Теперь давайте построим график функции y=-1/2x². Для этого составим таблицу значений этой функции.

Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.

X

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

-8

-4,5

-2

-0,5

0

-0,5

-2

-4,5

-8

Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=-1/2x².

Ученики строят график функции y=-1/2x² в тетрадях, а у учителя на слайде появляются на одной и той же координатной плоскости графики функций y=-1/2x² и y=1/2x². (Слайд №10.)

Далее задаем вопросы:

• Сравнивая графики функций y=-1/2x² и y=1/2x², что мы видим?

(Они симметричны относительно оси x)

Правильно, при любом x значения этих функций являются противоположными числами, т. е. соответствующие точки графиков симметричны относительно оси x.

Иными словами, график функции y=-1/2x² может быть получен из графика функции y=1/2x² с помощью симметрии относительно оси x.

• В общем, что можно сказать про графики функций y=аx² и y=-аx²?

(Они симметричны относительно оси x)

График функции y=аx², так же как график функции y=x² называется параболой.

Далее, рассматривая графики функций, учитель вместе с учениками перечисляют свойства функции y=аx², при а<0 (Слайд №11.):

1. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начало координат.

2. Если x≠0, то y‹0. График функции расположен в нижней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.

4. Функция возрастает в промежутке(-∞;0] и убывает в промежутке [0;+∞).

5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [-∞;0).

Из перечисленных свойств следует, что при а>0 ветви параболы направлены вверх, при а<0 – вниз. Ось y является осью симметрии.

Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы.

Построение графика, симметричного данному относительно оси x, растяжение графика от оси x или сжатие к оси x – различные виды преобразований графиков функций. Все эти преобразования применимы к любой функции.

4. Первичное закрепление темы.

Решаем примеры:

№ 90. Постройте график функции y=1/4x². Найдите:

А) значение y при x= -2,5; -1,5; 3,5

Б) значение x при y= 5, 3, 2

В) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Решение:

x

y

-4

4

-3

2,25

-2

1

-1

0,25

0

0

1

0,25

2

1

3

2,25

4

4

А) x= -2,5 y=1,5 Б) y=5 x=4,5, x=-4,5 В) (0, ∞) – возрастает.

X= -1,5 y=0,6 y=3 x=3,5, x=-3,5 (-∞, 0) – убывает.

X= 3,5 y=3,1 y=2 x=2,8, x=-2,8

№ 94 (а). Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции

а) y=-1,5x². Перечислите свойства этой функции.

Решение:

y=-1,5x²

Свойства:

1. График функции проходит через начало координат.

2. График функции расположен в нижней полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси y.

4. Функция возрастает в промежутке(-∞;0] и убывает в промежутке [0;+∞).

5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [-∞;0).

№ 96 (а, б, в – устно). Пересекаются ли парабола y=2x² и прямые:

А) y=50, Б) y=100, В) y=-8, Г) y=14x-20. Если точка пересечения существует, то найти их координаты.

Решение:

А) Да. (5, 50), (-5, 50).

Б) Да. (5, 100), (-5, 100).

В) Нет.

Г) 2x²=14x-20

2x²-14x+20=0

x²-7x+10=0

x₁=5 x₂=2

y₁=50 y₂=8

(5, 50), (2,8).

5. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

• Что нового вы сегодня узнали на уроке?

• С какой функцией мы сегодня познакомились?

• Как она получается из функции y=x²?

• Что является графиком квадратичной функции?

• Какие преобразования функций мы сегодня рассмотрели?

Давайте в тетрадях запишем таблицу преобразований функций, на следующих уроках будем ее продолжать. (Слайд №12.)

Функция

Преобразование Y=f(x)

1) y=-f(x)

Симметрично относительно оси x

2. y=a f(x), a›0

y=a f(x), 0‹a‹1

Растяжение по оси x в а раз

Сжатие по оси x в 1/a раз

Теперь запишите в дневниках домашнее задание: п.5, № 91, № 94(б), № 92.

№ 91. Постройте график функции y=-2x². Найдите:

А) значение y при x= -1,5; 0,6; 1,5

Б) значение x при y= -1, -3, -4,5

В) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

X

y

-4

-32

-3

-18

-2

-8

-1

-2

0

0

1

-2

2

-8

3

-18

4

-32

Решение:

А) x= -1,5 y=-4,5 Б) y=-1 x=0,3, x=-0,3 В) (0, ∞) – убывает.

X= 0,6 y=-0,8 y=-3 x=1,2, x=-1,2 (-∞, 0) – возрастает.

X= 1,5 y=-4,5 y=-4,5 x=1,5, x=-1,5

№ 94 (б). Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции

а) y=0,8x². Перечислите свойства этой функции.

Решение:

y=0,8x²

Свойства:

1. График функции проходит через начало координат.

2. График функции расположен в верхней полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси y.

4. Функция убывает в промежутке(-∞;0] и возрастает в промежутке [0;+∞).

5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+∞).

№ 92. Постройте в одной координатной плоскости графики функций: y=x², y=1/8x², y=1/3x².

Решение:

y=x² y=1/8x²

x

y

-4

16

-3

9

-2

4

-1

1

0

0

1

1

2

4

3

9

4

16

x

y

-4

2

-3

1,125

-2

0,5

-1

0,125

0

0

1

0,125

2

0,5

3

1,125

4

2

y=1/3x²

x

y

-4

5,333333

-3

3

-2

1,333333

-1

0,333333

0

0

1

0,333333

2

1,333333

3

3

4

5,333333