Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект и презентация по алгебре для 9 класса "Квадратичная функция, ее график и свойства"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект и презентация по алгебре для 9 класса "Квадратичная функция, ее график и свойства"

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект урока по алгебре.docx

библиотека
материалов

Разработала учитель математики

МОУ Большечирклейской СОШ

Айбулатова Гюзяль Алиевна



Конспект урока по алгебре.

Класс: 9

Учебник: Ю.Н.Макарычев «Алгебра 9 кл.»

Тема: Функция y=ax2, ее график и свойства.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

  • Ввести определение квадратичной функции.

  • Рассмотреть графики функций y=ax2 (а>0, и а<0) и их свойства.

  • Повторить решение квадратных уравнений.

Оборудование: доска, мел, линейка, презентация (Приложение 1).

Место проведения: Кабинет математики.

Время: 45 минут.

План урока

  1. Организационный момент (1 мин).

  2. Актуализация знаний (10 мин).

  3. Ознакомление с новым материалом (20 мин).

  4. Первичное закрепление темы (12 мин).

  5. Подведение итогов урока. Домашнее задание (2 мин).

Ход урок

Ход урок

  1. Организационный момент. Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих. Сообщение темы урока и поставка целей урока. (Слайд № 1.)

  2. Актуализация знаний.

Учитель: Ребята, сегодня мы будем изучать новую тему. Для этого вспомним ранее изученный материал, в частности повторим определение функции, некоторые понятия, связанные с функциями и вспомним известные нам функции и их некоторые свойства.

Далее задаем вопросы (Слайд № 2 – 5.):

  • Что называется функцией? Дайте определение функции?

Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, переменную y называют зависимой переменной.

  • Что называется областью определения и областью значений функции?

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

  • Что называется графиком функции?

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

  • С какими функциями вы уже знакомы?

С линейной функцией, прямой и обратной пропорциональности, функциями, заданными формулами: hello_html_2bb7a837.gif

  • Что представляет собой график:

  • Линейной функции?

Прямую

  • Прямой пропорциональности?

Прямую

  • Обратной пропорциональности?

Гиперболу

  • Функции, заданной формулой hello_html_41403414.gif

параболу

  • Дайте определение функции, возрастающей в промежутке; убывающей в промежутке?

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

  1. Ознакомление с новым материалом.

Введение понятия квадратичной функции осуществляем, используя метод целесообразных задач. Для этого предлагаем учащимся последовательно решить две задачи. (Слайд № 6.).

Задача1.

Выразить площадь поверхности куба через его ребро x. Найти площадь S при x=2; 3; 5.



Решение.

S1=x2, число граней равно 6,

S=6x2 ,

x=2 S=24;

x=3 S=54;

x=5 S=150.

Задача2.

Тело движется с ускорением а=6 м/с2 и к началу отсчета времени t прошло путь S0=20 м, имея в этот момент скорость V0=5 м/с. Найдите пройденный путь S при t=2, 4.

Решение.

Выразим зависимость пути S от времени t.

S=+V0t+S0 , S=3t2+5t+20,

T1=2 S1=3*4+5*2+20=42;

T2=4 S2=3*16+5*4+20=88.

После решения предложенных задач, задаем учащимся следующие вопросы:

  • И в первой, и во второй задаче зависит ли значение переменной S от какой – либо другой переменной?

(Да. В первой задаче S зависит от x; во второй задаче S зависит от t)

  • Значит, S какая переменная? (зависимая переменная)

  • А переменные x и t? (независимые переменные)

  • А сколько значений зависимой переменной соответствует каждому значению независимой переменной в первой задаче? А во второй задаче?

(Каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной и в первой, и во второй задаче)

  • Значит, что мы получили? (Функции)

Теперь, запишем полученную функцию в общем виде. Для этого заменим переменную S на переменную y, переменную t на – x, а числа обозначим через a, b и c. Тогда полученная функция будет иметь следующий вид: y=ax2+bx+c. Ребята, функция вида y=ax2+bx+c называется квадратичной функцией.

  • В этой функции число а – коэффициент при x2 может ли быть равным нулю? Тогда, что мы получаем?

исло а может быть равным нулю, тогда функция примет вид: y=bx+c)

  • А с функцией y=bx+c мы знакомы? Какая это функция?

(Да. Это линейная функция)

Значит, на число а накладывается ограничение – оно не может быть равным нулю. Теперь, ребята, давайте попробуем дать определение квадратичной функции.

Учащиеся вместе с учителем формулируют определение квадратичной функции. (Слайд №7.)

Определение: Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax2+bx+c , где xнезависимая переменная, a, b и cнекоторые числа, причем a≠0.

  • Как вы думаете, что является областью определения квадратичной функции?

(Множество всех чисел)

Правильно, областью определения квадратичной функции является множество всех чисел или вся числовая прямая.

Изучение квадратичной функции начнем с частного случая, а именно с функции y=ax2, которая получается из функции y=ax2+bx+c при b=0 и c=0. Примером является функция S=6x2, полученная в первой задаче.

При а=1 формула y=ax2 принимает вид y=x2. С этой функцией вы встречались, ее графиком является парабола.

Теперь давайте построим график функции y=2x2. Для этого составим таблицу значений этой функции.

Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.

X

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

y

8

4,5

2

0,5

0

0,5

2

4,5

8

Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=2x2.

Ученики строят график функции y=2x2 в тетрадях, а у учителя на слайде появляется график функции y=2x2, а потом график функции y=x2. (Слайд №8.)

Далее задаем вопросы:

  • Сравнивая графики функций y=2x2 и y=x2, что мы видим?

ни похожие, при любом x значение функции y=2x2 больше соответствующего значения функции y=x2 в 2 раза)

Правильно, при любом x0 значение функции y=2x2 больше соответствующего значения функции y=x2 в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции y=x2 вверх так, чтобы расстояние от этой точки до оси x увеличилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции y=2x2. При этом каждая точка графика функции y=2x2 может быть получена из некоторой точки графика функции y=x2.

Иными словами, график функции y=2x2 можно получить из параболы y=x2 растяжением от оси x в 2 раза.

Далее предлагаем ученикам построить график функции y=1/2x2. Для этого составляем таблицу значений этой функции.

Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.

X

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

8

4,5

2

0,5

0

0,5

2

4,5

8

Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=1/2x2.

Ученики строят график функции y=1/2x2 в тетрадях, а у учителя на этом же слайде появляется график функции y=1/2x2. На данном слайде также для более наглядного сравнения появляются графики всех трех функций на одной координатной плоскости. (Слайд №8.)

Далее задаем вопросы:

  • Сравнивая графики функций y=1/2x2 и y=x2, что мы видим?

ни похожие, при любом x значение функции y=1/2x2 меньше соответствующего значения функции y=x2 в 2 раза)

Правильно, при любом x0 значение функции y=1/2x2 меньше соответствующего значения функции y=x2 в 2 раза. Если переместить каждую точку графика функции y=x2 вниз так, чтобы расстояние от этой точки до оси x уменьшилось в 2 раза, то она перейдет в точку графика функции y=1/2x2, причем каждая точка графика функции y=1/2x2 может быть получена из некоторой точки графика функции y=x2.

Таким образом, график функции y=1/2x2 можно получить из параболы y=x2 сжатием к оси x в 2 раза.

  • Какой вывод из всего выше сказанного можно сделать? Как можно получить график функции yx2 из параболы y=x2?

Ученики вместе с учителем делают краткий вывод:

В общем случае, график функции yx2 можно получить из параболы y=x2 растяжением от оси x в a раз, если а>1, и сжатием к оси x в 1/а раза, если 0<а<1.

Далее, рассматривая графики функций, учитель вместе с учениками перечисляют свойства функции yx2, при а>0 (Слайд №9.):

  1. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начало координат.

  2. Если x≠0, то y›0. График функции расположен в верхней полуплоскости.

  3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.

  4. Функция убывает в промежутке(-∞;0] и возрастает в промежутке [0;+∞).

  5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+∞).

Теперь давайте построим график функции y=-1/2x2. Для этого составим таблицу значений этой функции.

Учитель на доске составляет таблицу значений функции, а ученики ему помогают и пишут у себя в тетрадях.

X

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

-8

-4,5

-2

-0,5

0

-0,5

-2

-4,5

-8

Теперь, постройте точки, координаты которых указаны в таблице. Далее соедините их плавной линией. Получаем график функции y=-1/2x2.

Ученики строят график функции y=-1/2x2 в тетрадях, а у учителя на слайде появляются на одной и той же координатной плоскости графики функций y=-1/2x2 и y=1/2x2. (Слайд №10.)

Далее задаем вопросы:

  • Сравнивая графики функций y=-1/2x2 и y=1/2x2, что мы видим?

ни симметричны относительно оси x)

Правильно, при любом x значения этих функций являются противоположными числами, т. е. соответствующие точки графиков симметричны относительно оси x.

Иными словами, график функции y=-1/2x2 может быть получен из графика функции y=1/2x2 с помощью симметрии относительно оси x.

  • В общем, что можно сказать про графики функций yx2 и y=-аx2?

(Они симметричны относительно оси x)

График функции yx2, так же как график функции y=x2 называется параболой.

Далее, рассматривая графики функций, учитель вместе с учениками перечисляют свойства функции yx2, при а<0 (Слайд №11.):

  1. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начало координат.

  2. Если x≠0, то y‹0. График функции расположен в нижней полуплоскости.

  3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y.

  4. Функция возрастает в промежутке(-∞;0] и убывает в промежутке [0;+∞).

  5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [-;0).

Из перечисленных свойств следует, что при а>0 ветви параболы направлены вверх, при а<0 – вниз. Ось y является осью симметрии.

Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы.

Построение графика, симметричного данному относительно оси x, растяжение графика от оси x или сжатие к оси x – различные виды преобразований графиков функций. Все эти преобразования применимы к любой функции.

  1. Первичное закрепление темы.

Решаем примеры:

90. Постройте график функции y=1/4x2. Найдите:

А) значение y при x= -2,5; -1,5; 3,5

Б) значение x при y= 5, 3, 2

В) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Решение:hello_html_m6037b03f.gif

x

y

-4

4

-3

2,25

-2

1

-1

0,25

0

0

1

0,25

2

1

3

2,25

4

4

А) x= -2,5 y=1,5 Б) y=5 x=4,5, x=-4,5 В) (0, ∞) – возрастает.

X= -1,5 y=0,6 y=3 x=3,5, x=-3,5 (-∞, 0) – убывает.

X= 3,5 y=3,1 y=2 x=2,8, x=-2,8

94 (а). Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции

а) y=-1,5x2. Перечислите свойства этой функции.

Решение:hello_html_2172855a.gif

y=-1,5x2

Свойства:

  1. График функции проходит через начало координат.

  2. График функции расположен в нижней полуплоскости.

  3. График функции симметричен относительно оси y.

  4. Функция возрастает в промежутке(-∞;0] и убывает в промежутке [0;+∞).

  5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [-;0).

96 (а, б, в – устно). Пересекаются ли парабола y=2x2 и прямые:

А) y=50, Б) y=100, В) y=-8, Г) y=14x-20. Если точка пересечения существует, то найти их координаты.

Решение:

А) Да. (5, 50), (-5, 50).

Б) Да. (5hello_html_39f1b7ec.gif, 100), (-5hello_html_39f1b7ec.gif, 100).

В) Нет.

Г) 2x2=14x-20

2x2-14x+20=0

x2-7x+10=0

x1=5 x2=2

y1=50 y2=8

(5, 50), (2,8).

  1. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

  • Что нового вы сегодня узнали на уроке?

  • С какой функцией мы сегодня познакомились?

  • Как она получается из функции y=x2?

  • Что является графиком квадратичной функции?

  • Какие преобразования функций мы сегодня рассмотрели?

Давайте в тетрадях запишем таблицу преобразований функций, на следующих уроках будем ее продолжать. (Слайд №12.)

Функция

Преобразование Y=f(x)

1) y=-f(x)

Симметрично относительно оси x

  1. y=a f(x), a›0

y=a f(x), 0‹a‹1

Растяжение по оси x в а раз

Сжатие по оси x в 1/a раз









Теперь запишите в дневниках домашнее задание: п.5, № 91, № 94(б), № 92.

91. Постройте график функции y=-2x2. Найдите:

А) значение y при x= -1,5; 0,6; 1,5

Б) значение x при y= -1, -3, -4,5

В) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.hello_html_dc8c829.gif

X

y

-4

-32

-3

-18

-2

-8

-1

-2

0

0

1

-2

2

-8

3

-18

4

-32

Решение:









А) x= -1,5 y=-4,5 Б) y=-1 x=0,3, x=-0,3 В) (0, ∞) – убывает.

X= 0,6 y=-0,8 y=-3 x=1,2, x=-1,2 (-∞, 0) – возрастает.

X= 1,5 y=-4,5 y=-4,5 x=1,5, x=-1,5

94 (б). Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции

а) y=0,8x2. Перечислите свойства этой функции.hello_html_m9a4a24e.gif

Решение:

y=0,8x2

Свойства:

  1. График функции проходит через начало координат.

  2. График функции расположен в верхней полуплоскости.

  3. График функции симметричен относительно оси y.

  4. Функция убывает в промежутке(-∞;0] и возрастает в промежутке [0;+∞).

  5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+∞).

92. Постройте в одной координатной плоскости графики функций: y=x2, y=1/8x2, y=1/3x2.



Решение:

y=x2 y=1/8x2

x

y

-4

16

-3

9

-2

4

-1

1

0

0

1

1

2

4

3

9

4

16

x

y

-4

2

-3

1,125

-2

0,5

-1

0,125

0

0

1

0,125

2

0,5

3

1,125

4

2

hello_html_m4826856c.gif

y=1/3x2

x

y

-4

5,333333

-3

3

-2

1,333333

-1

0,333333

0

0

1

0,333333

2

1,333333

3

3

4

5,333333















9


Выбранный для просмотра документ През к алг.pptx

библиотека
материалов
Функция , ее график и свойства. Разработала учитель математики МОУ Большечир...
Что называется функцией? Дайте определение функции? Функцией называют такую з...
Что представляет собой график: Линейной функции? прямую Прямой пропорциональн...
Графики функций.
Задачи. Задача1. Выразить площадь поверхности куба через его ребро x. Найти п...
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида...
Строим графики функций.
Свойства y= ax2 при а›0. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начал...
Свойства y= ax2 при а‹0. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начал...
Свойства функции y= ax2 Функция ПреобразованиеY=f(x) 1) y=-f(x) Симметрично о...
12 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Функция , ее график и свойства. Разработала учитель математики МОУ Большечир
Описание слайда:

Функция , ее график и свойства. Разработала учитель математики МОУ Большечирклейской СОШ Айбулатова Гюзяль Алиевна

№ слайда 2 Что называется функцией? Дайте определение функции? Функцией называют такую з
Описание слайда:

Что называется функцией? Дайте определение функции? Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, переменную y называют зависимой переменной. Что называется областью определения и областью значений функции? Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. Что называется графиком функции? Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. С какими функциями вы уже знакомы? С линейной функцией, прямой и обратной пропорциональности, функциями, заданными формулами

№ слайда 3 Что представляет собой график: Линейной функции? прямую Прямой пропорциональн
Описание слайда:

Что представляет собой график: Линейной функции? прямую Прямой пропорциональности? прямую Обратной пропорциональности? гиперболу Функции, заданной формулой параболу Дайте определение функции, возрастающей в промежутке; убывающей в промежутке? Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

№ слайда 4 Графики функций.
Описание слайда:

Графики функций.

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6 Задачи. Задача1. Выразить площадь поверхности куба через его ребро x. Найти п
Описание слайда:

Задачи. Задача1. Выразить площадь поверхности куба через его ребро x. Найти площадь S при x=2; 3; 5. Решение. S1=x2 , число граней равно 6, S=6x2 , x=2 S=24; x=3 S=54; x=5 S=150. Задача2. Тело движется с ускорением а=6 м/с2 и к началу отсчета времени t прошло путь S0=20 м, имея в этот момент скорость V0=5 м/с. Найдите пройденный путь S при t=2, 4. Решение. Выразим зависимость пути S от времени t. S=аt2/2+V0t+S0 , S=3t2+5t+20, T1=2 S1=3*4+5*2+20=42; T2=4 S2=3*16+5*4+20=88

№ слайда 7 Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида
Описание слайда:

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида Y=ax2+bx+c , где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0

№ слайда 8 Строим графики функций.
Описание слайда:

Строим графики функций.

№ слайда 9 Свойства y= ax2 при а›0. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начал
Описание слайда:

Свойства y= ax2 при а›0. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начало координат. Если x≠0, то y›0. График функции расположен в верхней полуплоскости. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y. Функция убывает в промежутке(-∞;0] и возрастает в промежутке [0;+∞). Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0;+∞).

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11 Свойства y= ax2 при а‹0. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начал
Описание слайда:

Свойства y= ax2 при а‹0. Если x=0,то y=0. График функции проходит через начало координат. Если x≠0, то y‹0. График функции расположен в нижней полуплоскости. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси y. Функция возрастает в промежутке(-∞;0] и убывает в промежутке [0;+∞). Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при x=0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [-∞;0).

№ слайда 12 Свойства функции y= ax2 Функция ПреобразованиеY=f(x) 1) y=-f(x) Симметрично о
Описание слайда:

Свойства функции y= ax2 Функция ПреобразованиеY=f(x) 1) y=-f(x) Симметрично относительно осиx y=a f(x), a›0 y=a f(x), 0‹a‹1 Растяжение по осиxв а раз Сжатие по осиxв1/aраз

Краткое описание документа:

Разработка урока по алгебре для 9 класса по теме "Квадратична функция, ее график и свойства" содержит подробный развернутый конспект урока с решением всех заданий и мультимедийную презентацию.

Работа предназначена для урока ознакомления с новым материалом и первичного закрепления.
Презентация содержит графики различных функций, которые выполнены в программе MatCad.
Целью данного урока является

Ввести определение квадратичной функции. Рассмотреть графики функций y=ax2 (а>0, и а<0) и их свойства. Повторить решение квадратных уравнений.

Автор
Дата добавления 21.08.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2184
Номер материала 159235082125
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх