Справочник по математике

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Единичная окружность

 

Градусная мера углов                                      Радианная мера углов

 

                                 Угол в π радиан равняется углу в 180⁰, т.е.  π = 180⁰

 

Чтобы перейти от радианной  меры углов к градусной, нужно букву π заменить на 180 и посчитать:

Чтобы перейти от градусной  меры углов к радианной,  нужно перейти к радианам. Например:

 

Таблица основных значений тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

Расширенная таблица основных значений

тригонометрических функций

 

 

 принимают только значения из промежутка [-1; 1]

 

Знаки функций по четвертям

 

 

 

 

Свойства функций

sin(-x) = - sinx                    cos(-x)=cosx

   tg(-x)= - tgx                          ctg(-x)= - ctgx

 

Формулы приведения

Для функций 

1) Функция меняется на противоположную, если в скобке - дробь и не меняется, если дроби в скобке нет.

2) Знак получаемой функции определяется как знак исходной функции в четверти.

Все получаемые значения можно найти в таблице:

sinx	cosx	cosx	sinx	-sinx	-cosx	-cosx	-sinx	sinx
cosx	sinx	-sinx	-cosx	-cosx	-sinx	sinx	cosx	cosx
tgx	ctgx	-ctgx	-tgx	tgx	ctgx	-ctgx	-tgx	tgx
ctgx	tgx	-tgx	-ctgx	ctgx	tgx	-tgx	-ctgx	ctgx

 

 

 

 

 

 

Основные формулы тригонометрии.

1. Основные тождества

,    ,     

,   , 

2. Формулы двойного угла.

 

,  ,   

 

,   ,    

 

 

3.  Формулы сложения и вычитания

,    

,    

 

   4. Формулы произведения          5. Формулы суммы и разности

                                                             

                                                                    

Обратные тригонометрические функции

Арксинус:       

Арккосинус: 

Арктангенс:    

Арккотангенс:

 

 Свойства обратных функций                                  

arcsin(-x)= - arcsinx                        arccos(-x)= π - arccosx

arctg(-x)= - arctgx                         arcctg(-x)= π – arcctgx

 

Общие решения тригонометрических уравнений

Прежде чем решить тригонометрическое уравнение, его, если нужно, приводим  к простейшему виду  (т.е. слева должна стоять только лишь функция, а справа только  одно число, например ). Решаем уравнение с помощью общих формул, т.е. подставляем вместо букв в формуле реальные числа, которые даны в уравнении. Для каждого уравнения свое общее решение, т.е в уравнении с синусом общее решение но может содержать арккосинус или арктангенс, а может быть только арксинус!

Общие решения

Частные решения

     Если в уравнении с синусом или косинусом в качестве числа стоит 0, 1, -1 то решение этого уравнения по общей формуле записывать не нужно, а сразу выписать ответ:

 

                 

       

 

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

Правила дифференцирования

Постоянная выносится за знак производной    

Производная суммы                  

Производная произведения    

Производная частного               

   , c – постоянная, число.

 

Таблица производных

 

 

 

 

Производная сложной функции

Если функция сложная, т.е. аргумент функции – тоже функция, то находя ее производную, нужно сначала найти производную первой или главной функции и еще умножить на производную второй функции, которая является аргументом первой (главной) функции, т.е.

Если вторая функция, которая дает сложность – линейна, то производная данной функции находится так:

  

Пример 1,

Пример 2. 

 

Касательная к графику  функции

Уравнение касательной: )

k– угловой коэффициент касательной – выражает угол наклона касательной  к положительному направлению оси Ох.

Касательная параллельна  оси оХ, если

Касательная образует с  осью оХ острый угол, если

Касательная образует с  осью оХ тупой угол, если

Применение производной в физике и технике

 путь тела, t – время движения.

скорость  тела:  скорость равна производной от пути.

ускорение  тела:  ускорение равно производной от скорости.

Пример. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки A этой прямой изменяется по закону

 (м), где t- время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.

  Скорость тела находится по формуле: 

Найдем производную от пути по времени:

Найдем скорость тела через 3 секунды:

 м/с

Ответ: = м/с

 

Применение непрерывности производной

Схема решения неравенства методом интервалов.

1.     Приравниваем неравенство к 0.

2.     Решаем уравнение, находим его корни.(Если в неравенстве дробь, то числитель приравниваем к нулю а знаменатель не равен нулю).

3.     Полученные корни заносим на числовую прямую, разбиваем прямую на интервалы.

4.     Определяем на каждом интервале знак, подставив число из интервала в неравенство.

5.     Выписываем  в качестве ответа нужные интервалы. Если в неравенстве стоит знак >0, то выписываем положительные интервалы, и если стоит знак <0, то соответственно выписываем отрицательные интервалы.

 

Пример:  Решить неравенство     

Приравниваем неравенство к 0:   

Разбиваем неравенство на 2 части  

                                                                  

Из первого уравнения находим корни: x₁=5, x₂=-7/2

Из второго уравнения

Заносим эти три корня на числовую прямую, разбиваем ее на интервалы:

                                   +               -            +             -

                                         -7/2         4               5

Определяем знаки на каждом интервале, подставляя числа из интервалов в неравенство.

Выписываем ответ, выбираем те промежутки, на которых знак положительный.

Ответ:

Применение производной к исследованию функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на интервале [а;b].

1)    Находим производную функции .

2)    Решаем уравнение =0, т.е. находим точку экстремума на интервале.

3)     Находим значение функции f(x) в этой точке.

4)    Находим значения функции f(x) в концах интервала – точках а и в (f(a)и f(в)).

5)    Выбираем нужное значение. Если ищем максимальное, то выбираем наибольшее, если ищем минимальное, то выбираем наименьшее значение.

 

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ

– первообразная для функции

 

 

 

 

 

 

 

Таблица первообразных

Площадь криволинейной трапеции

S=F(b)-F(a) -формула для нахождения площади криволинейной трапеции, где

F(x)- первообразная функции f(x), которая задает криволинейную трапецию;

 а и b - концы интервала, границы криволинейной трапеции;

F(a) и F(b) – значения первообразной  в концах интервала.

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси оХ, то ее площадь берется с минусом.

S=- (F(b)-F(a))

 

СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ

Уравнение

Решение зависит от степени n

n- четное => 2 корня	n – нечетное = 1 корень
Причем, если a>0 – 2 решения; a=0 – одно решение; a<0 – нет решений	причем, справедливо равенство

Пример:

Извлекаем  корень пятой степени:

                       Ответ: x=-1

Таблица степеней

Показательные уравнения

Уравнения вида  называются показательными.

Для того, чтобы решить подобное уравнение, нужно b представить в виде основания a в некоторой степени: , получим уравнение , основания  а – равны, значит равны и показатели, т.е. f(x)=c, решая это уравнение, находим x.

Пример 1:                                 

Приводим  числа 49 и  к одному основанию – 7:     

Раскрываем скобки, перемножая показатели: 

Отбрасываем основания, переходим к показателям:  2x+2=-1

Решаем это уравнение: 2x=-1-2

                                           2x=-3

                                           x=-3:2

                                           x=-1,5

Ответ: x=-1,5

Пример 2:                       

Применяем формулу 1 свойства степени:    

Выносим за скобки общий множитель:     

                                                                               

                                                                                  

                                                                                   

                                                                                     

Приведем 9  к основанию 3:                                  

Отбрасываем основания, переходим к показателям:

Ответ:  x=2

Показательные неравенства

Неравенства вида  ()называются показательными.

Для того, чтобы решить подобное неравенство, как и уравнение, нужно b представить в виде основания a в некоторой степени:  , получим неравенство  , основания  а – равны и их отбрасываем, переходя к показателям. При этом обращаем внимание на основание а:

если а>0, То переходим к неравенству  f(x)>c, решая это неравенство, находим x;

если 0<а<1, тогда при переходе к показателям следует поменять знак на противоположный, т.е. развернуть его:  f(x)<c, решая это неравенство, находим x;

Пример 1:                                

Приводим  числа 9 и  к одному основанию – 3:      

Раскрываем скобки, перемножая показатели: 

Отбрасываем основания, переходим к показателям, т.к. основание 3 >1, то знак неравенства не меняем:                         -6+3x>4x-2

Решаем это неравенство:                                        3x-4x>6-2

                                                                                    -x>4

Умножим обе части на (-1), при этом поменяются все знаки: x< -4                        

Ответ: x< -4

Пример 2:                       

Применяем формулу 1 свойства степени:    

Выносим за скобки общий множитель:     

                                                                               

                                                                              

                                                                                

                                                                                

                                                                               

Приведем 27  к основанию 3:                                        

Отбрасываем основания, т.к. основание 3>1? То знак неравенства не меняем,  переходим к показателям:              

Ответ:  x>3

Пример 3:                       

Приводим  числа 16 и  к одному основанию 2:                      

Отбрасываем основания, переходим к показателям, при этом замечаем. Что основание 2>1, следовательно знак неравенства не меняем:

Решаем неравенство, прибавляя к каждой части неравенства 1:

Ответ:

ЛОГАРИФМЫ.

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтоб получилось b:

a – основание, b – аргумент,  c – показатель степени

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм:  – экспонента.

Основное логарифмическое тождество:

 

Свойства  логарифмов

 

1.  

2.  

3.  

4.   

5.  

6.  

7.   

8.   

 

Логарифмическое уравнение.

Уравнение, которое содержит х под знаком логарифма называют логарифмическим.

Чтобы решить данное уравнение, заменяем  b на логарифм по тому же основанию, т.е.  . Отбрасываем  одинаковые логарифмы и переходим к аргументам, получаем следующее уравнение: . Из этого уравнения находим х. Учитываем ОДЗ: подлогарифмическое выражение, содержащее х должно быть больше нуля (по определению логарифма), т.е. решаем неравенство: f(x)>0. Решив неравенство, проверяем, удовлетворяют ли корни этому неравенству.

Если в правой, левой или обоих частях уравнения стоит сумма (разность) логарифмов, то их нужно сложить (вычесть), пользуясь правилами 3,4,5, так, чтобы слева и справа осталось по одному логарифму. А затем их отбросить.

 

Пример:                                  

 Сделаем из числа 2 логарифм по основанию 2: 

                                          

Пользуясь правилом 3. складываем логарифмы:

Отбрасываем логарифмы:          

Решаем линейное уравнение:        

Находим ОДЗ:                           

Решаем это неравенство:          

                                                         

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ:   - удовлетворяет, а значит является корнем уравнения.

Ответ: х=8.

Логарифмическое неравенство.

Неравенство, которое содержит х под знаком логарифма называют логарифмическим.

Неравенство решаем так же, как логарифмическое уравнение. Чтобы решить данное неравенство, заменяем  b на логарифм по тому же основанию, т.е.  . Отбрасываем  одинаковые логарифмы и переходим к аргументам. При переходе к аргументам следует учитывать основание  а:

если а>0, то переходим к неравенству , решая это неравенство, находим x;

если 0<а<1, тогда при переходе к показателям следует поменять знак на противоположный, т.е. развернуть его, решая это неравенство, находим x;

Учитываем ОДЗ: подлогарифмическое выражение, содержащее х должно быть больше нуля, т.е. решаем неравенство: f(x)>0. Решение неравенства и ОДЗ пересекаем и общее решение этих неравенств выписываем в ответ.

Если в правой, левой или обоих частях уравнения стоит сумма (разность) логарифмов, то их нужно сложить (вычесть), пользуясь правилами 3,4,5, так, чтобы слева и справа осталось по одному логарифму. А затем их отбросить.

 

Пример:                                   

 Сделаем из числа 2 логарифм по основанию 6: 

                                         

Пользуясь правилом 5 перенесем множитель 3 в правой части неравенства в степень аргумента 2:

Пользуясь правилом 3. складываем логарифмы:

Отбрасываем логарифмы, учитывая, что основание 6>1, то знак неравенства не меняем:          

Решаем линейное неравенство:        

Находим ОДЗ:                           

Решаем это неравенство:          

                                                         

Пересекаем  полученные неравенства:

                                              58

             Ответ: выписываем общую часть

 

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Прямоугольный параллелепипед

                   a, b, c-измерения параллелепипеда (длина, ширина, высота)

 

 

 

 

 

    

Куб Все ребра куба равны а

 

 

 

 Призма

 

 

 

            

 

Пирамида

 

 

 

 

 

Цилиндр                                                                                    

Осевое сечение - прямоугольник

- длина окр.

 -

                                                               

 

 

 

 

 

 

Конус.

Осевое сечение – равнобедренный треугольник. Развертка конуса - сектор

        

  

 

 

 

 

 

Шар

  

В сечении - круг

                 

                     R 

                 

                                 

Планиметрия

 

Треугольники

Произвольный треугольник (длины сторон, лежащих против вершин A, B и C, равны a, b, c соответственно; α , β , γ – величины углов A, B и C; p – полупериметр; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности; S – площадь; h_A – высота, проведенная из вершины A):

 

                                     – теорема косинусов;

                                                – теорема синусов.

 

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник (a, b – катеты; c – гипотенуза; a_c, b_c – проекции катетов на гипотенузу; h_c – высота, опущенная из вершины прямого угла):

 

– теорема Пифагора.

 

Равносторонний (правильный) треугольник:

 

 

 

Параллелограмм (a и b – смежные стороны; a – угол между ними; h_a – высота, проведенная к стороне a):

 

 

Ромб

 

Прямоугольник:                   

 

 

Квадрат (d – диагональ):

 

 

Трапеция (a и b – основания; h – расстояние между ними; l – средняя линия):

 

 

Окружность, круг (r – радиус; c – длина окружности; S – площадь круга):

 

 

 

Сектор (l – длина дуги, ограничивающей сектор; n° – градусная мера соответствующего центрального угла; α – радианная мера центрального угла):

../../../../../Program Files/Physicon/Open Math 2.6. Planimetry/design/images/Fwd_h.gif../../../../../Program Files/Physicon/Open Math 2.6. Planimetry/design/images/Bwd_h.gif