Справочник
по математике
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Единичная окружность
Градусная мера
углов Радианная мера углов
Угол в π радиан равняется углу в 1800,
т.е. π = 1800
Чтобы перейти от радианной меры углов к градусной, нужно букву
π заменить на 180 и посчитать:
Чтобы перейти от
градусной меры углов к радианной, нужно перейти к радианам. Например:
Таблица
основных значений тригонометрических функций
Расширенная таблица основных
значений
тригонометрических функций
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
1
|
|
|
|
0
|
|
1
|
|
|
|
0
|
-
|
-
|
-
|
-1
|
|
0
|
|
1
|
|
-
|
-
|
-1
|
-
|
0
|
|
-
|
|
1
|
|
0
|
-
|
-1
|
-
|
-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
|
-
|
-
|
-1
|
-
|
-
|
-
|
0
|
|
-
|
-
|
-
|
0
|
|
|
|
1
|
|
|
1
|
|
-
|
-
|
-1
|
-
|
0
|
|
|
1
|
|
0
|
-
|
-1
|
-
|
-
|
принимают
только значения из промежутка [-1; 1]
Знаки функций по четвертям
Свойства
функций
sin(-x) = - sinx cos(-x)=cosx
tg(-x)= - tgx ctg(-x)= -
ctgx
Формулы приведения
Для функций
1)
Функция меняется на противоположную, если в скобке - дробь и не меняется, если дроби
в скобке нет.
2)
Знак получаемой функции определяется как знак исходной функции в четверти.
Все
получаемые значения можно найти в таблице:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx
|
cosx
|
cosx
|
sinx
|
-sinx
|
-cosx
|
-cosx
|
-sinx
|
sinx
|
cosx
|
sinx
|
-sinx
|
-cosx
|
-cosx
|
-sinx
|
sinx
|
cosx
|
cosx
|
tgx
|
ctgx
|
-ctgx
|
-tgx
|
tgx
|
ctgx
|
-ctgx
|
-tgx
|
tgx
|
ctgx
|
tgx
|
-tgx
|
-ctgx
|
ctgx
|
tgx
|
-tgx
|
-ctgx
|
ctgx
|
Основные формулы
тригонометрии.
1.
Основные тождества
, ,
, ,
2.
Формулы двойного угла.
, ,
, ,
3.
Формулы сложения и вычитания
,
,
4. Формулы
произведения 5. Формулы суммы и разности
Обратные
тригонометрические функции
Арксинус:
Арккосинус:
Арктангенс:
Арккотангенс:
Свойства обратных функций
arcsin(-x)= - arcsinx
arccos(-x)= π - arccosx
arctg(-x)= - arctgx
arcctg(-x)= π – arcctgx
Общие
решения тригонометрических уравнений
Прежде
чем решить тригонометрическое уравнение, его, если нужно, приводим к
простейшему виду (т.е. слева должна стоять только лишь функция, а справа
только одно число, например ).
Решаем уравнение с помощью общих формул, т.е. подставляем вместо букв в формуле
реальные числа, которые даны в уравнении. Для каждого уравнения свое общее
решение, т.е в уравнении с синусом общее решение но может содержать арккосинус
или арктангенс, а может быть только арксинус!
Общие
решения
Частные решения
Если
в уравнении с синусом или косинусом в качестве числа стоит 0, 1, -1 то решение
этого уравнения по общей формуле записывать не нужно, а сразу выписать ответ:
ПРОИЗВОДНАЯ
ФУНКЦИИ.
Правила
дифференцирования
Постоянная
выносится за знак производной
Производная
суммы
Производная
произведения
Производная
частного
, c – постоянная,
число.
Таблица производных
Производная сложной
функции
Если функция сложная,
т.е. аргумент функции – тоже функция, то находя ее производную, нужно сначала
найти производную первой или главной функции и еще умножить на производную
второй функции, которая является аргументом первой (главной) функции, т.е.
Если вторая функция,
которая дает сложность – линейна, то производная данной функции находится так:
Пример 1,
Пример 2.
Касательная к
графику функции
Уравнение
касательной: )
k– угловой
коэффициент касательной – выражает угол наклона касательной к положительному
направлению оси Ох.
Касательная
параллельна оси оХ, если
Касательная
образует с осью оХ острый угол, если
Касательная
образует с осью оХ тупой угол, если
Применение производной в физике и технике
путь тела, t – время
движения.
скорость тела:
скорость
равна производной от пути.
ускорение
тела: ускорение
равно производной от скорости.
Пример.
Тело
движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки A этой
прямой изменяется по закону
(м), где t- время
движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.
Скорость тела
находится по формуле:
Найдем
производную от пути по времени:
Найдем
скорость тела через 3 секунды:
м/с
Ответ: = м/с
Применение
непрерывности производной
Схема
решения неравенства методом интервалов.
1. Приравниваем
неравенство к 0.
2. Решаем
уравнение, находим его корни.(Если в неравенстве дробь, то числитель
приравниваем к нулю а знаменатель не равен нулю).
3. Полученные
корни заносим на числовую прямую, разбиваем прямую на интервалы.
4. Определяем
на каждом интервале знак, подставив число из интервала в неравенство.
5. Выписываем
в качестве ответа нужные интервалы. Если в неравенстве стоит знак >0, то
выписываем положительные интервалы, и если стоит знак <0, то соответственно
выписываем отрицательные интервалы.
Пример:
Решить
неравенство
Приравниваем
неравенство к 0:
Разбиваем
неравенство на 2 части
Из
первого уравнения находим корни: x1=5, x2=-7/2
Из
второго уравнения
Заносим эти три корня на числовую прямую,
разбиваем ее на интервалы:
+ - + -
-7/2 4 5
Определяем
знаки на каждом интервале, подставляя числа из интервалов в неравенство.
Выписываем
ответ, выбираем те промежутки, на которых знак положительный.
Ответ:
Применение
производной к исследованию функций
Наибольшее и
наименьшее значение функции f(x) на
интервале [а;b].
1) Находим
производную функции .
2) Решаем
уравнение =0, т.е. находим точку экстремума на
интервале.
3) Находим
значение функции f(x) в этой
точке.
4) Находим
значения функции f(x) в концах
интервала – точках а и в (f(a)и f(в)).
5) Выбираем
нужное значение. Если ищем максимальное, то выбираем наибольшее, если ищем
минимальное, то выбираем наименьшее значение.
ПЕРВООБРАЗНАЯ
ФУНКЦИИ
– первообразная
для функции
Таблица первообразных
Площадь криволинейной трапеции
S=F(b)-F(a) -формула для
нахождения площади криволинейной трапеции, где
F(x)-
первообразная функции f(x), которая
задает криволинейную трапецию;
а
и
b - концы
интервала, границы криволинейной трапеции;
F(a) и F(b) – значения
первообразной в концах интервала.
Если
криволинейная трапеция расположена ниже оси оХ, то ее площадь берется с
минусом.
S=- (F(b)-F(a))
СТЕПЕНИ
И ЛОГАРИФМЫ
Уравнение
Решение
зависит от степени n
n-
четное
=> 2 корня
|
n
– нечетное = 1 корень
|
Причем, если
a>0
– 2 решения;
a=0
– одно решение;
a<0
– нет решений
|
причем,
справедливо равенство
|
Пример:
Извлекаем корень
пятой степени:
Ответ:
x=-1
Таблица
степеней
Показательные
уравнения
Уравнения
вида называются
показательными.
Для
того, чтобы решить подобное уравнение, нужно b представить
в виде основания a в некоторой степени: ,
получим уравнение ,
основания а – равны, значит равны и показатели, т.е. f(x)=c,
решая это уравнение, находим x.
Пример 1:
Приводим
числа 49 и к
одному основанию – 7:
Раскрываем
скобки, перемножая показатели:
Отбрасываем
основания, переходим к показателям: 2x+2=-1
Решаем
это уравнение: 2x=-1-2
2x=-3
x=-3:2
x=-1,5
Ответ:
x=-1,5
Пример 2:
Применяем
формулу 1 свойства степени:
Выносим
за скобки общий множитель:
Приведем
9 к основанию 3:
Отбрасываем
основания, переходим к показателям:
Ответ:
x=2
Показательные
неравенства
Неравенства
вида ()называются
показательными.
Для
того, чтобы решить подобное неравенство, как и уравнение, нужно b представить
в виде основания a в некоторой степени: ,
получим неравенство ,
основания а – равны и их отбрасываем, переходя к показателям.
При этом обращаем внимание на основание а:
если
а>0, То переходим к неравенству f(x)>c,
решая это неравенство, находим x;
если
0<а<1, тогда при переходе к показателям следует поменять
знак на противоположный, т.е. развернуть его: f(x)<c,
решая это неравенство, находим x;
Пример 1:
Приводим
числа 9 и к
одному основанию – 3:
Раскрываем
скобки, перемножая показатели:
Отбрасываем
основания, переходим к показателям, т.к. основание 3 >1, то знак неравенства
не меняем: -6+3x>4x-2
Решаем
это неравенство: 3x-4x>6-2
-x>4
Умножим
обе части на (-1), при этом поменяются все знаки: x< -4
Ответ:
x< -4
Пример 2:
Применяем
формулу 1 свойства степени:
Выносим
за скобки общий множитель:
Приведем
27 к основанию 3:
Отбрасываем
основания, т.к. основание 3>1? То знак неравенства не меняем, переходим к
показателям:
Ответ:
x>3
Пример 3:
Приводим
числа 16 и к
одному основанию 2:
Отбрасываем
основания, переходим к показателям, при этом замечаем. Что основание 2>1,
следовательно знак неравенства не меняем:
Решаем
неравенство, прибавляя к каждой части неравенства 1:
Ответ:
ЛОГАРИФМЫ.
Логарифмом
числа b
по основанию a называется
показатель степени с, в которую нужно возвести
основание а,
чтоб получилось b:
a – основание, b – аргумент, c
– показатель степени
Десятичный
логарифм:
Натуральный
логарифм: –
экспонента.
Основное
логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Логарифмическое
уравнение.
Уравнение,
которое содержит х под знаком логарифма называют
логарифмическим.
Чтобы
решить данное уравнение, заменяем b на логарифм по тому же
основанию, т.е. .
Отбрасываем одинаковые логарифмы и переходим к аргументам, получаем следующее
уравнение: .
Из этого уравнения находим х. Учитываем ОДЗ:
подлогарифмическое выражение, содержащее х должно
быть больше нуля (по определению логарифма), т.е. решаем неравенство: f(x)>0. Решив
неравенство, проверяем, удовлетворяют ли корни этому неравенству.
Если
в правой, левой или обоих частях уравнения стоит сумма (разность) логарифмов,
то их нужно сложить (вычесть), пользуясь правилами 3,4,5, так, чтобы слева и
справа осталось по одному логарифму. А затем их отбросить.
Пример:
Сделаем
из числа 2 логарифм по основанию 2:
Пользуясь
правилом 3. складываем логарифмы:
Отбрасываем
логарифмы:
Решаем
линейное уравнение:
Находим
ОДЗ:
Решаем
это неравенство:
Проверяем,
удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: -
удовлетворяет, а значит является корнем уравнения.
Ответ: х=8.
Логарифмическое
неравенство.
Неравенство,
которое содержит х под знаком логарифма называют
логарифмическим.
Неравенство
решаем так же, как логарифмическое уравнение. Чтобы решить данное неравенство,
заменяем b
на логарифм по тому же основанию, т.е. .
Отбрасываем одинаковые логарифмы и переходим к аргументам. При переходе к
аргументам следует учитывать основание а:
если
а>0, то переходим к неравенству ,
решая это неравенство, находим x;
если
0<а<1, тогда при переходе к показателям следует поменять
знак на противоположный, т.е. развернуть его,
решая это неравенство, находим x;
Учитываем
ОДЗ: подлогарифмическое выражение, содержащее х должно
быть больше нуля, т.е. решаем неравенство: f(x)>0. Решение неравенства и ОДЗ
пересекаем и общее решение этих неравенств выписываем в ответ.
Если
в правой, левой или обоих частях уравнения стоит сумма (разность) логарифмов,
то их нужно сложить (вычесть), пользуясь правилами 3,4,5, так, чтобы слева и
справа осталось по одному логарифму. А затем их отбросить.
Пример:
Сделаем
из числа 2 логарифм по основанию 6:
Пользуясь
правилом 5 перенесем множитель 3 в правой части неравенства в степень аргумента
2:
Пользуясь
правилом 3. складываем логарифмы:
Отбрасываем
логарифмы, учитывая, что основание 6>1, то знак неравенства не меняем:
Решаем
линейное неравенство:
Находим
ОДЗ:
Решаем
это неравенство:
Пересекаем
полученные неравенства:
58
Ответ: выписываем общую часть
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Прямоугольный
параллелепипед
a, b, c-измерения
параллелепипеда (длина, ширина, высота)
Куб
Все
ребра куба равны а
Призма
Пирамида
Цилиндр
Осевое сечение -
прямоугольник
|
|
-
Конус.
Осевое сечение – равнобедренный
треугольник.
Развертка конуса
- сектор
|
|
Шар
R
Планиметрия
Треугольники
Произвольный
треугольник (длины сторон, лежащих против вершин A, B и C,
равны a, b, c соответственно; α , β , γ –
величины углов A, B и C; p – полупериметр; R
– радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности; S
– площадь; hA – высота, проведенная из вершины A):
– теорема косинусов;
– теорема синусов.
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник
(a, b – катеты; c – гипотенуза; ac,
bc – проекции катетов на гипотенузу; hc –
высота, опущенная из вершины прямого угла):
– теорема
Пифагора.
Равносторонний
(правильный) треугольник:
Параллелограмм (a и b
– смежные стороны; a – угол между ними; ha – высота,
проведенная к стороне a):
Ромб
Прямоугольник:
Квадрат (d –
диагональ):
Трапеция (a и b – основания; h –
расстояние между ними; l – средняя линия):
Окружность, круг (r –
радиус; c – длина окружности; S – площадь круга):
Сектор (l – длина дуги,
ограничивающей сектор; n° – градусная мера соответствующего центрального
угла; α – радианная мера центрального угла):
../../../../../Program
Files/Physicon/Open Math 2.6. Planimetry/design/images/Fwd_h.gif../../../../../Program
Files/Physicon/Open Math 2.6. Planimetry/design/images/Bwd_h.gif
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.