Геометрия+Оргиами

 «Введение геометрических понятий с помощью метода оригами»

Оригами, искусство складывания из бумаги, древнее японское изобретение и одно из самых распространённых в настоящее время по всему миру детских (и не только детских) занятий и увлечений, при котором “голова работает руками”, и очень успешно. Идея оригами проста настолько, что проще не бывает. Преобразовывая складыванием квадратный листок бумаги, надо получить какую-то определенную фигурку. В классическом оригами при этом не нужны ни ножницы, ни клей, а требуется лишь лист однотонной бумаги - и процесс пошёл. Развитие оригами как современного направления искусства связывают с именем знаменитого японского мастера Акиро Йошидзавы. Изобретенная им система записи процесса складывания фигур оригами сегодня называется “оригамная азбука”.

Оригами - это оригинальный подход к преподаванию геометрии в школе. Эта мысль поначалу вызвала недоумение, однако, оно быстро сменилось интересом у серьезных специалистов. Ребята с удивлением открывают для себя новый оригамский подход к решению некоторых традиционных школьных задач. Главная задача занятий оригаметрии состоит в союзе теории и практики, когда решение оригаметрической задачи позволяет создать новую модель, а так же в развитие конструктивных умений и навыков и творческой деятельности учеников. Для того чтобы успешно заниматься, ученики должны быть знакомы с основами геометрии.

Оригами использует абстрактные математические фигуры для складывания из листа бумаги различных поделок, но сам процесс изготовления не связывается с геометрическими формами и с решением задач.

При интегрировании геометрии в оригами более важен обратный процесс. Это процесс анализа готовой бумажной поделки, ее частей. Процесс абстрагирования позволяет конструировать и изучать различные геометрические свойства фигур, составлять самим учащимся множество математических задач.

Преимущества использования метода «оригами» на уроках геометрии:

1. При использовании предложенного метода открывается сравнительно простой путь введения приемов лабораторного метода в геометрию. Этот метод представляет интерес и при индивидуальной работе с одним уче­ником или небольшой группой учащихся. Условия индивидуальной работы дадут место более углубленному применению лабораторного метода, метода исследования.

2. Данный метод будет играть роль и при подготовке к доказательству теорем, давая опыт, который требуется объяснить, и объяснением кото­рого явится доказательство. При этом учитель будет исходить от явления к закону, и ученику дается ценная и плодотворная работа - подметить главные детали опыта и из них вывести закон и, наконец, его точно сформулировать. Таким образом, и внимание и любознательность ученика будут возбуждены и «доказательство» уже не будет навязанным, а ответит возникшей в уме его потребности объяснения открытого закона.

3. Данный метод позволит использовать на уроках высшую ступень принципа наглядности - принцип моделирования. Наглядность в  обучении выполняет различные функции. Можно  выделить следующие функции наглядности:

- источник информации;

- средство иллюстрации;

- основа чувственного восприятия и опора познания.

«Там, где содержанием обучения выступают внешние свойства вещей, принцип наглядности себя оправдывает. Но там, где содержанием обучения становится связи и отношения предметов, - там наглядность далеко не достаточна. Здесь ... вступает в силу принцип моделирования».

При обучении математике, и в частности геометрии, используют знаковые, графи­ческие, образные модели и модели - пособия. В процессе решения задач приходится строить модель или несколько моделей: текст задачи переводится на графический язык (построение чертежа), затем на языке алгебры (составление уравнения) и т.п. Поэтому необходимо обучать школьников переводу информации с одного языка на другой, что важно и для развития у них конструктивных умении и навыков.

В научно-методической литературе под моделированием понимают одни из видов практических работ и рассматривают его как средство применения и закрепления полученных теоретических знаний на практике.

Моделирование можно проводить на всех ступенях обучения геометрии, причем изготовить можно как планиметрические, так и стереометрические мо­дели. В процессе изготовления моделей закрепляются теоретические знания учащихся и приобретается ряд практических навыков.

Моделирование может быть средством активизации мыслительной деятельности учащихся.

Моделирование рассматривается и как средство развития пространственного мышления учащихся, поскольку оно способствует запоминанию геометрических фигур и их свойств, лучшему усвоению геометрических соотношений.

Моделирование играет и воспитательную роль, приучая школьников к точности, аккуратности, наблюдательности, вниманию, развивает мелкую моторику.

Таким образом, возможности моделирования для развития конструктивных умений и навыков в целом и их отдельных компонентов достаточно ве­лики. Моделирование должно вплетаться естественным  образом  в  общую ткань педагогического процесса, оживлять его и делать более продуктивным.

Данный метод способствует обучению учащихся логическому конструированию.

Под логическим конструированием понимают деятельность, связанную с классификацией объектов, конструированием объектов с заданными свойст­вами из заданных частей, построение логических схем и т.д.

Логическое конструирование описывает закономерности, которым под­чиняется геометрическое конструирование - деятельность по созданию геометрических фигур с определенными свойствами.

Обучение логическому конструированию необходимо для развития кон­структивных умений и навыков, оно предполагает решение задач на выделение и узнавание частей, расчленение множества частей по некоторому признаку (классификацию), подсчет числа частей, обладающих определенным призна­ком.

4. Данный метод способствует развитию образного мышления, важнейшего компонента творческой деятельности.

Образ - форма отражения объекта в сознании человека. В образах объекты фиксируются сразу по нескольким признакам, причем иногда не сущест­венным с точки зрения научного содержания знания, но весьма значительным с позиции индивидуального опыта ученика, его эмоционального отношения к воспринимаемому объекту.

Образ не просто основа, наглядная опора для формирования понятия, он выполняет особую функцию в познании и преобразовании действительности (теоретической и практической) обеспечивая создание образа мира в его реальных (а не абстрактно изолированных) связях и отношениях, богатых своим физическим содержанием, наполненных для ученика личностным смыслом и значимостью.

Образное мышление составляет существенную особенность внутреннего мира человека, характеризует его субъективную активность. С помощью него достигается высшие формы теоретического познания.

Образное мышление отражает диалектическое развитие мышления ребенка, являясь самостоятельным видом мышления и подготовительной ступенькой в развитии других видов мыслительной деятельности.

5. Применение данного метода позволяет использовать разнообразную палитру чувственных признаков: зрительных, слуховых, тактильных. Это обеспечивает не только интенсивное умственное развитие, но и также эмоциональное развитие и эстетическое воспитание учащихся, способствует развитию их воображения - существенного компонента творческого мышления.

Все перечисленные преимущества и характеризуют педагогическую ценность данного метода.

Следует отметить также, что бумага является доступным материалом для учеников и учителей, широко применяемым в различных областях конструирования.

Принципы метода «оригами»:

1. Реализация дифференцированного подхода как при изучении теоретического материала, так и при решении задач. Особое место наряду с логическими способами доказательства теорем отводится наглядно - образным методам.

2. Активное использование моделей, при котором учащиеся работают не с абстрактными моделями, а с макетами предметов, реально существующих в природе, окружающей нас жизни.

3. Практическое воплощение математических основ.

4. Работа с чертежами, изготовление моделей по готовым чертежам. Все это активизирует конструктивную деятельность учащихся, что очень важно для развития творческой деятельности.

5.Развитие изобретательских умений, путем использования условных обозначений, для составления схем складывания своей фигуры, придумывания доказательств теорем, отыскания новых способов решения задач, придумыва­ния задач по той или иной теме.

6. Развитие памяти, внимания, наблюдательности, коммуникативных ка­честв и аккуратности, необходимых для успешного занятия математикой.

7.   Развитие  способности  работать руками  под  контролем  сознания (мелкой моторики), необходимой для успешного обучения.

Особенности методики преподавания геометрии с помощью оригами

1)  Занимаясь оригаметрией, необходимо очень тщательно следить за правильным употреблением терминов при постановках и решении задач. Например, недопустимы такие выражения как «концы или край квадрата», « угол совмещается с точкой», «угол ложится на линию» и так далее - то есть выражений, которые могут употребляться в обыденной речи при объяснении складывания фигурки, но совершенно недопустимы при объяснении построений в оригаметрии. Детей необходимо учить осуществлять переход от физического ощущения листа к математической модели задачи и наоборот. Например, мы говорим «краешек стола», «край листа бумаги». В математике это будет звучать как «сторона прямоугольника или квадрата» Необходимо учить видеть, как, физически перегибая бумагу, можно получать нужные отрезки. Ребята часто не видят этого, что является проблемой обучения.

Когда занятия оригами начинаются до изучения геометрии, в начальной школе, то легче сразу вначале давать детям правильные термины и определения, чем потом переучивать их в седьмых-девятых классах. Преподавателям-нематематикам лучше вначале занятий оригами проконсультироваться с математиками об употреблении терминологии.

2)  Необходимо учитывать возрастные особенности детей, и программу по математике, в том числе в начальной школе. Например, если в курсе оригами начать давать определение биссектрисы угла в первом классе, то дети услышат, но просто не поймут. А вот уже в третьем классе такое определение пройдет легко, дети уже поймут, что значит «сложить по биссектрисе угла».

3)  На уроке или на кружке оригами можно вести с первого по 11 класс. Если в начальной (средней) школе велся кружок по оригами, то оригами можно использовать как педагогический прием на уроках геометрии и не затрачивать на его освоение дополнительное время. Если заранее дети не были подготовлены, то можно давать и на уроке, но лишь некоторые отобранные задачи. Например, тема «многогранники». Обязательно у детей возникнет вопрос - а можно ли в оригами выполнить сферу, шар? Можно создавать многогранники, приближающиеся по форме к шару, но можно показать и примеры плетения, когда шар сплетается из нескольких длинных полосок бумаги. Это отдельная и очень интересная область оригами.

4)  Большинство детей при решении определенных задач любят складывать, но неохотно стремятся объяснять и доказывать, почему именно такое складывание дает желаемый результат. Дело в том, что существует определенный водораздел - складывание на уроках оригами, а математика и строгие доказательства на уроках геометрии. Преодолеть такой барьер -задача педагога.

5)  Приступая к введению складывания на уроках геометрии, педагог сам должен разбираться в оригами. В нашей стране существует уже несколько центров оригами, издана соответствующая литература. Этим опытом надо активно пользоваться. Для того чтобы преподавать оригаметрию, надо знать оригами и математику.

Внедрением оригами в учебный процесс занимаются такие педагоги, как Белим С.Н., Капитонова И.В., Советова Е., Погребняк Т.Ю. и многие другие.

Методика проведения занятий предполагает проведение следующих ти­пов уроков:

1)  урок изучения и первичного закрепления новых знаний;

Цель: Восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала, осмысливание связей и отношений в объектах изучения.

На этих уроках учитель знакомит с основными геометрическими поня­тиями, вводит математические термины и обозначения. Объяснение нового материала проходит с помощью перегибания листа бумаги.

Первичное закрепление пройденного материала  проходит в процессе:

- сборки какой-либо модели в технике оригами. Учитель готовит во

просы по этапам сборки модели и задает их учащимся в процессе работы;

- решения простейших задач на воспроизведение и узнавание новых по­нятий.

В начале каждого урока проходит вторичное осмысление уже известных знаний. Актуализация опорных знаний и их коррекция происходят в процессе решения задач, требующих осознанного понимания материала и имеющих занимательный характер, т.е. содержащих в себе элементы необычного, уди­вительного, неожиданного, комического, вызывающие интерес у школьников к предмету и способствующие положительной эмоциональной обстановки учения.

Пример урока этого типа.

Равнобедренный треугольник.

Цель урока: 1. Сформировать понятие равнобедренного треугольника, его элементов.

                    2. Познакомить со свойством углов при основании в равнобедренном треугольнике.

Ход урока.

1.           Изготовьте треугольник из квадратного листа бумаги (см. рисунок 1). Развернув листок мы получим треугольник. Вырежьте его. Внимательно рассмотрите получившуюся фигуру и определите сколько равных сторон имеет этот треугольник? Как это проверить экспериментально?

Итак, треугольник у которого равны две стороны называется равнобедренным.

Рис 6.

2.  Нарисуйте равнобедренный треугольник в тетради. Равные стороны у треугольника называются  боковыми сторонами, а третья сторона - основа­нием. Подпишите это на рисунке.

Задание: Назовите боковые стороны и основание у равнобедренных тре­угольников на рисунке 2.

                X               E               O

      P                     C

               Q                 Y                               F

                                                        M                               K

                                                  D               A

       L               N                                                                              N

                                                     Рис 7.

Задание: На рисунке 3 даны точки А, В, С, D , Е, F. Выпишите все равнобедренные треугольники, вершинами которых являются заданные точки. Укажите их основание.

 Рис 8.

3. Углы, которые образуют боковые стороны с основанием называются углами при основании, а третий угол называется углом при вершине.

Сложите ваш треугольник так, чтобы боковые стороны совпали. Какой вывод можно сделать об углах при основании?

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

4. Сложите  по   предложенной   схеме   тропическую   рыбку   (см.схему сборки "Тропической рыбки" в приложении 1). В процессе работы постарайтесь ответить на следующие вопросы:

1.  Треугольный лист бумаги, из которого складывают рыбку представ­ляет собой какой треугольник?

2.  Определите величины всех углов этого треугольника.

3.  Сколько треугольников вы получили на рисунке 2 схемы сборки? Оп­ределите вид этих треугольников. Как это проверить экспериментально?

4.  На рисунке 4 укажите равнобедренные треугольники. Сколько их на этом этапе сборки фигурки. Определите углы этих треугольников.

5. На рисунке 5 определите вид треугольника DMP. Как это проверить?

6. Н рисунке 8 схемы сборки модели назовите все треугольники. Опре­делите их вид.

2) урок обобщения и систематизации знаний или итоговый урок;

Цель: Обобщить и систематизировать геометрический материал, изученный в данной теме. Усвоение знаний в их системе.

Обобщение и систематизация происходит в процессе решения задач, имеющих развивающий характер, требующих смекалки, сообразительности. Теоретический материал вспоминается при сборки какой - нибудь модели в технике оригами.

Важный момент этих уроков - составление дидактического материала по теме: обобщающих схем, таблиц, наглядных пособий и моделей.

3) уроки творческой работы

Цель: развитие логического конструирования, посредством конструирования математических задач самими учащимися с применением листа бу­маги.

На этих уроках учитель организует работу с учащимися по созданию коллективной композиции из плоских или объемных моделей. В процессе работы ученики должны вспомнить геометрический материал, который они изучали в данной теме и самостоятельно составить несколько вопросов по рисункам схемы сборки предложенной модели или придумать задачу по этой теме или готовой модели.

Учитывая психологические основы организации урока: психологические особенности школьников, их умственное развитие, отношение к учению методически оправдано, проводить данные уроки в форме игры - путешествия.

Учащиеся с первого урока отправляются в увлекательное путешествие по необычной стране «Оригаметрия», в ходе которого они изучают основные геометрические понятия, знакомятся с простейшими математическими фактами, являющимися аксиомами и теоремами, проведением первых логических обоснований, являющихся доказательствами.

Примеры использования метода «Оригами» на этапе усвоения новых знаний и способов действий (в 7-11 классах)

1. При введении понятия вертикальные углы в 7 классе учащимся пред­лагается согнуть квадрат по диагоналям, затем развернуть и посмотреть, что получилось. Можно ввести буквенные обозначения (см. рис.) Попросить учащихся найти все получившиеся углы с вершиной О. Из названный углов выбрать такие пары у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Выделить эти пары. Затем дать определение вертикальных углов и попросить сделать чертеж в тетрадях.

Далее предлагает несколько рисунков, на которых надо найти вертикальные углы выделить их и назвать.

Свойство вертикальных углов следует сначала получить с помощью перегибания для одной пары, а затем для другой. Убедившись в равенстве вертикальных углов можно обосновать данное свойство математически.

В конце урока из получившейся модели (при проверке равенства вертикальных углов) можно сложить с учащимися в технике оригами забавного человечка или зверушку.

2.   При изучении темы  «Замечательные точки треугольника», вначале учащимся   с   помощью   сгибов   бумаги   предлагают   убедиться в том, что биссектрисы, медианы, высоты и срединные перпендикуляры треугольника пересекаются   в   одной   точке,   а   потом   уже   проводят   математическое подтверждение данного факта.

3. При введение понятия квадрат, к изучению свойств квадрата, учащимся предлагается после введения определения квадрата смоделировать квадрат из прямоугольного листа бумаги и затем объяснить, почему получившаяся фигура - квадрат.

Затем предлагается получить квадрат из неровно обрезанного листа бу­маги и также объяснить, почему полученная фигура квадрат.

4.  Применение данной технологии особенно эффективно при изучении отдельных теорем школьного курса математики. Особое место наряду с логическими  способами доказательства теорем отводится наглядно   образным методам доказательства.

При знакомстве е теоремой о сумме углов треугольника в 7 классе можно вначале предложить учащимся наглядно - конструктивный способ дока­зательства с помощью листа бумаги.

У каждого учащегося модель произвольного треугольника, заранее вырезанная из бумаги.

Предлагается построить высоту треугольника (с понятием высоты учащиеся уже знакомы к этому времени) (см. рис.). Вводятся буквенные обозна­чения. Далее просят перегнуть все три угла треугольника так, чтобы их вер­шины совместились с точкой Д. Учитель просит ребят сделать вывод из полу­чившейся модели, выслушав их ответы обобщает все сказанное и заключает, что все углы при вершинах треугольника баз наложения друг на друга состав­ляют в сумме развернутый угол с вершиной Д, равный по величине 180.

Далее можно предложить учащимся математическое обоснование данного факта.

1. Вертикальные углы

2. Найдите пары вертикальных углов:

3.   Свойство вертикальных углов.

4. Изготовление квадрата из прямоугольного листа бумаги.

5. Изготовление квадрата из неровного листа бумаги.

Крайне желателен практический этап, т.е. складывание фигурок оригами и нахождение на них изученных понятий или их свойств.