Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья «Математический софизм»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья «Математический софизм»

библиотека
материалов


Математический софизм.


Можно рассмотреть с учащимися факты, которые на первый взгляд кажутся загадочными и необъяснимыми.

При решении задач о площадях многоугольников прошу построить прямоугольник со сторонами 11см и 13см, провести диагональ и сдвинуть полученные треугольники в положение 2





V S U U

hello_html_4a8f6a98.gif






P










hello_html_m50f42d49.gifhello_html_mb60b119.gifhello_html_7a66d6fa.gif

Т





Q R X

hello_html_mb60b119.gif

Рис.1 Рис.2 R

Фигура на втором рисунке на первый взгляд состоит из квадрата VSXR со стороной 12 см и площадью 144см2, и двух треугольников PQR и SUT, площадью 0,5см2 каждый. Следовательно площадь всей фигуры равна 12х12+2 х0,5= 145см2. Но как это получилось, если площадь исходного прямоугольника равна 13х11=143см2?

При более подробном рассмотрении того, как диагональ пересекает клетки прямоугольника заметим, что VRXS не является квадратом. В геометрии «по виду» фигуры не всегда ее можно правильно определить, что подтверждается вычислениями.

При решении задач на применение признаков подобия треугольников проблемная ситуация создается с помощью софизма следующим образом.

Обращаю внимание учащихся на чертежи, заранее подготовленный на плакате и даю пояснение к нему.




I III

13




II 8 IV

hello_html_4a499f33.gifhello_html_df565a1.gifhello_html_4cbb7abc.gif В 8 13 С В 13 М 21 С

1


I

III F


Е


II IV


hello_html_7a66d6fa.gif

8


hello_html_10f96d76.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_4cbb7abc.gif


13


А Д


А Д N

Рис.3 Рис.4


Квадрат разрезали на два равных прямоугольных треугольники (части I и II) и две равных прямоугольных трапеции (части III и IV). Из полученных частей (рис 3) составили четырехугольник (рис 4).

Сравнить площадь квадрата с площадью полученного четырехугольника.

Вычислив площадь каждой фигуры, учащиеся обнаруживают противоречие: площадь квадрата равна 441 кв.ед, а площадь прямоугольника равна 442 кв.ед. В связи с этим обстоятельством возникает проблема, которую формулируют учащиеся, -объяснить полученный результат.

Приступаем к решению проблемы. Видимо, четырехугольник, полученный из частей квадрата, не является прямоугольником. Выясним это.

В этом четырехугольнике (рис 4) противоположные стороны попарно равны (АВ1 = СД = 13, ВС = АД = 34) Значит, четырехугольник АВСД является параллелограммом, поэтому < А = <С, < В = < Д т.к. <В= < Д= 90°, то по свойству параллелограмма все остальные углы четырехугольника являются прямыми. Следовательно, рассматриваемый четырехугольник действительно прямоугольник и его площадь равна 13 х (13+21) = 442 (кв.ед.)

После неудачных попыток решения проблемы предлагаю учащимся начертить в тетрадях квадрат, имеющий площадь 441 кв.ед. и провести аналогичное превращение, взяв другие размеры частей I ,II, III, IV, например, как на рис.5.




I II

15



II IV

6

I

Е

III

F

IV

II

hello_html_4a499f33.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_df565a1.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_m1b5248ca.gifhello_html_4aea32df.gif В 6 15 С В 15 М 21 С С


hello_html_mdf1a48e.gif6

hello_html_m978cad5.gif


hello_html_438e1b6b.gifhello_html_3502b916.gif

15


А

А Д Д


Рис.5 Рис.6


Рассматривая полученный чертеж, учащиеся замечают, что части I,II,III,IV не покрывают полностью прямоугольник, а составляют «просвет» в форме параллелограмма. «Просвет» в форме параллелограмма может иметь такую малую площадь, что ее можно не заметит глазом. Если это так, то отрезки АЕ и ЕС, АF и FС образуют излом. Предположим противное, пусть АВС – треугольник, тогда ∆ АВС ≈ ΔМЕС и МЕ/АВ=МС/ВС, но МЕ/АВ=8/13= 0,617…, что противоречит предположению, значит, АВСЕ четырехугольник и <АЕМ + <МЕС не равно 180%

Противоречие 441=442 объясняется так: рассуждая, что из частей I,II,III,IV квадрата может быть получен прямоугольник (рис 4), мы доверяемся кажущейся наглядности.

Боковая сторона трапеции III и гипотенуза треугольника I не лежат на одной прямой, а дают «излом» в общей точке этих отрезков. Площадь фигуры АВСД действительно равна 442 кв.ед., но в ней есть «щель» - параллелограмм АЕСF, площадь которого равна 1 кв.ед.


Краткое описание документа:

Активизация познавательной самостоятельности - условие эффективности проблемного обучения.

При использовании метода проблемного обучения возможно использование математических софизмов. При решении задач по геометрии в "8 классе по темам «Подобие треугольников», «Площадь многоугольников» с помощью софизма создана проблемная ситуация. В связи с загадочным обстоятельством возникает проблема, которую формулируют учащиеся - объяснить полученный результат.

Учащиеся ставят проблему, выдвигают гипотезы разрешения данной ситуации, решают поставленную задачу.

Математический софизм.

Можно рассмотреть с учащимися факты, которые на первый взгляд кажутся загадочными и необъяснимыми. При решении задач о площадях многоугольников прошу построить прямоугольник со сторонами 11см и 13см, провести диагональ и сдвинуть полученные треугольники в положение 2

Фигура на втором рисунке на первый взгляд состоит из квадрата VSXR со стороной 12 см и площадью 144см2, и двух треугольников PQR и SUT, площадью 0,5см2 каждый. Следовательно площадь всей фигуры равна 12х12+2 х0,5= 145см2. Но как это получилось, если площадь исходного прямоугольника равна 13х11=143см2?

При более подробном рассмотрении того, как диагональ пересекает клетки прямоугольника заметим, что VRXS не является квадратом. В геометрии «по виду» фигуры не всегда ее можно правильно определить, что подтверждается вычислениями. При решении задач на применение признаков подобия треугольников проблемная ситуация создается с помощью софизма следующим образом.

Обращаю внимание учащихся на чертежи, заранее подготовленный на плакате и даю пояснение к нему.Квадрат разрезали на два равных прямоугольных треугольники (части I и II) и две равных прямоугольных трапеции (части III и IV). Из полученных частей (рис 3) составили четырехугольник (рис 4).

Сравнить площадь квадрата с площадью полученного четырехугольника.Вычислив площадь каждой фигуры, учащиеся обнаруживают противоречие: площадь квадрата равна 441 кв.ед, а площадь прямоугольника равна 442 кв.ед. В связи с этим обстоятельством возникает проблема, которую формулируют учащиеся, -объяснить полученный результат.

Приступаем к решению проблемы. Видимо, четырехугольник, полученный из частей квадрата, не является прямоугольником. Выясним это.В этом четырехугольнике (рис 4) противоположные стороны попарно равны (АВ1 = СД = 13, ВС = АД = 34) Значит, четырехугольник АВСД является параллелограммом, поэтому < А =

Автор
Дата добавления 17.10.2013
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров481
Номер материала 16362101757
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх