Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практическое пособие по математике для 7-9 классов «Основные алгоритмы алгебры»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Практическое пособие по математике для 7-9 классов «Основные алгоритмы алгебры»

библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №32 г. Новочеркасска


Принято

методическим объединением учителей

математики и методическим советом

протокол №1 от «30» августа 2012 года

«Утверждаю»

Директор школы Салтыков С.А.

«31» августа 2012года





Основные алгоритмы алгебры

7 – 9 классов







Учитель Кручинина В.Б.




Алгоритм решения линейных уравнений

Уравнение вида hello_html_50ff0217.gif, где a,b действительные числа, называется линейным.


  1. Преобразовать левую и правую части уравнения к виду hello_html_669e7192.gif, для этого нужно раскрыть скобки (если они есть) или привести дробные слагаемые к общему знаменателю (если нужно).

  2. Перенести все члены, содержащие неизвестную, влево, а все известные члены – вправо (при переносе членов из одной части в другую изменяем их знак на противоположный).

  3. Приводим подобные члены в левой и правой частях уравнения.

  4. Число, стоящее справа, делим на число, стоящее перед неизвестной.

  5. Записываем ответ (результат деления – корень исходного уравнения).


Пример

hello_html_91431e1.gif

hello_html_m1c3ad1da.gif

Решить самостоятельно


  1. hello_html_48669531.gif

  2. hello_html_m24cdde98.gif

  3. hello_html_m612f5be6.gif

  4. hello_html_m525e7c5e.gif

  5. hello_html_m465d2750.gif

  6. hello_html_224d9ae6.gif

  7. hello_html_4b5a3835.gif

  8. hello_html_m778ef559.gif

  9. hello_html_2882c7cb.gif

  10. hello_html_65aacd90.gif

  11. hello_html_61b10dc1.gif

  12. hello_html_6cfa9857.gif

  13. hello_html_21726f5c.gif


Алгоритм решения линейных неравенств


Неравенство вида hello_html_m442e397a.gif, где a,b действительные числа, называется линейным.


  1. Преобразовать левую и правую части неравенства к виду hello_html_669e7192.gif, для этого нужно раскрыть скобки (если они есть) или привести дробные слагаемые к общему знаменателю (если нужно).

  2. Перенести все члены, содержащие неизвестную, влево, а все известные члены – вправо (при переносе членов из одной части в другую изменяем их знак на противоположный).

  3. Приводим подобные члены в левой и правой частях неравенства.

  4. Число, стоящее справа, делим на число, стоящее перед неизвестной (при делении на отрицательное число меняем знак неравенства).

  5. Записываем ответ в виде неравенства или числового промежутка.


Пример

hello_html_m60ef744f.gif


Решить самостоятельно
  1. hello_html_m217ea257.gif

  2. hello_html_7b119b91.gif

  3. hello_html_m416e29c8.gif

  4. hello_html_m3eae1171.gif

  5. hello_html_m64d8aeab.gif

  6. hello_html_m4b4b06dd.gif

  7. hello_html_6c36e730.gif

  8. hello_html_543bd0ca.gif

  9. hello_html_m1e10e73e.gif

  10. hello_html_14f2e957.gif



Алгоритм решения квадратных уравнений


Уравнение вида hello_html_m11c273f8.gif, где a,b,c действительные числа, hello_html_6da1c962.gif называется квадратным.


  1. Выпиши значения a,b,c и вычисли дискриминант hello_html_m54156dfc.gif.

  2. Если hello_html_12457735.gif, то находим корни уравнения по формуле hello_html_62ba6b1f.gif.

  3. Если hello_html_4a6fe449.gif, то находим корни уравнения по формуле hello_html_533b5e82.gif.

  4. Если hello_html_m606c7b4a.gif, то уравнение не имеет действительных корней.

  5. Если в уравнении hello_html_m11c273f8.gif, hello_html_6da1c962.gif, hello_html_404827a9.gif, то получим уравнение:

hello_html_mc7e360.gif

Пример

hello_html_m344116aa.gif

  1. Если в уравнении hello_html_m11c273f8.gif, hello_html_6da1c962.gif, hello_html_11213dcd.gif, то получим уравнение:

hello_html_7ad3a8c2.gif

Если hello_html_7a13199f.gif, то нет действительных корней.

  1. Если в уравнении hello_html_m11c273f8.gif, hello_html_6da1c962.gif, hello_html_40a9cff3.gif, то получим уравнение:

hello_html_m1c6cecf3.gif


Решить самостоятельно

  1. hello_html_6eab19d5.gif

  2. hello_html_6598c617.gif

  3. hello_html_6cfa8a15.gif

  4. hello_html_m77c2f81b.gif

  5. hello_html_m77b1f775.gif

  6. hello_html_m346ca74.gif

Алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители


  1. Реши квадратное уравнение hello_html_m11c273f8.gif (если корней нет, то нельзя разложить на множители).

  2. Подставь hello_html_m7a8a7e56.gif в формулу hello_html_6ce7c215.gif


Пример. Разложить на множители hello_html_3c235de1.gif.


hello_html_m6ccc2f93.gif

Ответ. hello_html_17915b7d.gif


Решить самостоятельно


Разложить на множители квадратные трехчлены

  1. hello_html_m341a452f.gif;

  2. hello_html_213757c4.gif;

  3. hello_html_m39ad104f.gif;

  4. hello_html_m4766e302.gif;

  5. hello_html_6d08157f.gif;

  6. hello_html_346477a4.gif;

  7. hello_html_m168587a8.gif.


Сократить дробь

  1. hello_html_m393c372f.gif;

  2. hello_html_304375db.gif.


Алгоритм решения квадратных уравнений

hello_html_1a48bd5c.gifпо теореме Виета.


  1. Выпиши p, q из уравнения hello_html_1a48bd5c.gif, используя условие, что

hello_html_2ee43160.gif

  1. Подбери пары чисел, которые при умножении дадут число q.

  2. Вычисли сумму каждой пары, чтобы получить – p.


Пример

hello_html_m3a7a8b7c.gif

Ответ. hello_html_18cbb915.gif


Решить самостоятельно

  1. hello_html_60c74355.gif

  2. hello_html_m42b8ac3c.gif

  3. hello_html_335ef047.gif

  4. hello_html_29b6539.gif

  5. hello_html_m13ba5190.gif

  6. hello_html_m1cccf01b.gif

  7. hello_html_591a7688.gif

  8. hello_html_m66150db6.gif
















Алгоритм построения графика линейной функции


Функция вида hello_html_59b03561.gif, где hello_html_m5ae28e80.gif - постоянные, называется линейной.

hello_html_59b03561.gif- линейная функция, график прямая, не проходит через начало координат (так как hello_html_5f2be061.gif), возрастает (если hello_html_m3dba2379.gif) и убывает (если hello_html_35549470.gif).


  1. Возьмем любое значение x и подставим его значение в уравнение hello_html_59b03561.gif(вместо x). Получим точку с координатами hello_html_m467b299f.gif.

  2. Возьмем любое значение x и подставим его значение в уравнение hello_html_59b03561.gif(вместо x). Получим точку с координатами hello_html_fa18fa7.gif.

  3. Отметим полученные точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.


Пример

Постройте график функции hello_html_m2501610d.gif.

hello_html_m2501610d.gif - линейная функция, график прямая, не проходит через начало координат (так как hello_html_5f2be061.gif), возрастает (т.к. hello_html_m3dba2379.gif).

  1. hello_html_m7332de2d.gif;

  2. hello_html_343c80a9.gif;

  3. отметим полученные точки на координатной плоскости и проведем через них прямую

Решить самостоятельно

Построить графики данных функций и найти координаты точек пересечения графика с осями координат.

  1. hello_html_m98f004.gif;

  2. hello_html_m2f86edff.gif;

  3. hello_html_1bac3027.gif;

  4. hello_html_3ef7f646.gif;

  5. hello_html_103873aa.gif.



















Алгоритм построения графика квадратичной функции

Функция вида hello_html_5ec854ad.gif называется квадратичной.


hello_html_5ec854ad.gif- квадратичная функция, график парабола, ветви которой направлены вверх (если hello_html_m37ec066f.gif) или вниз (если hello_html_71121ad9.gif).

  1. Находим координаты вершины параболы hello_html_260c3218.gif.

  2. Проводим ось симметрии hello_html_25286c10.gif (прямую, параллельную оси Оу, проходящую через вершину параболы).

  3. Находим нули функции (абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох), для этого решим уравнение hello_html_m11c273f8.gif. Если уравнение не имеет действительных корней, то парабола не пересекает ось Ох.

  1. Находим дополнительные точки, для этого возьмем любое значение x и подставим его значение в уравнение hello_html_m4a61c06.gif (вместо x). Получим точку с координатами hello_html_m467b299f.gif. Возьмем любое значение x и подставим его значение в уравнение hello_html_m4a61c06.gif (вместо x). Получим точку с координатами hello_html_fa18fa7.gif.

  2. Отметим полученные точки на координатной плоскости (точки, симметричные дополнительным точкам). Соединим полученные точки плавной линией и продолжим ветви параболы.


Пример. Построить график функции hello_html_25a0f0ab.gif.

hello_html_25a0f0ab.gif - квадратичная функция, график парабола, ветви которой направлены вверх (если hello_html_m37ec066f.gif).

  1. Находим координаты вершины параболы

hello_html_m633c2180.gif - вершина параболы.

  1. Проводим ось симметрии hello_html_m1f8e3326.gif (прямую, параллельную оси Оу, проходящую через вершину параболы).

  2. Находим нули функции (абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох), для этого решим уравнение hello_html_m64b22259.gif.

  3. Находим дополнительные точки: а) hello_html_m7a2575fb.gif; б) hello_html_m30cabcb2.gif.

  4. Отметим полученные точки на координатной плоскости (точки, симметричные дополнительным точкам). Соединим полученные точки плавной линией и продолжим ветви параболы.

Решить самостоятельно

Построить графики следующих функций:

  1. hello_html_18ef6a4d.gif;

  2. hello_html_m3b4583fa.gif;

  3. hello_html_2228081c.gif;

  4. hello_html_m5c8a73d2.gif;

  5. hello_html_57a642f4.gif;

  6. hello_html_403cac08.gif.




Алгоритм построения графика обратно пропорциональной

зависимости

Функция вида hello_html_1a6d063.gif называется обратно пропорциональной зависимостью.

hello_html_1a6d063.gif - обратно пропорциональная зависимость, график гипербола, состоит из двух ветвей, расположенных в 1 и 3 четвертях (если hello_html_m73aa88c8.gif) и во 2 и 4 четвертях (если hello_html_m3e2295de.gif).

Убывает при hello_html_7e3f034c.gif, если hello_html_m73aa88c8.gif; возрастает при hello_html_7e3f034c.gif, если hello_html_m3e2295de.gif

  1. Возьмем любое положительное значение hello_html_m36f7a3ad.gif и подставим его значение в формулу hello_html_9350822.gif, получим точку hello_html_m7f322d03.gif.

  2. Возьмем любое положительное значение hello_html_m1a483afc.gif и подставим его значение в формулу hello_html_9350822.gif, получим точку hello_html_m33ccfe32.gif.

  3. Возьмем любое положительное значение hello_html_335e9c6c.gif и подставим его значение в формулу hello_html_9350822.gif, получим точку hello_html_2ed957cd.gif.

  4. При необходимости можно задать еще две точки.

  5. Отметим заданные точки и точки, им симметричные, на координатной плоскости. Соединим плавной линией точки в 1 (2) четверти и в 3 (4) четверти.

Пример

Построить график функции hello_html_40b32377.gif.

hello_html_40b32377.gif - обратно пропорциональная зависимость, график гипербола, состоит из двух ветвей, расположенных во 2 и 4 четвертях (hello_html_m3e2295de.gif), возрастает при hello_html_7e3f034c.gif.

  1. Область определения функции: hello_html_m172b728c.gif.

  2. Функция нечетная (график симметричен относительно начала координат).

  3. Функция возрастает при hello_html_7e3f034c.gif.

  4. Точки: а) (1;-4); б) (2;-2); в) (4;-1).

  5. Отметим заданные точки и точки, им симметричные, на координатной плоскости. Соединим плавной линией точки в 2 и в 4 четвертях.














Требования к рабочей тетради


  1. Рабочая тетрадь по математике в 5 и 6 классах должна быть 12 листов в клетку с полями, отведенными красной пастой.


  1. Все записи должны вестись аккуратно, ручкой с синей пастой.


  1. Работа в тетради начинается с записи «Классная работа» или «Домашняя работа», дата записывается на полях, например, 21.09.


  1. Указывается тема урока.


  1. Записи с доски или под диктовку учителя.


  1. Выполнение самостоятельных заданий.


При записи заданий необходимо выполнение следующих требований:

  1. Расстояние между работами 4 клетки.


  1. Расстояние от полей или от края страницы 1 клетка.


  1. Записи ведутся в столбик, с соблюдением размерности, аккуратно, при перечислении ставятся запятые.


  1. Задания выделяются номером из учебника или порядковым номером.


  1. Выполнение задания начинается со слова «Решение» и заканчивается словом «Ответ».


  1. Цифры пишутся в каждой клетке.


  1. Исправления нужно выполнять аккуратно, зачеркивая неверное решение одной чертой.


  1. Использование корректора недопустимо.


  1. При написании математических терминов (в случае затруднения) используйте терминологический словарь.






Алгоритм решения геометрических задач


  1. Прочитай внимательно условие задачи.


  1. Выбери главную ключевую геометрическую фигуру, повторите ее определение и свойства. Из них выделите те свойства, которые будут использованы при решении задачи.


  1. Условно разделите лист тетради на две части. Справа запишите краткое условие задачи, начиная с ключевой фигуры (допускаются условные обозначения и символы).


  1. Устно проанализируйте условие задачи.


  1. Слева выполните чертеж по условию задачи.


  1. Задачи на вычисление геометрических величин начинаем со слова «Решение»; задачи на доказательство начинаем со слова «Доказательство»; задачи на построение начинаем со слова «Построение».


  1. При решении любой геометрической задачи выделяем этапы решения, каждый этап решения сопровождаем теоретическим обоснованием геометрических фактов.


  1. При решении задач на вычисление, сначала записываются равенства в геометрической форме, а затем в алгебраической форме.


  1. Проверьте результат вычислений на соответствие геометрическим фактам.


  1. Запишите ответ.















Алгоритм решения систем уравнения

Решение систем уравнений 1 степени с двумя переменными способом сложения

  1. Умножим обе части каждого уравнения на такое число, чтобы коэффициенты при одной из неизвестных стали противоположными числами в двух уравнениях.

  2. Сложим уравнения почленно, получим уравнение с одной переменной.

  3. Решим полученное уравнение.

  4. Подставим корень уравнения в любое уравнение системы и найдем значение второй переменной.

  5. Ответ записываем в виде hello_html_14f32a9.gif.

Пример

hello_html_47ac7e0a.gif

  1. Умножим обе части второго уравнения на 3 и сложим уравнения почленно:

hello_html_7a106509.gif

  1. Подставим hello_html_1853073e.gif во второе уравнение, найдем y: hello_html_m31d8e1a.gif

Ответ. hello_html_30502b19.gif.

Решение систем уравнений с двумя переменными способом подстановки

  1. Из уравнения первой степени выразим одну переменную через другую.

  2. Подставим полученное выражение вместо переменной в другое уравнение.

  3. Решаем полученное уравнение.

  4. Каждый корень подставим в выражение из п.1 и найдем вторую переменную.

  5. Ответ записываем в виде hello_html_14f32a9.gif.

Пример

hello_html_m3335b120.gif

  1. Выразим из первого уравнения у через х: hello_html_4c0bdd53.gif.

  2. Подставим выражение hello_html_7346613.gif вместо у во второе уравнение:

hello_html_m5e2058db.gif

  1. Найдем у: если hello_html_4868cfbd.gif, то hello_html_m53febdac.gif; если hello_html_m53f11c23.gif, то hello_html_1fbb8036.gif.

Ответ. hello_html_6025a690.gif.

Решите самостоятельно а) hello_html_39dffab0.gif б) hello_html_m616c262c.gif в) hello_html_m738bd1b3.gif г) hello_html_m49e328f.gif



Алгоритм решения систем неравенств

  1. Решаем каждое неравенство отдельно.

  2. Изображаем решение каждого неравенства системы на одной числовой прямой (штриховкой). Промежуток на оси, где штриховки «пересекутся» и будет решением системы; если общих точек нет, то система не имеет решения.

  3. Ответ записываем в виде неравенства или в виде числового промежутка.


Пример

hello_html_1e41b8a8.gif

а) hello_html_m5ccaab34.gif б) hello_html_6b388f16.gif в) hello_html_19618ad2.gif

Ответ. (-5; 1) или hello_html_63266739.gif.

Пример

hello_html_m2ff2674f.gif

hello_html_2e88121.gif

hello_html_6dc5a61a.gifhello_html_m59fecdfb.gif

Ответ. hello_html_m1f903435.gif или hello_html_m15115831.gif.


Решить самостоятельно

а) hello_html_m1eb856b0.gif б) hello_html_m456c1e28.gif в) hello_html_m44b0d3d0.gif г) hello_html_33fea1ed.gif д) hello_html_m19ac209d.gif






Алгоритм решения квадратных неравенств hello_html_589751fd.gif.

Графический метод решения квадратных неравенств

  1. Рассмотрим функцию hello_html_5ec854ad.gif и построим эскиз ее графика, для этого определим направление ветвей параболы и найдем нули функции (если они есть).

  2. По графику определяем, при каких значениях hello_html_m758c9fab.gif функция принимает положительные и отрицательные значения.

  3. Решением неравенства являются такие значения hello_html_m758c9fab.gif, при которых знак неравенства совпадает со знаком функции.

Пример

Решить неравенство hello_html_m6fe8566b.gif.

  1. Рассмотрим функцию hello_html_m2258b8aa.gif и построим эскиз ее графика: а) ветви параболы направлены вверх, так как hello_html_755f8e4b.gif; б) найдем нули функции hello_html_m12b85ae9.gif.

  2. По графику определяем, что при hello_html_m15cac768.gif функция принимает положительные значения и при hello_html_bad2d0b.gif функция принимает отрицательные значения.

  3. Решением неравенства являются такие значения hello_html_m758c9fab.gif, при которых знак неравенства совпадает со знаком функции, то есть hello_html_m15cac768.gif.

Ответ. hello_html_m15cac768.gif.

Решение квадратных неравенств методом интервалов (применяем при решении квадратных неравенств, для которых hello_html_65a046ee.gif имеет действительные корни)

  1. Найдем такие значения hello_html_m758c9fab.gif, при которых выражение hello_html_m3c742441.gif равно нулю.

  2. Разложим левую часть неравенства на множители (используем способы разложения многочленов на множители) hello_html_m4b859b94.gif и решаем неравенство hello_html_m3263a679.gif методом интервалов.

  3. Отметим полученные числа на числовой прямой и определим знак выражения hello_html_m3c742441.gif на каждом числовом промежутке (методом пробной точки или с помощью теоремы о старшем коэффициенте квадратного трехчлена).

  4. Выбираем решение по знаку неравенства: а) hello_html_4a000a5e.gif там где «+»; б) hello_html_2b176e8d.gif там где «–».

Пример

Решить неравенство hello_html_m6fe8566b.gif.

  1. Найдем такие значения hello_html_m758c9fab.gif, при которых выражение hello_html_m3f125c50.gif равно нулю: hello_html_m12b85ae9.gif.

  2. Разложим левую часть неравенства на множители:

hello_html_m3b2024dd.gifи решаем неравенство hello_html_3dc76354.gif методом

интервалов.

  1. Отметим полученные числа -1 и 3 на числовой прямой и определим знак выражения hello_html_6e133e60.gif на каждом числовом промежутке.

  2. Выбираем решение по знаку неравенства: а) hello_html_m2b77f47f.gif.

Ответ. hello_html_m15cac768.gif.

Краткое описание документа:

Это практическое пособие было мной создано для работы на уроке.

Необходимость - использование на уроках алгебры различных алгоритмов при решении задач, уравнений, неравенств, построении графиков функций. Весь материал распечатан и разложен в пластиковые папки и находиться на каждой парте в классе. В ходе урока учащиеся без труда находят для себя «помощь» в конкретной ситуации.

Это экономит время, нет необходимости проводить фронтальное повторение материала, который требуется в ходе решения задач. Учащиеся легко ориентируются и всегда благодарят за возможность вспомнить пройденный материал без помощи учителя. Допускается при выполнении обучающих самостоятельных работ.

Алгоритм решения линейных уравнений

Уравнение вида, где a,b действительные числа, называется линейным.

  1. Преобразовать левую и правую части уравнения к виду , для этого нужно раскрыть скобки (если они есть) или привести дробные слагаемые к общему знаменателю (если нужно).
  2. Перенести все члены, содержащие неизвестную, влево, а все известные члены – вправо (при переносе членов из одной части в другую изменяем их знак на противоположный).
  3. Приводим подобные члены в левой и правой частях уравнения.
  4. Число, стоящее справа, делим на число, стоящее перед неизвестной.
  5. Записываем ответ (результат деления – корень исходного уравнения).

Алгоритм решения линейных неравенств

Неравенство вида , где a,b действительные числа, называется линейным.

  1. Преобразовать левую и правую части неравенства к виду , для этого нужно раскрыть скобки (если они есть) или привести дробные слагаемые к общему знаменателю (если нужно).
  2. Перенести все члены, содержащие неизвестную, влево, а все известные члены – вправо (при переносе членов из одной части в другую изменяем их знак на противоположный).
  3. Приводим подобные члены в левой и правой частях неравенства.
  4. Число, стоящее справа, делим на число, стоящее перед неизвестной (при делении на отрица-тельное число меняем знак неравенства).
  5. Записываем ответ в виде неравенства или числового промежутка.

Требования к рабочей тетради

  1. Рабочая тетрадь по математике в 5 и 6 классах должна быть 12 листов в клетку с полями, отведенными красной пастой.
  2. Все записи должны вестись аккуратно, ручкой с синей пастой.
  3. Работа в тетради начинается с записи «Классная работа» или «Домашняя работа», дата записывается на полях, например, 21.09.
  4. Указывается тема урока.
  5. Записи с доски или под диктовку учителя.
  6. Выполнение самостоятельных заданий.

При записи заданий необходимо выполнение следующих требований:

  1. Расстояние между работами 4 клетки.
  2. Расстояние от полей или от края страницы 1 клетка.
  3. Записи ведутся в столбик, с соблюдением размерности, аккуратно, при перечислении ставятся запятые.
  4. Задания выделяются номером из учебника или порядковым номером.
  5. Выполнение задания начинается со слова «Решение» и заканчивается словом «Ответ».
  6. Цифры пишутся в каждой клетке.
  7. Исправления нужно выполнять аккуратно, зачеркивая неверное решение од-ной чертой.
  8. Использование корректора недопустимо.
  9. При написании математических терминов (в случае затруднения) используйте терминологический словарь.

Алгоритм решения геометрических задач

  1. Прочитай внимательно условие задачи.
  2. Выбери главную ключевую геометрическую фигуру, повторите ее определе-ние и свойства. Из них выделите те свойства, которые будут использованы при решении задачи.
  3. Условно разделите лист тетради на две части. Справа запишите краткое усло-вие задачи, начиная с ключевой фигуры (допускаются условные обозначения и символы).
  4. Устно проанализируйте условие задачи.
  5. Слева выполните чертеж по условию задачи.
  6. Задачи на вычисление геометрических величин начинаем со слова «Решение»; задачи на доказательство начинаем со слова «Доказательство»; задачи на построение начинаем со слова «Построение».
  7. При решении любой геометрической задачи выделяем этапы решения, каж-дый этап решения сопровождаем теоретическим обоснованием геометрических фактов.
  8. При решении задач на вычисление, сначала записываются равенства в геометрической форме, а затем в алгебраической форме.
  9. Проверьте результат вычислений на соответствие геометрическим фактам.
  10. Запишите ответ.
Автор
Дата добавления 19.10.2013
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1531
Номер материала 16506101931
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх