Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / "Решение алгебраических задач геометрическими методами"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

"Решение алгебраических задач геометрическими методами"

библиотека
материалов

Распопина Зинаида Андреевна

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ.


( Учитель математики МБОУ «СОШ №91» Распопина Зинаида Андреевна.

г Новокузнецк. Кемеровская область.)


Введение

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения не­редко является результатом длительной и кропотливой работы. Уме­ние решать задачу различными способами является одним из призна­ков хорошей математической подготовки.

Существуют способы решения алгебраических задач методами, ос­нованными на наглядно-геометрических интерпретациях.

Необходимо сказать о том, что, например, алгебраические выводы у Евклида приводятся исключительно в геометрическом виде. Выра­жение вида √A вводится как сторона квадрата с площадью А, произве­дение abэто площадь прямоугольника со сторонами а и b и т.д.

Этот набор методов было принято называть геометрической алгеброй.

Нелишне вспомнить крылатую фразу замечательного французского математика Софии Жермен (1776-1831), которая сказала: «Алгебра - не что иное, как записанная в символах гео­метрия, а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в фигурах».

Геометрия — уникальный школьный предмет, внутри которого за­ложены богатейшие возможности развития логического мышления и пространственного воображения. Почему же этот потенциал, как пра­вило, не используется на уроках алгебры? Зачастую алгебру и геомет­рию вообще воспринимают как два различных предмета, забывая о том, что это составляющие одного целого.

Актуальность: Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс. Объем материала, терминов, которыми должен оперировать старшеклассник по математике, чрезвычайно велик. Необходимо знать и уметь применят такие методы для решения задач, которые позволят сэкономить время и будут наглядны, т.е. решение задачи будет выглядеть очевидным. Многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи. Многие задачи ЕГЭ из части 2 можно решить геометрическим методом.

Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением. (В старин­ных индийских сочинениях бывало так, что доказательство сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!».)

В своей работе мы ставим следующую цель: показать, что преимущество геометрического решения алгеб­раических задач в его наглядности, так как геометрический подход до­пускает изящное решение;

Задачи:

  1. Найти и изучить литературу по данной теме.

  2. Рассмотреть алгебраические задачи, которые можно решить и алгебраически и геометрически. Сравнить способы решения задач различными методами.

  3. Определить задачи, которые удобнее решать геометрическим методом.

  4. Рассмотреть ряд приемов решения нестандартных и конкурс­ных задач.

  5. Развивающая задача: повысить свое интеллектуальное развитие.


Предмет исследования: Геометрические методы решения задач.

Объект исследования: Алгебраические задачи.

Методы исследования: Аналогия, обобщение, анализ научной литературы.


Мы рассмотрели в работе несколько типов задач, для которых подобрали решение и алгебраическим и геометрическим методами. Сравнили эти решения и попробовали применить данные способы для решения подобных задач. Мы рассмотрели лишь часть способов, показали лишь часть решенных задач.

Новизна работы заключается в углубленном изучении математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения задач.


Основная часть

1. Решение тригонометрических задач

Многие тригонометрические задачи не решаются привычными для них методами или решаются очень сложно, а использование какого-ни­будь геометрического приема дает короткое решение. «Тригонометри­ческие функции — это испытанный аппарат геометрии и их тоже нужно излагать, отправляясь от простых наглядных задач, как они практичес­ки и возникли — из решения треугольников»?

hello_html_m6f2c770b.pngПример1: выразить через все остальные аркфункции.

Рhello_html_m759ddb2f.pngешение: Так как

hello_html_m6f2c770b.png

то можно рассматривать как радианную меру острого угла прямоугольного треугольни­ка, в котором противолежащий ему катет а = 7, гипотенуза с =√50

Пhello_html_m11f94179.pngо теореме Пифагора другой катет равен:

hello_html_3a48dcbd.pnghello_html_6ed2c0dc.png

hello_html_3b205a1.pngУhello_html_m5e593271.pngгол α можно рассматривать как арккосинус или арктангенс, или арккотангенс соответствующих чисел (рис. 4).



Пример 2. Вычислить arctg2+arctg3+arctg1

Определение: arctg а (арктангенс а) — это такое число из интервала hello_html_1b45bfe2.png тангенс которого равен а.

Решение: На основании этого определения arctg х = π/4 Что же такое arctg2 ?

Эhello_html_m2879bdd0.pnghello_html_m596f67d4.gifто число из интервала (-π/2:π/2) тангенс которого равен 2. Аналогично и arctg3.

Воспользуемся графической интерпретацией (рис.5). Из рисунка вид­но, что arctg2 = x1 , arctg3 = x2 . Ясно, что числа х1 и х2 иррациональные и ука­зать их значения можно только приближенно. По рис. 6 видно, что arctg2= α, а аrctg3 = β. Однозначно определить ответ невозможно.

Иhello_html_7e4bb32f.pngспользование геометрического подхода делает данную задачу практически устной.

Выполним следующие построения: arctg3 = <BAM, arctg2 =<CAN (рис. 7). Тогда arctg1=<ВАС, где <ВАС - острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника ABC (ВС = АС=√5, АВ = lO , а по теореме, об­ратной теореме Пифагора, АВ2 = АС2+ВС2, следовательно <ВСА = 90°, а <ВАС = 45°). Таким образом, arctg2 + arctg3 + arctg1 = <ВАМ + <ВАС + <CAN = <MAN = π. Ответ: π .


2. Решение систем уравнений

hello_html_meb57ccf.jpgРешить систему уравнений:

Решение:

По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения х2 + у2 =32 , числа х и у являются катетами hello_html_m2bb05223.pngАBD ( hello_html_2d9a11c9.pngD – прямой) с гипотенузой АВ = 3. Рассматривая второе уравнение у2 + z2 = 16, построим hello_html_m2bb05223.pngBDC, где у и z – катеты, а ВС = 4 – гипотенуза. Третье уравнение y2 = xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.

hello_html_3ce8c7f0.pngПо теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках <АВС = 900 АС = ( х + z ) = hello_html_m537792e6.png= 5, тогда

AB2 = AD • AC, 9 = х • 5, х =9/5

BC2 = DC • AC, 16 = z • 5, z = 16/5

BD2 = y2 = xz = 9/5 • 16/5 и BD =12/5 = y.

Однако,такой прием дает потерю корней, легко убедиться, что х = ± 9/5; у = ± 12/5; z = ± 16/5.

Для данной системы задания могут быть и другие.

Например, чему равно значение выражения ху + уz ; х + у + z; х + у; х + z;

hello_html_m7873079b.png

3.Решение текстовых задач на движение

Очень многие текстовые задачи на составление уравнений (или систем уравнений) можно решать графически. К ним относятся задачи на движение и на совместную работу. Решение задачи основывается на точных геометрических соотношениях.

Преимущество геометрического решения в его наглядности, так как чертёж помогает глубже понять условия задачи.

Решить задачу: Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Читаем с чертежа ответ: 3 часа.


4hello_html_79cc1953.png. Решение конкурсных задач и задач ЕГЭ


Гhello_html_e7fec30.gifеометрическим методом хорошо ре­шаются уравнения и неравенства с пара­метрами, а также их системы

Пример1: При каком a система уравнений |x|+|y| =1

имеет ровно четыре решения? x2+y2=a

Решение: Построим линии, определяемые уравнениями системы.

r=√2/2. Четыре решения могут быть только в двух случаях,

когда a=R2=1, или a=r2=1/2.

Ответ:1;1/2.


Пhello_html_m5b70a5.gifример2: При каких значениях a система уравнений x2+y2=z;

x+y+z=a

имеет единственное решение?

Рhello_html_e7fec30.gifешение: Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение x2+y2+ x+y=a, полученное из системы x2+y2= z;

x+y+z=a имеет единственное решение.

Преобразуем полученное уравнение:

x2+y2+ x +y=(x2+x+0,25)+(y2+y+0,25)-0,25-0,25=a

(x+0,5)2+(y+0,5)2=0,5+a (*)

Итак, уравнение(*) задает на плоскости окружность с центром(-0,5;0,5)и радиусом R=√0,5+a.

1)Если 0,5+а<0, т.е. при а<-0,5, множество точек, задаваемых на плоскости уравнением(*), пусто, а следовательно, исходная система решений не имеет;

2)Если 0,5+а=0, т.е. при а=-0,5, уравнение(*) имеет единственное решение, т.к. и окружность вырождается в точку(-0,5;0,5);

hello_html_2cf9188f.png3)Если 0,5+a>0,т.е. при a>-0,5, множество точек, задаваемых на плоскости уравнением (*), является окружностью с центром(-0,5;0,5) и R√0,5+а. В этом случае уравнение (*), а следовательно, и исходная система, имеет бесконечно много решений.

Ответ: а = - 0,5.

Пример 3: Вычислить (без калькулятора и таблиц) sin18.

Приведём геометрический способ решения (рис 14).

Рассмотрим сектор OAB окружности с центром в точке O и радиуса 1,

Проведём хорду AB, на отрезке OB построим точку C так,

чтобы AC = AB, при этом <AСВ = <ABC= 72°, a <CАВ = 36°.

Таким образом, , следовательно, OC = AC.

Пусть AB = x, СВ = 1-x.

Поскольку АС – биссектриса треугольника ОАВ, справедлива пропорция hello_html_57ccdf7.png = hello_html_3c0ba2bc.png, откуда

х2+х-1=0, (х>0), х=(√ 5-1)/2

Пhello_html_79ab3058.gifо теореме косинусов:АВ2=ОА2+ОВ2 -2ОА*ОВ*cos<АОВ, х2=1+1 – 2cos360,

хhello_html_7c7891b3.gif= 2(1-cos360) = 2(1-cos2180+sin2180)= 2sin180

Тогда sin 180=(√ 5-1)/4

Ответ: (√ 5-1)/4

Геометрическим методом хорошо решаются тригонометрические уравнения и неравенства.

Пhello_html_m24d5fdc2.gifример 4: Решить уравнение sin3x + 2hello_html_7578312a.pngcos3x = 2

Рhello_html_5cdd5006.gifешение: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами

ВС = 1 и АС = 2hello_html_7578312a.png . Тогда АВ = hello_html_ma0bb073.png = 3. Пусть<А= φ, где φ – острый угол.

Тогда cos φ=2hello_html_7578312a.png/3 и sin φ=1/3.

Имеем hello_html_26f32764.pngsin3x+hello_html_m67e4578f.pngcos3x = hello_html_6878ac74.png, cos3xcos φ + sin3x sin φ=hello_html_6878ac74.png

сos(3x- φ)=hello_html_6878ac74.png. Решая уравнение получим: х=1/3arcsin1/3±1/3arccos2/3+2πn/3, nєZ

Ответ: х=1/3arcsin1/3±1/3arccos2/3+2πn/3, nєZ


Пhello_html_124199f5.gifример 5: Найдите значение выражения hello_html_7223af94.pngtg(arcsinhello_html_me320b99.png). А

Решение: По определению арксинуса имеем: - hello_html_m17595606.pnghello_html_m2ef4af0d.pngarchello_html_m71f1ddea.pnghello_html_m2ef4af0d.pnghello_html_m17595606.png, причём если x hello_html_633d0fb7.png 0,

то 0 hello_html_m2ef4af0d.pngarcsin x hello_html_m2ef4af0d.pnghello_html_m17595606.png. Построим прямоугольный треугольник АВС с углом А,

который равен arcsinhello_html_me320b99.png. При этом, по теореме Пифагора, прилежащий катет будет

равен hello_html_7223af94.png. Поэтому tg(arcsinhello_html_me320b99.png) = hello_html_42cec42.png = hello_html_m17fcbbf8.png и hello_html_7223af94.pngtg(arcsinhello_html_me320b99.png) = hello_html_7223af94.png*hello_html_m17fcbbf8.png = 2.

О



твет: 2.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Геометрический метод характеризуют как метод, идущий от наглядных представлений. Существенными признаками этого понятия являются геометрические (наглядные) представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур.

Мы попытались сопоставить задачи и способы их решения, вот какая картина у нас получилась:

hello_html_m5a7b168d.png















Мы предлагаем свой алгоритм решения алгебраических задач геометрическим способом:

1)Построение геометрической модели задачи, т.е. перевод её на язык геометрии;

2)Решение получившейся геометрической задачи;

3)Перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

Преимущества решения задач геометрическим способом:

  • При решении задачи этим методом четко определяется начало действия;

  • Графическая иллюстрация облегчает проведение анализа, составления уравнений, помогает найти несколько способов решения;

  • Расширяется область использования графиков, повышается графическая культура учеников;

  • Совершенствуется техника решения уравнений (разделений переменных);

  • Реализуются внутрипредметные (алгебра и геометрия) и межпредметные (математика и физика) связи.

Выводы

  1. Мы рассмотрели различные задачи, подобрали для них геометрические способы решения, сравнили алгебраический и геометрический методы решения.

  2. Удобнее и нагляднее всего решать геометрическим методом тригонометрические задачи. Этот метод можно использовать в качестве проверки при решении задач.

  3. Рассмотренные геометрические методы подходят для решения конкурсных нестандартных и олимпиадных задач. Позволяют существенно упростить их решение, сделать его более понятным и наглядным.

  4. Применение геометрических методов позволяет развивать пространственное воображение, которое является основным для освоения материала в старших классах. Позволяет сократить время решения задач (применимо к тестам).


Литература:

  1. Куликова Л. В. , Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008.

  2. Киселева Ю. С., Методическое пособие по теме: Использование геометрических методов

при решении алгебраических задач.

  1. В.А. Филимонов, Геометрия помогает решить задачу – Математика в школе № 2-3, 1992

  2. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др., Алгебра и начало анализа: Учеб. Для 10-11 кл. образоват. учреждений ,– 10-е изд., дораб. – М.: Просвящение, 2002. – 384с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Но когда эти науки (алгебра и геометрия) объединились, они энергично поддержали друг друга и быстро зашагали к совершенству.

Ж. Л. Лагранж

Решение квадратных уравнений и уравнений выше второй степени

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квад­ратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически.

Среднеазиатским ученым Мухаммедом ал-Хорезми (IX в.) были рас­смотрены и решены шесть видов квадратных уравнений, но без какого бы то ни было алгебраического формализма (в геометрической форме), содер­жащих в общих частях только члены с положительными коэффициентами, причем рассматривались только положительные корни. Суть его рассуж­дений видна из рисунка (он рассматривает уравнение х2 + 10 x= 39 ).

hello_html_3093f790.pngПлощадь большого квадрата скла­дывается из площади х2 + 10x, равной левой части рассматриваемого урав­нения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25.

Таким образом, SABCD 2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64; отку­да следует, что сторона квадрата ABCD, то есть отрезок АВ= 8, а ис­комая сторона первоначального квадрата равна

8-5/2-5/2=3.

Сhello_html_m7db1bd33.pngледует упомянуть и о на­хождении корней квадратного уравнения ах2 + вх + с=О с по­мощью циркуля и линейки.

hello_html_680c266b.pngДо­пустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B(x1;0) и D(x2;0), где х1 и х2 — корни уравнения ах2 + вх + с =0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0;у) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем

ОВ * OD = О А * ОС, откуда

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд АС и BD, поэтому координаты точки S hello_html_m783a94cb.png

Итак:1)построим точки S; hello_html_7eb06c9b.png(центр окружности) и A(0;1);

2) проведем окружность радиуса SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являют­ся корнями исходного квадратного уравнения.

При использовании данного метода также возможны три случая (рис. 3):


Уhello_html_3845aaf.pngравнения степеней выше второй тоже решали геометрически при помощи кривых — гиперболы, параболы и др. Все возможные случаи ре­шения кубического уравнения геометрическими методами рассмотрел среднеазиатский математик и знаменитый поэт Омар Хайям на рубеже XI-XII веков. Алгебраическое же решение кубического уравнения было най­дено лишь в XVI веке.

  1. Феликсом Клейном в монографии «Лекции об икосаэдре и реше­нии уравнений пятой степени» изложена теория уравнений пятой сте­пени, основанная на геометрических свойствах икосаэдра.

Геометрическое решение текстовых задач

Очень многие текстовые задачи на составление уравнений (или систем уравнений) можно решать графически. К ним относятся задачи на движение и на совместную работу. Решение задачи основывается на точных геометрических соотношениях.

Преимущество геометрического решения в его наглядности, так как чертёж помогает глубже понять условия задачи.

Пример 1: На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 мин. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой её можно сделать на 15 мин. быстрее, чем на второй?

Рhello_html_m3f177ffc.pngешение: На оси абсцисс откладываем время работы копировальных машин в минутах (рис). Обе машины, работая вместе, сделают копию за 10 мин. (ОМ=10). Тогда одной первой для этого понадобится t мин, а одной второй – (t+15) мин. Положение точки V на оси ординат соответствует объёму работы, которую необходимо выполнить.

Так как объём работы прямо пропорционален затраченному времени, то график работы копировальных машин представляют собой отрезки: ОВ – график работы первой, ОС – график работы второй, ОА – график совместной работы.

Рассмотрим две пары подобных треугольников

Покажем, что AN=KM. За 10 мин. первая машина выполнит часть работы, соответствующую отрезку NM (AN – отрезок работы, который выполнит вторая машина). Но за 10 мин. Вторая машина выполнит часть работы, соответствующую MK. Поэтому AN=KM. Учитывая это равенство и то, что CP=VO, получаем hello_html_m3836a63d.png = hello_html_m299a8bc5.png. Из пропорций (1) и (2) получаем соотношение:hello_html_m31a05bba.png = hello_html_407443e0.png, из которого легко перейти к уравнению hello_html_64999977.png = hello_html_528b6d5b.png

Решая это уравнение, находим положительный корень t = 15. Таким образом, первая машина сделает копию пакета документов за 15 мин, а вторая – 30 мин.

Ответ: 15 мин, 30 мин.

При решении подобных задач иногда целесообразно выполнять иные построения.

Пример 2: Два всадника выезжают одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу. Один прибывает в B через 27 мин после встречи, а другой прибывает в A через 12 мин после встречи. За сколько минут проехал каждый всадник свой путь?

Рhello_html_172a9258.pngешение: Рассмотрим две системы координат tAy и tBy’. На оси At откладываем время движения первого всадника, а на оси Bt’ - время движения второго всадника. Оси пройденного пути противоположно направлены, а длина отрезков AB в каждом случае равна пройденному пути. Отрезок AB1 – график движения первого всадника, а отрезок BA1 – график движения второго всадника (рис).

Точка O соответствует моменту их встречи. Время движения всадников до встречи обозначим t. Из геометрических соображений ясно, что

Тогда. Из равенства следует hello_html_4f5cb2c6.png = hello_html_m41d7099d.png, откуда t = 18. Таким образом, первый всадник проехал весь путь за 18 + 12 = 30(мин), а второй за 18+27 = 45(мин).

Ответ: 30 мин, 45 мин.

Данные навыки могут пригодиться на уроках физики, где часто практикуются графические подходы к решению задач на движение.


2014г


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Конспект:
Геометрические методы при решении алгебраических задач.
В этой работе представлены:
Геометрические методы.
Обратные тригонометрические функции.
Теорема Пифагора при решение систем уравнений.
Графическое решение текстовых задач.
Решение уравнений и неравенств геометрическими методами. Часть "С"- 11 класс.
Решение уравнений с параметрами.
Задачи на построение.
Графические подходы к решению задач на движение.
Теорема обратная теореме о пропорциональных отрезках.
Уравнение окружности с центром(а;в)и радиусом R.
Автор
Дата добавления 02.09.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1929
Номер материала 168018090241
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх