• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Числовая окружность.
    Формулы.
    Тригонометрия
    Попкова Т.Г. МОУ СОШ № 2 Горячий Ключ
    

  • 

    2 слайд

    Окружность
    P
    М N
    
    A
    О А
    
    C
    D
    

  • 

    3 слайд

    Деление на части
    1)на 2 части 2)на 4 части С 3)на 8 частей С
    
    R K
    
    В А В А В A AА
    
    M N
    D D
    4)на 12 частей С 5)на 6 частей
    O Z O Z Указать длины дуг: 2)AD
    P F 3)AR, KM, ND, AM, NA
    4)AO, AG, CB, CE, AT, AE, PE
    B A B A 5)AZ, ZB, AB, ZH, OZ
    
    G T
    E H E H
    D
    

  • 

    4 слайд

    Отметить на числовой окружности точки М( t) такие, что:
    1)t = 1; 4; - 3 1 рад≈57°
    2)t = π; π/3; -π/6; 7π π≈3,14
    3)t = - 0,5π; 2,5π; - 0,75π π(рад)=180°
    4)t = 2π/3; - 5π/6; 7π/4;
    5)t = - 11π/3; 25π/6; 19π/4 1
    
    π 0
    
    

  • 

    5 слайд

    Числовая окружность в системе координат.
    2 ч (-;+) у 1 ч (+;+)
    π/2
    М(t)=M(x;y)
    уМ 1 ум хм = cosα = cost
    π α 0 х yM= sinα = sint
    хМ 2π у/х = tgt
    x/y = ctgt
    
    3π/2
    3 ч (-;-) 4 ч (+;-)
    

  • 

    6 слайд

    Координаты
    у π/2 90°
    120° 2π/3 1 π/3 60°
    135° 3π/4 π/4 45°
    
    150° 5π/6 1/2 π/6 30°
    
    
    180° π -1 0 1 0 0° x
    - - -1/2 ½ 2π 360 (cost)
    
    
    210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]
    -
    225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4]
    240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3]
    270° 3π/2 [-π/2]
    (sint)
    

  • 

    7 слайд

    Тангенс и котангенс
    Линия тангенсов tg t ЄR , но t ‡ + π k, kЄZ
    
    у π/2
    2π/3 π/3 1
    5π/6 π/4
    π/6 ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
    0 х Линия котангенсов
    
    у
    4π/3
    -π/2
    
    
    π 0 х
    
    
    
    
    
    
    
    
    

  • 

    8 слайд

    Знаки и значения
    1.sint > 0 в 1ч и 2ч; 2.cost > 0 в 1ч и 4ч;
    sint < 0 в 3ч и 4ч; cost < 0 в 2ч и 3ч;
    sint Є [-1;1] cost Є [-1;1]
    1)sin²t + cos²t=1
    2) y ² + x² = 1
    3. tgt > 0 в 1ч и 3ч; 4.сtgt > 0 в 1ч и 3ч;
    tgt < 0 в 2ч и 4ч; сtgt < 0 в 2ч и 4ч;
    tgt Є R ctgt Є R
    3)tgt = sint/cost ; ctgt = cost/sint
    4)tgt = y/x ; ctgt = x/y
    5)tgt·ctgt = 1
    

  • 

    9 слайд

    Самостоятельная работа № 1
    1 вариант 2 вариант 3 вариант
    1.На числовой окружности отметить числа:
    13π/6; - 1; 10π 9π/4; 2; -8π -5π/3; 3; 6π
    
    2.Единичная окружность разбита на части:
    A K E A
    F M K E
    P T
    D C D C D C
    O N
    S G R H R H
    B B
    Найдите длины следующих дуг:
    CA, CS, CG, BD CE, CR, CH, HR CT, CP, CN, RD
    3.Определить знак числа:
    1) cos 95° 1) cos 280° 1) cos 190°
    2) sin 7π/3 2) sin 11π/6 2) sin 13π/4
    3) tg (-π/6) 3) tg (-π/4) 3) tg (-π/3)
    
    
    
    

  • 

    10 слайд

    Работа с формулами
    №1.Дано: cost=0,4; 90°<t<180°
    Найти: sint .
    Решение:
    1 способ. 2 способ. cos = 2/5 ; СВ=
    1)sin²t + cos²t=1, А
    sin²t=1 - cos²t, 5 Т.К. tЄ2ч, то sin t >0 . Значит, sin t =
    sin²t=1 - 0,16, 2
    sin²t=0,84,
    Т.К. tЄ2ч, то sint>0 С В Ответ: .
    sint=+
    
    sint =
    
    Ответ: .
    
    

  • 

    11 слайд

    Основные тригонометрические тождества
    1.
    
    
    
    

  • 

    12 слайд

    Формулы приведения
    
    y
    π/2+t π/2 π/2-t
    1). Определить четверть
    
    π – t 2π+t 2).Определить знак функции в четверти
    
    π 0 x 3).От ОХ – не меняем на ко функцию;
    
    π+t 2π-t От ОУ – меняем на ко функцию.
    
    
    3π/2-t 3π/2 3π/2+t
    
    
    
    

  • 

    13 слайд

    Формулы сложения
    1.sin(x + y)= sinx·cosy + siny·cosx
    2.cos(x + y)= cosx·cosy - sinx·siny
    3.sin(x – y)= sinx·cosy - siny·cosx
    4.cos(x – y)= cosx·cosy + sinx·siny
    
    5.
    
    6.
    
    

  • 

    14 слайд

    Формулы двойного и половинного аргумента
    1.sin2x = 2 sinx·cosx;
    2.cos2x = cos²x - sin²x;
    
    3.cos2x = 1 – 2sin²x; 6.
    
    4.cos2x = 2cos²x-1; 7.
    
    
    5. ;
    
    
    

  • 

    15 слайд

    Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
    1.
    
    2.
    
    3.
    
    4.
    
    5.
    
    - вспомогательный угол
    

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Тригонометрические
    уравнения и неравенства
    Тригонометрия
    Попкова Т.Г. МОУ СОШ № 2 Горячий Ключ
    

  • 

    2 слайд

    Повторим значения синуса косинуса
    у π/2 90°
    120° 2π/3 1 π/3 60°
    135° 3π/4 π/4 45°
    
    150° 5π/6 1/2 π/6 30°
    
    
    180° π -1 0 1 0 0° x
    - - -1/2 ½ 2π 360 (cost)
    
    
    210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]
    -
    225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4]
    240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3]
    270° 3π/2 [-π/2]
    (sint)
    

  • 

    3 слайд

    Арксинус
    
    
    
    
    
    
    
    Примеры:
    у
    х
    π/2
    -π/2
    
    -1
    1
    а
    arcsin а =t
    - а
    arcsin(- а)= - arcsin а
    arcsin(- а)
    Арксинусом числа а называется
    такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
    что sin t = а.
    Причём, | а |≤ 1.
    

  • 

    4 слайд

    Арккосинус
    у
    х
    π/2
    0
    π
    1
    -1
    -а
    а
    arccos а = t
    
    arccos(-а)
    Арккосинусом числа а называется
    такое число (угол) t из [0;π], что
    cos t = а.
    Причём, | а |≤ 1.
    arccos(- а) = π- arccos а
    Примеры:
    1)arccos(-1)
    = π
    2)arccos
    

  • 

    5 слайд

    При каких значениях х имеет смысл выражение:
    1.arcsin(2x+1)
    2.arccos(5-2x)
    3.arccos(x²-1)
    4.arcsin(4x²-3x)
    1) -1≤ 2х-1 ≤1
    -2≤ 2х ≤0
    -1≤ х ≤0
    Ответ: [-1;0]
    2) -1≤ 5-2х ≤1
    -6≤ -2х ≤ -4
    2≤ х ≤3
    Ответ: [2;3]
    -1≤ х²-1 ≤ 1
    0 ≤ х² ≤2
    Ответ:
    
    
    -1≤4х²-3х≤1
    4х²-3х ≥ -1
    4х²-3х ≤ 1
    4х²-3х-1 ≤ 0
    Ответ:
    
    
    

  • 

    6 слайд

    Повторим значения тангенса и котангенса
    Линия тангенсов tg t ЄR , но t ‡ + π k, kЄZ
    
    у π/2
    2π/3 π/3 1
    5π/6 π/4
    π/6 ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
    0 х Линия котангенсов
    
    у
    4π/3
    -π/2
    
    
    π 0 х
    
    
    
    
    
    
    
    
    

  • 

    7 слайд

    Арктангенс
    у
    π/2
    -π/2
    х
    0
    а
    arctgа = t
    Арктангенсом числа а называется
    такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
    что tg t = а .
    Причём, а Є R.
    arctg(-а) = - arctg а
    -а
    arctg(-а )
    Примеры:
    1) arctg√3/3 =
    π/6
    2) arctg(-1) =
    -π/4
    

  • 

    8 слайд

    Арккотангенс
    у
    х
    0
    π
    а
    arcctg а = t
    Арккотангенсом числа а
    называется такое число (угол) t
    из (0;π), что ctg t = а.
    Причём, а ЄR .
    arcctg(- а) = π – arcctg а
    - а
    arcctg(- а)
    1) arcctg(-1) =
    Примеры:
    3π/4
    2) arcctg√3 =
    π/6
    

  • 

    9 слайд

    Формулы корней простых тригонометрических уравнений
    1.cost = а , где |а| ≤ 1
    или
    Частные случаи
    1)cost=0
    t = π/2+πk‚ kЄZ
    2)cost=1
    t = 0+2πk‚ kЄZ
    3)cost = -1
    t = π+2πk‚ kЄZ
    2.sint = а, где | а |≤ 1
    или
    Частные случаи
    1)sint=0
    t = 0+πk‚ kЄZ
    2)sint=1
    t = π/2+2πk‚ kЄZ
    3)sint = - 1
    t = - π/2+2πk‚ kЄZ
    3. tgt = а, аЄR
    t = arctg а + πk‚ kЄZ
    4. ctgt = а, аЄR
    t = arcctg а + πk‚ kЄZ
    

  • 

    10 слайд

    Примеры:
    1) cost= - ½;
    2) sint = 0;
    3) tgt = 1;
    4) ctgt = -
    t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ
    t= ±2π/3+2πk, kЄZ
    Частный случай:
    t = 0+πk, kЄZ
    t = arctg1+πk, kЄZ
    t = π/4+πk, kЄZ.
    t = arcctg( )+πk, kЄZ
    t = 5π/6+πk, kЄZ.
    

  • 

    11 слайд

    Решение простейших уравнений
    1) tg2x = -1
    
    2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
    2x = -π/4 + πk, kЄZ
    x = -π/8 + πk/2, kЄZ
    
    Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
    2) cos(x+π/3) = ½
    
    x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
    x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
    x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
    
    Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
    3) sin(π – x/3) = 0
    упростим по формулам приведения
    sin(x/3) = 0
    частный случай
    x/3 = πk, kЄZ
    x = 3πk, kЄZ.
    Ответ: 3πk, kЄZ.
    

  • 

    12 слайд

    Другие тригонометрические уравнения
    1.Сводимые к квадратным
    a∙sin²x + b∙sinx + c=0
    Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда
    a∙p² + b∙p + c = 0
    Найти корни, вернуться к замене и
    решить простые уравнения.
    2.Однородные
    1)Первой степени:
    a∙sinx + b∙cosx = 0
    Т.к. sinx и cosx одновременно
    не равны нулю, то разделим обе
    части уравнения на cosx. Получим:
    простое уравнение
    a∙tgx + b = 0 или tgx = m
    2)Второй степени:
    a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
    Разделим обе части на cos²x.
    Получим квадратное уравнение:
    a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.
    

  • 

    13 слайд

    Простые тригонометрические неравенства
    1) cost > а
    y
    x
    а
    arccosа
    -arccosа
    Ответ: (-arccos а+2πk; arccos а+2πk), kЄZ
    2) sint < а
    y
    x
    а
    arcsin а
    -(π+arcsin а)
    Ответ: (-(π+arcsin а)+2πk; arcsin а+2πk), kЄZ
    3) tgt > -а
    y
    x
    -а
    -arctg а
    π/2
    Ответ: (-arctg а+πk; π/2+πk), kЄZ
    4) ctgt > а
    y
    x
    а
    0
    arcctg а
    Ответ: (0+πk; arcctg а+πk), kЄZ.
    

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Тригонометрия .
    Тригонометрические
    уравнения
    Попкова Т.Г. МОУ СОШ №2
    

  • 

    2 слайд

    Функция y=sin x, график и свойства.
    
    1)D(y)=
    2)E(y)=
    3)
    
    4)sin(-x)= -sinx
    
    5)Возрастает на
    Убывает на
    6)Периодичная
    
    
    
    
    

  • 

    3 слайд

    Синусоида
    
    
    у
    
    1
    -π/2 π 2π 3π х
    -π 0 π/2 3π/2 5π/2
    -1
    
    

  • 

    4 слайд

    у = sin(x+a)
    y = sin(x+π/6)
    
    y
    
    1
    -π π 2π х
    
    -1
    
    
    
    

  • 

    5 слайд

    у = sinx + a
    1)y= sin x + 1; 2)y= sin x - 2
    
    y
    
    1 x'
    
    -π 0 π 2π x
    
    
    -2 x''
    

  • 

    6 слайд

    Построение графиков y=sin(x+m)+n
    1)y= sin x ; 2)y= sin(x+π/6); 3)y= sin(x-π/3); 4)y= sinx+1; 5)y= sinx-3/2
    
    y
    1
    -π 0 π 2π 3π x
    

  • 

    7 слайд

    Функция y = cos x, её свойства и график.
    1)D(y)=
    2)E(y)=
    3)
    
    4)cos(-x)=cosx
    
    5)Возрастает на
    Убывает на
    6)Периодична
    
    

  • 

    8 слайд

    y= cos x
    
    
    у
    
    1
    -π/2 π 2π 3π х
    -π 0 π/2 3π/2 5π/2
    -1
    
    

  • 

    9 слайд

    Построение графиков y = cos(x+m)+n
    1)y=- cos x; 2)y=cos(x-π/4)+1,5
    
    y
    
    
    0 x
    -1
    
    
    
    
    

  • 

    10 слайд

    Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    1
    -1
    y=sin x на [-2π/3;π/6]
    Ответ:
    

  • 

    11 слайд

    -π
    π
    1
    -1
    у
    х
    -3π/2
    3π/2
    y = cos x на (π/3;2π/3]
    Ответ:
    

  • 

    12 слайд

    Построение графиков y=k · sin x и y=k · cos x.
    1)y=1/2sinx; 2)y=2,5cosx.
    y 2,5
    
    1
    x
    -1
    
    -2,5
    
    
    

  • 

    13 слайд

    Множество значений функции
    Пример: y=-9cos(x+π/6)-0,5
    -1≤ cosx ≤1
    -1≤ cos(x+π/6) ≤1
    -9≤ -9cos(x+π/6) ≤9
    -9,5≤ -9cos(x+π/6)-0,5 ≤8,5 yЄ[-9,5;8,5]
    1)y=sinx-3; 2)y= cos(x+π/3); 3)y=sin(-2x+π)+1;
    
    4)y=5cosx; 5)y= -sinx; 6)y=1/2cosx-3;
    
    7)y=-4sin(x+1)+7; 8)y= cosx- ; 9)y=-1-sin .
    

  • 

    14 слайд

    Функция y = tg x, её свойства и график
    1.D(y)=
    2.E(y)=
    
    3.tg(-x)=-tgx
    
    4.Возрастает на
    
    5.Периодичная
    
    1
    -1
    

  • 

    15 слайд

    Тангенсоида
    1
    -1
    

  • 

    16 слайд

    y = tg (x+a)
    y=tg(x-π/2)
    1
    -1
    

  • 

    17 слайд

    Периодичность
    1)x; x+T; x-TЄD(f)
    2) Если y=f(x) периодичная с периодом Т₁‡0, то
    y=A· f(kx+m)+B периодичная с периодом
    
    Примеры:
    1)
    
    2)
    y=sin4x
    Т₁=2π
    y=-4cos(x/3-1)+2
    T₁=2π
    

  • 

    18 слайд

    Построение графиков периодических функций
    y
    x
    1
    1
    y
    x
    1
    1
    1)T=2
    2)T=3
    Дана функция у= f(x). Построить её график. если известен период.
    

  • 

    19 слайд

    Построение графика y = sin(kx+m)
    у
    х
    1
    -1
    -π
    π
    y=sin2x
    T=π
    y=cos(x/2)
    T=4π
    

  • 

    20 слайд

    Графики y=A·f(k·x+m)+B.
    y=-sin x+
    y
    x
    1
    -1
    π
    2π
    T=3π
    

  • 

    21 слайд

    Построить графики: 1)y=2cos(2x-π/3)-0,5; 2)y=-sin3/2x+1
    у
    х
    1
    -1
    π
    -π
    2π
    -2π
    у
    х
    1
    -1
    π
    -π
    2π
    -2π
    1)T=π
    2)T=4π/3
    3)Найти D(f), E(f), нули, промежутки монотонности этих функций.
    4)Найти наибольшее и наименьшее значения функции на [-π/3;2π) для №2.
    

Краткое описание материала