Презентации по темам «Тригонометрия. Начало», «Тригонометрия. Уравнения и неравенства», «Тригонометрия. Функции, графики»

1 слайд

Числовая окружность.
Формулы.
Тригонометрия
Попкова Т.Г. МОУ СОШ № 2 Горячий Ключ

2 слайд

Окружность
P
М N

A
О А

C
D

3 слайд

Деление на части
1)на 2 части 2)на 4 части С 3)на 8 частей С

R K

В А В А В A AА

M N
D D
4)на 12 частей С 5)на 6 частей
O Z O Z Указать длины дуг: 2)AD
P F 3)AR, KM, ND, AM, NA
4)AO, AG, CB, CE, AT, AE, PE
B A B A 5)AZ, ZB, AB, ZH, OZ

G T
E H E H
D

4 слайд

Отметить на числовой окружности точки М( t) такие, что:
1)t = 1; 4; - 3 1 рад≈57°
2)t = π; π/3; -π/6; 7π π≈3,14
3)t = - 0,5π; 2,5π; - 0,75π π(рад)=180°
4)t = 2π/3; - 5π/6; 7π/4;
5)t = - 11π/3; 25π/6; 19π/4 1

π 0

5 слайд

Числовая окружность в системе координат.
2 ч (-;+) у 1 ч (+;+)
π/2
М(t)=M(x;y)
уМ 1 ум хм = cosα = cost
π α 0 х yM= sinα = sint
хМ 2π у/х = tgt
x/y = ctgt

3π/2
3 ч (-;-) 4 ч (+;-)

6 слайд

Координаты
у π/2 90°
120° 2π/3 1 π/3 60°
135° 3π/4 π/4 45°

150° 5π/6 1/2 π/6 30°


180° π -1 0 1 0 0° x
- - -1/2 ½ 2π 360 (cost)


210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]
-
225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4]
240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3]
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)

7 слайд

Тангенс и котангенс
Линия тангенсов tg t ЄR , но t ‡ + π k, kЄZ

у π/2
2π/3 π/3 1
5π/6 π/4
π/6 ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
0 х Линия котангенсов

у
4π/3
-π/2


π 0 х

8 слайд

Знаки и значения
1.sint > 0 в 1ч и 2ч; 2.cost > 0 в 1ч и 4ч;
sint < 0 в 3ч и 4ч; cost < 0 в 2ч и 3ч;
sint Є [-1;1] cost Є [-1;1]
1)sin²t + cos²t=1
2) y ² + x² = 1
3. tgt > 0 в 1ч и 3ч; 4.сtgt > 0 в 1ч и 3ч;
tgt < 0 в 2ч и 4ч; сtgt < 0 в 2ч и 4ч;
tgt Є R ctgt Є R
3)tgt = sint/cost ; ctgt = cost/sint
4)tgt = y/x ; ctgt = x/y
5)tgt·ctgt = 1

9 слайд

Самостоятельная работа № 1
1 вариант 2 вариант 3 вариант
1.На числовой окружности отметить числа:
13π/6; - 1; 10π 9π/4; 2; -8π -5π/3; 3; 6π

2.Единичная окружность разбита на части:
A K E A
F M K E
P T
D C D C D C
O N
S G R H R H
B B
Найдите длины следующих дуг:
CA, CS, CG, BD CE, CR, CH, HR CT, CP, CN, RD
3.Определить знак числа:
1) cos 95° 1) cos 280° 1) cos 190°
2) sin 7π/3 2) sin 11π/6 2) sin 13π/4
3) tg (-π/6) 3) tg (-π/4) 3) tg (-π/3)

10 слайд

Работа с формулами
№1.Дано: cost=0,4; 90°<t<180°
Найти: sint .
Решение:
1 способ. 2 способ. cos = 2/5 ; СВ=
1)sin²t + cos²t=1, А
sin²t=1 - cos²t, 5 Т.К. tЄ2ч, то sin t >0 . Значит, sin t =
sin²t=1 - 0,16, 2
sin²t=0,84,
Т.К. tЄ2ч, то sint>0 С В Ответ: .
sint=+

sint =

Ответ: .

11 слайд

Основные тригонометрические тождества
1.

12 слайд

Формулы приведения

y
π/2+t π/2 π/2-t
1). Определить четверть

π – t 2π+t 2).Определить знак функции в четверти

π 0 x 3).От ОХ – не меняем на ко функцию;

π+t 2π-t От ОУ – меняем на ко функцию.


3π/2-t 3π/2 3π/2+t

13 слайд

Формулы сложения
1.sin(x + y)= sinx·cosy + siny·cosx
2.cos(x + y)= cosx·cosy - sinx·siny
3.sin(x – y)= sinx·cosy - siny·cosx
4.cos(x – y)= cosx·cosy + sinx·siny

5.

6.

14 слайд

Формулы двойного и половинного аргумента
1.sin2x = 2 sinx·cosx;
2.cos2x = cos²x - sin²x;

3.cos2x = 1 – 2sin²x; 6.

4.cos2x = 2cos²x-1; 7.


5. ;

15 слайд

Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
1.

2.

3.

4.

5.

- вспомогательный угол

1 слайд

Тригонометрические
уравнения и неравенства
Тригонометрия
Попкова Т.Г. МОУ СОШ № 2 Горячий Ключ

2 слайд

Повторим значения синуса косинуса
у π/2 90°
120° 2π/3 1 π/3 60°
135° 3π/4 π/4 45°

150° 5π/6 1/2 π/6 30°


180° π -1 0 1 0 0° x
- - -1/2 ½ 2π 360 (cost)


210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6]
-
225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4]
240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3]
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)

3 слайд

Арксинус







Примеры:
у
х
π/2
-π/2

-1
1
а
arcsin а =t
- а
arcsin(- а)= - arcsin а
arcsin(- а)
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.

4 слайд

Арккосинус
у
х
π/2
0
π
1
-1
-а
а
arccos а = t

arccos(-а)
Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
arccos(- а) = π- arccos а
Примеры:
1)arccos(-1)
= π
2)arccos

5 слайд

При каких значениях х имеет смысл выражение:
1.arcsin(2x+1)
2.arccos(5-2x)
3.arccos(x²-1)
4.arcsin(4x²-3x)
1) -1≤ 2х-1 ≤1
-2≤ 2х ≤0
-1≤ х ≤0
Ответ: [-1;0]
2) -1≤ 5-2х ≤1
-6≤ -2х ≤ -4
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]
-1≤ х²-1 ≤ 1
0 ≤ х² ≤2
Ответ:


-1≤4х²-3х≤1
4х²-3х ≥ -1
4х²-3х ≤ 1
4х²-3х-1 ≤ 0
Ответ:

6 слайд

Повторим значения тангенса и котангенса
Линия тангенсов tg t ЄR , но t ‡ + π k, kЄZ

у π/2
2π/3 π/3 1
5π/6 π/4
π/6 ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
0 х Линия котангенсов

у
4π/3
-π/2


π 0 х

7 слайд

Арктангенс
у
π/2
-π/2
х
0
а
arctgа = t
Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
arctg(-а) = - arctg а
-а
arctg(-а )
Примеры:
1) arctg√3/3 =
π/6
2) arctg(-1) =
-π/4

8 слайд

Арккотангенс
у
х
0
π
а
arcctg а = t
Арккотангенсом числа а
называется такое число (угол) t
из (0;π), что ctg t = а.
Причём, а ЄR .
arcctg(- а) = π – arcctg а
- а
arcctg(- а)
1) arcctg(-1) =
Примеры:
3π/4
2) arcctg√3 =
π/6

9 слайд

Формулы корней простых тригонометрических уравнений
1.cost = а , где |а| ≤ 1
или
Частные случаи
1)cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
2)cost=1
t = 0+2πk‚ kЄZ
3)cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ
2.sint = а, где | а |≤ 1
или
Частные случаи
1)sint=0
t = 0+πk‚ kЄZ
2)sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
3)sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ
3. tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ kЄZ
4. ctgt = а, аЄR
t = arcctg а + πk‚ kЄZ

10 слайд

Примеры:
1) cost= - ½;
2) sint = 0;
3) tgt = 1;
4) ctgt = -
t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ
t= ±2π/3+2πk, kЄZ
Частный случай:
t = 0+πk, kЄZ
t = arctg1+πk, kЄZ
t = π/4+πk, kЄZ.
t = arcctg( )+πk, kЄZ
t = 5π/6+πk, kЄZ.

11 слайд

Решение простейших уравнений
1) tg2x = -1

2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ

Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
2) cos(x+π/3) = ½

x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

12 слайд

Другие тригонометрические уравнения
1.Сводимые к квадратным
a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда
a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и
решить простые уравнения.
2.Однородные
1)Первой степени:
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно
не равны нулю, то разделим обе
части уравнения на cosx. Получим:
простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m
2)Второй степени:
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x.
Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

13 слайд

Простые тригонометрические неравенства
1) cost > а
y
x
а
arccosа
-arccosа
Ответ: (-arccos а+2πk; arccos а+2πk), kЄZ
2) sint < а
y
x
а
arcsin а
-(π+arcsin а)
Ответ: (-(π+arcsin а)+2πk; arcsin а+2πk), kЄZ
3) tgt > -а
y
x
-а
-arctg а
π/2
Ответ: (-arctg а+πk; π/2+πk), kЄZ
4) ctgt > а
y
x
а
0
arcctg а
Ответ: (0+πk; arcctg а+πk), kЄZ.

1 слайд

Тригонометрия .
Тригонометрические
уравнения
Попкова Т.Г. МОУ СОШ №2

2 слайд

Функция y=sin x, график и свойства.

1)D(y)=
2)E(y)=
3)

4)sin(-x)= -sinx

5)Возрастает на
Убывает на
6)Периодичная

3 слайд

Синусоида


у

1
-π/2 π 2π 3π х
-π 0 π/2 3π/2 5π/2
-1

4 слайд

у = sin(x+a)
y = sin(x+π/6)

y

1
-π π 2π х

-1

5 слайд

у = sinx + a
1)y= sin x + 1; 2)y= sin x - 2

y

1 x'

-π 0 π 2π x


-2 x''

6 слайд

Построение графиков y=sin(x+m)+n
1)y= sin x ; 2)y= sin(x+π/6); 3)y= sin(x-π/3); 4)y= sinx+1; 5)y= sinx-3/2

y
1
-π 0 π 2π 3π x

7 слайд

Функция y = cos x, её свойства и график.
1)D(y)=
2)E(y)=
3)

4)cos(-x)=cosx

5)Возрастает на
Убывает на
6)Периодична

8 слайд

y= cos x


у

1
-π/2 π 2π 3π х
-π 0 π/2 3π/2 5π/2
-1

9 слайд

Построение графиков y = cos(x+m)+n
1)y=- cos x; 2)y=cos(x-π/4)+1,5

y


0 x
-1

10 слайд

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке










1
-1
y=sin x на [-2π/3;π/6]
Ответ:

11 слайд

-π
π
1
-1
у
х
-3π/2
3π/2
y = cos x на (π/3;2π/3]
Ответ:

12 слайд

Построение графиков y=k · sin x и y=k · cos x.
1)y=1/2sinx; 2)y=2,5cosx.
y 2,5

1
x
-1

-2,5

13 слайд

Множество значений функции
Пример: y=-9cos(x+π/6)-0,5
-1≤ cosx ≤1
-1≤ cos(x+π/6) ≤1
-9≤ -9cos(x+π/6) ≤9
-9,5≤ -9cos(x+π/6)-0,5 ≤8,5 yЄ[-9,5;8,5]
1)y=sinx-3; 2)y= cos(x+π/3); 3)y=sin(-2x+π)+1;

4)y=5cosx; 5)y= -sinx; 6)y=1/2cosx-3;

7)y=-4sin(x+1)+7; 8)y= cosx- ; 9)y=-1-sin .

14 слайд

Функция y = tg x, её свойства и график
1.D(y)=
2.E(y)=

3.tg(-x)=-tgx

4.Возрастает на

5.Периодичная

1
-1

15 слайд

Тангенсоида
1
-1

16 слайд

y = tg (x+a)
y=tg(x-π/2)
1
-1

17 слайд

Периодичность
1)x; x+T; x-TЄD(f)
2) Если y=f(x) периодичная с периодом Т₁‡0, то
y=A· f(kx+m)+B периодичная с периодом

Примеры:
1)

2)
y=sin4x
Т₁=2π
y=-4cos(x/3-1)+2
T₁=2π

18 слайд

Построение графиков периодических функций
y
x
1
1
y
x
1
1
1)T=2
2)T=3
Дана функция у= f(x). Построить её график. если известен период.

19 слайд

Построение графика y = sin(kx+m)
у
х
1
-1
-π
π
y=sin2x
T=π
y=cos(x/2)
T=4π

20 слайд

Графики y=A·f(k·x+m)+B.
y=-sin x+
y
x
1
-1
π
2π
T=3π

21 слайд

Построить графики: 1)y=2cos(2x-π/3)-0,5; 2)y=-sin3/2x+1
у
х
1
-1
π
-π
2π
-2π
у
х
1
-1
π
-π
2π
-2π
1)T=π
2)T=4π/3
3)Найти D(f), E(f), нули, промежутки монотонности этих функций.
4)Найти наибольшее и наименьшее значения функции на [-π/3;2π) для №2.