• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Производная функции. Геометрический смысл производной.
    учитель математики ГОУ СОШ №223
    Платова Н.Ю.
    

  • 

    2 слайд

    Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.
    

  • 

    3 слайд

    Производная
    — это скорость изменения функции.
    

  • 

    4 слайд

    На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
    

  • 

    5 слайд

    Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:
    Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.
    

  • 

    6 слайд

    Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем? 
    На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.
    

  • 

    7 слайд

    Нарисован график некоторой функции  . Возьмем на нем точку    с абсциссой  . Проведём в этой точке касательную к графику функции. 
    Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.
    

  • 

    8 слайд

    В качестве угла наклона мы берем угол между касательной и положительным направлением оси OX
    

  • 

    9 слайд

    Проходящую через точку (x0;f (x0;)) прямую, с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях х, близких к х0, называют касательной к графику функции f в
    точке (х0; f (х0)).
    

  • 

    10 слайд

    Найдем k=tg α
    С помощью графика мы
    нашли производную, не
    зная формулы функции.
    (В 8)
    

  • 

    11 слайд

    Производная функции в точке     равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. 
    Производная функции равна тангенсу угла наклона касательной.
    

  • 

    12 слайд

    У одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
    На одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. Кроме того у этой функции есть точки максимума и минимума.
    

  • 

    13 слайд

    В точке А функция
    возрастает. Касательная
    образует острый угол с
    положительным
    направлением оси ОХ.
    
    Значит производная
    положительна.
    В точке В функция
    убывает. Касательная
    образует тупой угол с
    положительным
    направлением оси ОХ.
    
    Значит производная
    отрицательна.
    Если функция возрастает – ее производная положительна,
    если убывает, то отрицательна.
    

  • 

    14 слайд

    В точках  максимума и  минимума касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
    Точка  C— точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке   с «плюса» на «минус».
    В точке  D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
    

  • 

    15 слайд

  • 

    16 слайд

    Возможен случай, когда производная в какой-то точке равна нулю, но в этой точке она не меняет знак.
    В точке Е нет ни максимума, ниминимума. Это точка перегиба.
    

  • 

    17 слайд

    В точке Е – точке максимума производная не существует.
    На графике это соответствует резкому излому, когда касательную
    в данной точке провести невозможно.
    

Краткое описание материала