Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Факультативное занятие 9- 10 класс "Задача одна - решений много"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Факультативное занятие 9- 10 класс "Задача одна - решений много"

Выбранный для просмотра документ задача одна - решений много конспект.docx

библиотека
материалов

«Задача одна – решений много»

«Хороших методов существует ровно столько,

сколько существует хороших учителей»

(Д. Пойа)

Для учащихся 9-11 классов интересующихся математикой.

Автор: учитель математики МОУ «Лицей №230»

г.Заречный Пензенской области Щепилло Елена Павловна

Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, простые, изящные свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Различные варианты решения одной задачи дают возможность ученику применять весь арсенал его математических знаний.

Таким образом, различные варианты решения задачи воспитывает у учащихся гибкость мышл ения. Поиск рационального варианта решения лишь на первых порах требует дополнительных затрат времени на решение задачи. В дальнейшем эти затраты с лихвой окупаются.

Надо отметить, что рациональные приемы решения не появляются сами, по одному только желанию. Рациональным способам решений надо обучать. Один из путей обучения и есть решение задач несколькими способами, выбор лучшего из них.

Вообще же полезно хотя бы знакомить учащихся с различными подходами к решению наиболее распространенных задач.


Задача №1 При каком значении параметра а модуль разности корней уравнения hello_html_3b3d3edd.gifпринимает наибольшее значение?

Решение 1. hello_html_m46c58e9c.gif

Очевидно, что подмодульное выражение может принимать максимальное значение в вершине параболы, т.е. при а=2.

х1

х2

-3

2

х

а

О






Решение 2. Перепишем данное уравнение в виде hello_html_2d4bf0ec.gif и построим его график в системе координат (ах).



Теперь идея решения становится прозрачной. Модуль разности корней уравнения принимает наибольшее значение в том случае, когда точки пересечения окружности с прямой, параллельной оси абсцисс, будут наиболее удалены друг от друга. Понятно, что эта прямая должна проходить через центр окружности, т.е. при а=2.


Обсуждение: Какое решение более рационально, красивее, нагляднее и т.д. В чём минусы и плюсы второго решения?


Задача № 2. Из условий hello_html_mf56955e.gifдля положительных x; y; z, не вычисляя их значений, укажите значение выражения hello_html_76ebfe7e.gif

Решение 1. hello_html_ma114397.gif

Ответ: 12.


Но задача не требует решать систему и затем считать значение выражения. Наоборот, не решая систему найдём решение.

Второе решение. Т.к. x>0 y>0 z>0, то задачу можно интерпретировать геометрически. По обратной теореме Пифагора, числа x, y и 3 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника ABD (угол D прямой). Тогда, рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что z, y и 4 являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника CDB с прямым углом D.

Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число y есть среднее пропорциональное чисел x и z. Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол B прямой.

Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи, рассмотрим выражениеhello_html_76ebfe7e.gif hello_html_m1ba74bd3.gif

3

4

z

x

3

4

z

x

A

D

C

B

C

A

B

D

y

y


Ответ: 12.


(связь алгебры и геометрии, решение привычной задачи совсем с «другой стороны»)


hello_html_m5a37ab26.gifЗадача 3. На графике функции hello_html_m228fd4fc.gif найдите ближайшую точку к точке А (3; 0)






Решение 1.

+

hello_html_m4c9001d.gif

-

х


Ответ: hello_html_1cf361c1.gif


3

0

B1

А

B

M

Решение 2. Прямые МВ и АВ перпендикулярны друг другу, т.к. расстояние должно быть наименьшим. Тогда по свойству коэффициентов перпендикулярных прямых имеем

hello_html_292a511.gif






Решение 3. Рассмотрим геометрическую интерпретацию В1 – проекция точки В на ось Оx

hello_html_m11ede2ec.gif








Ответ: В(0,9; 0,7)



Задача. (Для самостоятельного решения) Найти наименьшее значение выражения hello_html_m25864642.gif. Аналитически и с помощью геометрической интерпретации.



Урок одной задачи – это поиск разных способов решения этой задачи. На уроке одной задачи у ученика появляется возможность найти способ решения, то есть способ, который ему понятен, в котором он может максимально выразиться. На уроке одной задачи ученик услышит разные рассуждения, мнения, увидит различные приемы решения. Кроме того, у учителя уменьшается возможность навязать свой способ рассуждения, значит уменьшается потребность учить по шаблону «делай как я», а у ученика, наоборот, появляется возможность действовать как он этого хочет.

Таким образом, учитель формирует личность, способную думать, отстаивать свое мнение, находить выход из создавшейся ситуации, а в перспективе – разбираться в жизни, в людях. Уроки одной задачи не оставляют равнодушными ни одного ученика. Возрастает мотивация обучения математике, улучшаются результаты самостоятельных и контрольных работ. Решение задачи разными способами помогает восполнить пробелы в ранее изученных темах, побуждает учащихся к поиску различных приемов решения задачи. Для одних уроки одной задачи – это самооценка для спасения в трудном мире математики, которая все же помогает найти свой, понятный путь решения задачи, для других открывается – красота и изящество любимого предмета, для третьих – путь к пониманию в общении с одноклассниками и учителем.

Урок одной задачи помогает каждому ученику найти свою нишу для самовыражения и понимания себя и других.












ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатом проделанной работы являются несколько методических рекомендаций к курсу математики:

  • В целях совершенствования преподавания математики целесообразно использовать уроки решения одной задачи, однако увлекаться этой формой не следует. Такие уроки станут наиболее эффективными, если их проводить одни или два раза в четверть. Тогда можно подобрать такую задачу, при решении которой действительно применялся бы большой объём теории.

  • Систематически использовать на уроках задачи, способствующие формированию у учащихся познавательного интереса, самостоятельности, развитию творческого потенциала.

  • Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы.

  • Учитывать индивидуальные особенности школьника, дифференциацию познавательных процессов у каждого из них, используя задания различного типа, практикуя решения задач различными способами.

  • Хочется отметить, что работа учителя – это постоянный поиск и творчество, поэтому каждый выбирает свои методы, пользуется своими индивидуальными приёмами.



Литература:

  1. А.Г. Мерзляк, Б. В. Полонский, М. С. Якир «Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач» Киев Агрофирма «Александрия» 1993.

  2. Г.З Генкин «Геометрические решения негеометрических задач» М. «Просвещение» 2007.

  3. Э. Г. Готман, З.А. Скопец «Задача одна решений много» М. «Просвещение» 2000

  4. Е.Д. Куланин, В.П. Норин «3000 конкурсных задач по математике» АЙРИС ПРЕСС РОЛЬФ Москва 2001

  5. В.М. Говоров, Н.В. Мирошина «Математика. Сборник задач с решениями для поступающих в вузы» АСТ Астрель М. 2005

  6. И. Кушнир «Шедевры школьной математики» АСТАРТА Киев 1995

  7. Н.В. Гобачев «Сборник олимпиадных задач по математике» М. МЦНМО 2005

  8. http://festival.1september.ru/

  9. http://matematikalegko.ru/ege/zadachi-b5

  10. http://rudocs.exdat.com/docs/index-17372.html «Урок решения одной задачи»

  11. kurdyumov.ruМатематика

  12. http://www.arhibook.ru/57265-zadacha-odna-reshenija-raznye.html

  13. http://fmi.asf.ru/Library/Book/Mpm/9ba.html

  14. http://www.problems.ru/

  15. intelmath.narod.ruproblems.html




9


Выбранный для просмотра документ задача одна - решений много.pptx

библиотека
материалов
«Задача одна – решений много» Автор: учитель математики МОУ «Лицей №230» г....
«Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому». Д. Пойа Задача одна –...
Почему эта тема? Поиск различных способов решения одной задачи даёт возможнос...
У учителя уменьшается потребность учить по шаблону 		«делай как я», 	а у уч...
Задача № 1. При каком значении параметра а модуль разности корней уравнения п...
Решение 2. 	Теперь идея решения становится прозрачной. max|x1-x2| Ответ: а=2...
Задача № 2. Из условий для положительных x; y; z не вычисляя их значений, ука...
Но задача не требует решать систему и затем считать значение выражения. Наобо...
y, z, 4 длины катетов и гипотенузы треугольника DCB 2 уравнение: y z y = + 2...
Третье уравнение системы 	разрешает утверждать, что число y среднее пропорцио...
Задача № 3. На графике функции найдите ближайшую точку к точке А (3; 0). - Ре...
Решение 2. Т.к. расстояние должно быть наименьшим, то прямые МВ и АВ – перпен...
Решение 3. Рассмотрим геометрическую интерпретацию В1– проекция точки В на ос...
Подведём итоги работы Чему способствуют уроки одной задачи? Дают возможность...
Литература А.Г. Мерзляк, Б. В. Полонский, М. С. Якир «Неожиданный шаг или сто...
Литература http://festival.1september.ru/ http://matematikalegko.ru/ege/zadac...
«Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека»...
17 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 «Задача одна – решений много» Автор: учитель математики МОУ «Лицей №230» г.
Описание слайда:

«Задача одна – решений много» Автор: учитель математики МОУ «Лицей №230» г. Заречный, Пензенской области Щепилло Елена Павловна

№ слайда 2 «Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому». Д. Пойа Задача одна –
Описание слайда:

«Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому». Д. Пойа Задача одна – решений много

№ слайда 3 Почему эта тема? Поиск различных способов решения одной задачи даёт возможнос
Описание слайда:

Почему эта тема? Поиск различных способов решения одной задачи даёт возможность: Научить мыслить Проводить Правильные умозаключения Найти способ решения, в котором ученик может максимально выразиться. Рассуждать Применить весь арсенал его математических знаний

№ слайда 4 У учителя уменьшается потребность учить по шаблону 		«делай как я», 	а у уч
Описание слайда:

У учителя уменьшается потребность учить по шаблону «делай как я», а у ученика, наоборот, появляется возможность действовать как он этого хочет.

№ слайда 5 Задача № 1. При каком значении параметра а модуль разности корней уравнения п
Описание слайда:

Задача № 1. При каком значении параметра а модуль разности корней уравнения принимает наибольшее значение? Ответ: Решение 1(классическое) 2 = a 3 4 2 ) max( 2 2 1 - + - - = - a a x x ; 3 4 3 ; 3 4 3 2 2 2 1 - + - + - = - + - - - = a a x a a x (1; 3) О Ю a 0 4 12 6 2 2 = - + + + a a x x 0 4 12 6 2 2 = - + + + a a x x D1>0 a y 0 2 1 1 3

№ слайда 6 Решение 2. 	Теперь идея решения становится прозрачной. max|x1-x2| Ответ: а=2
Описание слайда:

Решение 2. Теперь идея решения становится прозрачной. max|x1-x2| Ответ: а=2 2 -3 a x x1 x2 0 4 12 6 2 2 = - + + + a a x x 1 ) 2 ( ) 3 ( 2 2 = - + + a x 1 4 4 9 6 2 2 = + - + + + a a x x R b y a x = - + - 2 2 2 ) ( ) (

№ слайда 7 Задача № 2. Из условий для положительных x; y; z не вычисляя их значений, ука
Описание слайда:

Задача № 2. Из условий для положительных x; y; z не вычисляя их значений, укажите значение выражения xy+yz Решение 1 (классическое) Ответ: 12. xz y z y y x = = + = + 2 2 2 2 2 ; 16 ; 9 12 68 , 7 32 , 4 = + = Ч + Ч z y y x 4 , 2 ; 2 , 3 ; 8 , 1 Ю = = = y z x 5 25 2 2 2 - = Ю = + + Ю x z z xz x 25 2 2 2 2 2 п о п н м = = + + xz y z y x 16 9 2 2 2 2 2 Ю п о п н м = = + = + xz y z y y x

№ слайда 8 Но задача не требует решать систему и затем считать значение выражения. Наобо
Описание слайда:

Но задача не требует решать систему и затем считать значение выражения. Наоборот , не решая систему найдём решение. Т.к. x>0 y>0 z>0, то задачу можно интерпретировать геометрически По теореме, обратной теореме Пифагора, числа x, y, 3 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника ABD, где D B x A 3 1 равнение: y y x = + 2 2 ; 9

№ слайда 9 y, z, 4 длины катетов и гипотенузы треугольника DCB 2 уравнение: y z y = + 2
Описание слайда:

y, z, 4 длины катетов и гипотенузы треугольника DCB 2 уравнение: y z y = + 2 2 ; 16 x A 3 y x = + 2 2 ; 9 D z B C 4 y

№ слайда 10 Третье уравнение системы 	разрешает утверждать, что число y среднее пропорцио
Описание слайда:

Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число y среднее пропорциональное чисел x и z, тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках угол ABC прямой. Теперь рассмотрим выражение xy+yz=(x+z)y=2S ABC=3 4=12 Ответ: 12. y B y x z xz y = 2 x A 3 D z B C 4 y

№ слайда 11 Задача № 3. На графике функции найдите ближайшую точку к точке А (3; 0). - Ре
Описание слайда:

Задача № 3. На графике функции найдите ближайшую точку к точке А (3; 0). - Решение 1. Ответ: 2 3 - = x y ( ) ( ) ( ) 0 ; 3 . 2 3 ; 0 0 0 - А т к ближайшая x x B пусть 3 2 , 2 3 3 2 , 2 3 п п о п п н м < + - і - = x x x x y х + ( ) ч ш ц з и ж Ю - 10 7 ; 10 9 2 3 ; 0 0 0 0 B x x B ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 y y x x AB - + - =

№ слайда 12 Решение 2. Т.к. расстояние должно быть наименьшим, то прямые МВ и АВ – перпен
Описание слайда:

Решение 2. Т.к. расстояние должно быть наименьшим, то прямые МВ и АВ – перпендикулярны друг другу,. Тогда по свойству коэффициентов перпендикулярных прямых имеем: x y 1 3 2 B A M 7 , 0 ; 9 , 0 1 3 1 2 3 1 3 1 1 3 3 1 0 ) 0 ; 3 ( = = + - = - + - = = Ю + Ч - = Ю О y x x x y b b y A AB AB x

№ слайда 13 Решение 3. Рассмотрим геометрическую интерпретацию В1– проекция точки В на ос
Описание слайда:

Решение 3. Рассмотрим геометрическую интерпретацию В1– проекция точки В на ось Оx Ответ:(0,9; 0,7) x y 1 3 2 B A M B1 α α O

№ слайда 14 Подведём итоги работы Чему способствуют уроки одной задачи? Дают возможность
Описание слайда:

Подведём итоги работы Чему способствуют уроки одной задачи? Дают возможность найти способ решения, в котором ученик может максимально выразиться. Формируют личность, способную думать, отстаивать свое мнение, находить выход из создавшейся ситуации, а в перспективе – разбираться в жизни, в людях. Помогают восполнить пробелы в ранее изученных темах. Открывают – красоту и изящество любимого предмета. Открывают– путь к пониманию в общении с одноклассниками и учителем. Помогают каждому ученику найти свою нишу для самовыражения и понимания себя и других.

№ слайда 15 Литература А.Г. Мерзляк, Б. В. Полонский, М. С. Якир «Неожиданный шаг или сто
Описание слайда:

Литература А.Г. Мерзляк, Б. В. Полонский, М. С. Якир «Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач» Киев Агрофирма «Александрия» 1993. Г.З Генкин «Геометрические решения негеометрических задач» М. «Просвещение» 2007. Э. Г. Готман, З.А. Скопец «Задача одна решений много» М. «Просвещение» 2000 Е.Д. Куланин, В.П. Норин «3000 конкурсных задач по математике» АЙРИС ПРЕСС РОЛЬФ Москва 2001 Н.В. Гобачев «Сборник олимпиадных задач по математике» М. МЦНМО 2005

№ слайда 16 Литература http://festival.1september.ru/ http://matematikalegko.ru/ege/zadac
Описание слайда:

Литература http://festival.1september.ru/ http://matematikalegko.ru/ege/zadachi-b5 http://rudocs.exdat.com/docs/ «Урок решения одной задачи» kurdyumov.ru›Математика http://www.arhibook.ru/57265-zadacha-odna-reshenija-raznye.html http://www.problems.ru/ intelmath.narod.ru›problems.html

№ слайда 17 «Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека»
Описание слайда:

«Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека». Б. Шоу Спасибо за внимание!

Краткое описание документа:

Данный конспект можно использовать для подготовки одного или нескольких факультативных занятий с учениками 9-ых, 10-ых классов, либо на уроках в классе с математическим уклоном.На уроках одной задачи раскрывается красота поиска решения поставленной проблемы. Такие уроки не оставляют равнодушными ни одного ученика, так как каждый из них может найти свою нишу для самовыражения и понимания себя и других.В работе рассатриваются решения математических задач с помощью  алгебраического, тригонометрического, геометрического и координатного методов.
Автор
Дата добавления 12.09.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров692
Номер материала 176198091205
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх