- 14.09.2014
- 1392
- 0
УРОК ОБОБЩЕНИЯ ЗНАНИЙ
10 КЛАСС
Е. В. Орлова, пгт Красногвардейское, Республика Крым
высшая категория, «Учитель-методист»
ТЕМА: Методы решения тригонометрических уравнений.
ЦЕЛЬ: 1. Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся,
связанные с применением методов решения тригонометрических
уравнений.
2. Содействовать развитию математического мышления учащихся.
3. Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной
деятельности.
4. Прививать умение слушать и объяснять ход решения; развивать интерес
к математике.
ОБОРУДОВАНИЕ: бланки (1,2 части ВНО), плакат «Методы решения
тригонометрических уравнений».
ХОД РАБОТЫ:
1.Организационный момент
Воспитательная цель: организовать внимание учащихся.
2.Актуализация знаний
Тема нашего урока- «Методы решения тригонометрических уравнений». На этом уроке мы должны вспомнить методы решения простейших тригонометрических уравнений и уравнений сводящихся к ним.
«Три пути ведут к знаниям: путь размышления – это путь самый благородный; путь подражания – это путь самый лёгкий и путь опыта – самый горький». Конфуций
Мы умеем решать простейшие тригонометрические уравнения:
а) Работа по карточкам (3 человека):
1) 
− 7 
0
2) 
− 1 0
3) 5 ctg5𝑥 − 5
0
На доске: б) (Устно):
Найти соответствие букв:
1.
= 
; 2.
= −
; 3.
𝑡𝑔 𝑥= 1 ; 4. 
= 3 ; 5.𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 
О. 𝑥 
; И.
𝑥 
; Ч.
𝑥 
Л. Нет
решений; С. 𝑥 
(1 − ч, 2 − и, 3 − с, 4 − л, 5 − о)
в) (Устно) Вычислить:
𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 0,6)
= 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ) =
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑐𝑜𝑠 0˚)
= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 (𝑡𝑔 
) =
г) (Устно) Ответьте на вопросы:
Что называется арксинусом числа 𝑎?
Что называется арккосинусом числа 𝑎?
Что называется арктангенсом числа 𝑎?
Что называется арккотангенсом числа 𝑎?
д) (Устно) Указать пропуски в тождествах:
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (−𝑥)
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 ;
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (− 𝑥)
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 ;
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥;
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 (− 𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥;
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥 =
3. Работа по внешнему оцениванию (раздать бланки ответов)
1 часть:
1. Какая из тригонометрических функций является чётной?
а) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥; б) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥; в) 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥; г) 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔 𝑥; д) все
2. Как называется график функции 𝑐𝑜𝑠 𝑥?
а) гипербола; б) синусоида; в) парабола; г) прямая; д) нет ответа
3. Какое из тригонометрических уравнений не имеет корней:
а)
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1;
б) 𝑡𝑔 𝑥 = 
; в) 𝑐𝑡𝑔 𝑥 = ; г) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 
; д) все имеют
4. Укажите период функции 𝑦 = 𝑡𝑔 4𝑥
а)
; б) 𝜋; в)
4𝜋; г)
2𝜋; д)
определить нельзя
5. Вычислите 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 0 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 0
а)
0; б) 1; в) 
; г) 𝜋;
д) − 𝜋
6.
Упростите 
а) 2𝑡𝑔 𝛼; б) 𝑐𝑜𝑠 𝛼; в) 2𝑐𝑜𝑠 𝛼; г) 1; д) 2𝑠𝑖𝑛 𝛼
2 часть:
Впишите верный ответ:
1) 𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥) =
2) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −
3) 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥) =
4. Новая тема
«Метод решения хорош, если с самого начала мы сможем предвидеть − и в последствии подтверждать это, − что следуя этому методу, мы достигнем цели» Лейбниц
1)Метод разложения на множители
2)Метод замены переменной
Сводится к квадратным сводится к алгебраическому
(различным преобразованиям)
3)Метод использования свойств ограниченности функции.
4)Сведения тригонометрических уравнений к однородному.
1) Метод разложения на множители:
а) 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 5𝑥 0
𝑠𝑖𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 𝑔(𝑥)
2𝑐𝑜𝑠 4𝑥 𝑠𝑖𝑛 (− 𝑥) =
0 ƒ(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 2𝜋𝑘, 𝑘∊𝒵
𝑐𝑜𝑠 4𝑥 0 или 𝑠𝑖𝑛 (− 𝑥) = 0
𝑓(𝑥) 
𝜋 − 𝑔(𝑥) + 2𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
4𝑥 + 𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘∊𝒵
5𝑥 = 3𝑥 + 2𝜋𝑘, 𝑘∊𝒵
𝑥 
+ 
, 𝑛∊𝒵
5𝑥 = 𝜋 − 3𝑥 + 2𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
Ответ: 𝑥 𝜋𝑘, 𝑘∊𝒵
𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘∊𝒵
𝑥 + , 𝑛∊𝒵
𝑥 = + , 𝑛∊𝒵
 |
 |
б)
𝑐𝑜𝑠 7𝑥 – 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 0
𝑐𝑜𝑠 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑔(𝑥)
−2𝑠𝑖𝑛 5𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 0
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) + 2𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
𝑠𝑖𝑛 5𝑥 0 или 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 0
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) + 2𝜋𝑘, 𝑘∊𝒵
5𝑥 𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵 2𝑥 𝜋𝑘, 𝑘∊𝒵
7𝑥 = 3𝑥 + 2𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
𝑥 
, 𝑛∊𝒵 𝑥 = 
, 𝑘∊𝒵
7𝑥 = −3𝑥 + 2𝜋𝑘, 𝑘∊𝒵
Ответ: 𝑥 , 𝑛∊𝒵
𝑥 = 
, 𝑛∊𝒵
𝑥 , 𝑘∊𝒵
𝑥 = 
, 𝑘∊𝒵
|
 |
в) 𝑠𝑖𝑛⁴𝑥 − 𝑐𝑜𝑠⁴𝑥 = 𝑠𝑖𝑛²𝑥
(𝑠𝑖𝑛²𝑥 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥)(𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥) = 𝑠𝑖𝑛²𝑥; 𝑠𝑖𝑛²𝑥 − 𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 𝑠𝑖𝑛²𝑥 = 0
−𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 0; 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0
Ответ: 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
г) 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0
2𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥(2𝑠𝑖𝑛 𝑥 – 1) = 0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0 или 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 – 1 = 0
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
𝑠𝑖𝑛 𝑥 =
𝑥 = (− 1)ⁿ· + 𝜋𝑘, 𝑘∊𝒵
Ответ: 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
𝑥 = (− 1)ⁿ· + 𝜋𝑘, 𝑘∊𝒵
д)
= 0
= 0
= 0
Ответ: нет корней
е) 1 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 · 𝑠𝑖𝑛 5𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 · 𝑐𝑜𝑠 5𝑥
1 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 · 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 · 𝑠𝑖𝑛 5𝑥
1 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 5𝑥)
𝑐𝑜𝑠 6𝑥 = 1
6𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
𝑥 = 
, 𝑛∊𝒵
Ответ: 𝑥 = , 𝑛∊𝒵
5.Пауза (ФИЗКУЛЬТМИНУТКА)
1) Сколько корней
имеет уравнение: 𝑥(𝑥² − 1)(
– 3) = 0
2) 2 · 2²⁰⁰⁵ + 3 · 2²⁰⁰⁶= ?
3) Согласно легенде, когда умирал Будда, к нему пришли проститься животные. Кто из них оказался первым? Имя ближайшего родственника произошло от английского «hamster» − запасать ? (Мышь)
2) Метод замены переменной:
а) 4𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 8𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3 = 0 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑡
4𝑡² − 8𝑡 + 3 = 0 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 𝑡²
Д = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 16 (2к)
𝑡₁͵₂ = 
; 𝑡₁ = 
; 𝑡₂ =
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = или 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
𝑥 = 
, 𝑛∊𝒵 нет
корней (
)
Ответ: 𝑥 = , 𝑛∊𝒵
б) 𝑐𝑜𝑠²7𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛 7𝑥 – 3 = 0
(1 − 𝑠𝑖𝑛²7𝑥) + 3𝑠𝑖𝑛 7𝑥 – 3 = 0 𝑠𝑖𝑛 7𝑥 = 𝑡
Ответ: 𝑥 = 
+ 
, 𝑛∊𝒵
в) 𝑡𝑔³𝑥 − 𝑡𝑔²𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥 = 1 𝑡𝑔 𝑥 = 𝑚
(𝑚 – 1)(𝑚² + 1) = 0
𝑡𝑔 𝑥 = 1 𝑡𝑔²𝑥 + 1 = 0
нет корней
Ответ: 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
3)Метод использования свойств ограниченности функции:
а) sin 𝑥 ∙sin 5 𝑥 =1
sin 𝑥 =1
𝑥 =π/2+2πn, n є Z
sin5 𝑥 =1
sin5(π/2+2πn)=1
sin(5π/2+5∙2πn)=1
sin(5π/2)=1
sin(π/2)=1 - верно
Ответ: 𝑥 = π/2+2πk, k є Z
sin 𝑥 = -1
𝑥 = -π/2+2πn, n є Z
sin5x= -1
sin5(-π/2+2πn)= -1
sin(-5π/2+5∙2πn)= -1
sin(-5π/2)= -1
sin(-π/2)= -1
- sin(π/2)= -1 – верно
4) Сведение тригонометрических уравнений к однородному:
Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:
a sin x + b𝑐𝑜𝑠 𝑥=0 (1)
a 𝑠𝑖𝑛²𝑥 +bsin 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 + c𝑐𝑜𝑠²𝑥=0 (2)
соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0).
При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на 𝑐𝑜𝑠²𝑥 для (2). Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.
а) sin 𝑥 - √3 𝑐𝑜𝑠 𝑥=0 ∕ 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑡𝑔 𝑥 - √3 =0
𝑡𝑔 𝑥 = √3
Ответ: 𝑥 = 
+ 𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
б) 2 𝑠𝑖𝑛²2𝑥+ 3 𝑐𝑜𝑠²2𝑥=2,5∙ sin 4𝑥
2 𝑠𝑖𝑛²2𝑥+ 3 𝑐𝑜𝑠²2𝑥=5 ∙ sin 2𝑥∙ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 / 𝑐𝑜𝑠²2𝑥
2𝑡𝑔²2𝑥 - 5𝑡𝑔 𝑥 + 3 = 0
𝑡𝑔 2𝑥 = t
2𝑡² - 5𝑡 +3 = 0
𝑡 =
1 𝑡 =
𝑡𝑔 2𝑥 =
1 𝑡𝑔 2𝑥 =
2 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵
2 𝑥 =arctg + 𝜋k, k∊𝒵
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵 𝑥 =arctg + 𝜋k, k∊𝒵
Ответ: 𝑥 = 
+ 
𝜋𝑛, 𝑛∊𝒵 𝑥 =arctg 
+ 𝜋k, k∊𝒵
6. Итоги урока
1.О каких методах решения тригонометрических уравнениях вы узнали на уроке? 2.Что на уроке было самым сложным, простым?
3.Выставление оценок.
7.Домашнее задание а) 𝑠𝑖𝑛 
;
б) 𝑠𝑖𝑛
;
в) 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝑥;
г) 3𝑡𝑔²𝑥 − 
= 1;
д) 𝑐𝑜𝑠² 4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 = 0.
Кто сказал, что математика скучна,
Что она сложна, суха, тосклива…
В этом вы не правы, господа,
Знайте: математика – красива!!!
8.Литература
1. М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва, Просвещение, 1990 г.
2. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы – М., Просвещение, 1999.
3. М.И. Сканави сборник задач по математике для поступающих в
ВУЗы, Киев.,Каннон,1997г
4. Д.Н. Кравчук Сборник задач по математике с решениями. Донецк: ПКФ
"БАО", 1997
5. К.А. Иванов-Муромский Мозг и память. Киев: Наук. Думка 2001
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Урок-обобщение в 10 классе по теме "Решение тригонометрических уравнений".ТЕМА: Методы решения тригонометрических уравнений. ЦЕЛЬ: 1. Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений. 2. Содействовать развитию математического мышления учащихся. 3. Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности. 4. Прививать умение слушать и объяснять ход решения; развивать интерес к математике. ОБОРУДОВАНИЕ: бланки (1,2 части ВНО), плакат «Методы решения тригонометрических уравнений».
6 663 966 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Орлова Елена Витальевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
7 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.