Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Методика решения задач на исследование корней квадратного трёхчлена.
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Калужский государственный университет
им. К.Э.Циолковского
Студентки группы ФМ-41
Ильиной Е.Е.
Научный руководитель:
доцент, к.п.н. Пашкова Л.Г.
Калуга, 2010г.
2 слайд
Мною были проанализированы несколько учебников алгебры основной школы. Это учебники Ю.Н.Макарычева, Ш.А.Алимова и А.Г.Мордковича
Существенных отличий в изложении материала по теме «Квадратные уравнения» нет. В каждом из учебников рассмотрены все возможные виды уравнений, способы их решения.
В каждом из учебников встречаются задачи с параметрами, но, ни в одном из учебников нет отдельных пунктов, посвящённых изучению квадратных уравнений с параметрами.
В учебниках представлены лишь немногие задачи на решение уравнений с параметрами. Ни в одном из учебников нет теоретического материала по данной теме.
Школьникам предлагаются лишь элементарные задачи с параметрами. Так как время, отведенное на изучение темы «Квадратные уравнения» ограничено и его едва хватает на изучение основных вопросов.
3 слайд
Задачи с параметра встречаются в каждом варианте в части С. Также среди этих задач встречаются задачи на исследование корней квадратного трёхчлена. Формулировки задач различны, но при решении их учащиеся стакиваются с квадратным трёхчленом, корни которого необходимо исследовать.
C5.Найдите все значения b, при которых уравнение x-2=√ (2(b-1)x+1)
имеет единственное решение.
Среди заданий ЕГЭ мне встретились следующие задачи:
С5.Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x)=x2-
--5x имеет хотя бы одну точку максимума.
С5.Найдите все значения параметра p , при каждом из которых число различных корней уравнения
равно числу различных корней уравнения (4-3р)х2-(р-4)х+1=0.
С3.Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству
x2+4а>(2а-3)х+10 при любом значении параметра а, принадлежащем промежутку (1;2).
4 слайд
Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству
x2+4а>(2а-3)х+10 при любом значении параметра а, принадлежащем промежутку (1;2).
Решение:
1)Неравенство приводится к виду (4-2х)а+(х2+3х-10)>0,в котором левая часть, рассматриваемая как функция от а, есть линейная функция
f(a)= (4-2х)а+(х2+3х-10) с коэффициентами, зависящими от x.В задаче требуется найти все значения х, при каждом из которых эта функция положительна для всех а
2)Для положительности линейной функции f на промежутке (1;2) необходимо, что бы она была положительна или равна нулю при каждом из двух значений а=1 и а=2, то есть выполнялась система
Решение системы: x
5 слайд
3)Для выполнения требования задачи функция f не должна равняться нулю при обоих значениях а =1 и а=2 одновременно, то есть не выполняется система
х=2.
4)Выполнения двух полученных условий уже достаточно для положительности f(a) на промежутке. Таким образом, искомые значения х должны удовлетворять условиям х и х≠2,
то есть х
.
6 слайд
C5.Найдите все значения b, при которых уравнение x-2=√ (2(b-1)x+1)
имеет единственное решение.
Решение: Преобразуем уравнение:
У параболы f(x)=x2-2(b-1)x+3 ветви направлены вверх, поэтому единственное решение возможно лишь в случаях (см. рис.1-3).
II.
III.
Найдём дискриминант уравнения f(x)=0.
D=4(b+1)2-4*3=4(b+1-
)(b+1+
).
Разберём каждый из перечисленных выше трёх случаев.
7 слайд
Сравним числа
и ¾; и 7/4; 4 и 7; 48<49
?
Таким образом, в первом случае получаем b>3/4.
.
у у
0 2 0
х 2 х
f(x)
f(x)
рис.1
8 слайд
II.
b=3/4
.
у у
0 2
х 0 2 х
f(x)
f(x)
рис.2
9 слайд
III.
b
.
у у
0 2
х 0 2 х
f(x)
f(x)
рис.3
Объединяя результаты всех трёх случаев, получаем ответ: b
.
Ответ: b
.
10 слайд
Исследование квадратного трёхчлена.
Квадратным трёхчленом называется выражение f(x)= ax2+bx+c (а≠0),
графиком соответствующей функции является парабола .
a>0 a<0
X
X
11 слайд
В зависимости от величины дискриминанта D и коэффициента а возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ох:
При D>0 , существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трёхчлена)
у
у D>0 , a>0 у D>0, a<0
0 0
х х
12 слайд
При D=0 эти точки совпадают (случай кратного корня)
у у D=0, a<0
D=0 , a>0
0
х
0
х
13 слайд
При D<0 точек пересечения с осью Ох нет (действительных корней нет)
уD<0 , a>0 уD<0 , a<0
0 0
x x
х х
14 слайд
К основными типам задачами на исследование корней квадратного трёхчлена относятся следующие:
задачи, в которых требуется найти значение параметра, при котором выполняется какое-либо соотношение корней уравнения (свойства корней квадратного трёхчлена);
задачи на исследование расположения корней квадратного трёхчлена относительно какого-то числа или чисел;
задачи содержащие сложные функции;
задачи, сводящиеся к исследованию корней квадратного трёхчлена.
15 слайд
Задачи, в которых требуется найти значение параметра, при котором выполняется какое-либо соотношение корней уравнения (свойства корней квадратного трёхчлена).
При решении подобных задач поступают следующим образом:
Проверяют при каких значениях параметра старший коэффициент не равен нулю;
Записывают условия теоремы Виета;
Записывают соотношения между корнями, данное в условии задачи;
Решают полученные уравнения и получают значение параметра.
16 слайд
Задачи на исследование расположения корней квадратного трёхчлена относительно какого-то числа или чисел.
Решение задачи сводится к составлению системы неравенств.
Строится схематично график квадратичной функции, f(x)= Ax2+Bx+C;
Отмечаем заданные точки на координатной оси;
Составляем систему, содержащую следующие неравенства:
А) Значение старшего коэффициента для данного уравнения (>,<0);
Б) Значение дискриминанта (D>0);
B) Значение функции в точке М (>,<0);
Г) Значение функции в точке N (>,<0);
4) Решаем полученную систему неравенств и находим параметр.
17 слайд
Задачи содержащие сложные функции.
Решаются аналогично уже рассмотренным, но сложная функция заменяется на какую-либо переменную относительно которой данное уравнения будет являться квадратным.
Задачи, сводящиеся к исследованию корней квадратного трёхчлена.
При решении дробно-рациональных и иррациональных уравнений с параметрами в результате их преобразования получаются квадратные уравнения с параметрами, которые решаются аналогично уже рассмотренным типам задач.
18 слайд
Основные виды задач:
решить уравнение;
установить при каких значениях параметра уравнение имеет один корень, два корня, не имеет корней;
установить при каких значениях параметра уравнение имеет корни разных знаков, корни одного знака;
установить при каких значениях параметра уравнение имеет два корня разных знаков, два корня одного знака;
найти значение параметра, при котором корни уравнения удовлетворяют какому-либо соотношению между корнями (сумма квадратов корней уравнения больше какого-то числа, разность квадратов равна какому-то числу и т.п.);
найти значение параметра, при котором корни уравнения принадлежат промежутку [a,b] , или один корень уравнения больше числа а, а другой меньше числа b и т.п.
19 слайд
Мною разработан элективный курс по теме «Квадратные уравнения с параметрами». Представлено описание каждого занятия с примерами задач, возможными формами контроля усвоения материала. Данный курс может использоваться в 8 классе, после изучения школьниками темы «Квадратные уравнения».
Актуальность курса определяется значимостью понимания школьниками особого положения квадратного трехчлена в школьной программе. Программа школьного курса ограничена и не позволяет в полном объеме рассмотреть задачи на решение квадратных уравнений, содержащих параметр.
20 слайд
Задачи курса:
-углубить и расширить знания учащихся по предмету;
-предоставить ученику возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету, определить готовность ученика осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;
-выявление и развитие математических способностей учащихся;
-подготовка к экзамену в 9-м классе и к обучению в старшем звене;
-открыть учащимся приемы решения уравнений с параметрами;
-развивать познавательную и исследовательскую деятельность учащегося;
-устранить у учащихся трудности, которые возникают при решении задач с параметрами.
21 слайд
Элективный курс включает в себя следующие занятия:
Занятие1.Квадратный трёхчлен и его свойства. Понятие об уравнении с параметром;
Занятие 2.Теорема Виета. Знаки корней квадратного трёхчлена;
Занятие 3.Соотношения на корни квадратного трехчлена;
Занятие4.Квадратный трехчлен: теорема Виета; знаки корней квадратного трехчлена; соотношения на корни квадратного уравнения;
Занятие 5. Расположение корней квадратного уравнения;
Занятие 6. Расположение корней квадратного уравнения;
Занятие 7. Решение квадратных уравнений с параметром;
Занятие 8.Зачёт.
22 слайд
Спасибо за внимание.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. Уравнения уже сами по себе представляют интерес для изучения, так как в известном смысле именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.). При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся. Возможность разнообразить формы упражнений (решить заданное уравнение; составить уравнение по заданному множеству его решений; решить задачу с помощью уравнения; составить задачу по заданному уравнению; составить два уравнения, имеющие одно и то же множество решений и т.д.) способствует развитию сообразительности, находчивости и инициативы учащихся. Графическое решение уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также играет немаловажную роль в развитии пространственного воображения. Решение задач из различных разделов математики с помощью уравнений и неравенств формирует представление о единой математике и относительном характере её расчленения на арифметику, алгебру, геометрию. Тема этой работы «Методика решения задач на исследование корней квадратного трёхчлена». Тема достаточно актуальна в со
6 656 299 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ильина Елена Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.