Методика решения задач на исследование корней квадратного трёхчлена

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

 

Калужский государственный университет

им. К.Э.Циолковского

 

 

 

 

 

 

 

Дипломная  работа

 

 «Методика решения задач на исследование корней квадратного трёхчлена».

 

 

 

 

 

 

                                                                                                 

 

 

                                                                                                 

 

Студентки

5 курса очного отделения

Физико-математического факультета

Группы ФМ-51

Ильиной Е.Е.

 

Научный руководитель: 

доцент, к.п.н. Пашкова Л.Г.

 

 

 

 

Калуга, 2012г.

Содержание.

 

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава I. Теоретические аспекты обучения  решению уравнений в 8 классе.....5

§1.Анализ школьных учебников………………………………………………....5

§2. Теоретические основы решения уравнений с параметрами…………........15

§2. 1. Знакомство с параметрами…………………………………………….....15

§2. 2. Исследование квадратного трёхчлена…………………………………...19

§3. Основные задачи на исследование корней квадратного трёхчлена...........25

Глава II. Программа и методические рекомендации по организации и проведению занятий элективного курса «Квадратные уравнения с параметром»...31

§1. Общие методические положения по проведению элективного курса «Квадратные уравнения с параметром»………………………………………..31

§1.2. Разработка занятий элективного курса «Квадратные уравнения с параметром»…………………………………………………………………………...36

Занятие 1. Квадратный трёхчлен и его свойства. Понятие об уравнении  с параметром………………………………………………………………………….36

Занятие 2.Теорема Виета. Знаки корней квадратного трёхчлена. …………...42

Занятие 3. Соотношения на корни квадратного трехчлена …………………..46

Занятие 4. Квадратный трехчлен: теорема Виета; знаки корней квадратного трехчлена; соотношения на корни квадратного уравнения ………………….50

Занятие 5. Расположение корней квадратного уравнения…………………….53

Занятие 6. Расположение корней квадратного уравнения..…………………...57

Занятие 7. Решение квадратных уравнений с параметром..…………………..61

Занятие 8.Зачёт…………………………………………………………………..63

§3. Методические рекомендации по решению квадратных уравнений  с параметром…………………………………………………………………………….65

Заключение……………………………………………………………………….66

Список литературы………………………………………………………………67

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Уравнения  уже сами по себе представляют интерес для изучения, так как в известном смысле именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях  реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы  науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.). При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.

Возможность разнообразить формы упражнений (решить заданное уравнение; составить уравнение по заданному множеству  его решений; решить задачу с помощью уравнения; составить задачу по  заданному уравнению; составить два уравнения, имеющие  одно и то же множество решений и т.д.) способствует развитию сообразительности, находчивости и инициативы учащихся.

Графическое решение уравнений раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также играет  немаловажную роль  в развитии пространственного воображения. Решение задач из различных разделов математики с помощью уравнений и неравенств формирует представление о единой математике и относительном характере её расчленения на арифметику, алгебру, геометрию.

Тема этой работы «Методика решения задач на исследование корней квадратного трёхчлена». Тема достаточно актуальна в современном мире, это объясняется тем, что уравнения (в том числе и квадратные) широко используются в  различных разделах математики, в решении прикладных задач. Навыки по решению уравнений потребуются  не только на уроках математики, но и при решении задачи физики (давление в жидкости и газе, работа, мощность, движение тел), географии (вопросы экономики), химии (расчёты в лабораторных работах).

Задачи на исследование корней квадратного трёхчлена – это в основном задачи с параметрами. Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики.  Между тем они часто встречаются на  едином государственном экзамене (задачи из части С). Также умения решать квадратные уравнения с параметрами пригодятся школьникам при дальнейшем изучении алгебры в 10-11 классах.

Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики. Навыки и умения по решению задач с параметрами учащиеся могут получить на дополнительных занятиях по математике. Чем объясняется  необходимость разработать курс по теме «Квадратные уравнения с параметром».

Для решения задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач. Умение решать задачи с параметром способствует повышению качества знаний и умений учащихся, интеллектуальному развитию.

Выбирая тему курсовой, я руководствовалась её значимостью и сложностью

 при обучении учащихся решению задач с параметрами на исследование корней квадратного трёхчлена.

Основной целью написания данной работы является изучение теоретических основ решения задач с параметрами и методических рекомендаций по решению квадратных уравнений с параметрами.

Исходя из данной цели, были поставлены следующие задачи:

-       проанализировать школьные учебники и выделить в них место квадратных уравнений с параметрами;

-       проанализировать варианты ЕГЭ;

-       рассмотреть методы решения задач с параметрами;

-       изучить методические рекомендации по проведению занятий;

-       разработать элективный курс  по данной теме;

                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I. Теоретические аспекты обучения  решению уравнений в 8 классе.

§1.Анализ школьных учебников.

Для изучения данной темы были проанализированы школьные учебники разных авторов, таких как А.Г.Мордкович, Ю.Н.Макарычев, Ш.А.Алимов.

Тема «Квадратные уравнения» изучается  в 8 классе. Вне зависимости от  автора учебника учащиеся уже знакомы с понятием «квадратный корень», так же они умеют решать  неполные квадратные уравнения вида:  ax²+c=0; ax²+bx=0; ax²=0. В  учебнике А.Г.Мордковича  до темы «Квадратные уравнения» изучается квадратичная функция, в учебниках Ш.А.Алимова и Ю.Н.Макарычева  учащиеся знакомятся с понятием квадратичной функции после изучения темы «Квадратные уравнения». На изучение  данной темы отводится 22-23 часа. По учебникам Ш.А.Алимова и Ю.Н. Макарычева  данная тема изучается в третьей четверти, по учебнику А.Г.Мордковича   - конец третьей – начало четвёртой  четверти [8].   

В учебнике А.Г.Мордковича   в первом же параграфе даётся  определение квадратного уравнения, приведённого, полного и неполного квадратного уравнения. Рассматривается решение неполных квадратных уравнений различного вида. Даётся семь способов решения квадратного уравнения 

х²-4х+3=0 .

1)Способом группировки: х²-4х+3 =х²-х-3х+3=х (х-1)-3(х-1)=(х-1)(х-3).

2)Разложение квадратного трёхчлена на множители, используя метод выделения полного квадрата: х²-4х+3 = х²-4х+4-1=(х-2)²-1=(х-2+1)(х-2-1)=

=(х-1)(х-3).

3)Построение графика функции у = х²-4х+3.

4)Преобразование уравнения к виду х²=4х-3, построение в одной систему координат графиков функций у = х² и у=4х-3.

5)Преобразование уравнения к виду х²+3=4х, построение в одной системе координат графиков функций у = х²+3 и у=4х.

6)Преобразование уравнения к виду х²-4х+4-1=0 и далее х²-4х+4=1 т.е.

(х-2)²=1, в одной системе координат строим графики функций у =(х-2)² и у=1.

7)Почленно обе части уравнения делим на х, получим х-4+=0, далее х-4=-, в одной системе координат строим графики функций у = х-4 и у= - [2].

В учебнике Ю.Н. Макарычева  учащиеся из первого параграфа узнают, что такое квадратное уравнения, неполное квадратное уравнение, рассматриваются методы решения различных видов  неполных квадратных уравнений. О приведённых квадратных уравнения они узнают лишь на следующем уроке, решая уравнения методом выделения квадрата двучлена.

В учебнике Ш.А.Алимова на первых уроках даётся определение квадратного уравнения и рассматривается уравнение вида х²=а. В следующем параграфе рассматриваются неполные квадратные уравнения и методы их решения. Определение приведённого квадратного уравнения даётся при изучении теоремы Виета.

Во всех учебниках после рассмотрения решения квадратных уравнений выделением полного квадрата, изучаются формулы корней квадратного уравнения. В учебниках Ш.А.Алимова Ю.Н. Макарычева   сразу же рассматривается формула корней квадратного уравнения  с чётным вторым коэффициентом, в учебнике А.Г.Мордковича она рассматривается в отдельном параграфе.

Во всех учебниках рассматривается теорема Виета и обратная ей теорема, у Ш.А.Алимова и А.Г.Мордковича  также даётся разложение квадратного трёхчлена на множители. По учебникам Ю.Н. Макарычева   учащиеся узнают о разложении квадратного трёхчлена на множители лишь в 9 классе при изучении темы  «квадратичная функция».

В учебнике Ю.Н. Макарычева  рассматриваются  биквадратные, дробно - рациональные и иррациональные уравнения, у Ш.А.Алимова и Ю.Н. Макарычева только биквадратные и дробно-рациональные.  В учебниках Ш.А.Алимова и Ю.Н. Макарычева нет алгоритма решения рациональных уравнений.

В учебнике Ш.А.Алимова  дан дополнительный   материал, это комплексные числа и  квадратные уравнения с комплексным неизвестным. В учебнике Ю.Н. Макарычева   есть краткая историческая справка о квадратных уравнениях.

В учебнике Ю.Н. Макарычева    в разделе дополнительных упражнений предлагаются уравнения, содержащие параметр (№№ 645, 646,660,663-672), где необходимо найти значение параметра, если известен корень уравнения или какое-то соотношение корней. Есть задачи, в которых необходимо найти значение параметра, если известны знаки корней уравнения(№№ 661,662).

В учебнике А.Г.Мордковича   даётся понятие квадратного уравнения с параметром. В задачнике представлены уравнения с параметром, где необходимо: выяснить вид квадратного уравнения и решить его при найденных значениях параметра; найти значение параметра, если известен корень квадратного уравнения. При нахождении корней квадратного уравнения рассматриваются уравнения содержащие параметр, где необходимо найти значение параметра при данном количестве корней квадратного  уравнения (№№820,821). В номерах 839-841, ставиться задача решить уравнение с параметром,842-доказать, что уравнение не имеет единственного корня  ни при каком значении параметра,838- необходимо выбрать те уравнения, которые имеют два корня при любом значении параметра.  При изучении теоремы Виета  предлагаются задания на нахождение значения параметра при данном количестве корней (№969),имеются задачи на применение обратного утверждения теоремы Виета (№№971,972). В заданиях повышенного уровня с параметром от ученика требуется полное понимание  применения теоремы Виета и обратного утверждения (№»999-1005).

В учебнике Ш.А.Алимова  также встречаются уравнения с параметрами (№№414,428,442,443,448). В номерах 442,443,448 предлагаются задания на исследование количества корней уравнения в зависимости от параметра.

Существенных отличий в изложении материала по теме «Квадратные уравнения» нет. В каждом из учебников рассмотрены все возможные виды уравнений,  способы их решения.

В каждом  из учебников встречаются задачи с параметрами, но, ни  в одном из учебников нет отдельных пунктов, посвящённых изучению квадратных уравнений с параметрами.

В учебнике Ю.Н. Макарычева  15 задач с параметрами, решение большей части из которых основано на применении теоремы Виета, на составлении систем уравнений и неравенств. 

В учебнике Ш.А.Алимова   всего 5 задач с параметрами, 3 из них исследование количества корней уравнения в зависимости от параметра, нет задач  на исследование расположения корней квадратного трёхчлена относительно заданных чисел, на применения теоремы Виета.

В задачнике А.Г.Мордковича   представлено 17 задач и домашняя контрольная работа по решению квадратных уравнений с параметрами. Условия и требования задач различные, есть задачи на нахождения количества корней уравнения, на применение теоремы Виета (прямой и обратной).

В учебниках представлены лишь немногие задачи на решение уравнений с параметрами, в основном на нахождение количества корней уравнения и на нахождения корней уравнения при данных соотношениях между корнями. Ни в одном из учебников нет задач сводящихся к исследованию расположения корней квадратного трёхчлена, решая которые необходимо знать теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена. Ни в одном из учебников нет теоретического материала по данной теме. Школьникам предлагаются лишь элементарные задачи с параметрами. Так как время, отведенное на изучение темы «Квадратные уравнения» ограничено и его едва хватает на изучение основных вопросов, то на задачи с параметрами не обращают внимания. Научиться решать задачи с параметрами учащиеся смогут лишь на дополнительных занятиях, чем и объясняется необходимость элективного курса «Квадратные уравнения с параметром».

На мой взгляд, тема «Квадратные уравнения»  лучше изложена в учебнике А.Г.Мордковича. В нем  дан  весь материал, касающийся данной темы, представлены все различные виды задач, в том числе  и задачи с параметрами. В одном из параграфов рассматривается подробное решение нескольких задач с параметрами.

 

 

 

 

 

 

Ю. Н.Макарычев  [3] (3часа в неделю, всего 23 часа)
Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.                (2 часа)	Квадратным  уравнением называется уравнение вида  ax2+bx+c=0, где х- переменная, a,b,c –некоторые  числа, причём а≠0. Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют  неполным квадратным уравнением. Примеры решения неполных квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена. (1 час)	Уравнения, в которых первый коэффициент равен 1 называют приведёнными квадратными уравнениями. Примеры решения уравнений методом выделения квадрата двучлена.
Решение квадратных уравнений по формуле. (3 часа)	Выражение  b2-4ac обозначают буквой  D и называют дискриминантом квадратного уравнения  ax2+bx+c=0. Формула корней квадратного уравнения: При решении квадратного уравнения по формуле поступают следующим образом: 1.Вычисляют дискриминант и сравнивают его с нулём; 2.Если дискриминант положителен или равен нулю, то используют формулу корней, если дискриминант отрицателен, то записывают, что корней нет.
Решение задач с помощью квадратных уравнений. (3 часа)	Примеры решения задач.
Теорема Виета. (2 час)	Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение  корней равно свободному члену. Если числа m и n таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x2+ px+ q =0.
Решение дробно рациональных уравнений. (3 часа)	Примеры решения уравнений.
Решение задач с помощью рациональных уравнений. (3 часа)	Примеры решения задач.
Графический способ решения уравнений. (2 часа)	Примеры решения уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А.Г.Мордкович [2] (3 часа в неделю, всего 22 часа)
Основные понятия. (2 часа)	Квадратным  уравнением называется уравнение вида  ax2+bx+c=0, где коэффициенты a,b,c –любые действительные числа, причём а≠0. Квадратное уравнение называют приведённым, если  его старший коэффициент равен 1;квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1. Полное квадратное уравнение- это уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение-это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов  b,c равен нулю. Корнем квадратного уравнения  ax2+bx+c=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трёхчлен  ax2+bx+c обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трёхчлена. Квадратное уравнение  ax2+bx+c=0 может иметь либо два корня, либо один, любо вообще не иметь корней.
Формулы корней квадратных уравнений. (4 часа)	Выражение  b2-4ac обозначают буквой  D и называют дискриминантом квадратного уравнения  ax2+bx+c=0. Если  D<0, то квадратное уравнение  ax2+bx+c=0 не имеет корней. Если  D=0, то квадратное уравнение  ax2+bx+c=0 имеет один корнь, который находится по формуле - . Если  D>0, то квадратное уравнение  ax2+bx+c=0 имеет два корня, которые находится по формуле  . Правило решения уравнения  ax2+bx+c=0. 1.Вычислить дискриминант  D по формуле D=b2-4ac. 2.Если  D<0, то квадратное уравнение  не имеет корней. 3. Если  D=0, то квадратное уравнение имеет один корень: -. 4. Если  D>0, то квадратное уравнение  имеет два корня:  .
Рациональные уравнения. (3 часа)	1)Алгоритм решения рационального уравнения. Рациональное выражение - алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень  с натуральным показателем. Если r(x) –рациональное выражение, то уравнение  r(x)=0 называют рациональным. Алгоритм решения рационального уравнения. 1.Перенести все члены уравнения в одну часть. 2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби . 3.Решить уравнение  p(x)=0. 4. Для каждого корня уравнения  p(x)=0 сделать проверку: удовлетворяет ли он  условию  q(x)≠0 или нет. Если да, то это - корень  заданного уравнения; если нет, то это-посторонний корень и в ответ его включать не следует. 2)Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной (показывается на примерах). Уравнение вида ax4+bx2+c=0 называют биквадратным уравнением.
Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. (3 час)	Решение задачи с выделением основных этапов. 1.Составление математической модели. 2.Работа с составленной моделью. 3.Ответ на вопрос задачи.
Ещё одна формула корней квадратного уравнения. (2 часа)	Корни квадратного уравнения  ax2+2kx+c=0 можно вычислять по формуле: .  -k±  - формула корней уравнения  x2+2kx+c=0
Теорема Виета. (1 час)	Пусть  x1 , x2 - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Тогда сумма корней равна - , а произведение корней равно :    x1+x2 = - ,   x1*x2=. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение  корней равно свободному члену. Если  x1 , x2 - корни квадратного трёхчлена ax2+bx+c, то справедливо тождество  ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2). Если числа  x1 , x2 таковы, что  x1+x2 =-p,    x1*x2=q,  то эти числа – корни уравнения  x2+ px+ q =0.
Иррациональные уравнения. (3 часа)	Если в уравнения переменная содержится под знаком корня, то уравнение называют иррациональным. Итак, иррациональное уравнение решают методом  возведения обеих его частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни. Два уравнения f(х) = g(х) и  r(х) = s(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни (или, в частности, если оба уравнения не имеют корней). Равносильными преобразованиями уравне­ния являются следующие преобразования: 1.Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками. 2.Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ш.А. Алимов [1] (3 часа в неделю, всего 23 часа)
Квадратное уравнение и его корни. (2 часа)	Квадратным уравнением называется уравнение ax2+bx+c=0, где коэффициенты a,b,c –заданные числа, а≠0 , х- неизвестное. Уравнение x2=d, где d>0, имеет  два корня: x1 =,  x2=- .
Неполные квадратные уравнения. (1 час)	Квадратное уравнение ax2+bx+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Метод выделения полного квадрата. (1 час)	Примеры решения квадратных уравнений методом выделения полного квадрата.
Решение квадратных уравнений. (4 часа)	Формула корней квадратного уравнения  . Уравнение ax2+bx+c=0 не имеет действительных корней, если < 0.
Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. (2 часа)	Квадратное уравнение x2+ px+ q =0 называется приведённым. Формула корней приведённого квадратного уравнения: . Если  x1 , x2 - корни уравнения x2+px+q=0, то справедливы формулы x1+x2 = -p,   x1*x2=q. т.е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение  корней равно свободному члену. Если числа  x1 , x2 ,p, q таковы, что  x1+x2 =-p,    x1*x2=q,  то x1 , x2  – корни уравнения  x2+ px+ q =0. Если  x1 , x2 - корни квадратного уравнения  ax2+bx+c=0, то при всех х  справедливо равенство ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
Уравнения, сводящиеся к квадратным. (3 часа)	Уравнение ax4+bx2+c=0 , где а≠0, называется биквадратным. Примеры решения биквадратных и рациональных уравнений.
Решение задач с помощью квадратных уравнений. (4 часа)	Примеры решения задач.
Решение простейших систем, содержащих уравнения второй степени. (3 часа)	Примеры решения систем.
Комплексные числа.	Комплексными числами называют выражения вида a+bi ,где a и b– действительные числа, i- такое комплексное число, что i2= -1. Два комплексных числа a+bi и c+di называются равными, если a=c и b=d , т.е. если равны их действительные и мнимые части. Числа a+bi и a-bi называются сопряжёнными.
Квадратное уравнение с комплексным неизвестным.	Примеры решения уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Задачи на исследование корней квадратного трёхчлена среди  задач ЕГЭ.

 

Проанализировав  варианты ЕГЭ за последние несколько лет  можно заметить что задачи с параметра встречаются в каждом варианте в части С, вне зависимости от года проведения ЕГЭ. Также среди этих задач встречаются задачи на исследование корней квадратного трёхчлена. Формулировки задач различны, но при решении их учащиеся стакиваются с квадратным трёхчленом, корни которого необходимо исследовать.

Среди заданий ЕГЭ  мне встретились следующие задачи по данной теме:

С3.Найдите все значения x, которые удовлетворяют неравенству

x²+4а>(2а-3)х+10 при любом значении параметра а, принадлежащем промежутку (1;2).

Решение:

1)Неравенство приводится к виду (4-2х)а+(х²+3х-10)>0,в котором левая часть, рассматриваемая как функция от а, есть линейная функция

f(a)= (4-2х)а+(х²+3х-10) с коэффициентами, зависящими от x.В задаче требуется найти все значения х, при каждом из которых эта функция положительна для всех а(1;2).

2)Для положительности линейной функции f на промежутке (1;2) необходимо,  что бы она была положительна или равна нулю при каждом из двух значений а=1 и а=2, то есть выполнялась система ;

                               

Решение системы: x

3)Для выполнения требования задачи функция f не должна равняться нулю при обоих значениях а =1 и а=2 одновременно, то есть не  выполняется система;

           х=2.

4)Выполнения двух полученных условий уже достаточно для положительности f(a) на промежутке. Таким образом, искомые значения х должны удовлетворять условиям х и х≠2, то есть х.

Ответ: х.[11]

С5.Найдите все значения параметра p , при каждом из которых число различных корней уравнения  равно числу различных корней уравнения (4-3р)х²-(р-4)х+1=0.

Решение:

1)При х≠2 уравнение (1) равносильно уравнениям

 

2)Графиком дробно – линейной функции y= является гипербола. Для каждого числа а≠2 уравнения а= имеет единственный корень х=. Поэтому Е(у)=(-;2)(2;+) и каждое воё значение функция принимает один раз. Если , то есть если р=0 или р=-3,то уравнение (1) не имеет корней. При каждом из остальных р уравнение (1) имеет единственный корень.

3)Если 4-3р=0, то р= и уравнение (2) – линейное. У него один корень  х= -.

Поэтому р=  удовлетворяет условию задачи.

4)При р  уравнение (2) – квадратное. Найдём его дискриминант: D=(p-4)²-4(4-3p)=p²+4p=p(p+4)/ Если D>0, то есть если р, то  уравнение (2) имеет 2 различных корня. Поэтому такие р не удовлетворяют условию задачи.

5) Если -4 <p<0, то уравнение (2) не имеет корней, так как D<0/ Для таких р уравнение (1) не имеет корней только при р=-3. Значит, только р=-3 удовлетворяет условию задачи.

Если р=0 , то уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет один корень. Если р=-4, то уравнения (1) и (2) имеют по одному корню. Поэтому

р=-4 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: -4; -3; 4/3. [12]

С5.Найдите все значения а, при каждом из которых функция

f(x)=x²--5x имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение:                

1.Функция f  имеет вид:

а) при xа²: f(x)=x²-6x+a², поэтому её график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии х=3;

б)при xа²: f(x)=x²-4x+a² поэтому её график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии х=2;

Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках (рис.1-3 ):

 

 

 

 

 

 

      

      2     а²     3            х                     2         3  а²     х                 а²    2     3           х  

        рис.1                                          рис.2                                    рис .3

2.Ни одна из квадратичных функций, описанных в пунктах а и б, не имеет точек максимума. Графики обеих функций проходят через точку (а²; f(a²)).

3.Единственной точкой максимума функции f(x) может быть x=a² (рис.1 ), причём она действительно является таковой тогда и только тогда, когда 2<a<3                      <<.

Ответ: -<a<-; <a<

С5. Найдите все значения b, при которых уравнение

 x-2= имеет единственное решение.

Решение: Преобразуем уравнение:

           

У параболы f(x)=x²-2(b-1)x+3 ветви направлены вверх, поэтому единственное решение возможно лишь в случаях (см. рис.4-6).

   II.   III. 

Найдём дискриминант уравнения f(x)=0.

D=4(b+1)²-4*3=4(b+1-)(b+1+).

Разберём каждый из перечисленных выше трёх случаев.

            

 

       

 

Сравним числа  и .

 ?  ,

 ?  ,

4 ? 7,

48<49

Таким образом, в первом случае получаем b>3/4.

 

              y                                                                        y

 

   f(x)                                                                             f(x)    

 

 

              0          2               x                                                  0           2                    x

рис.4

 

II.                         b=

 

 

              y                                                                        y

 

   f(x)                                                                                                       f(x)      

 

 

              0             2          x                                                  0           2                     x

рис.5

 

 

III.                       b

 

 

              y                                                                        y

 

                                         f(x)                                                                         f(x)   

 

 

              0             2          x                                                  0           2                     x

рис.6

Объединяя результаты всех трёх случаев, получаем ответ: b.

Ответ: b.

                                                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

 

§3. 1. Знакомство с параметрами.

 

Если в уравнение, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а такое уравнение - параметрическим. 

Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое значение, то получится одно из двух:

-       уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные  и не содержащее параметров;

-       условие, лишённое смысла.

В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором - недопустимым. При решении примеров допустимые значения параметров определяются из их конкретного смысла. Так, в уравнении + =2 допустимым является любое значение а, кроме а=0 и а=х [6].

Решить уравнение, содержащее параметр,- это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения.

Решить задачу с параметром это значит:

-       найти ответ для любого значения параметра, если требуется решить уравнение, неравенство и т. п.

-       найти значения параметра, при котором множество решений уравнения удовлетворяет какому-то условию[9].

Основные типы задач с параметром.

-       Задачи, которые надо решить или для любого значения параметра, или для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

-       Задачи, для которых требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

-       Задачи, для которых надо найти все те значения параметра, при которых указанные задачи имеют заданное число решений.

-       Задачи, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения [9].

Два уравнения с параметрами называются эквивалентными, если для обоих уравнений множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения эквивалентны. Эквивалентные уравнения при всякой допустимой  системе значений параметров имеют одно и то же множество решений [9].

Нередко при решении примеров с параметрами учащиеся ограничиваются лишь тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметр. Такое формальное решение может оказаться неполным, поскольку не рассматривает вопрос о том, при каких значениях параметра эти формулы применимы. Например, при решении уравнения m²(x-2)-3m=x+1 переходят к уравнению (m²-1)x=2m²+3m+1; при m≠ ±1 записывают  единственное решение x= . Но ведь при m=-1 – бесчисленное множество решений, а при m=1 решений нет.

Важной частью решения уравнения с параметрами является запись ответа. Особенно это важно, когда решение разбивается на несколько частей. При этом составление ответа – это сбор ранее полученных результатов в отдельных частях решения. Необходимо отразить в ответе все этапы решения[6].

 

Пример 1:  Решить уравнение  (а²-1)х=а²-а-2.

Решение: Видно, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1.     а=1, тогда уравнение принимает вид 0х=-2 и не имеет решений;

2.     при а=-1 получаем 0х=0 и, очевидно , х – любое;

3.    при а ≠ ±1  х=.

Ответ: а=1, решений нет; а=-1 х – любое; а ≠ ±1  х=[6].

 

В рассмотренном примере ответ практически повторяет решение.

Основной принцип  решения параметрических уравнений  можно сформулировать так: необходимо разбить область изменения параметра на участки, такие, что при изменении параметра в каждом из них, получающиеся уравнения можно решить одним и тем же методом. Отдельно для каждого участка находятся   корни уравнения, выраженные через значения параметра. Используемые для этого приемы в точности таковы, как и при решении уравнений с постоянными коэффициентами. Поскольку каждый  из методов представляет собой последовательность определённых действий, которые могут выполняться  по-разному в зависимости от значений параметра, то выбранные   первоначально участки его изменения в процессе решения могут дробиться с тем, чтобы на каждом  из них рассуждения проводились единообразно[5].

Ещё один из способов решения уравнений с параметрами - графический. С изменением параметра функции, входящие в рассматриваемое уравнение меняются. Меняются и различные характеристики этих функций, влияющие на множество решений. Удобным средством для изучения таких изменений являются графики. Нарисовав на координатной  плоскости графики функций при различных значениях параметра, можно обнаружить некоторые закономерности, облегчающие решение задачи[10].

 

Пример 2:  Решить уравнение  а- x.

Решение: Следствием заданного уравнения будет уравнение 1-х² = (а —х)², которое после преобразований может быть записано в виде

2х²-2ах+а²-1=0. (1)

Дискриминант этого уравнения таков: D=4(2 -а²), откуда следует, что D <0 при |а| >. Значит, квадратное уравнение (1), а вместе с ним и исходное уравнение не имеют решений при |а|> . Если же, |а| <  то квадратное уравнение имеет два корня

x₁=   и   x₂= (2).

Если а = , то один корень х₁= а если а=-, то один корень

х₁= - . Теперь необходимо выяснить, какие из найденных корней уравнения (1) будут корнями исходного уравнения. Ответ, естест­венно, будет зависеть от того, в какой области находится параметр а. Для отбора корней воспользуемся геометрическими соображениями.

Изобразим на координатной плоскости графики функций у=  и у=а– х (рис. 7). Первый график есть полуокружность с центром в начале координат и радиусом 1, ведь его точки (х; у) удовлетворяют условиям х²+у²=1, у График второй функции есть прямая линия, пересекающая ось Ох в точке с абсциссой а. При изменении параметра полуокружность остается на месте, а прямая перемещается, оставаясь параллельной одному и тому же направ­лению, образующему с положительным направлением оси Ох угол 3π/4. Легко видеть, что прямая у=а—х касается полуокружности при а=  (рис. 8). Абсцисса точки касания х₁= будет единственным решением исходного уравнения при а=. При а> уравнение не будет иметь корней. При значениях параметра а из промежут­ка 1а< полуокружность и прямая пересекаются в двух точках (рис. 9). Абсциссы точек пересечения х₁ и х₂ и являются решения­ми исходного уравнения. Ясно, что они задаются формулами (2). Далее, если параметр а принадлежит промежутку -1а<1, то гра­фики имеют единственную точку пересечения с абсциссой х₁ (рис. 1). Наконец, при а<-1 уравнение решений не имеет (рис. 10).

Конечно, приведенные выше рассуждения нельзя считать полным решением задачи. Например, в дополнительном обосновании нужда­ются утверждения о том, что при -1а<1 единственная точка пере­сечения графиков имеет абсциссой именно число х₁, а не х₂, что при 1 полуокружность и прямая имеют две точки пересечения, а при а< -1 ни одной точки пересечения. Все эти утверждения мо­гут быть обоснованы рассмотрением соответствующих неравенств. Можно было бы также воспользоваться рассуждениями о расположении корней квадратного трехчлена относительно фиксиро­ванного интервала.

Ответ: при а> и а<-1: решений нет; при а=единствен­ное решение ; при 1а<: два корня х₁ и х₂ при -1а<1: один корень х₁. Числа х₁ и х₂ задаются равенствами (2)[10].

 

 

 

 

 

             у                                                                       у

 

 

 

              0                                                                       0

      -1             а    1                       х                                           -1               х₁ 1            х

 

 

                              рис.7                                                         рис.8

 

 

             у                                                                       у

 

 

 

              0                                                                       0

      -1            х₁   х₂ 1                  х                                            а  -1                 1                    х

 

 

                               рис.9                                                                   рис.10

 

В программах по математике для неспециализированных школ  задачам  с параметрами отводится незначительное место.

С параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий.

Например:

-       функция прямая пропорциональность:  y=kx ( x и y – переменные; k- параметр k≠0);

-       линейная  функция:   y=kx+b (x и y – переменные;k и b –параметры);

-       линейное уравнение: ax+b=0 (х- переменная; a и b – параметры);

-       уравнение первой степени ax+b=0 (х- переменная; a и b – параметры  a ≠0);

-    квадратное уравнение: ax²+bx+c=0 (x -  переменная; a,b,c- параметры, a0).

К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и  квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров[5].

Естественно, такой небольшой  класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом  имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют  и на решение, и на ответ[5].

 

§3. 2. Исследование квадратного трёхчлена.

 

Уравнение вида ax²+bx+c = 0 , где х   R- неизвестные, a, b, c –выражения, зависящие только от параметров, причём а≠0 , называется квадратным уравнением. D=b²-4ac дискриминант квадратного трёхчлена.

Если D<0 , то  уравнение не имеет корней.

Если  D>0, то уравнение имеет два различных корня х₁=, х₂= , и тогда ax²+bx+c =а(х-х₁)(х-х₂).

Когда D=0 , то уравнение имеет два совпадающих корня = - , и тогда ax²+bx+c =а(х-х₁)² . В этом случае говорят, что уравнение имеет одно решение.

Когда  b четное число, то есть  b=2k, корни квадратного уравнения определяются по формуле x_1,2= . Для решения приведенного  квадратного уравнения x²+px+q=0  используется  формула x_1,2= -  ± .

Допустимыми считаются только те значения параметров, при которых a, b, c действительны[6].

Квадратным трёхчленом называется выражение f(x)= ax²+bx+c (а≠0), графиком соответствующей функции является парабола (рис.11) [7].

 

 

 

 

                      a>0                                                     a<0

 

 

 

                                  а)                                                     б)

                                                        рис.11

В зависимости от величины дискриминанта D  и коэффициента а возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс Ох:

При D>0  , существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трёхчлена) (рис.12);

 

 

 

 

 

 

                    у            D>0 , a>0                                               D>0, a<0

                                                                                 у

 

 

 

 

 

                    0                                                                0

                                                    х                                                             х

 

 

 

                                                        рис.12

 

При D=0  эти точки совпадают (случай кратного корня) (рис.13);

                у                                                                       у              D=0, a<0

                                   D=0 , a>0

 

                                                                                                0

                                                                                                                                  х

 

 

 

                 0

                                                   х

 

 

                                                       рис.13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При D<0  точек пересечения с осью Ох нет (действительных корней нет) (рис.14).

 

                  у              D<0 , a>0                                    у         D<0 , a<0

 

 

 

 

 

                    0                                                                 0     

                                                   х                                                                      х

 

 

 

 

                                                     рис.14

 

 

 

Координаты вершины параболы определяются формулами:

х₀=; y₀=-

 

Между корнями  квадратного трёхчлена ax²+bx+c и коэффициентами существуют соотношения (теорема Виета):

х₁+х₂= -;        х₁х₂=

При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.

Теорема 1: Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:  D=b²-4ac≥0,  х₁х₂= >0 , при этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие: х₁+х₂= ->0 , и оба корня будут отрицательны , если х₁+х₂= -<0 [7].

Теорема 2: Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений: D=b²-4ac0, х₁х₂= 0, при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если х₁+х₂= ->0, если же х₁+х₂= -<0 то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину[7].  

При решении многих задач требуется знание следующих основных теорем о расположении корней квадратного трёхчлена на координатной прямой.

Пусть f(x)= ax²+bx+c  имеет действительные корни х₁ и х₂ , а х₀ – какое-нибудь действительно число, f(x₀)= ax₀²+bx₀+c . Тогда:

Теорема 3: Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше , чем число х₀ (то есть лежали на координатной прямой левее чем точка х₀), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 15) [7]:

 

 

 

                      a>0               f(x₀)

 

          x₁          -          x₂    x₀                                                            x₁             -        x₂    x₀

 

                                                                                             

                                                                                                    a<0                f(x₀)

                                                      рис.15

 

 

                                                                              

 

Теорема 4: Чтобы один из корней квадратного трёхчлена был меньше, чем число х₀  , а другой больше числа х₀ (то есть точка х₀  лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий (рис.16) [7]:

 

                       a>0

 

 

      x₁                      x₀               x₂                                       x₁         x₀                         x₂   

 

                                                                                           a<0

 

                                                       рис.16

 

 

                

 

Теорема 5: Чтобы два корня квадратного трёхчлена были больше, чем число х₀ (то есть лежали на координатной прямой правее, чем число х₀), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 17) [7]:

 

                                                                           

 

     f(x₀)        a>0

 

 

 х₀     x₁                    -                 x₂                               х₀     x₁                    -                 x₂

                                                                                          

                                                                           f(x₀)         a<0

 

                                               рис.17

 

Наиболее часто встречающиеся следствия из  вышеперечисленных теорем.

Следствие 1: Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше , чем число М, но меньше, чем число А (МА) , то есть лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно (рис.18) [7]:

 

 

                       a>0

 

 

  М   x₁                    -                 x₂   А                           М     x₁                    -              x₂   А

 

                                                     рис.18                              a<0

 

Следствие 2: Чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (МА), необходимо и достаточно (рис. 19) [7]:

 

 

                      a>0

 

 

 

     x₁            М                           x₂       А                                    x₁                      М          x₂    А

 

                                                     рис.19                            a<0

при этом меньший корень вне отрезка МА.

Следствие 3: Чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (МА), необходимо и достаточно (рис.20) [7]:

 

 

                         a>0

 

 

    М     x₁        А                         x₂                                     М     x₁                          А        x₂    

 

                                                        рис.20                            a<0

 

        

при этом больший корень вне отрезка МА.

Следствие 4: Чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (МА), то есть отрезок МА целиком лежал внутри интервала  между корнями, необходимо и достаточно (рис. 21) [7]:

 

 

                       a>0

 

 

     x₁            М             А             x₂                                    x₁           М        А         x₂    

 

                                                          рис.21.                        a<0

 

 

                                  

 

 

 

 

 

 

 

§4. Основные задачи на исследование корней квадратного трёхчлена.

 

Свойства корней квадратного трёхчлена.

Задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при которых между корнями уравнения выполняется то или иное соотношение. Можно было бы решать эти задачи, выразив корни через коэффициенты уравнения и выписав явно заданные в условии задачи соотношения. Получившиеся при этом уравнения на параметры обычно бывают достаточно сложными. Более простой метод основан на использовании теоремы Виета. Решая задачи данного вида, составляется система неравенств или система уравнений, также необходимо помнить о дискриминанте и не забывать проверять существование корней [5].

 

Пример 3: При каких вещественных а корни уравнения х²-3ах+а²=0, таковы, что сумма их квадратов равна 7/4?

Решение:

1.По теореме Виета х₁+х₂=3а,  х₁х₂=а².

2.  х₁²+х₂²=7/4  или (х₁+х₂)²-2 х₁х₂=7/4.

Сделаем подстановку и получим: (3а)²-2а²=7/4.

Ответ: а=±0,5[7].

 

Пример 4: При каких вещественных а корни уравнения х²+ах+1=0 таковы, что х₁⁴+х₂⁴1 (1)?

Решение:

1.По теореме Виета х₁+х₂=-а, ,  х₁х₂=1.

2.Поскольку х₁⁴+х₂⁴=(х₁²+х₂²)²-2 х₁²х₂²= [((х₁+х₂)²-2 х₁х₂)]²-2 х₁²х₂², неравенство (1) примет вид: х₁⁴+х₂⁴=[(-a)²-2]²-2 =(a²-2)²-2=a⁴-4a²+21 (2).

3. Решая неравенство (2) , получим:

a< - , a> и -

Ответ: a< - , a> и - [7].

 

Пример 5: Найти все значения параметра а, при каждом из которых один корень уравнения х²+ах+а+2=0 равен удвоенному второму корню.

Решение: Обозначим через х₁ и х₂ корни уравнения, по теореме Виета и согласно условию задачи получаем следующую систему равенств

Из первого и третьего равенств системы находим  х₁ = - а, х₂= - а.

Подставляем эти выражения для х₁ и х₂ во второе равенство системы , получаем равенство  а²=а+2,которое можно переписать так: 2а²-9а-18=0. Все искомые значения параметра находятся среди корней этого квадратного уравнения. Оно имеет два корня а₁=-  и а₂ = 6. При а=-  уравнения принимает вид х²- х+=0. Его корни х₁ =1, х₂= удовлетворяют условию задачи. При а=6 исходное уравнение имеет вид х²+6х+8=0. Его корни  х₁ =-4,  х₂ =-2 также удовлетворяют условию задачи.

Ответ: - , 6 [7].

 

Пример 6: Установить, при каких значениях а сумма квадратов корней уравнения х²-ах+а-1=0 (1) будет наименьшей?

Решение: Согласно теореме Виета х₁+х₂=а,  х₁х₂=а -1.

2.Отсюда х₁²+х₂²=(х₁+х₂)²-2 х₁х₂=а-2(а-1)=(а-1)²+1. Сумма квадратов корней уравнения (1) будет наименьшей при а-1=0, то есть при а=1.

Ответ: а=1[7].

 

Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трёхчлена.

Это задачи, решая которые необходимо знать теоремы о расположение корней квадратного трёхчлена по отношению к некоторому числу или числам. Можно, конечно, найти сами корни, выписать систему неравенств, которым они должны удовлетворять, и из неё найти условие на параметры. Однако и в этом случае более простое решение может быть получено с помощью теоремы Виета. Также как и в задачах предыдущего типа  составляется система неравенств, решив которую получаем ответ [5].

 

Пример 7: Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трёхчлена х²+ах+1 различны и лежат на отрезке [0;2].

Решение: Дискриминант D заданного квадратного трёхчлена f(x)= х²+ах+1  равен  D=a²-4. Для существования различных корней необходимо условие  D>0 то есть a²-4>0. Обозначим эти корни  буквами х₁ и х₂. Согласно теореме Виета справедливо равенство  =- а. Из условия задачи следует что вместе с корнями промежутку [0;2] должна принадлежать и абсцисса вершины параболы – середина отрезка с концами с концами х₁ и х₂ , то есть число (х₁ +х₂ )/2=- а/2. Поэтому  ещё одно необходимое условие на параметр дают неравенства 0 <- a/2<2 . Коэффициент при х² в заданном трёхчлене положителен, поэтому точки 0 и 2 , лежащие вне интервала содержащего корни, должны удовлетворять неравенству f(0)=10 и f(2)=2a+50. Итак, искомые значения параметра а удовлетворяют системе неравенств

      (1)

 Легко видеть, что эти условия и достаточны, то есть если параметр  а удовлетворяет условиям системы, то заданный квадратный трёхчлен имеет различные корни, принадлежащие отрезку [0;2] (рис 22).Решая систему неравенств (1),находим искомое множество значений параметра:- 5/2а - 2.

Ответ: :- 5/2а - 2[10].

 

 

       у

  2а+5

           

         1

                        -а/2

         0    х₁                   х₂     2                 х

 

 

                            рис. 22

 

 

Пример 8: При каких значениях k  один из корней уравнения (k²+k+1)x²+(2k-3)x+k-5=0 больше 1 , а другой меньше 1?

Решение:

1.Здесь а= k²+k+10 при всех k.

2.Согласно теореме 4 имеем условие   , то есть

k²+k+1+2k-3+ k-5(1)

3.Решая неравенство (1) , находим, что -2-.

Ответ: -2-[6]

 

Уравнения со сложными функциями.

В некоторых задачах требуется найти все значения параметра, при каждом из ко­торых имеет хотя бы один корень уравнение f(a,g(x))= 0, где f(a,t) и g(x) - некоторые функции, причем f(а,t) зависит от параметра а и переменной t. Легко видеть, что эта задача равносильна отысканию всех значений параметра а, при которых уравнение f(а,t) = 0 имеет корень, принадлежащий области значений функции g(x), то есть задаче того типа, что рассматривалась ранее[10].

 

Пример 9:Определить k так, чтобы уравнение (k-2)x⁴-2(k+3)x²+k-1=0 (1) имело бы четыре вещественных корня, отличных от нуля.

Решение: 

1.Данное уравнение (1) биквадратное при а≠0 , то есть квадратное относительно х².

2.Следовательно, для вещественности его корней необходимо и  достаточно, что бы их квадраты были положительны, то есть что бы квадратное уравнение  (k -2)y²-2(k+3) y +k+1=0  (2) имело  положительные корни.

Для этого должно быть выполнено:

      или            (3)

3.Решением системы (3) является  k>2.

Ответ: k>2[7]

Уравнения со сложными функциями (тригонометрические, показательные, логарифмические)  учащиеся начинают  решать в 10-11 классах.  Их решение также сводится к решению квадратных уравнений.

 

Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного уравнения.

Решая иррациональные и дробно рациональные уравнения с параметрами, в результате преобразований уравнения сводится к квадратным уравнениям с параметром[6].

Пример 10: Решить уравнение    .

Решение: При m=0  оно не  имеет смысла, значение х должно  удовлетворять условиям х ≠ - 1,х ≠ - 2. Умножим все члены уравнения на   ≠0, получим уравнение х²-2(-1)х+²-2-3=0, равносильное данному. Его корни х₁= +1, х₂= -3. Выделим из этих корней посторонние, то есть те, которые равны -1 и -2.

х₁= +1=-1,=-2, но при =-2  х₂=-5;

х₁= +1=-2,=-3, но при =-3  х₂=-6;

х₂= -3=-1,=2,   но при =2  х₂=3;

х₂= -3=-2,=1,   но при =1  х₂=2.

Ответ: при  0, ≠±2,- 3, ≠1, х₁= +1, х₂= -3; при  =-2  х=-5; при  =-2  х=-6; при =2    х=3; при =1     х=2; при m=0 решений нет[6].

 

Пример 10: Решить уравнение .

Решение: При b≠-1, x≠2 получаем

x²+2xb-3b+4=0 и корни x₁=-b- , x₂=-b+, существуют при , то есть при.

Проверим, нет таких ли b, при которых либо x₁, либо x₂ равен 2. Это легче определить по уравнению  x²+2xb-3b+4=0 , подставив x=2, при  этом получим b=-8. Второй корень в таком случае равен  (теорема Виета) и при b=-8 равен 14.

Ответ: при b=-8 единственное решение x=14;

b (- – два корня x₁ и x₂ ;

при b=- 4 единственное решение x=-4, при b=1единственное решение x=1, соответственно b x

К основными  типам задачами  на исследование корней квадратного трёхчлена относятся следующие:

-       задачи, в которых требуется  найти значение параметра, при котором выполняется какое-либо соотношение корней уравнения (свойства корней квадратного трёхчлена);

-       задачи на исследование  расположения корней квадратного трёхчлена относительно какого-то числа или чисел;

-       задачи содержащие сложные функции;

-       задачи, сводящиеся к исследованию  корней квадратного трёхчлена.

Основные виды задач:

-       решить уравнение;

-       установить при каких значениях параметра уравнение имеет один корень, два корня, не имеет корней;

-       установить при каких значениях параметра уравнение имеет корни разных знаков, корни одного знака;

-       установить при каких значениях параметра уравнение имеет два корня разных знаков, два корня одного знака;

-       найти значение параметра, при котором корни уравнения удовлетворяют какому-либо соотношению между корнями (сумма квадратов корней уравнения больше какого-то числа,  разность квадратов равна какому-то числу и т.п.);

-       найти значение параметра, при котором корни уравнения принадлежат промежутку [a,b] , или один корень уравнения больше числа а, а другой меньше числа b  и т.п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Программа и методические рекомендации по организации и проведению занятий элективного курса «Квадратные уравнения с параметром».

 

§1.Общие методические положения по проведению элективного курса «Квадратные уравнения с параметром».

 

Пояснительная записка.

 

В современных условиях постоянного реформирования школьного математического образования, при уменьшении часов, отводимых на изучение математики, растет уровень требований, предъявляемых к математической подготовке учащихся. Недостаток времени приводит к формальному изучению многих важнейших тем школьной математики. Одной из таких тем является изучение свойств квадратного трехчлена и огромный круг связанных с ним задач.

 

Актуальность курса

Актуальность курса определяется значимостью понимания школьниками особого положения квадратного трехчлена в школьной программе. Но программа школьного курса ограничена и не позволяет в полном объеме рассмотреть задачи на решение квадратных уравнений, содержащих параметр. Эти задачи вызывают у учащихся трудности, обусловленные необходимостью понимания закономерностей, наличия навыка анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, систематичности и последовательности в решении, умения объединять рассмотренные частные случаи в единый результат. Разрешить трудности учащихся может данный элективный курс «Квадратные уравнения с параметром».

 

Место и роль курса в образовательном процессе.

Курс «Квадратные уравнения с параметром» предназначен для предпрофильной подготовки школьников. Изучение курса начинается с 8 класса, после изучения школьниками темы «Квадратные уравнения».  Продолжается изучение курса в 9 классе, повышается сложность задач, в систему задач включаются задания по решению квадратичных неравенств с параметрами. В10-11 классах данный курс может использоваться при подготовке учащихся к сдаче единого государственного экзамена, в систему задач включаются задания по решению квадратных уравнений и неравенств с параметрами, а также уравнений и неравенств, сводящихся к квадратным (логарифмические, тригонометрические, показательные). Курс, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса алгебры, направлен на систематизацию знаний, реализацию внутрипредметных связей, а с другой – служит для построения индивидуального образовательного пути. Курс формирует такие умения и навыки как логичность и самостоятельность мышления, умение обобщать и систематизировать, навыки в решении задач.

 

Цели курса:

Образовательная цель – углублять и расширять знания учащихся по  теме «Квадратные уравнения»; перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения квадратных уравнений и неравенств и задач на их составление) к творческому; научить применять знания свойств квадратного трёхчлена при решении задач.

Воспитательная цель  -   развивать мотивацию дальнейшего  математического образования, обучать самостоятельному анализу учебной  деятельности.                                              

Развивающая цель -  научить самостоятельно мыслить, сопоставлять, анализировать,  обобщать; прививать навыки исследовательской работы.

 

Задачи курса:

-       углубить и расширить знания учащихся по предмету;

-       предоставить ученику возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету, определить готовность ученика осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;

-       выявление и развитие математических способностей учащихся;

-       подготовка к экзамену в 9-м классе и к обучению в старшем звене;

-       открыть учащимся приемы решения уравнений с параметрами;

-       развивать познавательную и исследовательскую деятельность учащегося;

-       устранить у учащихся трудности, которые возникают при решении задач с параметрами.

 

Мотивами для выбора данного курса у учеников могут быть следующие:

-    подготовка к выпускным и вступительным экзаменам;

-    познавательный интерес;

-    заинтересованность математикой;

-    профессиональная ориентация.

 

Данный курс предусматривает использование классно-урочной и лекционно-практической систем. При решении задач значительное место должны занимать поиски идей решения, эвристические соображения, и только затем, само решение, найденное эвристически, проводится строгим логическим рассуждением.

Теоретическую часть материала предполагается излагать в форме лекции. На всех практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся: индивидуально, в парах, в группах – в зависимости от уровня  обучаемости школьников. Такая организация способствует реализации развивающих целей курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих учащихся.

 

Ожидаемый результат изучения курса:

-       знание учащимися свойств квадратного трехчлена;

-       умение самостоятельно находить информацию и осознанно ее использовать при выполнении заданий;

-       приобретение опыта в нахождении правильного и рационального пути решения задачи;

 

Система форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки:

I. Формы промежуточного контроля:

-       письменные задания по материалу;

-       проверка домашнего задания;

-       устный ответ ученика.

II. Форма итоговой работы – зачетная работа.

 

Содержание курса.

1. Квадратное уравнение и его корни.

Определение квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения. Число корней квадратно уравнения. Понятие о решение задачи с параметром.

2.Теорема Виета. Знаки корней квадратного уравнения. Соотношения между корнями и коэффициентами квадратного трёхчлена.

Терема Виета для полного и приведённого квадратного уравнения. Теорема, обратная теореме Виета. Условия, определяющие знаки корней квадратного уравнения. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей, на определение знаков корней квадратного уравнения, на соотношение между корнями квадратного трехчлена.

3. Расположение корней квадратного уравнения.

Графическая характеристика расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу. Практикум по решению задач на расположение корней квадратного уравнения.

4. Решения квадратных уравнений с параметром. 

Практикум по решению задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

Планирование

 

Тема	Количество часов
Квадратное уравнение и его корни.	1
Теорема Виета. Знаки корней квадратного уравнения. Соотношения между корнями и коэффициентами квадратного трёхчлена.	2
Самостоятельная работа.	1
Расположение корней квадратного уравнения.	2
Решения квадратных уравнений с параметром.	1
Контрольная работа.	1

 

 

Требования к уровню усвоения учебного материала

В результате изучения программы элективного курса «Квадратные уравнения с параметром» учащиеся получают возможность:

Знать:

-       условия, определяющие знаки корней квадратного уравнения;

-       способ решения задачи на соотношение между корнями квадратного трехчлена;

-       условия, определяющие расположение корней квадратного уравнения;

Уметь:

-       использовать свойства квадратного трехчлена;

-       применять теорему Виета и обратную ей для составления квадратного уравнения по его корням и нахождение корней квадратного уравнения;

-       находить знаки корней квадратного трехчлена, не зная самих корней, в зависимости от параметра;

-       определять корни квадратного уравнения в зависимости от параметра, удовлетворяющие некоторым соотношениям;

-       решать задачи на расположение корней квадратного трехчлена;

-       находить способ решения задач, связанных с исследованием квадратных уравнений с параметром.

 

Методические рекомендации

При реализации программы целесообразно:

-       адаптировать учебный материал соответственно уровню подготовки контингента обучающихся. При этом доступность содержания не должна наносить ущерб его научности;

-       при обсуждении задач использовать эвристику – искусство поиска решения, в котором можно пользоваться какими угодно соображениями, нестрогими рассуждениями, в частности, геометрической интерпретацией;

-       предельно ориентировать содержание изученного материала на практическое применение;

-       уделять большое внимание процессу целеполагания;

-       обеспечить условия, необходимые для овладения способами самостоятельного взаимодействия с различными источниками информации настоящего времени;

-       использовать разнообразные методы контроля, итоговой формой контроля является сдача решённых  задач по курсу и зачёт;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Разработка занятий элективного курса «Квадратные уравнения с параметром».

 

Занятие 1. Квадратный трёхчлен и его свойства. Понятие об уравнении  с параметром.

 

Тип урока: комбинированный.

 

Цели:

Образовательные: закрепление знаний по теме «Квадратный трёхчлен и его свойства»; знакомство учащихся с новыми понятиями, расширение их математического образования; развитие умения решать нестандартные задачи.

Развивающие: развитие логического мышления, умения исследовать и рассматривать все возможные способы и случаи в зависимости от поставленных условий; формирование интереса к предмету, получение знаний и навыков, позволяющих сделать сознательный выбор на профильной ступени обучения.

Воспитательные: воспитывать аккуратность и точность при выполнении упражнений, самостоятельность и самоконтроль; формирование культуры учебного труда.

 

Структура:

I.АЗ.

1.Организационный момент (2 мин).

2.Фронтальный опрос(5 мин).

3.Постановка целей и задач на следующий этап урока (1мин).

II.ФНЗ и СД.

4.Введение понятия уравнения с параметрами (5 мин).

5.Рассмотрение примера решения уравнения с параметром с целью

вывода ООД (10 мин). 

6.Постановка целей и задач на следующий этап урока (2мин).

III.ФУН.

7.Коллективное решение задач (16 мин).

8.Постановка домашнего задания (2мин).

9.Подведение итогов урока (2мин).

 

Ход занятия:

 

1.Организационный момент. Введение в элективный курс «Квадратные уравнения с параметром», сообщение целей и задач данного курса, требования к учащимся, форме и методов работы, системы контроля уровня достижений учащихся и критериев оценки, ожидаемого результата по окончании изучения курса.

2.Прежде чем приступить к изучению квадратных уравнений с параметрами, вспомним некоторые факты, изученные в курсе алгебры, о квадратном трёхчлене.

Что называется квадратным трёхчленом?  (Квадратным трёхчленом называется многочлен вида Ax²+Bx+C, где х – переменная, А,В,С – некоторые числа, причём A≠0).

Что называется квадратным уравнением? (Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где х – переменная, a,b,c – некоторые числа, причём а≠0)

Сколько корней имеет квадратное уравнение? ( Квадратное уравнение может иметь два корня или один, или не иметь их вообще)

От чего они зависят? (От дискриминанта. D=b²-4ac. Если D>0, уравнение имеет два корня, если D=0 – два равных корня, если D<0 – решений нет)

Запишите формулы корней квадратного уравнения (х_1,2 =  ).

Вспомните  формулировку прямой и обратной теорем Виета.

(Теорема Виета – сумма корней квадратного уравнения равна  -b/a , а  произведение равно c/a.  Обратная теорема Виета - если числа m и n таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x²+ px+ q =0.)

3.Сегодня вы узнаете, что такое уравнение с параметром и как  такие уравнения можно решать.

4. Уравнения с параметром.

Пусть задано уравнение f(x,a)=0. Его называют уравнением с неизвестным х и параметром а, если, в частности, ставиться задача найти х для каждого значения а.

Уравнение с параметром – это, по существу, краткая запись множества уравнений, получаемых при различных значениях а.

Решить уравнение, содержащее параметр,- это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения.

Пример:

Рассмотрим несколько  уравнений: 2х²+5х-6=0, 2х²-13х-6=0, 2х²+(1/3)х-6=0

Какие это уравнения? Что между ними общего, различного?

В общем виде эти уравнения можно записать: 2х²+ах-6=0, где а - некоторое число, которое называется параметром.

5.Рассмотрение примера решения задачи:

При каком значении а один из корней уравнения ах²-3х-5=0 равен 1?

Решение: Прочитайте ещё раз условие задачи.

Что нам дано? (квадратное уравнение и один из корней уравнения)

Что необходимо найти? (при каком а корень уравнения равен 1)

Как мы можем найти параметр, исходя из каких соотношений? Что мы знаем о корнях уравнения? (знаем формулы, по  которым вычисляются корни уравнения)

Давайте запишем их.

D=B²-4AC; x_1,2= 

Давайте попробуем решить задачу подставим A,B,C в формулу дискриминанта и корней.

D=(-3)²-4*(-5)*a=9+20a,    9+20a, a.

А может ли а=0?(нет, тогда уравнение превратится в линейное и его корнем будет  х=-5/3)

x_1,2== 

Нам дан один корень уравнения равный 1. x₁= и  x₂=

1= или 1 =

2а=3+  или  2а=3+.

1)    а=0 или а=8 или 2) а=0 или а=8

Чему должно равняться а, чтобы один из корней уравнения был равен 1? (а=8)

Ответ: а=8

А какие ещё формулы, связывающие корни уравнения и коэффициенты уравнения вы знаете? (Теорема Виета)

Давайте запишем их для нашего уравнения, что получится?

                

 ;  ;  а-8=0; а=8.

Ответ: а=8.

Посмотрите на полученный нами ответ и сравните с полученным ранее, что вы можете сказать о них? (они совпадают)

Значит, мы решили задачу двумя способами.

Посмотрите внимательно на эти два способа решения, как вы считаете какой из них наиболее простой? (уравнения, полученные нами во втором способе решения задачи более простые, их решение занимает меньше времени)

Каким способом удобнее пользоваться при решении аналогичных задач? (вторым, используя теорему Виета)

Что мы делаем, начиная решать задачу, используя теорему Виета? (записываем формулы, подставляя в них коэффициенты нашего уравнения)

Что мы делаем далее? (Поставляем значение данного нам корня в формулы и решаем полученные уравнения)

Если же мы будем решать задачу первым способом, используя формулы корней и дискриминант. Что мы будем делать на первом шаге решения? (записываем формулы корней уравнения, подставляя в них коэффициенты нашего уравнения)

Что мы делаем далее? (Подставляем в полученные формулы  значение данного нам корня, решаем уравнение относительно параметра, который нам надо найти)

Помните, что задачу вы можете решить любым удобным для вас способом. Перед тем как начать записывать решение задачи, подумайте каким способом лучше пользоваться, какой у вас отнимет меньше времени.

6. Далее вы сами попробуете решить несколько уравнений с параметрами.

7.Решение задач.

Сейчас вы сами попробуете решить  аналогичные задания.

- задания 1,2: каждое задание один из учеников решает на доске, остальные - в тетради.

- задание 3: учащимся даётся время на самостоятельное выполнение задания. После того, как  с заданием справилась треть класса, один из учеников, его выполнивших, записывает решение на доске.

- дополнительные задания: учащиеся, решающие «вперед», самостоятельно выполняют задания 4,5. В конце занятия производится устная проверка решения этих заданий, рассказывается идея и шаги решения.

Задания:

Основная часть:

1.Докажите, что один из корней уравнения ах²-(а+с)х+с=0 равен 1.

Решение:

Что мы знаем из условия задачи?

Что необходимо доказать?

Используя, какие формулы удобнее решать данную задачу? (воспользуемся формулами корней уравнения, преобразуя полученные выражения должны получить два корня один из которых возможно будет равен единице)

ах²-(а+с)х+с=0 ;

х_1,2= =.

 х₁==1  х₂=.

Один из корней данного уравнения равен 1, что и требовалось доказать.

2. При каких значениях  а уравнение  х² – 2ах + а² + 2а – 3 = 0

1)Не имеет корней.

2)Имеет два равных корня.

3)Имеет два различных корня.

Решение:

От чего зависит количество корней квадратного уравнения? (от знака дискриминанта)

Какими формулами будет пользоваться при решении данной задачи? (формулой дискриминанта)

Что мы будем делать, записав выражение для дискриминанта данного уравнения? (сравнивать его с 0)

1)Корней нет, если D < 0.

D = -4(2а – 3) < 0, при а > 1,5.

2)Имеет два равных корня, если D=0.

D = -4(2а – 3) =0, при а=1,5.

3)Имеет два различных корня, если D>0.

D = -4(2а – 3) >0 при а <1,5.

Ответ:1) а > 1,5.2) а=1,5.3) а <1,5

3. При каких вещественных а корни уравнения х²-3ах+а²=0 таковы, что сумма их квадратов равна 7/4?

Решение: Какой способ удобнее использовать при решении данной задачи?

Какие математические формулы вы знаете из которых можно выразить сумму квадратов?( из формулы квадрата суммы)

По теореме Виета х₁+х₂=3а, х₁х₂=а²,  х₁²+х₂²=7/4 или

(х₁²+х₂²)- 2х₁х₂=7/4.Сделаем подстановку и получим: (3а)²-2а²=7/4, а=±0,5.

Ответ: а=±0,5.

4.  Установить, при каких а  сумма квадратов корней уравнения  х²-ах+а-1=0 будет наименьшей.

Решение:

Чем данная задача отличается от предыдущей? (сумма должна быть наименьшей)

Согласно теореме Виета х₁+х₂=а, х₁х₂=а-1

Отсюда х₁²+х₂²= (х₁+х₂)²-2х₁х₂=а²-2(а-1)=(а-1)²+1.

Сумма квадратов корней уравнения х²-ах+а-1=0 будет наименьшей при

а-1=0, то  есть при а=1

Ответ: а=1

5.При каких значениях параметра а уравнение ах²-4х+а+3=0 имеет не более одного корня?

Решение: Уравнение имеет один корень при D=0, D=B²-4AC=(-4)²-4*a*(a+3) = 16-4a²-12а, а²+3а-4=0, при а_1,2=     а₁=1,а₂=-4

Ответ: а₁=1,а₂=-4

8.Постановка домашнего задания:

1)При каких k оба корня уравнения х²+(16-k)x+k+8=0 равны 0?

Решение: По теореме Виета   

     

Ответ: k=-16, k=-8

2)При каком а уравнение (а+1)х²+2(а+1)х-2=0 имеет один корень?

Решение: Уравнение имеет один корень при D=0, D=B²-4AC=(-2(а+1))²-4*

*(-2)*(a+1) = 4a²+16a+12, а²+4а+3=0, при а_1,2=     а₁=-1,а₂=-3

 Ответ: а₁=-1,а₂=-3

9.Что нового вы сегодня узнали на уроке? Какие уравнения научились решать? Что использовали при решении задач с параметрами? Какими способами решали задачи? Есть ли какие-то особые способы решения уравнений с параметрами? Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

При решении задач вы пользовались уже  хорошо известные вам формулы. Для нахождения параметра необходимы было лишь преобразовать эти формулы и получить конкретное значение параметра или исследовать полученное выражение относительно какого-то числа и получить необходимый ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 2.Теорема Виета. Знаки корней квадратного трёхчлена.

 

Тип урока: комбинированный.

 

Цели:

Образовательные: Формирование умения определять знаки корней квадратного трёхчлена, применяя теорему Виета.

Развивающие: развитие логического мышления, умения исследовать и рассматривать все возможные способы и случаи в зависимости от поставленных условий

Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры; развитие интереса к предмету.

 

Структура:

I.АЗ.

1.Организационный момент (1мин).

2.Проверка домашнего задания (7 мин).

3.Постановка целей и задач на следующий этап урока(2 мин).

II.ФНЗ и СД.

3.Обзорная лекция по теме «Теорема Виета. Знаки корней квадратного трёхчлена» (7 мин).

4.Постановка целей на следующий этап урока( 1мин).

III.ФУН.

5.Коллективное решение задач (23 мин).

6.Постановка домашнего задания(2 мин).

7.Подведение итогов урока(2 мин).

 

Ход занятия:

 

1.Организационный момент. Сообщение темы и целей занятия.

2. Проверка домашнего задания. Один из учеников выполнивший задание 1, записывает решение на доске, второй – 2, затем задания разбираются. Если задания никем не выполнены, то решение объясняет учитель.

3.На прошлом  уроке при решении некоторых задач использовалась теорема Виета, сегодня на уроке  вы узнаете при решение каких задач ещё может примется эта теорема. Пока вы знаете лишь два соотношения между корнями и коэффициентами уравнения, сегодня вы узнаете, как определить какого знака будут корни данного вам уравнения.

3.Обзорная лекция по теме «Теорема Виета. Знаки корней квадратного трёхчлена».

Учащиеся формулируют теорему Виета и обратную теорему, один из учащихся записывает соотношения между корнями квадратного уравнения.

Теорема Виета: если дискриминант D≥0 (при  A≠0) , то трёхчлен Ax²+Bx+C имеет корни  х₁ и х_{2 ,} удовлетворяющие соотношениям: . 

И наоборот, если числа х₁ и х₂ удовлетворяют соотношениям (*), то они являются корнями квадратного трёхчлена  Ax²+Bx+C.

Исходя из теоремы Виета, получаются условия, определяющие знак корней трёхчлена (таблица 1).

Таблица 1.

Знак корней	>0 >0	0 0	<0 <0	0 0	>0 <0	=0 >0	=0 <0
Условия

4.А теперь применим полученные вами знания при решении конкретных уравнений.

5.Решение задач.  Задание 1 решает один из учеников на доске. Затем ученики выполняют задания самостоятельно с последующей проверкой на доске.

Задания.

1.При каком значении параметра а корни трехчлена (а-4)х²+(а+2)х+2 положительны?

Решение:

Что нам известно из условия задачи?

Что мы должны найти, определить?

В каком случае корни квадратного уравнения будут положительными?

Запишем условия соответствующие данному случаю

    

Чему равна сумма и произведение корней для нашего уравнения?

 

   

Решаем данную систему неравенств.

 

А всегда ли данное уравнение имеет два корня? От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

D, D=B²-4AC.

Запишем, чему равен дискриминант для нашего уравнения.

D= (а+2)²-4*2*(а-4)=-7а²+4а+20, -7а²+4а+20 при a(-10/7;2).

Получаем, что данное квадратное уравнение не будет иметь положительных корней.

 

Ответ: нет решений

2. Найти все а, для которых уравнение (а-1)х²+(2а+3)х+2+а=0 имеет корни одного знака.

Решение:

В каких случаях корни уравнения имеют один знак?

Записываем условия и решаем получившиеся неравенства.

D>0, D=8a+17, 8a+17>0, a>-17/8

                         или        

         или    

 или    

a (-17/8;-1,5) или   а (-1,5;1)(1;+)

3.Не решая уравнение определить знаки его корней: ах+2(а+1)х+2а=0.

Решение:

Что нам необходимо знать для определения знаков корней уравнения?

Надо ли искать при каком а уравнение имеет корни (то есть дискриминант)?

Записываем систему неравенств, решая её получаем

      оба корня отрицательные

Дополнительные задания:

4. Определить знак корней уравнения:

а) 3ах+(4-6а)+3(а-1)=0.

Решение:        оба корня положительны.

 б) (а-3)х²-2(3а-4)х+7а-6=0.

Решение:    оба корня отрицательны.

6. Постановка домашнего задания.

1) При каком значении параметра а оба корня уравнения

(а-2)х²-2ах+а+3=0 положительны?

Решение:  D>0, D=-4a+24,-a+6>0, a<6

       

a

2) Определить знак корней уравнения: (а-2)х²-2ах+2а-3=0.

 оба корня положительны

3) При каком значении параметра а уравнение х²+(а²+а-2)х+а=0 имеет корни, сумма которых равна 0?

 ,   D=9, a_1,2= 

a₁=1, a₂=-2

7. Подведение итогов.

Какова была тема занятия? Что нового узнали на занятии? Задачи какого вида научились решать? Чем вы пользовались при решении  задач?

При решении  задач мы пользовались уже хорошо известной нам теоремой Виета и условиями, от которых зависят знаки корней. Один из важных шагов при решении аналогичных задач, это проверка будет ли данное уравнение иметь корни вообще. Ответ задачи будет верным в том случае, если проверено имеет ли данное уравнение корни и решена система с условиями накладываемые на эти корни. В задачах, где необходимо  определить знаки корней,  не надо искать значение параметра, при котором данное уравнение имеет корни, так как в условие уже дано,  что уравнение имеет корни, требуется лишь определить их знаки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 3. Соотношения на корни квадратного трехчлена.

 

Тип урока: комбинированный.

 

Цели:

Образовательные: отработка навыка применения теоремы Виета при решении задач; формирование умения записывать на математическом языке условие задачи, умения анализировать, обобщать, находить рациональный способ решения задачи.

Развивающие: формирование таких мыслительных операций как   анализ, сравнение, обобщение; развитие грамотной математической речи.

Воспитательные: воспитывать внимательность и культуру мышления, самостоятельность и взаимопомощь.

 

Структура:

I.АЗ.

1.Организационный момент(1 мин).

2.Проверка домашнего задания(2 мин).

3.Постановка целей и задач на следующий этап урока(1 мин).

II.ФУН.

4.Коллективное решение задач (37 мин).

5.Постановка домашнего задания(2 мин).

6.Подведение итогов урока(2 мин).

 

Ход занятия:

 

1. Организационный момент.

2. Разбор домашнего задания.

Устно проверяется идея решения, и называются ответы. Те, кто не справился с решением какой-то задачи, должны обратиться за помощью к тем, у кого решение выполнено, верно, и исправить свои ошибки.

3.Сегодня на уроке будем решать задачи, при решении которых используется теорема Виета. На прошлом уроке в решаемых нами задачах необходимо было определить знаки корней. Сегодня будем решать задачи другого типа.

4.Решение задач.

1.Установить, при каких значениях a сумма квадратов корней уравнения

х²-ax+a-1=0 будет наименьшей.

Решение:

Что нам известно из условия задачи?

Что требуется найти?

Что мы знаем о корнях квадратного уравнения?

Можем ли мы решить задачу, используя формулы корней квадратного уравнения?

Давайте попробуем. Запишем значение дискриминанта и формулы корней.

D=B²-4AC, x_1,2=

Подставим в формулы коэффициенты нашего уравнения.

D=(-a)²-4*1*(a-1)=a²-4a-4=(a-2)²

Уравнение имеет два корня если?

D

D= (a-2) ², при a

x₁==a-1

x₂==1

Сумма квадратов корней уравнения х²-ax+a-1=0 будет наименьшей при a-1=0, то есть при а=1.

Есть ли другой способ решения данной задачи?

В какой теореме нам встречается сумма корней?

Давайте решим данную задачу используя теорему Виета.

Согласно теореме Виета   .

Отсюда  x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=a²-2(a-1)=(a-1)²+1.

Сумма квадратов корней уравнения х²-ax+a-1=0 будет наименьшей при a-1=0, то есть при а=1.

Мы решили задачу двумя способами. Ответ получился один и тот же?

Как вы думаете, каким из способов удобней пользоваться?

При использовании какого способа мы затратим на решение задачи меньше времени?

При решении задач первым способом, что делаем сначала?

Записываем формулы корней и дискриминант.

Что делаем на следующем шаге решения?

Подставляем в записанные формулы значения коэффициентов из данного нам уравнения.

Как поступаем далее?

Находим корни, затем подставляем корни уравнения в выражение которое нам надо найти или значение которого нам надо исследовать.

Если мы будем решать задачу вторым способом, пользуясь теоремой Виета, что необходимо сделать на первом шаге решения?

Записать условия теоремы Виета, сумму корней и произведение корней, подставляя коэффициенты нашего уравнения.

Что мы делаем далее?

Записываем соотношение корней, которое нам надо найти или исследовать  и, используя формулы Виета, преобразовываем его. Затем подставляем известные нам данные, получаем искомое выражение или выражение, которое требуется исследовать.

2. При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения  x²+ax+4=0 является наименьшей?

Решение:

  , x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(-a)²-8=a2-8=a²-8. сумма квадратов корней уравнения  x²+ax+4=0 является наименьшей при a²=0, то есть при a=0.

3. При каких а разность корней уравнения  равна 14?

Решение:

      

    ,  a=-13

4.При каких а разность корней уравнения 2х² - (а + 1)х + (а - 1) =0 равна их произведению?

Решение:

  

  

   a=7/6

6. В уравнении х²-2х+а=0 квадрат разности корней равен 16. Найти а.

Решение:

  

      a =- 7

5. Постановка домашнего задания

1.В уравнении х²-4х+а=0 сумма квадратов корней равна 16. Найти а.

Решение:  

 

 16-2a=16, a=0

2.При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х²+(2-р)х-р-3=0 равна квадрату разности корней этого уравнения?

Решение:

  ,

2=0, =0, p=- 3.

3.Не вычисляя корней уравнения 3х²+8х-1=0 найти х₁х₂³+х₂х₁³.

Решение: х₁х₂³+х₂х₁³=.

  , х₁х₂³+х₂х₁³=- =-  

6.Подведение итогов занятия.

Что нового вы сегодня узнали на уроке?

Задачи какого вида научились решать?

Что использовали при решении задач?

Какими способами решали задачи?

Чем отличаются два разобранных нами способа решения задач?

Какие основные шаги при решении задач первым, вторым способом?

 

 

 

Занятие 4. Квадратный трехчлен: теорема Виета; знаки корней квадратного трехчлена; соотношения на корни квадратного уравнения.

 

Тип урока: урок совершенствования знаний умений и навыков.

 

Цели:

Образовательные: закрепление умения использовать теорему Виета для определения знаков корней квадратного трехчлена и решения задач на соотношения между корнями квадратного уравнения; применение имеющихся знаний при решении задач; формирование умения работать в группе.

Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа и сравнения; с помощью решения задач исследовательского характера развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость мышления; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

Воспитательные: воспитывать аккуратность и точность при выполнении упражнений, самостоятельность и самоконтроль; формирование культуры учебного труда.

 

Структура:

I.АЗ.

1.Организационный момент (1 мин).

2.Проверка домашнего задания (7 мин).

3.Постановка целей и задач на следующий этап урока (1 мин).

II.ФУН.

4.Групповая самостоятельная работа(33 мин).

5.Подведение итогов урока(3 мин).

 

Ход занятия:

 

1.Организационный момент.

2.Проверка домашнего задания: 3 ученика до начала занятия записывают решение задач 1-3 на доске. На занятии учащиеся проверяют решение, исправляют ошибки.

3.Сейчас вы разобьетесь на группы, каждой группе будут даны задание, которые вы будете решать вместе, в конце урока мы проверим, как вы их решили. Никаких новых знаний для решения задач вам не понадобится, все задания разбирались на предыдущих занятиях, задания аналогичные.

4.Решение задач. Класс делится на группы по 4-5 человек. Каждая группа получает задания (у всех задания одинаковые), которые необходимо решить за определенное время (20 мин). Группы прекращают свою работу, начинается проверка и обсуждение решений, найденных группами. По результатам проверки подводятся итоги, и выявляется группа-победитель.

 

 

Задания:

1.При каких значениях параметра а уравнение (а-2)х+(4-2а)х+3=0 имеет единственное решение?

Решение:

При D=0, D=(4-2a)²-4*3*(a-2)=a²-7a+10, a²-7a+10=0 при a=5 и a=2.

2.При каком значении параметра а уравнение х²-2(а-1)х+а+5=0 имеет положительные корни?

Решение: D>0, D=4a²-12a-16 , D>0, при a 

     , a >4

3. При каких значениях параметра k сумма корней уравнения  х²-2k(х-1)-1=0 равна сумме квадратов корней?

Решение:

 

   k= 4, k=0.5

4.Не вычисляя корней уравнения 3х²+8х-1=0, найти х₁/х₂+х₂/х_{1 .}

Решение: х₁/х₂+х₂/х_{1 .}= =  

5.Найти все значения а, при которых имеет корни уравнение  (2а+1)х-3(а+1)х+(а+1)=0.

Решение:  2a+1≠0, a≠ -1/2  D D=a²+6a+5, a²+6a+5 

при а, Уравнение (2а+1)х-3(а+1)х+(а+1)=0 имеет корни при а

6.Дано квадратное уравнение (a-1)х²-(2а-1)x+a+5=0 . При каких а это уравнение имеет действительные корни? Исследуйте знаки корней.

Решение: Поскольку уравнение квадратное, то a≠1. Для действительности корней необходимо и достаточно, чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. D=(2a-1)²-4(a-1)(a+5)≥0. Отсюда a<0(так как a≠1).

Согласно теореме Виета корни уравнения удовлетворяют системе  

а) Оба корня положительны при a<1, если выполняются неравенства:

   получаем a<-5.

б)Оба корня были бы отрицательными , если бы при a<1 выполнялись неравенства:

  эта система решений не имеет.

в)Корни  имеют различные знаки   при a<1, если

  то есть -5<a<1 , при a=5 – один из корней равен нулю.

7.Корни х₁ и х₂ уравнения х²+рх+12=0 обладают свойством х₂-х₁=1. Найти р.

Решение:     p²=49, p=±7

5.Сегодня на уроке вы решили задачи всех видов, которые рассматривались нами на прошедших уроках. Дома ещё раз посмотрите и разберите все решённые нами ранее задачи, на следующем занятии мы перейдём к решению других задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 5. Расположение корней квадратного уравнения.

Тип урока: комбинированный.

Цели:

Образовательные: рассмотрение условий, определяющих расположение корней квадратного уравнения; закрепление имеющихся знаний; развитие умения решать нестандартные задачи.

Развивающие: развитие логического мышления, умения исследовать и рассматривать все возможные способы и случаи в зависимости от поставленных условий; формирование интереса к предмету.

Воспитательные: воспитание аккуратности и точности при выполнении упражнений, трудолюбия; формирование культуры учебного труда.

 

Структура:

I.АЗ.

1.Организационный момент (1 мин).

2.Постановка целей и задач на следующий этап урока (2 мин).

II.ФНЗ и СД.

3.Обзорная лекция по теме «Расположение корней квадратного уравнения» (15 мин).

4.Постановка целей и задач на следующий этап урока (2 мин).

III.ФУН.

5.Коллективное решение задач (21 мин).

6.Постановка домашнего задания(2 мин).

7.Подведение итогов урока(2 мин).

 

Ход занятия:

 

1.Организационный момент.

2.Тема нашего занятия расположения корней квадратного уравнения относительно  некоторого числа или чисел. Вы познакомитесь с несколькими новыми теоремами и следствиями из них. В рамках школьный программы эти теоремы не изучаются.

3 Обзорная лекция по теме «Расположение корней квадратного уравнения».

Пусть нам дан квадратный трёхчлен  f(x)= ax²+bx+c  имеющий  действительные корни х₁ и х₂ , а х₀ – какое-нибудь действительно число, f(x₀)= ax₀²+bx₀+c. Тогда:

Теорема 1: Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были меньше, чем число х₀ (то есть лежали на координатной прямой левее чем точка х₀), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 20):

Как может располагаться парабола на координатной плоскости в зависимости от коэффициента a? По каким формулам определяется вершина параболы? Каким будет дискриминант уравнения в нашем случае? Каким по знаку будет значение f(x₀) в первом и во втором случае? Выражение  -  будет меньше или больше x₀?

 

 

                      a>0               f(x₀)

 

          x₁          -          x₂    x₀                                                            x₁             -        x₂    x₀

 

                                                                                             

                                                                                                    a<0                f(x₀)

                                                      рис.23

 

                                                                              

 

Теорема2: Чтобы один из корней квадратного трёхчлена был меньше, чем число х₀  , а другой больше числа х₀ (то есть точка х₀  лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий (рис.24):

Как может располагаться парабола на координатной плоскости в зависимости от коэффициента a? Каким будет дискриминант уравнения в нашем случае? Каким по знаку будет значение f(x₀) в первом и во втором случае?

 

                       a>0

 

 

      x₁                      x₀               x₂                                       x₁         x₀                         x₂   

 

                                                                                           a<0

 

                                                       рис.24

 

 

                

 

Теорема 3: Чтобы два корня квадратного трёхчлена были больше, чем число х₀ (то есть лежали на координатной прямой правее, чем число х₀), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 25):

Как может располагаться парабола на координатной плоскости в зависимости от коэффициента a? По каким формулам определяется вершина параболы? Каким будет дискриминант уравнения в нашем случае? Каким по знаку будет значение f(x₀) в первом и во втором случае? Выражение  -  будет меньше или больше x₀ ?      

    f(x₀)         a>0

 

 

 х₀     x₁                    -                 x₂                               х₀     x₁                    -                 x₂

                                                                                          

                                                                           f(x₀)         a<0

 

                                               рис.25

 

4.А сейчас  попробуете решить несколько задач, при решении которых необходимо применить полученные только что знания.

5.Коллективное решение задач.

1.При каких значениях  а корни квадратного трёхчлена (2-а)x²-3ax+2a действительны и оба больше ½?

Решение:

Прочитайте ещё раз условие задачи. Что нам известно? Что необходимо найти? Как будем решать данную задачу? Какую теорему будем использовать?

Сколько систем неравенств мы составим?

Запишем эти системы.

a)    , б)

Далее решим каждую из полученных систем.

Из первой системы находим  .

Из вторая система решений не имеет.

Записываем ответ.

Ответ:.

2.Найти все те значения параметра с, при которых оба корня квадратного уравнения  x²+4xc+(1-2c+4c²)=0 действительны и меньше, чем – 1?

Решение: Что нам известно? Что необходимо найти? Какой  теоремой  будем пользоваться при решении задачи? Сколько систем неравенств мы составим?

   то есть 

Решая систему, находим c>1.

Ответ: c>1.

3.При каком значении k один из корней уравнения (k²+k+1)x²+(2k-3)x+k-5=0 больше 1, а другой меньше 1?

Решение: Здесь a=k²+k+1>0 при всех k.

Согласно теореме 2 имеем условие f(x₀)<0? То есть k²+k+1+2k-3+k-5<0.

Решая полученное неравенство, находим, что  -2-<k<-2+

Ответ: -2-<k<-2+

6.Постановка домашнего задания.

1.При каких действительных значениях k оба корня уравнения

(1+k)x²-3xk+4k=0 больше 1?

2.Найти все значения k, при которых оба корня квадратного уравнения

x²-6kx+(2-2k+9k²)=0 действительны и больше , чем 3.

3. При каких значениях a один из корней уравнения x²+2x+a=0 больше -1, а другой меньше -1?

7.Подведение итогов урока.

Какова была тема занятия? Что нового узнали на занятии? Задачи какого вида научились решать? Чем вы пользовались при решении  задач?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 6. Расположение корней квадратного уравнения.

Тип урока: комбинированный.

Цели:

Образовательные: рассмотрение условий, определяющих расположение корней квадратного уравнения; закрепление имеющихся знаний; развитие умения решать нестандартные задачи.

Развивающие: развитие логического мышления, умения исследовать и рассматривать все возможные способы и случаи в зависимости от поставленных условий; формирование интереса к предмету.

Воспитательные: воспитание аккуратности и точности при выполнении упражнений, трудолюбия; формирование культуры учебного труда.

 

Структура:

I.АЗ.

1.Организационный момент(1 мин).

2.Постановка целей и задач на следующий этап урока(2 мин).

II.ФНЗ и СД.

3.Обзорная лекция по теме «Расположение корней квадратного уравнения» (продолжение)(15 мин).

4.Постановка целей и задач на следующий этап урока(2 мин).

III.ФУН.

5.Коллективное решение задач(21 мин).

6.Постановка домашнего задания(2 мин).

7.Подведение итогов урока(2 мин).

 

Ход занятия:

1.Организационный момент.

2.Сегодня мы продолжим изучение темы «Расположение корней квадратного уравнения». На прошлом уроке вы познакомились с несколькими теоремами, сегодня узнаете некоторые следствия из этих теорем.

3.Обзорная лекция по теме «Расположение корней квадратного уравнения» (продолжение).

Наиболее часто встречающиеся следствия из пройдённых нами ранее теорем.

Следствие 1: Чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше , чем число М, но меньше, чем число А (МА) , то есть лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно (рис.26):

Как можно изобразить график параболы на координатной оси? От чего зависит его расположение? Нарисуйте параболу, отметьте корни квадратного уравнения, координату вершины параболу, точки М и А. Каким по знаку будет дискриминант? Какими по знаку будут значения выражений ?

 

 

 

 

                       a>0

 

 

  М   x₁                    -                 x₂   А                           М     x₁                    -              x₂   А

 

                                                     рис.26                              a<0

 

 

Следствие 2: Чтобы только больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (МА), необходимо и достаточно (рис. 27):

Нарисуйте параболу, отметьте корни квадратного уравнения, координату вершины параболу, точки М и А. Каким по знаку будет дискриминант? Какими по знаку будут значения выражений ? Как будет располагаться меньший корень по отношению к отрезку МА?

                      a>0

 

 

 

     x₁            М                           x₂       А                                    x₁                      М          x₂    А

 

                                                     рис.27                            a<0

при этом меньший корень вне отрезка МА.

Следствие 3: Чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале МА (МА), необходимо и достаточно (рис.28):

Нарисуйте параболу, отметьте корни квадратного уравнения, координату вершины параболу, точки М и А. Каким по знаку будет дискриминант? Какими по знаку будут значения выражений ? Как будет располагаться больший корень по отношению к отрезку МА?

 

                         a>0

 

 

    М     x₁        А                         x₂                                     М     x₁                          А        x₂    

 

                                                        рис.28                            a<0

 

        

при этом больший корень вне отрезка МА.

Следствие 4: Чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (МА), то есть отрезок МА целиком лежал внутри интервала  между корнями, необходимо и достаточно (рис. 29):

Нарисуйте параболу, отметьте корни квадратного уравнения, координату вершины параболу, точки М и А. Каким по знаку будет дискриминант? Какими по знаку будут значения выражений ? Как будут располагаться корни по отношению к отрезку МА?

 

 

                       a>0

 

 

     x₁            М             А             x₂                                    x₁           М        А         x₂    

 

                                                          рис.29.                        a<0

4.Сейчас  попробуете решить несколько задач по теме нашего урока.

5.Коллективное решение задач.

1.При каких значениях а уравнение (2-а)х²-2(а+3)х+4а=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.

Решение:

Что известно из условия задачи? Что необходимо найти?

Каким следствием будем пользоваться при решении задачи?

Сколько систем неравенств получится?

a)       б)

 

a)                 б)

Решив первую систему, получаем a(0;2).

Вторая система решений не имеет.

Ответ: a(0;2).

2. Найти множество значений параметра a , при котором уравнение

 4x²-3ax-(a+1/4)=0 имеет два корня, заключенные между -1/4 и 1/2.

Решение: Каким следствием воспользуемся при решении? Сколько случаев будем рассматривать? Какую  систему неравенств будем рассматривать при решении задачи?

 

     |

a

Ответ: a

6.Постановка домашнего задания.

1.При каком значении параметра k больший корень квадратного уравнения x²-kx+1=0 лежит в промежутке от -3 до 3?

2. При каком значении параметра k меньший  корень квадратного уравнения x²-6kx+1=0 лежит в промежутке от -3 до -1?

7.Подведение итогов урока.

Какова была тема занятия? Что нового узнали на занятии? Задачи какого вида научились решать? Чем вы пользовались при решении  задач?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 7. Решение квадратных уравнений с параметром.

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Цели:

Образовательные: формирование умения решать квадратные уравнения с параметром; развитие умения анализировать, обобщать, систематизировать.

Развивающие: развитие логического мышления, умения исследовать и рассматривать все возможные способы и случаи в зависимости от поставленных условий; формирование интереса к предмету.

Воспитательные: воспитание аккуратности и точности при выполнении упражнений, трудолюбия; формирование культуры учебного труда.

 

Структура:

I.АЗ.

1.Организационный момент(1 мин).

2.Постановка целей и задач на следующий этап урока(2 мин).

II.ФУН.

3.Коллективное решение задач(38 мин).

4.Постановка домашнего задания(2 мин).

5.Подведение итогов урока(2 мин).

 

Ход занятия:

1.Организационный момент.

2. Сегодня на занятии  вам понадобятся все знания, которые вы приобрели на прошлых уроках. На уроке мы будем решать задачи, никаких новых теоретических знаний вы не узнаете.

3.Коллективное решение задач.

1. Дано квадратное уравнение (a-1)x²-(2a-1)x+a+5=0. При  каких а уравнение имеет действительные корни? Исследуйте знаки корней.

2.Существуют ли такие k , при  которых корни уравнения x²+2x+k=0 действительны и различны  и оба заключены  между -1 и 1?

3. Решить уравнения: 

x²-bx+4=0;   (2a-1)x²-(3a+1)x+a-1=0.

4. При каких значениях  а  уравнение   х² + 2(а – 1)х + а - 5 = 0 имеет корни разных знаков, не превосходящих по модулю 5?

5. При каких значениях параметра  а  уравнение  х² – 2ах + 9 = 0  имеет один корень?

6. При каких значениях  а корни уравнения (а – 2)х² – 2ах + а + 3 = 0  заключены в интервале (1;3)?

7. При каких значениях  а уравнение  х² – 2ах + а² + 2а – 3 = 0

1)Не имеет корней. 2)Имеет корни разных знаков. 3)Имеет положительные корни. 4)Имеет два разных отрицательных корня

4.Постановка домашнего задания.

На следующем занятии будет зачётная работа по всей теме. Повторите весь материал, касающийся квадратных уравнений с параметрами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 8.Зачёт.

 

Тип урока: контролирующий.

Цели:

Образовательные: выявить уровень овладения учащимися знаниями и умениями на элективном курсе «Квадратные уравнения с параметром».

Развивающие: развитие логического мышления, умения исследовать и рассматривать все возможные способы и случаи в зависимости от поставленных условий.

Воспитательные: воспитание аккуратности и точности при выполнении упражнений, трудолюбия; формирование культуры учебного труда.

 

Структура:

1.Организационный момент(1 мин).

2.Контрольная работа(43 мин).

3.Подведение итогов урока(1 мин).

 

Ход занятия:

1.Организационный момент.

Сегодня на занятии вы будете писать итоговую контрольную работу по теме «Решение квадратных уравнений с параметрами». Вам понадобятся все те знания, которые вы получили на уроках алгебры и на занятиях элективного курса.

Задания контрольной работы:

1.Исследуйте знаки корней:  (а-3)х²-6х+а+5=0   

2.Найти все значения параметра, при которых разность корней уравнения

 (а-2)х²–(а–4)х-2=0 равна 3.

3.Найти все значения параметра, при которых отношение корней уравнения ах²–(а+3)х+3=0  равно 1,5.

4.При каких значениях параметра сумма  квадратов корней уравнения

х²+ (а–1)х+а²–1,5=0 наибольшая.

5.При каких значениях параметра оба корня уравнения х²–ах+2=0                                                     лежат в промежутке (1; 3)

6.При каких значениях параметра оба корня уравнения

х²–6ах+2–2а+9а²=0 больше 3?

7.При каких значениях параметра 2 разделяет корни уравнения

ах²+х+1=0?

8.При каких значениях параметра оба корня уравнения

(а-2)х²–2ах+5а=0 положительны?

9.При каких значениях параметра уравнение (2а–5)х²–2(а–1)х+3=0 имеет один корень?

10.Решить для всех значений параметра уравнение: ах²–х+3=0              

11.При каких значениях параметра оба корня уравнения х²+(а+1)х+а+4=0 отрицательны?

3. Подведение итогов урока.

На следующем уроке вы узнаете результаты  ваших работ. Разберём все те задачи которые вызвали у вас затруднения и с которыми вы не справились, если такие были.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Методические рекомендации по решению квадратных уравнений  с параметром.

 

При решении уравнения вида Ax²+Bx+C=0 необходимо рассмотреть следующие случаи:

1)Старший коэффициент равен 0.

Квадратное уравнение примет вид: Bx+C=0.

А) В=0, С=0 - уравнение имеет бесконечное множество решений.

Б) В=0, С≠0 – уравнение решений не имеет.

В) В≠0, x= – единственное решение уравнения.

2)Старший коэффициент не равен 0.

Ax²+Bx+C=0, D=B²-4AC

А) D>0, x_1,2=

Б) D=0, x=

B) D<0, уравнение решений не имеет.

Задачи, в которых задано соотношение между корнями уравнения, решаются следующим образом:

1)Записываются условия теоремы Виета: x₁+x₂= -,  x₁x₂= ;

2)Записывается соотношение между корнями уравнения, данное в условии задачи;

3)Решается полученная система уравнений и находится параметр.

Решая задачи на исследование расположения корней квадратного уравнения относительно какого-либо числа или чисел, поступают следующим образом:

1)Строится схематично график квадратичной функции,  f(x)= Ax²+Bx+C

2)Отмечаем заданные точки на координатной оси.

 

                                         f(x)

 

 

          М                N                   x

 

3)Составляем систему, содержащую следующие неравенства:

А) Значение старшего коэффициента для данного уравнения (>,<0);

Б) Значение дискриминанта (D>0);

B) Значение функции в точке М (>,<0);

Г) Значение функции в точке N (>,<0);

4) Решаем полученную систему неравенств и находим параметр.

 

 

 

 

 

Заключение.

 

Целью данной работы было изучение теоретических основ решения задач с параметрами и методических рекомендаций по решению квадратных уравнений с параметрами.

При написании данной курсовой были решены следующие задачи:

-       проведён анализ  действующих школьных учебников по алгебре и вариантов ЕГЭ прошедших лет;

-       была рассмотрена методическая литература различных авторов и методических рекомендаций по решению квадратных уравнений с параметрами;

-       разработан элективный курс.

В первой главе  рассматривались основные виды задач   на исследование корней квадратного трёхчлена, теоретические основы решения уравнений с параметрами.

Проанализировав школьные учебники алгебры можно сделать вывод о том, что в школьной программе рассматриваются только основные вопросы по теме «Квадратные уравнения», нет теоретического материала, посвящённого  изучению квадратных уравнений с параметрами. Школьниками на уроках алгебры не рассматривается решение уравнений с параметрами, но такие задачи часто встречаются на едином государственном экзамене. одним из видов заданий части С является задача с параметром.  Решая задачу с параметрами, учащийся не должен обладать какими-то особенными знаниями, выходящими за рамки школьной программы, однако  зачастую формулировка такой задачи ставит учащегося в тупик.

Умения решать задачи с параметром необходимо  учащимся не только для успешной сдачи экзамена. При решении нестандартные задачи у школьников развивается:  гибкость и логичность мышления; развивается творческая деятельность учащихся и  навыки исследовательской работы.

Во второй главе разработан элективный курс по теме «Квадратные уравнения с параметрами» и методические рекомендации по решению квадратных уравнений с параметрами. Представлено описание каждого занятия с примерами задач, возможными формами контроля усвоения материала. Данный курс  может использоваться в 8 классе, после изучения школьниками темы «Квадратные уравнения». Изучение данного курс можно продолжить в 9 классе, дополнив систему задач  более сложными квадратными уравнениями с параметрами и квадратичными неравенствами с параметрами. Так же курс может использоваться при подготовке школьников к сдаче единого государственного экзамена.

Список литературы:

 

1.     Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 255с.

2.     Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. Учреждений. В двух частях. / А.Г.Мордкович,  6-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 223с.

3.     Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2001. – 238с.

4.     ЕГЭ 2011.Математика. Задача С5.Задачи с параметром / А.И.Козко, В.С.Панферов, И.Н.Сергеев, В.Г. Чирский - М.: МЦНМО, 2011. – 144с.

5.     Задачи с параметрами/ П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир- К.: РИА «Текст», 1992. – 290с.

6.     Математика. Решение задач с параметрами. Пособие для поступающих в вузы / Е.М.Родионов - М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2006. – 216с.

7.     Примеры с параметрами и их решение / В.С.Крамор- М.: Изд-во «АРКТИ», 2006. – 48с.

8.     Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 / Т.А.Бурмистрова М.: Просвещение, 2008 . – 256с.

9.     Задачи с параметрами  /А.А.Прокофьев– М.: МИЭТ, 2004. – 258 стр.

10. Уравнения и неравенства с параметрами / М.К.Потапов, С.Н. Олехник, Ю.В.Нестеренко - М.: Изд-во МГУ, 1992. – 16с.

11. ЕГЭ: математика: контрол. измеритю материалы: 2006-2007. –М.: Просвщение; СПб.:Просвещение,2007. – 135с.

12. ЕГЭ 2007.Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся .Данищева Л.О., Глазков Ю.А., Кранянская К.А., Рязановский А.Р., Семёнов П.В. /ФИПИ– М.: Интеллект-Центр,2007.– 272с