Исследовательская работа

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Общие приемы решения
  олимпиадных задач
  при использовании теории делимости
  Выполнил: ученик 4 класса Б Аргунов Лев
  Руководитель: Забабонова Г.А.
  Муниципальное Автономное Общеобразовательное Учреждение
  многопрофильный лицей
  г.Хабаровск
  2014
  

• 

  2 слайд

  С чего всё началось…
  При подготовке к научно-практической конференции мне было предложено самостоятельно поискать тему для дальнейшего изучения и исследования.
  А так как, я попутно был занят подготовкой-тренировкой к олимпиаде по математике, мне на глаза попались задачи на делимость. Они заинтересовали меня и я принялся «собирать» материал, точно зная, что такие задачи, связанные с делимостью чисел, есть в учебниках разных классов.
  Просмотрев учебники математики и алгебры с 4 по 8 класс я узнал, что такие задачи, как пазлы рассыпаны по всем учебникам и дополнительной литературе. А моя задача - эти пазлы собрать и получить из них цельную картину или то, что смогу.
  Из всех задач данной тематики выбрал только те, которые мне самому под силу решить (имею представление о тех вещах-материалах, на которых строится решение).
  Таким образом, нашёл много задач на делимость. И понял, что эта тема актуальна для меня, поэтому и решил в этом учебном году изучить её более подробно.
  
  

• 

  3 слайд

  Цель изучения и исследования:
  
  Расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных и олимпиадных задач, формированию определенной культуры работы над задачей.
  
  

• 

  4 слайд

  Задачи :
  1. Исследовать значимость задач на делимость в школьном курсе математики с 4 по 7 класс.
  2. Провести анализ различных способов решения задач на делимость.
  3. Подготовиться к олимпиаде по математике.
   
  
  

• 

  5 слайд

  Теория делимости
  Это одна из наиболее часто встречающихся идей при решении олимпиадных задач. Такие задачи для учащихся 4-7 классов в основном делятся на три класса – уровня:
  задачи на применение чётности,
  задачи на признаки делимости (деление натуральных чисел – деление «нацело»),
  задачи на деление с остатком.
  
  

• 

  6 слайд

  Уровень 1. Применение чётности чисел.
  Понятие чётные и нечётные числа - одно из основных понятий математики.
  Примером применения чётных и нечётных чисел в повседневной жизни могут служить расписания движения поездов, когда поезда отправляются только по чётным или только по нечётным числам.
  Или просьба учителя физкультуры рассчитаться классу по порядку на первый, второй, третий,…и нечётным номерам сделать шаг вперёд.
  
  

• 

  7 слайд

  Сформулируем свойства чётности, которые интуитивно знакомы каждому школьнику:
  Сумма чётных чисел чётна.
  Сумма 2-х нечётных чисел чётна.
  Сумма чётного количества нечётных чисел чётна.
  Сумма чётного и нечётного чисел нечётна.
  Сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна.
  Произведение любого числа на чётное – чётно.
  Произведение нечётных чисел – нечётно.
  Разность и сумма двух данных чисел одной чётности.
  Количество объектов, которые можно разбить на пары – чётно.
  
  

• 

  8 слайд

  Итого
  Из всего выше сказанного следует ещё одно высказывание, которое носит название лемма:
  Чётность суммы нескольких целых чисел совпадает с чётностью количества нечётных слагаемых.
  Таким образом, в этой фразе содержится два высказывания:
  Если в сумме нечётное количество нечётных слагаемых, то число нечётное.
  Если в сумме чётное количество нечётных слагаемых, то число чётное (т.е. сумма чётного количества нечётных чисел чётна).
  Например:
  1. Число 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 – нечётное, так как в сумме 5 нечётных слагаемых.
  2. Число 3+5+7+9+11+13 – чётное, так как в сумме 6 нечётных слагаемых.
  

• 

  9 слайд

  Задачи на чётность
  Задача 1:
  Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?
  Решение:
  Сумма чётного количества нечётных чисел чётна.
  У нас есть 10 игрушек, цена каждой игрушки - нечётное число, значит, их сумма должна быть чётна.
  Но 53-число нечётное. Поэтому получить его в виде суммы 10 нечётных чисел нельзя.
  
  

• 

  10 слайд

  Задача 2:  
  Можно ли 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими.
  Решение:
  При решении этой задачи используется такое соображение: если мы рассматриваем объекты типа веревки – провода, дороги, рукопожатия, знакомства и т.д., то при любом количестве объектов число концов должно быть чётным. Предположим, что мы соединили 7 телефонов между собой попарно так, чтобы каждый был соединён ровно с тремя другими.
  Посчитаем количество концов проводов, соединяющих эти телефоны. Понятно, что их число должно быть чётным. От каждого из 7 телефонов отходит 3 конца, всего 7·3=21 конец, число нечётное. Значит, нельзя 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими.
  

• 

  11 слайд

  Задача 3:
  13 команд играют однокруговой турнир. Докажите, что в любой момент есть команда, сыгравшая чётное число матчей. (Однокруговой турнир – это когда каждая команда играет с каждой ровно один раз).
  Решение:
  В общей сумме всех игр каждая игра учитывается два раза, если же подсчитать сумму игр 13 команд, сыгравших по нечётному числу матчей, результат будет нечётный. Чтобы общая сумма игр получилась чётной, хотя бы одна команда должна сыграть чётное число матчей.
  
  

• 

  12 слайд

  Уровень 2. Делимость чисел.
  Вопросами делимости чисел люди интересовались уже очень и очень давно. Благодаря многолетнему труду математиков над проблемами делимости чисел были разгаданы многие ее тайны, но и сейчас в этом разделе математики есть еще много неясного.
  При решении задач на делимость следует знать основную теорему арифметики:
  Натуральное число раскладывается на произведение простых множителей единственным образом, с точностью до порядка множителей.
  
  

• 

  13 слайд

  При решении задач пригодятся следующие известные теоремы:
  

• 

  14 слайд

  При решении задач так же, необходимо знать признаки делимости.
  Некоторые признаки делимости натуральных чисел изучаются уже с 6 класса, например, признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10.
  Основываясь на выше сказанных признаках делимости и теоремах 1-4, комбинируя уже известные признаки делимости, можно сформулировать и признаки делимости на составные числа, такие как 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15 и другие.
  В дополнительной литературе я отыскал признаки делимости на 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37. Но для решения очень многих задач на делимость этого оказалось недостаточно. Просматривая учебники математики разных авторов, собралась достаточно большая коллекция интересующих меня задач.
  
  

• 

  15 слайд

  Признак делимости на 10: Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.
  
  Например:
  3860 делится на 10, т.к. оно оканчивается
  цифрой 0.
  
  Задача:
  Какие из ниже приведённых чисел не делятся на число 10?
  5678
  239800
  34670
  3451
  
  

• 

  16 слайд

  
  Признак делимости на 5: Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5.
  
  Например:
  7385 делится на 5, т.к. оканчивается цифрой 5.
  9840 делится на 5, т.к. оканчивается цифрой 0.
  Задача: Проверьте делимость чисел на 5.
  6748 - нет
  34559 - нет
  2375 -да
  9810 - да
  
  

• 

  17 слайд

  Признак делимости на 2: Если число оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8, то оно делится на 2.
  Например:
  532 делится на 2, т.к. оно оканчивается цифрой 2.
  Задача:
  Установите, какие из числе делятся на 2.
  673
  968
  201
  75694
  
  
  

• 

  18 слайд

  Признак делимости на 9: Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9
  Например:
  Число 153 делится на 9, так как 1+5+3=9, 9 делится на 9, 153:9=17.
  Задача:
  Проверьте признак делимости на 9 на числах ниже.
  121
  3589
  8712
  10701
  

• 

  19 слайд

  Признак делимости на 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
  
  Например:
  375 делится на 3, т.к. 3+7=5=15, 15 делится на 3, значит и 375 делится на 3.
  Задача: Проведём аналогичные действия над следующими числами.
  443
  3612
  679
  3021
  

• 

  20 слайд

  Число делится на 4: Если на 4 делится двузначное число, образованное двумя последними цифрами.
  Например:
  324 (324; 24:4=6)
  Контрпример:
  325
  

• 

  21 слайд

  Классифицируем признаки делимости:
  

• 

  22 слайд

  Продолжение таблицы
  

• 

  23 слайд

  Продолжение таблицы
  

• 

  24 слайд

  Продолжение таблицы
  

• 

  25 слайд

  Продолжение таблицы
  

• 

  26 слайд

  Выводы
  Если внимательно рассмотреть признаки делимости на 2,4,8, то можно найти признак делимости на 2m(m=1,2,3,…):
  Число n делится на 2m в том и только в том случае, если на 2m делится m-значное число, которое образуют m последних цифр числа n.
  Признак делимости на 5m схож с признаком делимости числа n на 2m.
  На 25 делятся нацело те числа, которые оканчиваются на 25, 50, 75, 00. Например: 120975,450,51746025, 663201300.
  На 50 делятся те числа, которые оканчиваются на 00 или 50.Например: 773150, 241100.
  
  

• 

  27 слайд

  При решении задач на делимость часто бывают полезными следующие теоремы:
  Теорема 1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.
  Теорема 2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.
  Теорема 3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.
  Теорема 4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.
  

• 

  28 слайд

  
  При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел
  
  Свойство 1: Одно из n последовательных целых чисел делится на n.
  Свойство 2: Одно из двух последовательных чётных чисел делится на 4.
  Свойство 3: Произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.
  Свойство 4: Произведение двух последовательных чётных чисел делится на 8.
  

• 

  29 слайд

  О других признаках делимости чисел…
  Основываясь на известных нам признаках делимости и теоремах 1- 4, можно сформулировать и признаки делимости на 4, на 6, на 8, на 15.
  
  В дополнительной литературе я отыскал признаки делимости на 7, 11, 13, 19, 31, 137, но для решения очень многих задач на делимость этого оказалось недостаточно. Просматривая учебники математики разных авторов, собрал достаточно большую коллекцию интересующих меня задач.
  

• 

  30 слайд

  Признаки делимости натуральных чисел
  на 2, на 3, на 5, на 9, на 10
  можно классифицировать следующим образом:
  
  Делимость по последним цифрам числа
  Делимость по сумме цифр числа
  Делимость составных чисел
  
  Классификация признаков делимости (материал 6-го класса)
  

• 

  31 слайд

  Сложность задач
  Во множестве отобранных задач на делимость было очень трудно разобраться, но затем удалось разбить их на группы, каждая из которых имела какой-то определенный метод решения. А некоторые задачи можно было решить и не одним способом.
  
  Во многих из этих задач есть такой элемент, который делает их непохожими на известные задачи, и возможно, потребует для решения некоторой сообразительности, смекалки, творческого подхода.
  
  Для решения отобранных задач на делимость, я использовал методы, суть которых дается на конкретных примерах.
  

• 

  32 слайд

  Первый метод.
  Разложение на множители (или слагаемые)
  Задача 1
  Доказать, что n3+3n2+5n+3 делится на 3 при любом натуральном n.
  Решение:
  представим наш многочлен в виде суммы двух
  слагаемых:
  n3+3n2+5n+3=n3+3n2+2n+3n+3=n(n2+3n+2)+3(n+1)=
  =n(n+1)(n+2)+3(n+1), первое слагаемое есть произведение трех последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно делится на 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, => оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3.
  

• 

  33 слайд

  Второй метод.
  Исключение целой части числа
  Задача 2
  Найти все целые x и y, удовлетворяющих уравнению x+y=xy.
  Решение:
  x+y=xy, <=> x-xy = -y,
  x(1-y) = -y, <=> x = -y/(1-y)
  x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1))
  1/(y-1)) є Z, если y-1=±1
  y-1=1, y=2
  y-1=-1, y=0
  Если y=0, то x=0/(1-0)=0
  Если y=2, то х=-2/(1-2)=2
  
  Ответ: (0;0) и (2;2).
  Последняя цифра числа
  Задача 3
  Какой остаток при делении на 5 дает число 33333?
  Решение:
  33333=33332+1 – число оканчивается цифрой 3, остаток от деления на 5 есть 3.
  

• 

  34 слайд

  Третий метод.
  Равноостаточные классы
  Задача 4
  Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей, делится на 3.
  
  Решение:
  Если число не делится на 3, то оно имеет вид 3k+1 или 3k+2. В первом случае разность между его квадратом и единицей равна
  (3k+1)2-1=9k2+6k+1-1=9k2+6k, во втором
  (3k+2)2- 1=9k2+12k+4-1=9k2+12k+3.
  В обоих случаях разность делится на 3, т.к. каждое слагаемое делится на 3.
  

• 

  35 слайд

  Четвертый метод.
  Применение теоремы Безу
  Задача 5.
  Доказать, что выражение 35n-2*5n+11n делится на 6 при любом натуральном n.
  
  Решение:
  Запишем наше выражение в таком виде:
  35n - 2*5n+11n=(35n-5n)+(11n-5n), тогда 35n - 5n делится на разность оснований степеней, т.е. на 35 - 5=30, а следовательно, делится и на 6, 11n -5n также делится на разность оснований 11-5=6.
  

• 

  36 слайд

  Пятый метод.
  Четность и нечетность чисел
  Задача 6.
  Доказать, что уравнение x2+1974=y2 не имеет решений в целых числах.
  Решение:
  Предположим, что уравнение имеет решения в целых числах. Запишем данное уравнение в таком виде: 1974=y2-x2. Так как 1974 четное число, то, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы разность y2-x2 была четным числом, а это возможно только тогда, когда x и у числа одинаковой четности, т.е. x и у одновременно четные, или оба нечетные числа.
  1974=y2-x2 , <=> 1974=(у - х)(у + х). Правая часть делится на 4, а левая – нет, значит, целых решений уравнение не имеет.
  

• 

  37 слайд

  Шестой метод.
  Признаки делимости используются при решении уравнений в целых числах
  (диофантовы уравнения).
  Задача 7. Найти все целочисленные решения уравнения 16х+20у=14.
  Решение: Находим наибольший общий делитель 16 и 20; (16,20) = 4, а число 14 не делится на 4, то по теореме уравнение не имеет целочисленных решений.
  

• 

  38 слайд

  Седьмой метод.
  Бином Ньютона
  Задача 8.
  Доказать, что 62n+3n+2+3n делится на 11 при всех натуральных n.
  Решение:
  62n+3n(9+1)=36n+10*3n=(33+3)n+10*3n. Все члены разложения бинома, кроме последнего, имеют множителем число 33, следовательно, делятся на 11. Последний член разложения – 3n. Тогда данное число можно записать так: 36n+10*3n=33A+11*3n, где А – частное от деления n первых членов разложения бинома Ньютона на 33. Но если каждое слагаемое делится на 11, то и сумма делится на 11.
  

• 

  39 слайд

  Выводы и размышления…
  Зная методы исследований признаков делимости натуральных чисел можно сформулировать признаки делимости любых натуральных чисел.
  
  Чем особенна и ценна теория чисел? Ведь найти непосредственное применение результатам трудно. Тем не менее, задачи теории чисел привлекают как пытливых молодых людей, так и ученых в течение многих столетий.
  
  В чем же здесь дело? Прежде всего, эти задачи очень интересны и красивы. Во все времена человека поражало, что на простые вопросы о числах так трудно найти ответ. Поиски этих ответов часто приводили к открытиям, значение которых далеко превосходит рамки теории чисел.
  

• 

  40 слайд

  Заключение
  Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам, т.к. последняя задача на ЕГЭ решается применением признаков делимости.
  А также будет полезно и для учеников, участвующих в олимпиадах. Они часто встречаются в заданиях олимпиад «Сократ», «Кенгуру», «Авангард».
  Применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.
  Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях для учащихся 5-11-х классов.
  

• 

  41 слайд

  Уровень 3. Деление с остатком.
  Основную роль во всей арифметике целых чисел играет теорема о делении с остатком.
  Определение: Разделить целое число a на целое число b с остатком – это значит представить его в виде a=bq + r, где q и r целые числа, 0r<b.
  Теорема: Для любых целых a и b существует единственная пара чисел q и r, удовлетворяющих условиям, a=bq + r, 0r<b.
  Замечание 1: В частности, если , то и делится на .
  Замечание 2: Если то q называется неполным частным, а r – остатком от деления a на b.
  
  

• 

  42 слайд

  Вот, что следует из теоремы о делении с остатком
  Из следует, что при фиксированном целом m>0 любое целое число а можно представить в одном из следующих видов:
  
  
  
  
  При этом если a<m, то будем иметь a=m∙0+a, если a>0 и a=m∙(-1)+(m+a), если a<0.
  Например, любое целое число можно представить в виде a=2k или a=2k+1.
  Любое целое число можно представить в виде a=3k, a=3k+1 или a=3k+2.
  
  

• 

  43 слайд

  Спасибо за внимание!
  Задавайте вопросы…