Комбинаторика
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.
Определение. Перестановкой из 
элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Обозначается 
.
где 
называется факториалом
числа 
. Это произведение
натуральных чисел от 1 до , т.е.
Пример 1. Сколькими способами можно расставить на игровой площадке 6 волейболистов?
Решение. 
Ответ. Волейболистов можно расставить на площадке 720 способами.
Пример 2. Сколько различных последовательностей можно составить из букв слова (необязательно осмысленных)?
а) привет; б) задача.
Решение. а) В слове «привет» 6 букв, следовательно, чтобы найти, сколько последовательностей можно составить из букв этого слова, надо найти число перестановок из 6 элементов, т.е.
б) Если бы в слове
«задача» все буквы были бы разными, то перестановок было бы 6! Но три
одинаковых буквы «а» не дадут новых 3! перестановок, т.е. их будет в 3! раз
меньше. Значит, ответ: 
.
Ответ: а) 720; б) 120 последовательностей.
Определение. Размещением из элементов по 
называется любое множество,
состоящее из любых 
элементов, взятых в
определенном порядке из данных элементов. Обозначается 
.
Пример 3. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять место в аудитории, в которой стоит 10 одноместных столов?
Решение. Для того чтобы посчитать количество способов воспользуемся формулой размещения из 10 элементов по 6:
Ответ: 151200 способов.
Замечание. Если 
, то 
. Т.е., перестановка –
частный случай размещения.
Определение. Сочетанием из элементов по называется любое множество,
составленное из
элементов, выбранных из
данных элементов. Обозначается 
.
Договорились считать: 
Пример 4. В группе 25 студентов. Сколькими способами из 25 студентов выбрать 3 дежурных.
Решение. Выбор 3 дежурных из 25 студентов – это комбинация из 25 по 3. Т.е.,
Ответ: 2300 способами.
Комбинации, размещения и перестановки вместе называются сочетаниями. При решении простых комбинаторных задач сначала следует определить вид сочетания, учитывая, что:
¾ Перестановки отличаются друг от друга порядком размещения элементов;
¾ Размещения отличаются или выбором элементов, или порядком их размещения;
¾ Комбинации отличаются только выбором элементов (порядок размещения элементов не учитывается).
Как выбрать формулу
 |
Комбинаторные задачи бывают разных видов, но большинство из них решают с помощью основных правил: правила суммы и правила произведения.
Пример 5. Сборы из 30 человек выбирают председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. В выборе председателя и секретаря порядок размещения элементов учитывается и не все элементы входят в соединение, следовательно, используем формулу размещение из 30 по 2; таким образом, в дальнейших выборах будут участвовать 30-2=28 человек. При выборе членов комиссии порядок размещения элементов не учитывается, следовательно используем формулу сочетаний из 28 по 3. Т.к. нам необходимо выбрать и председателя с секретарем и членов комиссии, следовательно, используем правило произведения:
Ответ: 2850120
способами.
Пример 6. Из 7 бегунов и 3 прыгунов надо собрать команду из 5 человек, в которую войдет хотя бы один прыгун. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Рассмотрим все варианты:
¾
в команде один прыгун и, соответственно, 4
бегуна 
;
¾
2 прыгуна и 3 бегуна 
;
¾
3 прыгуна и 2 бегуна 
.
Т.к.
собрать команду можно или первым или вторым или третьим
способом, то используем правило суммы: 
Ответ: 231 способом.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Что изучает комбинаторика. Примеры комбинаторных задач и выбор способов их решения. Размещения, перестановки, сочетания. Как их отличить друг от друга и выбрать правило для решения задачи. Данный буклет может быть использован при организации уроков обобщения, систематизации и комплексного применения знаний по алгебре в 9 классе по теме "Элементы комбинаторики», а также при подготовке учащихся к итоговой аттестации. Представленный материал может быть использован как справочное пособие.Учебник Алгебра-9 - авторы Ю. Н. Макарычев и др.
6 661 942 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Ржевская Марина Павловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
8 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.