Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Информатика / Конспекты / Системы счисления
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Информатика

Системы счисления

библиотека
материалов

Системы счисления

Система счисления – это способ записи чисел и правила действия над числами.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая знаком в записи числа, зависит от позиции знака.

В непозиционных системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления:

I V X L D M

1 5 10 50 500 1000


Например, число MMXII складывается из двух тысяч, одного десятка, двух единиц и равно 2012, а число MDCCCXXV =1825.

Римские числа записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае числа складываются. Если слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются.

Например, XI= 10+1=11, а IX= 10-1=9.

Основание системы счисления – это количество знаков в системе счисления.

Алфавит системы счисления – это множество знаков, используемых в ней.


Таблица 2.1. Связь между основанием системы счисления и алфавитом

Основание системы

счисления (n)

Алфавит

2

3

4

8

10

11

16



0, 1

0, 1, 2

0, 1, 2, 3


0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7


0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, А


0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,D, E




    1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием n


Алгоритм

  1. Выполнить последовательность деления исходного числа и получаемых целых частных на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Деление осуществлять до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.

  2. Полученные остатки привести в соответствие с алфавитом системы счисления, в которую осуществляется перевод.

  3. Выписать последний результат деления и все остатки в порядке, обратном выполнению деления. Полученное число будет результатом перевода.


Пример 1.

Перевести десятичное число 18810 в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение

188

16

176

hello_html_6c24c7d4.gifhello_html_2755798e.gif11

hello_html_6c24c7d4.gif 12



11 и 12 необходимо представить в шестнадцатеричной системе счисления.

11 – это В, 12 – С.

Итак, 18810=ВС16

Ответ: 18810=ВС16


Пример 2.

Перевести число 15410 в восьмеричную систему счисления.

Решение

154

8


hello_html_m206cd5ab.gifhello_html_m64aa59a2.gif 2

19

8

hello_html_6d940559.gif

hello_html_m206cd5ab.gif3

hello_html_m206cd5ab.gif 2

Итак, 15410=2328.

Ответ: 15410=2328.


Переведите самостоятельно число 13510 в двоичную систему счисления.



Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления

в систему с основанием n


Алгоритм перевода

  1. Последовательно умножать исходное число и получаемые дробные части произведений на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Умножение осуществлять до тех пор, пока дробная часть произведения не обратится в ноль, или будет достигнута ожидаемая точность представления числа.

  2. Полученные целые части произведений привести в соответствие с алфавитом системы счисления, в которую осуществляется перевод.

  3. Выписать целые части произведений в прямом порядке. Полученное число будет результатом перевода.

Пример 3.

Перевести число 0.412510 в восьмеричную систему счисления с точностью до четырех знаков.

Решение

hello_html_15ac5b80.gif0.

4125

* 8

3

3000

* 8

2

4000

* 8

3

2000

* 8

1

6000


Ответ: 0.412510=0.32318


Перевод двоичных чисел в систему с основанием 2n


Алгоритм перевода

  1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр.

Так, при переводе в восьмеричную систему в исходное число разбивается на тройки (8=23), а при переводе в шестнадцатеричную систему счисления - на группы по 4 цифры (16=24).

  1. В случае необходимости последнюю группу дополнить нулями до нужного числа разрядов.

  2. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число, записать группу в виде соответствующей цифры (символа) в системе с основанием 2n.


Пример 4.

Перевести двоичное число 1110001102 в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение

  1. Т.к. перевод осуществляется в шестнадцатеричную систему счисления, то исходное число справа налево разобьем на группы по 4 цифры, последнюю группу дополним тремя нулями

0001

1100

0110


2) Рассмотрим каждую группу как 4-хразрядное двоичное число и запишем группу в виде соответствующей цифры в шестнадцатеричной системе счисления. Получим следующий результат

1

С

6


Ответ: 1110001102= 1С616.


Пример 5.

Перевести двоичное число 1010111002 в восьмеричную систему счисления.

Решение

  1. Т.к. перевод осуществляется в восьмеричную систему счисления, то исходное число справа налево разобьем на группы по 3 цифры.

101

011

100


2) Рассмотрим каждую группу как 3-хразрядное двоичное число и запишем группу в виде соответствующей цифры в восьмеричной системе счисления. Получим следующий результат

5

3

4


Ответ: 1010111002 = 5348.



Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления


Алгоритм перевода

При переводе числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления нужно каждый символ данного числа умножить на основание системы счисления, в которой записано число, в степени соответствующей положению символа в записи числа и все произведения сложить.

Пример 6.

Перевести двоичное число 1010112 в десятичную систему счисления.

Решение

1010112= 1*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20=32+8+2+1=4310

Ответ: 1010112=4310


Пример 7.

Перевести шестнадцатеричное число 19С, 5116 в десятичную систему счисления:

19С, 5116 = 1*162 + 9*161 + 12*160 + 5*16-1 + 1*16-2 =

= 256 + 144 + 12 + 0.3125 + 0.00390625 = 412. 3164062510.

Ответ: 19С, 5116 =412. 3164062510



Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления


При переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления нужно каждую цифру этого числа записать в виде триады символов двоичной системы счисления. В том случае, если при записи очередного символа триада получается неполной, нужно в этой триаде слева добавить недостающее количество нулей.

При переводе числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления, нужно каждый символ этого числа записать в виде группы из четырех символов двоичной системы счисления. В том случае, если при записи очередного символа, группа получается неполной, нужно в этой группе слева добавить недостающее количество нулей.

Пример 8.

Перевести восьмеричное число 6518 в десятичную систему счисления.

Решение

  1. 6=1102, 5=1012, 1=0012

  2. 6518= 1101010012

Ответ: 6518= 1101010012


Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления


Рассмотрим алгоритмы выполнения арифметических операций на примере двоичной системы счисления.

Сложение. В основе сложения чисел в двоичной системе счисления лежит принцип сложения одноразрядных двоичных чисел:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10


При сложении двух единиц произво­дится перенос в старший разряд. Это происходит тогда, когда величина числа становится равной или большей основания системы счисления.

Сложение многоразрядных двоичных чисел выполняется аналогично с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

Пример 9.

Сложить двоичные числа 1001012 и 11010012

Решение

Запишем данные числа в столбик. Первым поставим то число, в котором больше разрядов.



11010012


+


1001012


100011102


Ответ: 1001012 + 11010012=100011102



Вычитание. В основе вычитания двоичных чисел лежит принцип вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из нуля единицы производится заем из старшего разряда. Заем обозначается чертой ¯.

0-0=0

0-1=¯11

1-0=1

1-1=0

Вычитание многоразрядных двоичных чисел осуществляется аналогично с учетом заемов в старших разрядах.

Пример 10.

Определить разность двоичных чисел 1102 и 112.

Решение

1102


-

112


112



Ответ: 1102 - 112=112


Умножение. В основе умножения двоичных чисел лежит принцип умножения одноразрядных двоичных чисел:

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1


Умножение многоразрядных двоичных чисел осуществляется в соответствии с данным принципом по схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.


Пример 11.

Найти произведение двоичных чисел 10012 и 1012.

Решение

10012


*

1012


10012

00002

10012


1011012


Ответ: 10012 * 1012 =1011012


Деление двоичных чисел выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. Разделим двоичное число 1102 на двоичное число 112, получим 102.

Арифметические операции в остальных позиционных системах счисления выполняются аналогично, с учетом переноса в старший разряд при сложении и заемом в старшем разряде при вычитании.

Пример 12.

Определить сумму 23316+ 15816.

Решение

23316


+


15816


38В16


Ответ: 38В16

Краткое описание документа:

В данном материале рассматриваются позиционные и непозиционные системы счисления. Приводятся основные понятия, а также способы перевода чисел и арифметические действия в позиционных системах счисления.  Автором   рассмотрены следующие  алгоритмы: · перевод  целых чисел из десятичной системы  счисления в  систему с основанием n; · перевод  дробных  чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием n; · перевод двоичных чисел  в систему с основанием 2  в степени n · перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления; · перевод чисел из восьмеричной  и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления; · выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления.
Автор
Дата добавления 24.09.2014
Раздел Информатика
Подраздел Конспекты
Просмотров464
Номер материала 183750092306
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх