- 23.09.2014
- 1688
- 0
Системы счисления
Система счисления – это способ записи чисел и правила действия над числами.
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая знаком в записи числа, зависит от позиции знака.
В непозиционных системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления:
I V X L D M
1 5 10 50 500 1000
Например, число MMXII складывается из двух тысяч, одного десятка, двух единиц и равно 2012, а число MDCCCXXV =1825.
Римские числа записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае числа складываются. Если слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются.
Например, XI= 10+1=11, а IX= 10-1=9.
Основание системы счисления – это количество знаков в системе счисления.
Алфавит системы счисления – это множество знаков, используемых в ней.
Таблица 2.1. Связь между основанием системы счисления и алфавитом
|
Основание системы счисления (n) |
Алфавит |
|
2 3 4 … 8 … 10 11 … 16
|
0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3
0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, А
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,D, E
|
1.1. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием n
Алгоритм
1. Выполнить последовательность деления исходного числа и получаемых целых частных на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Деление осуществлять до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.
2. Полученные остатки привести в соответствие с алфавитом системы счисления, в которую осуществляется перевод.
3. Выписать последний результат деления и все остатки в порядке, обратном выполнению деления. Полученное число будет результатом перевода.
Пример 1.
Перевести десятичное число 18810 в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение
|
188 |
16 |
|
176 |
|
|
|
|
11 и 12 необходимо представить в шестнадцатеричной системе счисления.
11 – это В, 12 – С.
Итак, 18810=ВС16
Ответ: 18810=ВС16
Пример 2.
Перевести число 15410 в восьмеричную систему счисления.
Решение
|
154 |
8 |
|
|
|
19 |
8 |
|
|
|
|
Итак, 15410=2328.
Ответ: 15410=2328.
Переведите самостоятельно число 13510 в двоичную систему счисления.
Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления
в систему с основанием n
Алгоритм перевода
1. Последовательно умножать исходное число и получаемые дробные части произведений на основание системы счисления, в которую осуществляется перевод. Умножение осуществлять до тех пор, пока дробная часть произведения не обратится в ноль, или будет достигнута ожидаемая точность представления числа.
2. Полученные целые части произведений привести в соответствие с алфавитом системы счисления, в которую осуществляется перевод.
3. Выписать целые части произведений в прямом порядке. Полученное число будет результатом перевода.
Пример 3.
Перевести число 0.412510 в восьмеричную систему счисления с точностью до четырех знаков.
Решение
|
|
4125 * 8 |
|
3 |
3000 * 8 |
|
2 |
4000 * 8 |
|
3 |
2000 * 8 |
|
1 … |
6000 … |
Ответ: 0.412510=0.32318
Перевод двоичных чисел в систему с основанием 2n
Алгоритм перевода
1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр.
Так, при переводе в восьмеричную систему в исходное число разбивается на тройки (8=23), а при переводе в шестнадцатеричную систему счисления - на группы по 4 цифры (16=24).
2. В случае необходимости последнюю группу дополнить нулями до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число, записать группу в виде соответствующей цифры (символа) в системе с основанием 2n.
Пример 4.
Перевести двоичное число 1110001102 в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение
1) Т.к. перевод осуществляется в шестнадцатеричную систему счисления, то исходное число справа налево разобьем на группы по 4 цифры, последнюю группу дополним тремя нулями
|
0001 |
1100 |
0110 |
2) Рассмотрим каждую группу как 4-хразрядное двоичное число и запишем группу в виде соответствующей цифры в шестнадцатеричной системе счисления. Получим следующий результат
|
1 |
С |
6 |
Ответ: 1110001102= 1С616.
Пример 5.
Перевести двоичное число 1010111002 в восьмеричную систему счисления.
Решение
1) Т.к. перевод осуществляется в восьмеричную систему счисления, то исходное число справа налево разобьем на группы по 3 цифры.
|
101 |
011 |
100 |
2) Рассмотрим каждую группу как 3-хразрядное двоичное число и запишем группу в виде соответствующей цифры в восьмеричной системе счисления. Получим следующий результат
|
5 |
3 |
4 |
Ответ: 1010111002 = 5348.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Алгоритм перевода
При переводе числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления нужно каждый символ данного числа умножить на основание системы счисления, в которой записано число, в степени соответствующей положению символа в записи числа и все произведения сложить.
Пример 6.
Перевести двоичное число 1010112 в десятичную систему счисления.
Решение
1010112= 1*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20=32+8+2+1=4310
Ответ: 1010112=4310
Пример 7.
Перевести шестнадцатеричное число 19С, 5116 в десятичную систему счисления:
19С, 5116 = 1*162 + 9*161 + 12*160 + 5*16-1 + 1*16-2 =
= 256 + 144 + 12 + 0.3125 + 0.00390625 = 412. 3164062510.
Ответ: 19С, 5116 =412. 3164062510
Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления
При переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления нужно каждую цифру этого числа записать в виде триады символов двоичной системы счисления. В том случае, если при записи очередного символа триада получается неполной, нужно в этой триаде слева добавить недостающее количество нулей.
При переводе числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления, нужно каждый символ этого числа записать в виде группы из четырех символов двоичной системы счисления. В том случае, если при записи очередного символа, группа получается неполной, нужно в этой группе слева добавить недостающее количество нулей.
Пример 8.
Перевести восьмеричное число 6518 в десятичную систему счисления.
Решение
1) 6=1102, 5=1012, 1=0012
2) 6518= 1101010012
Ответ: 6518= 1101010012
Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления
Рассмотрим алгоритмы выполнения арифметических операций на примере двоичной системы счисления.
Сложение. В основе сложения чисел в двоичной системе счисления лежит принцип сложения одноразрядных двоичных чисел:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
При сложении двух единиц производится перенос в старший разряд. Это происходит тогда, когда величина числа становится равной или большей основания системы счисления.
Сложение многоразрядных двоичных чисел выполняется аналогично с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.
Пример 9.
Сложить двоичные числа 1001012 и 11010012
Решение
Запишем данные числа в столбик. Первым поставим то число, в котором больше разрядов.
|
11010012 |
|
|
+ |
|
|
1001012 |
|
|
100011102 |
|
Ответ: 1001012 + 11010012=100011102
Вычитание. В основе вычитания двоичных чисел лежит принцип вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из нуля единицы производится заем из старшего разряда. Заем обозначается чертой ¯.
0-0=0
0-1=¯11
1-0=1
1-1=0
Вычитание многоразрядных двоичных чисел осуществляется аналогично с учетом заемов в старших разрядах.
Пример 10.
Определить разность двоичных чисел 1102 и 112.
Решение
|
1102 |
|
|
- |
|
|
112 |
|
|
112 |
|
Ответ: 1102 - 112=112
Умножение. В основе умножения двоичных чисел лежит принцип умножения одноразрядных двоичных чисел:
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Умножение многоразрядных двоичных чисел осуществляется в соответствии с данным принципом по схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Пример 11.
Найти произведение двоичных чисел 10012 и 1012.
Решение
|
10012 |
|
|
* |
|
|
1012 |
|
|
10012 00002 10012 |
|
|
1011012 |
|
Ответ: 10012 * 1012 =1011012
Деление двоичных чисел выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. Разделим двоичное число 1102 на двоичное число 112, получим 102.
Арифметические операции в остальных позиционных системах счисления выполняются аналогично, с учетом переноса в старший разряд при сложении и заемом в старшем разряде при вычитании.
Пример 12.
Определить сумму 23316+ 15816.
Решение
|
23316 |
|
|
+ |
|
|
15816 |
|
|
38В16 |
|
Ответ: 38В16
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В данном материале рассматриваются позиционные и непозиционные системы счисления. Приводятся основные понятия, а также способы перевода чисел и арифметические действия в позиционных системах счисления. Автором рассмотрены следующие алгоритмы: · перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием n; · перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием n; · перевод двоичных чисел в систему с основанием 2 в степени n · перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления; · перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему счисления; · выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления.
6 661 619 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Дроздова Ольга Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.