Учитель математики МКОУ «Горбуновская СОШ»
Малышкина С. Ю.
На ГИА по математике проверяются умения решать комбинаторные задачи, используя перебор всех возможных вариантов или правило умножения.
Это нужно знать!
Комбинаторика – это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Извлечённые из исходного множества m элементов составляют выборку; из элементов выборки в соответствии с заданными правилами строится (или составляется) комбинация элементов.
Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то m действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, третье – n3 способами и так до m-го действия, которое можно выполнить nm способами, то все m действий вместе могут быть выполнены n1× n2× n3×… nm способами.
Пример. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причём мальчики садятся на места с чётными номерами, а девочки – на места с нечётными номерами. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Первый мальчик может сесть на любое из четырёх чётных мест, второй – на любое из оставшихся трёх мест, третий – на любое из оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять 4 места 4×3×2×1=24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 24×24=576 способами.
Ответ: 576 способами.
Решение примерных задач из работ ГИА.
1)Выписаны в порядке возрастания все трёхзначные числа, в записи которых используются только цифры 0, 2, 4, 6. Какое число следует за числом 426?
Решение: В условии задачи не сказано, что числа не повторяются, значит можно составлять числа с повторениями. Число единиц увеличить нельзя, там стоит цифра 6. Число десятков увеличить можно: цифру 2 заменить 4. После этого в разряд единиц можно поставит наименьшее число 0.
Ответ. 440.
2)В коробке лежат четыре шара: белый, красный, синий, зелёный. Из неё вынимают два шара. Сколько существует способов сделать это?
Решение: Выпишем всевозможные пары шаров: бк, бс, бз, кс, кз, сз.
Ответ. 6.
3) Из класса, в котором учится 15 девочек и 10 мальчиков, нужно выбрать одну девочку и одного мальчика для ведения вечера. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: По правилу умножения. Девочку можно выбрать 15 способами, мальчика – 10, а пару девочка-мальчик: 15*10= 150.
Ответ. 150.
4) В чемпионате по футболу играет 10 команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места?
Решение: На первое место претендует 10 команд, на второе будет уже претендовать 9 команд, а на третье-8. По правилу умножения всего способов будет 10*9*8=720.
Ответ. 720.
5)В конференции участвовало 30 человек. Каждый участник с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?
Решение: Каждый участник раздал 29 карточек. Значит, понадобилось 30*29=870 карточек.
Ответ. 870.
6) 5 человек обменялись рукопожатиями. Сколько рукопожатий было?
Решение: Каждый человек пожал руки 4 раза, но рукопожатие Иванова-Сидорова одинаково, что Сидорова-Иванова. Значит, количество рукопожатий будет 5*4:2=10.
Ответ10.
7) Сколько нечётных трёхзначных чисел можно составить помощью цифр 3, 4, 5, 6? (Цифры могут повторяться)
Решение: На первое место можно поставить любую из четырёх цифр, на второе - тоже любую, на третье с учётом условия, что число нечётное, можно поставить две цифры. По правилу умножения количество чисел будет равно 4*4*2=32.
Ответ. 32.
Для самостоятельного решения.
1)Выписаны в порядке возрастания все трёхзначные числа, в записи которых используются только цифры 1,3,5,7. Какое число следует за числом 537?
2) В коробке лежат четыре шара: два белых, красный, зелёный. Из неё вынимают два шара. Сколько существует различных вариантов вынуть два шара разного цвета?
3)В классе 13 девочек и 10 мальчиков. Сколькими различными способами можно назначить двух дежурных: мальчик+девочка?
4)Сколькими способами можно рассадить четырёх детей на четырёх стульях в детском саду?
5)Шестеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?
6)Сколько трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 0,3,6,9?
7)В меню школьной столовой 2 разных супа, 4 вторых блюда и 3 вида сока. Сколько можно составить вариантов обеда из трёх блюд?
8) . Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?
Ответы. 1) 551; 2) 3; 3)130); 4) 24; 5) 15; 6) 48; 7)24.
Уметь:
-вычислять вероятность события в классической модели;
-находить относительную частоту и вероятность случайного события, используя готовые статистические данные.
Это нужно знать!
Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.
Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.
Если N
– число всех исходов испытания, а М – число исходов, благоприятствующих событию
А, то 
.
Свойства вероятности
1. Вероятность достоверного события равна
1: 
. 2.Вероятность невозможного события равна
0: 
3.Сумма вероятностей противоположных
событий равна 1: 
.
Пример. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?
Решение:
На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10 цифр 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9; n=10;
все предыдущие цифры никакого значения не имеют. Из n=10
только одна цифра верная, поэтому m=1.
вероятность события А, состоящего в том, что, набрав последнюю цифру номера
наугад, Таня попала к своей знакомой, равна 
=
.
Пример. Вероятность попадания некоторым стрелком по бегущей мишени равна 0,8. какова вероятность того, что этот стрелок промахнётся , сделав выстрел?
Решение:
Пусть событие А – попадание по мишени, тогда Р(А)=0,8. Событие 
- промах. 
=
1-Р(А)=1-0,8=0,2.Ответ: 0,2.
Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N, при этом число М называют абсолютной частотой или частотой события А.
Относительную
частоту события А обозначают 
, поэтому по
определению: 
.
Пример. Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной серии выстрелов?
Решение:
Событие А – попадание по цели произошло в 26 случаях, т.е. М=26. Общее число
испытаний N=30,
поэтому =
.Ответ:
.
Решение примерных задач из ГИА.
1)Доля брака при производстве процессоров составляет 0,05%. С какой вероятностью процессор только что купленного компьютера окажется исправным?
Решение: Процент исправных процессоров будет равен
100%-0,05%=99,95% Искомая вероятность равна 99,95/100=0.9995
Ответ. 0,9995.
2)Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?
Решение: Всего исходов (букв) – 7. Значит n=7. Благоприятных исходов(согласных букв) – 4. M=4. Поэтому вероятность равна 4/7.
Ответ.4/7.
3)Из класса, в котором учится 15 мальчиков и 10 девочек, выбирают по жребию дежурного. Какова вероятность того, что это будет девочка?
Решение: Всего исходов (детей в классе) n= 15+10=25. Благоприятных исходов (девочек) m= 10. Р =10/25=2/5. Ответ. 2/5.
4) Одновременно бросают 2 монеты. С какой вероятностью на них выпадут два орла?
Решение: Возможны исходы: ОО, ОР, РР, РО. n=4. Благоприятных исходов m=1. Вероятность равна ¼.
Ответ.1/4.
5) Для украшения ёлки принесли коробку, в которой находится 10 красных, 7 зелёных, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым?
Решение: В
коробке было всего 10+7+5+8=30 шаров, исход – изъятие одного шара определённого
цвета. Рассмотрим события: а) А – «вынутый шар оказался красным»; mA=10;
=
. б) В
– «вынутый шар оказался золотым»; mB=8;
=
.Ответ:
.
6) За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?
Решение: Лето
длится три месяца. Всего 92 дня. Солнечных дней 67.
.
Пасмурных дней 92-67=25, 
Для самостоятельного решения.
1)Доля брака при производстве блоков питания составляет 0,25%. С какой вероятностью блок питания только что купленного компьютера окажется исправным?
2) Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
3)В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдёт мальчик?
4) Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхода семян.
5)В ящике 2 красных и 2 синих шара. Из него, не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность, что они будут разного цвета?
Ответы. 1) 0,9975; 2)3/7; 3)2/3; 4)0,98; 5)2/3.
3 раздел. Статистика.
Уметь:
- определять статистические характеристики, как среднее арифметическое, медиана, мода, выполняя при этом необходимые подсчёты;
- отвечать на простейшие вопросы статистического характера.
Это нужно знать!
Статистика - это наука, изучающая количественные показатели развития общества и общественного производства
Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.
Пример: (23+18+25+20+25+25+32+37+34+26+34+25):12=
324:12=27
27-среднее арифметическое значение.
Размах - разность между наибольшим и наименьшим числом.
Пример. 23;18;25;20;25;25;32;37;34;26;25
Размах : 37-18=19
Модой ряда чисел называется число, наиболее встречающееся в данном ряду.
Пример.
23;18;25;20;25;25;32;37;34;26;25- модой данного ряда является число 25.
69,68,66,70,67,71,74,63,73,72- в данном ряду моды нет.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине.
Пример. 64,72,72,75,78,82,85,91,93. Медианой является число-78.
Медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Пример.
64,72,72,75,78,82,85,88,91,93. Медиана (78+82):2=80.
Решение примерных задач из ГИА.
1)Из трёх кандидатов в сборную России по стрельбе из арбалета нужно отобрать двоих. Решено сделать этот отбор по относительной частоте попадания в мишень, которую они показали на тренировочных сборах. Результаты представлены в таблице.
|
Фамилия стрелка |
Число выстрелов |
Число попаданий |
|
Лучкин |
120 |
100 |
|
Арбалетов |
200 |
120 |
|
Пулькин |
150 |
110 |
Кто из спортсменов будет включён в сборную?
Решение: Найдём относительную частоту. Лучкин: 100/120=5/6; Арбалетов: 120/200=3/5; Пулькин: 110/150= 11/15. Выберем два наибольших числа, сравнив дроби. Удобнее привести их к одному основанию 30.
5/6=25/30; 3/5=18/30; 11/15=22/30.
Ответ. В сборную войдут Лучкин и Пулькин.
2)Записан рост (в см) пяти учащихся: 149,136, 163, 152 ,145. Найдите разность среднего арифметического этого набора чисел и его медианы.
Решение: Среднее арифметическое этих чисел равно (149+136+163+152+145):5=149. Чтобы найти медиану, надо упорядочить ряд.
136,145,149,152,163. Медианой будет – 149. Найдём разность: 149-149=0.
Ответ. 0.
3)Вася измерял в течение недели время, которое он тратит на дорогу в школу и из школы, результаты записывал в таблицу.
|
День недели |
пн |
вт |
ср |
чт |
пт |
сб |
|
Время до школы |
19 |
20 |
21 |
17 |
22 |
24 |
|
Время из школы |
28 |
22 |
20 |
25 |
24 |
22 |
На сколько минут( в среднем) дорога из школы занимает у него больше времени, чем дорога в школу?
Решение: Найдём среднее время до школы: (19+20+21+17+22+24):6=20,5;
Найдём среднее время из школы: (28+22+20+25+24+22):6=23,5. Найдём разность 23,5-20,5=3.
Ответ. 3.
4) Президент компании получает зарплату 100000р. в месяц, четверо его заместителей – по 20000р., а 20 служащих компании – по 10000р. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат всех сотрудников компании.
Решение: Всего сотрудников компании 1+4+20=25человек. Среднее арифметическое равно (100 000+4*20 000+20*10 000):25= 15 200. Всего чисел 25, значит, медиана будет стоять на 13 месте. Если располагать в порядке возрастания, то первые 20 мест займут 10 000. Значит медиана – 10000р.
Ответ. 15 200р., 10 000р.
5) В течение четверти Юра получил следующие отметки по математике: две «двойки», пять «троек», четыре «четвёрки» и девять «пятёрок». Найдите среднее арифметическое и моду его оценок.
Решение: всего отметок получено 2+5+4+9=20. Среднее арифметическое равно (2*2+5*3+4*4+9*5):20=4. Больше всех по количеству получено отметок «пять». Значит, модой будет 5.
Ответ. 4; 5.
Для самостоятельного решения.
1)Из трёх вратарей в сборную России по хоккею нужно отобрать двоих. Решено сделать этот выбор по относительной частоте отражённых бросков. Которую они показали в чемпионате. Результаты представлены в таблице.
|
Фамилия вратаря |
Число бросков |
Число отражённых бросков |
|
Третьяков |
120 |
100 |
|
Четверухин |
140 |
110 |
|
Пятаков |
160 |
140 |
Кто из вратарей будет включён в сборную?
2) Президент компании получает зарплату 150000р. в месяц, четверо его заместителей – по 25000р., а 20 служащих компании – по 5000р. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат всех сотрудников компании.
3) Записан возраст (в годах) семи сотрудников: 25,37,42,24, 33,50.27. Найдите разность среднего арифметического этого набора чисел и его медианы.
4) В течение четверти Юля получила следующие отметки по математике: одну «двойку», шесть «троек», три «четвёрки» и пять «пятёрок». Найдите среднее арифметическое и моду его оценок.
Ответ. 1)Третьяков и Пятаков; 2) 14000р., 5000р. 3)1; 4) 3,8; 3
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В стандарте второго поколения по математике записано, что раздел «Вероятность и статистика» - обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. В данной работе сделана подборка материалов для подготовки учащихся 9 класса к итоговой аттестации по теме «Комбинаторика. Вероятность. Статистика». Каждый раздел содержит теоретический материал, подробно разобранные задачи и задания для самостоятельного решения с ответами. Материалы адресованы, главным образом, учащимся для самоподготовки. Но могут использоваться учителями на уроках повторения и в качестве домашнего задания.
6 815 116 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Малышкина Светлана Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Вы сможете бесплатно проходить любые из 4835 курсов в нашем каталоге.
Перейти в каталог курсов
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.