Тема:  «Показательные уравнения»

Цели урока:

1. Познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений;

2.  Сформировать умения и навыки решения несложных простейших показательных уравнений.

3. Продолжить развивать логическое мышление учащихся.

4. Развивать навыки самостоятельной работы и взаимоконтроля.

5. Развивать познавательный интерес к предмету, творческие способности учащихся.

Методическое обеспечение урока:

1.     Компьютер.

2.     Мультимедийный проектор.

3.     Тесты.

4.     «Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс» Дорофеев Г. В., Москва  «Дрофа» 2007г.

5.     Презентация

6.     Дидактический материал (карточки).

Тип урока: комбинированный.

ХОД   УРОКА.

1.Орг. момент

а) С древних времен на Руси, прощаясь и встречаясь, говорили «Будь здоров». Сейчас мы говорим «Здравствуйте», т.е. люди желают здоровья друг другу. Здравствуйте ребята и гости.

Мобилизирующий момент: Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь» Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», - ответил юноша. Произнеси это 5 раз.».  «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз..  «Вот видишь, -сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…»Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

б) Постановка цели и задач

Тема урока «Показательные  уравнения»    (слайд 1)

А эпиграфом к нашему уроку станут слова С.Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». Т.е другими словами можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться.

А какие вообще виды уравнений вы знаете?(Рациональные, дробно – рациональные, квадратные, линейные, тригонометрические, иррациональные)

И так как тема нашего урока «показательные уравнения», то как вы думаете,

 чем мы сегодня будем заниматься на уроке и какие поставите вы цели?

Обучающиеся: повторить материал, который нам понадобится при изучении данной темы, изучить определение показательных уравнений, познакомиться со способами решения показательных уравнений.

Преподаватель: Совершенно верно: сегодня на уроке мы познакомимся с ещё одним видом уравнений - показательные, узнаем способы решения показательных уравнений, повторим теорию, проведём  тестирование, выполним самостоятельную работу, покажем наши умения критически относиться к себе и своим друзьям.

2.Актуализация опорных знаний. Теоретический опрос:

Устные упражнения. Слайд №2.

1) а) у = 2^х ; б) у = ( 0,2)^х ; в) у = ( х-2)³; г) у = х²; д.) у = П^х ; е) у = 3-х .

Какие из функций являются показательными?

Дайте определение показательной функции.

Какие из них являются возрастающими? Убывающими? Почему?

2) Слайд №3.

Какой из графиков является графиком показательной функции у = П^х?

3) Слайд № 4.

Как упростить выражения?

а) 3^х * 3² = 3^х+2;

Какое свойство степеней использовано?

a^m *aⁿ =a^m+n

А теперь применим их в обратном порядке (справа налево).

б) 2^х+3 = 2^х * 2³,

4) как представить в виде степени?

9^х = (3²)^х = 3^2х = (3^х)².

Какое свойство степеней использовано?

(a^m)ⁿ= a^m*n

5) Слайд №5 .

Вынести общий множитель за скобки. (По готовой записи.)

а) 4^х + 4^х+2 = 4^х + 4^х * 4² = 4^х * (1 + 4²) = 4^х * 17;

б) 10^х-1 + 10^х = 10^х-1 * (1 + 10) = 10^х-1 * 11.

а) какой множитель выносят за скобки? (С наименьшим показателем степени.)

Что для этого сделали? (Представили в виде 4^х+2 = 4^х * 4².)

3. Изучение нового материала.

Мы повторили свойства степеней и показательной функции для лучшего усвоения и понимания новой темы “ Показательные уравнения и способы их решения”.

Слайд №6. (Работа со слайдом)

а) определение показательного уравнения.

Определение: показательное уравнение - это уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Простейшие показательные уравнения вида а^х = в, где a > 0, а ≠ 1. слайд№7

1) при в > 0 уравнение имеет единственный корень, т.к. прямая у = в, при в> 0 имеет с графиком функции у = а^х одну единственную точку.

2) при в < 0 уравнение корней не имеет т. к. при в < 0 прямая у = в не пересекает график показательной функции.

3) для решения уравнение представляем в виде а^х = а^с.

б) методы решения показательных уравнений. Слайд №8 .

1.     Метод приведения степеней к одинаковому основанию.

2.     Вынесение общего множителя за скобки.

3.     Метод введения новой переменной.

4.     Метод почленного деления.

5.     Метод группировки.

6.     Графический метод.

Слайд №9.

“ Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть- и в последствии подтвердить это, - что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц

Сегодня мы рассмотрим два метода решения уравнений.

в) решение простейших показательных уравнений. (Работа на доске и в тетрадях)

I. Приведение к одинаковому основанию левой и правой части уравнения.

а) с объяснением у доски;

1) 2^х+6 = 8;

Решение:

2^х+6 = 2³,

Основания степеней равны,  значит, равны и показатели степеней.

x + 6 = 3,

x = -3.

Ответ: - 3.

2) В-27(2)

9*81^1-2х = 27^2-х

Решение:

3²*(3⁴)^1-2х= (3³)^2-х

3^2+4*(1-2х) = 3^3*(2-х)

2+4- 8*х = 6-3*х

-5*х = 0

х=0

Ответ: 0

б) комментировано;

1) (5)^-2х = 125;

Решение:

5^-2х= 5³,

- 2х = 3,

х = - 1,5.

Ответ: - 1,5.

2) 10^х-2 = - 10;

Решение:

т.к. -10< 0, то уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

II. Вынесение общего множителя за скобки.

а) с объяснением у доски;

4^х+1 + 4^х = 320

Решение:

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение

4^х * 4 + 4^х = 320,

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем.

4^х (4 + 1) = 320,

4^х * 5 = 320,

4^х = 320: 5,

4^х = 64,

4^х = 4³,

х = 3.

Ответ: 3.

б) комментировано;

В – 9 (2)

3^х+2 – 5*3^х = 36

Решение:

3^х * 3² – 5*3^х= 36,

3^х *(9-5)=36,

3^х *4= 36,

3^х= 36:4,

3^х = 9,

3^х =3²,

х=2.

Ответ: 2

4. Проверка знаний.

а) Обучающий тест-контроль (8 мин.), ответы собрать, потом проверка решения по готовому решению через м. проектор

Слайд 10.

ВАРИАНТ 1

1) 3^х = 27

а) 3; б) 9; в) 4;

2) 5^х-2 = 25

а) 2; б) 4; в) 5;

3) 6^х-1 = -6

а) -1; б) 5; в) корней нет;

4) 3^х+2 + 3^х = 90

а) 2; б) 44; в) 1;

5)  В – 59 (2)

128*16^2х+1 =8^3-2х

а)-7; б) -1/7; в) 7;

         ВАРИАНТ 2

1) 2^х = 32

а) 16; б) 5; в) 6.

2) 6^х-3 = 36

а) 5; б) 2; в) 4.

3) 9^х-1 =-9

а) -1; б) корней нет; в) 2.

4) 3^х+1+ 3^х =108

а) 2; б) 3,5; в) 3.

5) В – 92 (2)

16^5-3х= 0,125^5х-6

а) -2/3; б) -1,5; в) 2/3.

Ответы к тесту: слайд № 11.

1 вариант

№ задания

1      

2      

3      

4      

5

№ ответа   

а       

б      

в       

а       

б

2 вариант

№ задания

1      

2      

3      

4      

5

№ ответа   

б      

а       

б      

в       

а

Слайд №12.

Критерии оценки:

3 «+» - оценка «3»;

4 «+» - оценка «4»;

5 «+» - оценка «5»

б) самопроверка по готовому решению через м. проектор.

Вариант 1, слайд № 13.

Вариант 2, слайд № 13.

5. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

Преподаватель: Ребята, наш урок подходит к концу, а я выставлю ваши оценки в журнал .

 Ребята, полезен ли вам был сегодняшний урок? Достигли ли мы поставленной цели? Что нового каждый из вас  сегодня взял с урока?

Учащиеся: я считаю, что мы достигли цели, т.к.  мы познакомились с новым видом уравнений и узнали два способа их решения.

8. Домашнее задание, слайд № 14.

Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока «Решение уравнений - это золотой ключ, открывающий все сезамы».

Мне хотелось бы пожелать , чтобы каждый из вас нашел в жизни свой золотой ключик, с помощью которого перед вами открывались бы любые двери.

А двери могут быть абсолютно различными ведь данная тема является основополагающей при изучении «Термодинамики», «Электромагнетизма», «Ядерной физики», «Колебаний», используется для решения некоторых задач судовождения, а также с нею сталкиваешься в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость. Процесс радиоактивного распада, явление размножения живых организмов, расчёт банковских вкладов всё это непосредственно связано с изученной темой. И кто знает может быть и среди вас сидит будущий Юрий Гагарин, Сергей Павлович Королёв или Вячеслав Тихонов, которые тоже были выходцами обыкновенных профессиональных училищ.

Урок окончен. Спасибо за работу. Будьте здоровы.

Решение уравнений из самостоятельной работы.

Вариант I.

1)    3^х=27;

Решение:

3^х=3³;

х=3.

Ответ: 3

2)    5^х-2=25;

Решение:

5^х-2=5²;

х-2=2;

х=4.

Ответ: 4

3)    6^х-1=-6;

Решение: корней нет.

4)    3^х+2 + 3^х = 90;

Решение:

3^х(3²+1) = 90;

3^х *10 = 90;

3^х = 9;

3^х =3²;

х=2 .

Ответ: 2

5)    128*16^2х+1 =8^3-2х;

Решение:

2⁷ *(2⁴)^2х+1 = ( 2³)^3-2х;

2⁷ * 2^8х+4 = 2^9-6х;

2^7+8х+4 = 2^9-6х;

7+8х+4=9-6х;

8х+6х = 9-7-4;

14х = -2;

х= - 1/7.

Ответ: -1/7

Вариант II.

1)    2^х=32;

Решение:

2^х = 2⁵;

х = 5.

Ответ: 5

2)    6^х-3 = 36;

Решение:

6^х-3 =6²;

х-3 = 2;

х=5.

Ответ: 5

3)    9^х-1= -9;

Решение: корней нет.

4)    3^х+1 + 3^х =108;

Решение:

 3^х(3+1) = 108;

3^х *4 = 108;

3^х = 27;

3^х= 3³;

х= 3.

Ответ: 3

5)    16^5-3х= 0,125^5х-6;

Решение:

 (2⁴)^5-3х = (2^-3)^5х-6;

2^20-12х= 2^-15х+18;

-12х+15х =18-20;

3х = -2;

х = -2/3.

Ответ: -2/3