1646853
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
До повышения цен на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации осталось:
0 дней 0 часов 0 минут 0 секунд
Успейте подать заявку на курсы по минимальной цене!
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%
ИнфоурокМатематикаКонспектыРешение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

библиотека
материалов

hello_html_53190f21.gifhello_html_1e44b5bd.gifhello_html_m182a8e94.gifhello_html_m182a8e94.gifhello_html_1706232.gifhello_html_m2a1d16a8.gifhello_html_m2a1d16a8.gifhello_html_m2a1d16a8.gifhello_html_m196b8d26.gifhello_html_m196b8d26.gifhello_html_m5fa81aec.gifhello_html_m5fa81aec.gifhello_html_77938279.gifhello_html_77938279.gifhello_html_m7af6125a.gifhello_html_m7af6125a.gifhello_html_5ebbc3c.gifhello_html_maa0b07c.gifhello_html_m4baea50.gifhello_html_m4baea50.gifhello_html_m7af6125a.gifhello_html_m7af6125a.gifhello_html_4cdb85e6.gifhello_html_45d257f7.gifСущественной характеристикой числа как в действительной, так и в комплексной области является понятие его абсолютной величины или модуля.

Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических и технических наук.

В школьном курсе вводится понятие модуля числа и с помощью этого понятия формулируются правила действий над рациональными числами, понятие абсолютной погрешности приближенного числа, свойства арифметического квадратного корня, рассматриваются свойства корна n-степени, исследование функции.

В 6-ом классе можно решать уравнения вида |кх + в| = а,

в 7-ом классе вида |кх + в| = ах + с,

а также построение графиков функции вида:

у = к · |х| + в; у = |кх + в|; hello_html_2e9ed810.gif и др.,

в 8-9-м классах графики функций вида у = |ах2 + вх + с|; у = hello_html_me0a5aff.gif; у = hello_html_m79a35839.gif и др.

При построении графиков целесообразно использовать метод преобразований графиков (параллельный перенос, симметрия и др.).

Рассмотрим решения вопросов, связанных с понятием модуля, которые могут быть рассмотрены как на уроке, так и во внеклассной работе.


Основные определения и основные теоремы.

Определение 1.

Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, взятое из двух чисел а или -а

а, если а >0

Из определения следует |а| = 0, если а = 0

- а, если а < 0

Теорема 1.

Противоположные числа имеют равные модули, т.е. |а| = |-а|


Теорема 2.

Модуль суммы конечного числа действительных чисел не превосходит сумму модулей слагаемых, т.е. |а1 + а2 + …+ аn| ≤ |а1| + |а2| + … + |аn|


Теорема 3. |а - в| ≤ |а| + |в|


Теорема 4. ||а| - |в|| ≤ |а ± в| ≤ |а| + |в|


Теорема 5. |а · в| = |а| · |в|


Теорема 6. hello_html_m60773d1f.gifв ≠ 0


Пример. Решить уравнение: hello_html_mf4fa3e0.gif

hello_html_m2450d3c8.gif


hello_html_m421dc77e.gif или hello_html_m64a04259.gif


имеем hello_html_5d677e8b.gif и hello_html_m4ef6f5d7.gif следовательно,


х1 = -5; х2 = -1


Решение уравнений


  1. Решение уравнения вида |ƒ(х)| = а, где а ≥ 0

  2. Решить уравнение: |х-3| = 2

|х – 3| =

х – 3, х ≥ 3 х – 3 = 2 х1 = 5

-х + 3, х < 3 х – 3 = -2 х2 = 1


Пример № 2. Решить уравнение:

|sin x + cos x| = 1

Решение

|sin x + cos x| = 1 => sin х + cos х = 1

или sin x + cos x = -1

Решим эти два уравнения.

sin х + cos х = 1 sin х + cos х = -1

cos х - hello_html_m31efd0a6.gif = hello_html_73ca8c00.gifcos( х - hello_html_m31efd0a6.gif ) = - hello_html_73ca8c00.gif

х = hello_html_m31efd0a6.gif ± hello_html_m31efd0a6.gif + 2πκ, κhello_html_2c7cb3dd.gifz х = hello_html_m31efd0a6.gif ± hello_html_m759c08b1.gif + 2πn, nhello_html_2c7cb3dd.gifz

х1 = hello_html_m31efd0a6.gif - hello_html_m31efd0a6.gif + 2πκ, κhello_html_2c7cb3dd.gifz х1 = - hello_html_4a7c6de3.gif + 2πn, nhello_html_2c7cb3dd.gifz

х1 = 2πκ, κhello_html_2c7cb3dd.gifz х2 = π + 2πn, nhello_html_2c7cb3dd.gifz

х2 = hello_html_4a7c6de3.gif + 2πκ, κhello_html_2c7cb3dd.gifz

Общий вид решения будет х = hello_html_m7cb8661e.gif

Ответ: hello_html_m7cb8661e.gif, κhello_html_2c7cb3dd.gifz

Уравнение вида ƒ|х| = а

Чтобы решить уравнение вида ƒ|х| = а рассмотрим решение двух систем:

ƒ(х) = а и ƒ(-х) = а

х ≥ 0 х ≤ 0


Функция g(х) = ƒ|х| - а четная.

Значения переменной, при которой функция обращается в нуль, будут противоположные числа. Поэтому достаточно найти решение одной из систем, второй корень будет противоположным ему числом.

Например: Решить уравнение х2 - |х| = 6


Решение

х, х ≥ 0

х2 - |х| = 6 по определению абсолютной величины |х| = - х, х < 0

данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем

х2 – х = 6 и х2 + х = 6

х ≥ 0 х ≤ 0


Решим систему х2 – х - 6 = 0

х ≥ 0

Уравнению х2 – х - 6 = 0 удовлетворяют числа х1 = -2 и х2 = 3, из которых условию х ≥ 0 удовлетворяет х2 = 3.

Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и -3,

Ответ: 3, -3


Уравнение вида |ƒ(х)| = φ(х)


Данное уравнение |ƒ(х)| = φ(х) распадается на совокупность двух смешанных систем:

ƒ(х) = φ(х) ƒ(х) = -φ(х)

φ(х) ≥ 0 и φ(х) ≥ 0

Например:

  1. Решить уравнение |3х - 7| = х – 2

Решение

|3х - 7| = х – 2

Решению подлежат две системы:

3х – 7 = х – 2 и 3х – 7 = 2 – х

х - 2 ≥ 0 х - 2 ≥ 0


2х = 5 и 4х = 9

х – 2 ≥ 0 х – 2 ≥ 0


х = 2,5 и х = 2,25

х – 2 ≥ 0 х – 2 ≥ 0


Числа 2,5 и 2,25 удовлетворяют данному уравнению

Ответ: 2,5; 2,25

  1. Решить уравнение |х2 - 4| = х2 – 4

Решение

х2 – 4 = х2 – 4 и х2 – 4 = 4 – х2

х2 – 4 ≥ 0 х2 – 4 ≥ 0


х – любое число и х = ± 2

х ≥ 2 и х ≤ -2 х ≥ 2 х ≤ - 2


Ответ: уравнению удовлетворяют все значения х ≥2 и х ≤ - 2


  1. Решить уравнение: |sin x| = sin x

Решение

sin x = sin x и sin x = -sin x

sin x 0 sin x 0

х – любое х = πκ, κhello_html_2c7cb3dd.gifz

2πn ≤ х ≤ π + 2πn и 2πn ≤ х ≤ π + 2πn, nhello_html_2c7cb3dd.gifz


Ответ: 2πκ ≤ х ≤ π + 2πn, n hello_html_2c7cb3dd.gifz


Уравнение вида 1х + в1| ± |κ2х + в2| ± …± |κnх + вn| = а

Для решения уравнения такого вида найдем абсциссы точек перелома графика функции – левой части этого уравнения, т.е. х1 = - hello_html_4748616b.gif; х2 = - hello_html_m1bf59125.gif; …. хn= - hello_html_m4ff362b9.gif;

пусть х1 < х2 < ……< хn

  1. Данное уравнение последовательно рассмотрим на промежутках: (-∞; х1]; [х1; х2]; [х2; х3]; …. [хn; ∞).

На промежутке (-∞; х1] получим некоторое линейное уравнение ƒ1(х) = 0 и его корень х = а1.

Если а1 содержится в (-∞; х1], то а1 корень данного уравнения, а если не содержится, то а1 не является корнем данного уравнения. И так рассмотрим решение на каждом из промежутков.

Примеры.

  1. Решить уравнение |х - 1| + |х - 2| = 1

Точки перелома х1 = 1, х2 = 2.

Решение уравнения рассмотрим на промежутках (-∞; 1]; [1; 2]; [2; ∞).

  1. х < 1; - х + 1 – х + 2 = 1; -2х = 2; х = 1 Так как 1hello_html_2c7cb3dd.gif (-∞; 1], то х = 1

является корнем уравнения

  1. 1 ≤ х ≤ 2; х – 1 – х + 2 = 1; 0 · х = 0; х – любое число из множества [1; 2]

  2. х ≥ 2 х – 1 + х – 2 = 1; 2х = 4; х = 2 2hello_html_2c7cb3dd.gif[2; ∞)

Ответ: [1; 2]


  1. Решить уравнение:

|2х - 3| + |х - 3| - |4х - 1| = 0

Найдем точки перелома:

х1 = hello_html_685d8d49.gif; х2 = 1,5; х3 = 3

Промежутки задания уравнения:

(-∞; hello_html_685d8d49.gif]; [hello_html_m73bd951e.gif]; [1,5; 3]; [3; ∞)

1. х ≤ hello_html_685d8d49.gif; -2х + 3 – х + 3 + 4х – 1 = 0; х = -5

-5 hello_html_2c7cb3dd.gif (-∞;hello_html_685d8d49.gif] значит х = -5 корень уравнения

2. hello_html_685d8d49.gif ≤ х ≤ 1,5; -2х + 3 – х + 3 – 4х + 1 = 0; х = 1

1 hello_html_2c7cb3dd.gif[hello_html_m283e473c.gif 1,5] х = 1 корень уравнения

  1. 1,5 ≤ х ≤ 3; 2х – 3 – х + 3 – 4х + 1 = 0; -3х = -1; х = hello_html_7f8f9891.gif

hello_html_m2d264caa.gif ; х = hello_html_7f8f9891.gif не является корнем уравнения

  1. х ≥ 3; 2х – 3 + х – 3 – 4х + 1 = 0; х = -5 не является корнем уравнения

-5 hello_html_2c7cb3dd.gif [3; ∞)

Ответ: -5; 1

3. Решить уравнение: | | | |х| - 2| -1| -2| = 2

Решение

По определению модуля имеем: | | |х| -2| -1| -2 = ± 2, т.е. два уравнения


Решим первое

Решим второе уравнение

| | | х| -2| -1| -2 = 2

| | | х| -2| -1| -2 = -2

| | | х| -2| -1| = 4

| | | х| -2| -1| = 0

| | х| -2| -1| = ±4

| | х| -2| = 1

| | х| -2| = 5 и | | х| -2| = -3

| х| -2 = ± 1

|х| - 2 = ± 5; ||х| -2| = -3 - не имеет решения; |х| = 3 или |х| = 1

х = ± 3 х = ± 1

|х| = 7 или |х| = -3 - нет решения

х = ±7

Ответ: ±1; ±3; ±7


Решите уравнения:

а) | | х - 1| - 1| = 2; б) |х - 3| = (х – 3)2

в) |х + 1| - |х - 1| = 2 г) |х| = х + 3

д) |х + 2| + |х| + |х - 2| = 4 е) log23 + 2х2 – 4х -2| = 2

ж) |sin 2х| = hello_html_6eec8aff.gif



Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
Тема разработана в помощь начинающему учителю, а также для проведения элективного курса при подготовки к ЕГЭ. Также можно применять при кружковой работе и для работы как с одарёнными, так и с неуспевающими учащимися средней и старшей школы. Данные задания могут быть использованы и во время решения олимпиадных задач. Задания развивают логическое мышление, помогают учащимся лучше анализировать и синтезировать материал, а также уметь расчленять и наоборот складывать в одно алгебраические выражения и уравнения.
Общая информация

Номер материала: 186151092701

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.