1343560
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт проекта «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015

Скидка 0%

112 курсов профессиональной переподготовки от 3540 руб.

268 курсов повышения квалификации от 840 руб.

МОСКОВСКИЕ ДОКУМЕНТЫ ДЛЯ АТТЕСТАЦИИ

Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана 26 сентября 2017 г. Департаменотом образования города Москвы

Инфоурок Математика КонспектыРешение задач, содержащих проценты

Решение задач, содержащих проценты

Международный конкурс

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

16 предметов

библиотека
материалов

Решение задач, содержащие проценты

Учителю математики в течение всего курса обучения приходится решать задачи на проценты. Если эта работа проводится не в системе, то решение задач вызывает определенную трудность.

Кроме понятия 1% или несколько процентов ученики должны уметь хорошо решать два типа задач:

а) нахождение нескольких процентов числа;

б) нахождение числа по его процентам.

При обучении особое внимание нужно обратить обучению анализа задачи.

Например.

Задача № 1.

Две вещи общей стоимостью 220 руб. были проданы с аукциона с прибылью в 30%. Какова стоимость каждой вещи, если от первой было получено 25% прибыли, а от второй – 50%.

При анализе задачи можно составить таблицу.

Вещи

Стоимость в рублях

Вся прибыль

hello_html_31abaf50.gif

составила 30% от 220

AutoShape 31Полученная прибыль

1

х

25% от х; hello_html_5677091c.gif = hello_html_50207bdd.gif

2

220 – х

50% от (220 – х)

hello_html_75222fe5.gif


Решение

Пусть первая вещь стоит х руб., тогда вторая – (220 – х) руб. Прибыль полученная от продажи первой вещи составляет 25% от стоимости, т.е. hello_html_m16f1052e.gif; второй – 50% от (220 – х) руб., что составляет hello_html_5022ec60.gif руб.

Вся прибыль hello_html_31abaf50.gif составляет 30% от 220 руб. hello_html_m795fe125.gif

Составим уравнение:

hello_html_31abaf50.gif = 66

Решение уравнения:

hello_html_31abaf50.gif = 66 х + 440 – 2х = 264 х = 176

Первая вещь стоила 176 руб., вторая – 220 – 176 = 44 руб.

Проверка. Прибыль от продажи первой вещи – hello_html_m49a34ec8.gif = hello_html_2ca1cab2.gif = 44 руб., от второй - hello_html_b8225a0.gif = 22 руб.

Вся прибыль: 44 руб. + 22 руб. = 66 руб.

Ответ: 176 руб. 44 руб.


Задача № 2.

После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена вещи упала с 50 до 32 руб. На сколько процентов снижалась цена вещи каждый раз?

Решение

Пусть в первый раз цена снизилась на х%, тогда стоимость вещи упала на hello_html_5a05b8d.gif руб. и стала (50 - hello_html_7d1f0bff.gif) руб.

Во второй раз цена снизилась тоже на х%, стоимость вещи упала на hello_html_34641dfd.gifруб.

Стоимость вещи стала ((50 - hello_html_7d1f0bff.gif) – (50 - hello_html_7d1f0bff.gif) · 0,01х ) руб., и по условию задачи это равно 32 руб.

Составим уравнение.

(50 - hello_html_7d1f0bff.gif) – (50 - hello_html_7d1f0bff.gif) · 0,01х = 32

Решение уравнения

50 – hello_html_7d1f0bff.gifhello_html_59be3a45.gif

50 – х + hello_html_m7464e1b0.gif - 32 = 0

х2 – 200х + 3600 = 0

hello_html_1808bd83.gif = 10000 – 3600 = 6400

х = 100 ± 80; х = 180 – не удовлетворяет условию задачи

х1 = 20 х2 = 180

Ответ: на 20%


Задача № 3

В магазин поступили учебники. Когда продали 50% учебников математики и 30% учебников по физике, что составляло в общей сложности 260 книг, то учебников по математике осталось 50% от количества учебников по физике. Сколько учебников было по математике и сколько по физике.

Решение

Пусть учебников по математике было х штук, а по физике у штук. Учебников по математике продали hello_html_375a91e7.gif (шт.), по физике hello_html_m7bb0103c.gif (шт.), что составило в общей сложности 260 книг.

Составим уравнение: hello_html_42938b1d.gif + hello_html_3fcbce26.gif = 260

После продажи учебников по математике осталось х - hello_html_7d1f0bff.gif =hello_html_m2671c10.gif (шт), по физике –

у - hello_html_3fcbce26.gif = hello_html_4b2be185.gif (шт).

По условию задачи учебников по математике осталось 50% от количества оставшихся учебников по физике. Составим уравнение: hello_html_m6eefaaa1.gifhello_html_m3826a909.gif

СAutoShape 32AutoShape 33оставим систему уравнений:

AutoShape 34hello_html_m5a053d4f.gifhello_html_427cb59c.gif + hello_html_3fcbce26.gif = 260 у = 400

hello_html_7d1f0bff.gif = hello_html_427cb59c.gif х = hello_html_4b2be185.gif х = 280

Ответ: 400, 280


Задача № 4

Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20 г и сплавить их с 2 г олова, то во вновь получившемся сплаве масса меди будет равна массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить к ним 9 г цинка, то здесь масса олова будет равна массе цинка. Найти процентное содержание первоначального сплава.

Решение

Пусть отношение олова, меди и цинка в первоначальном сплаве было х : у : z. В отделившемся сплаве в 20 г олова, меди и цинка было: kх; kу; kz. Составим уравнение:

kх + kу + kz = 20 (1). Когда к 20 г первоначального сплава добавили 2 г олова, то в новом сплаве масса олова равна массе меди: kх + 2 = kу (2).

Если от первоначального сплава отделить 30 г, то олова, меди и цинка в нем будет k1х; k1у; k1z и это равно 30 г. Составляем уравнение: k1х+ k1у+ k1z = 30.

Если к данному сплаву добавить 9 г цинка, то масса олова будет равна массе цинка k1х = kz + 9.

СAutoShape 35AutoShape 36AutoShape 37оставляем систему уравнений:

kх + kу + kz = 20 k(х + у + z) = 20 kх = 8

kх + 2 = уk уk = kх + 2 kу = 10

k1х + k1у + k1z = 30 k1(х + у + z) = 30 kz = 2

х k1 = zk1 + 9 zk1 = хk1 – 9


  1. hello_html_m61f51bd2.gif 2) z · 1,5k = х · 1,5k – 9

hello_html_m50c00c44.gif = hello_html_m3f27fcaa.gif; k1 = 1,5k zk = хk – 6


3. В первое уравнение подставим вместо уk и zk их значения, мы получим

kх + kх + 2 + kх – 6 = 20,

3 kх = 24

kх = 8 kх : kу : kz = 8 : 10 : 2

уk = kх + 2 х : у : z = 4 : 5 : 1

k

В первоначальном сплаве олова было hello_html_m2f4247f8.gif = 40%

меди - hello_html_m4578c614.gif = 50%

цинка - hello_html_49c9f33d.gif = 10%

у = 10

kz = kх – 6

kz = 2



Ответ: 40%, 50%, 10%


Задача № 5.

Сплавили два состава. В первом составе было 6 кг меди, во втором – 12 кг. В полученном составе процентное содержание меди оказалось 36%.

Какое процентное содержание меди было в каждом составе, если известно, что во втором составе меди было на 40% больше чем в первом.

Решение

Пусть процентное содержание меди в первом составе было х%, тогда во втором – (х + 40)%.

Так как в первом составе было 6 кг меди, узнаем массу первого состава. Она будет hello_html_m9fac263.gif кг. Масса второго состава hello_html_5e1a434f.gif кг. Масса всего сплава равна hello_html_1eb23134.gif По условию задачи в полученном составе 36%, что составляет 18 кг, тогда масса всего сплава будет hello_html_m619d62c5.gif = 50 (кг). Составляем уравнение: hello_html_6e9fdc61.gif = 50.

Решение уравнения.

hello_html_6e9fdc61.gif = 50

hello_html_m65195be5.gif - 1 = 0

AutoShape 40hello_html_m3610ef7b.gif = 0

- х2 – 4х + 480 = 0

х · (х + 40) ≠ 0

х2 + 4х – 480 = 0

D = 16 + 1920 = 1936

Х1,2 = hello_html_m5fd43c52.gif

х1 = -24 х2 = 20

х = -24 – не удовлетворяет условию задачи

х = 20 - 20 · (20 + 40) ≠ 0 верно.

В первом составе 20% меди, во втором 20% + 40% = 60%.

Ответ: 20%, 60%.


Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
Данная методическая разработка предназначена как для учителей с небольшим педагогическим опытом, так и для педагогов давно работающих в школе. Она помогает более эффективно разобраться учащимся в решении задач где используются проценты. Ведь именно в задачах на эту тему ребята делают ошибки на ЕГЭ и ГИА. долговременная тренировка позволяет лучше понять механизм решения таких задач и позволяет выпускникам не делать ошибки на экзамене. Также этот тренинг даст возможность будущим абитуриентам чувствовать себя увереннее.
Общая информация
Приглашаем принять участие МЕЖДУНАРОДНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ «ИНФОФОРУМ» Осталось всего 50 мест на очное участие! Подать заявку Очное участие Дистанционное участие Курс повышения квалификации (36 часов) + Сертификат участника “Инфофорума”

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
17 курсов по пожарно-техническому минимуму
Обучение от 2 дней
дистанционно
Удостоверение
Программы актуальны на 2019 г., согласованы с МЧС РФ
2 500 руб. до 1 500 руб.
Подробнее