1395663
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
До повышения цен на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации осталось:
0 дней 0 часов 0 минут 0 секунд
Успейте подать заявку на курсы по минимальной цене!
ИнфоурокМатематикаКонспектыРешение задач, содержащих проценты

Решение задач, содержащих проценты

библиотека
материалов

Решение задач, содержащие проценты

Учителю математики в течение всего курса обучения приходится решать задачи на проценты. Если эта работа проводится не в системе, то решение задач вызывает определенную трудность.

Кроме понятия 1% или несколько процентов ученики должны уметь хорошо решать два типа задач:

а) нахождение нескольких процентов числа;

б) нахождение числа по его процентам.

При обучении особое внимание нужно обратить обучению анализа задачи.

Например.

Задача № 1.

Две вещи общей стоимостью 220 руб. были проданы с аукциона с прибылью в 30%. Какова стоимость каждой вещи, если от первой было получено 25% прибыли, а от второй – 50%.

При анализе задачи можно составить таблицу.

Вещи

Стоимость в рублях

Вся прибыль

hello_html_31abaf50.gif

составила 30% от 220

AutoShape 31Полученная прибыль

1

х

25% от х; hello_html_5677091c.gif = hello_html_50207bdd.gif

2

220 – х

50% от (220 – х)

hello_html_75222fe5.gif


Решение

Пусть первая вещь стоит х руб., тогда вторая – (220 – х) руб. Прибыль полученная от продажи первой вещи составляет 25% от стоимости, т.е. hello_html_m16f1052e.gif; второй – 50% от (220 – х) руб., что составляет hello_html_5022ec60.gif руб.

Вся прибыль hello_html_31abaf50.gif составляет 30% от 220 руб. hello_html_m795fe125.gif

Составим уравнение:

hello_html_31abaf50.gif = 66

Решение уравнения:

hello_html_31abaf50.gif = 66 х + 440 – 2х = 264 х = 176

Первая вещь стоила 176 руб., вторая – 220 – 176 = 44 руб.

Проверка. Прибыль от продажи первой вещи – hello_html_m49a34ec8.gif = hello_html_2ca1cab2.gif = 44 руб., от второй - hello_html_b8225a0.gif = 22 руб.

Вся прибыль: 44 руб. + 22 руб. = 66 руб.

Ответ: 176 руб. 44 руб.


Задача № 2.

После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена вещи упала с 50 до 32 руб. На сколько процентов снижалась цена вещи каждый раз?

Решение

Пусть в первый раз цена снизилась на х%, тогда стоимость вещи упала на hello_html_5a05b8d.gif руб. и стала (50 - hello_html_7d1f0bff.gif) руб.

Во второй раз цена снизилась тоже на х%, стоимость вещи упала на hello_html_34641dfd.gifруб.

Стоимость вещи стала ((50 - hello_html_7d1f0bff.gif) – (50 - hello_html_7d1f0bff.gif) · 0,01х ) руб., и по условию задачи это равно 32 руб.

Составим уравнение.

(50 - hello_html_7d1f0bff.gif) – (50 - hello_html_7d1f0bff.gif) · 0,01х = 32

Решение уравнения

50 – hello_html_7d1f0bff.gifhello_html_59be3a45.gif

50 – х + hello_html_m7464e1b0.gif - 32 = 0

х2 – 200х + 3600 = 0

hello_html_1808bd83.gif = 10000 – 3600 = 6400

х = 100 ± 80; х = 180 – не удовлетворяет условию задачи

х1 = 20 х2 = 180

Ответ: на 20%


Задача № 3

В магазин поступили учебники. Когда продали 50% учебников математики и 30% учебников по физике, что составляло в общей сложности 260 книг, то учебников по математике осталось 50% от количества учебников по физике. Сколько учебников было по математике и сколько по физике.

Решение

Пусть учебников по математике было х штук, а по физике у штук. Учебников по математике продали hello_html_375a91e7.gif (шт.), по физике hello_html_m7bb0103c.gif (шт.), что составило в общей сложности 260 книг.

Составим уравнение: hello_html_42938b1d.gif + hello_html_3fcbce26.gif = 260

После продажи учебников по математике осталось х - hello_html_7d1f0bff.gif =hello_html_m2671c10.gif (шт), по физике –

у - hello_html_3fcbce26.gif = hello_html_4b2be185.gif (шт).

По условию задачи учебников по математике осталось 50% от количества оставшихся учебников по физике. Составим уравнение: hello_html_m6eefaaa1.gifhello_html_m3826a909.gif

СAutoShape 32AutoShape 33оставим систему уравнений:

AutoShape 34hello_html_m5a053d4f.gifhello_html_427cb59c.gif + hello_html_3fcbce26.gif = 260 у = 400

hello_html_7d1f0bff.gif = hello_html_427cb59c.gif х = hello_html_4b2be185.gif х = 280

Ответ: 400, 280


Задача № 4

Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20 г и сплавить их с 2 г олова, то во вновь получившемся сплаве масса меди будет равна массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить к ним 9 г цинка, то здесь масса олова будет равна массе цинка. Найти процентное содержание первоначального сплава.

Решение

Пусть отношение олова, меди и цинка в первоначальном сплаве было х : у : z. В отделившемся сплаве в 20 г олова, меди и цинка было: kх; kу; kz. Составим уравнение:

kх + kу + kz = 20 (1). Когда к 20 г первоначального сплава добавили 2 г олова, то в новом сплаве масса олова равна массе меди: kх + 2 = kу (2).

Если от первоначального сплава отделить 30 г, то олова, меди и цинка в нем будет k1х; k1у; k1z и это равно 30 г. Составляем уравнение: k1х+ k1у+ k1z = 30.

Если к данному сплаву добавить 9 г цинка, то масса олова будет равна массе цинка k1х = kz + 9.

СAutoShape 35AutoShape 36AutoShape 37оставляем систему уравнений:

kх + kу + kz = 20 k(х + у + z) = 20 kх = 8

kх + 2 = уk уk = kх + 2 kу = 10

k1х + k1у + k1z = 30 k1(х + у + z) = 30 kz = 2

х k1 = zk1 + 9 zk1 = хk1 – 9


  1. hello_html_m61f51bd2.gif 2) z · 1,5k = х · 1,5k – 9

hello_html_m50c00c44.gif = hello_html_m3f27fcaa.gif; k1 = 1,5k zk = хk – 6


3. В первое уравнение подставим вместо уk и zk их значения, мы получим

kх + kх + 2 + kх – 6 = 20,

3 kх = 24

kх = 8 kх : kу : kz = 8 : 10 : 2

уk = kх + 2 х : у : z = 4 : 5 : 1

k

В первоначальном сплаве олова было hello_html_m2f4247f8.gif = 40%

меди - hello_html_m4578c614.gif = 50%

цинка - hello_html_49c9f33d.gif = 10%

у = 10

kz = kх – 6

kz = 2



Ответ: 40%, 50%, 10%


Задача № 5.

Сплавили два состава. В первом составе было 6 кг меди, во втором – 12 кг. В полученном составе процентное содержание меди оказалось 36%.

Какое процентное содержание меди было в каждом составе, если известно, что во втором составе меди было на 40% больше чем в первом.

Решение

Пусть процентное содержание меди в первом составе было х%, тогда во втором – (х + 40)%.

Так как в первом составе было 6 кг меди, узнаем массу первого состава. Она будет hello_html_m9fac263.gif кг. Масса второго состава hello_html_5e1a434f.gif кг. Масса всего сплава равна hello_html_1eb23134.gif По условию задачи в полученном составе 36%, что составляет 18 кг, тогда масса всего сплава будет hello_html_m619d62c5.gif = 50 (кг). Составляем уравнение: hello_html_6e9fdc61.gif = 50.

Решение уравнения.

hello_html_6e9fdc61.gif = 50

hello_html_m65195be5.gif - 1 = 0

AutoShape 40hello_html_m3610ef7b.gif = 0

- х2 – 4х + 480 = 0

х · (х + 40) ≠ 0

х2 + 4х – 480 = 0

D = 16 + 1920 = 1936

Х1,2 = hello_html_m5fd43c52.gif

х1 = -24 х2 = 20

х = -24 – не удовлетворяет условию задачи

х = 20 - 20 · (20 + 40) ≠ 0 верно.

В первом составе 20% меди, во втором 20% + 40% = 60%.

Ответ: 20%, 60%.


Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
Данная методическая разработка предназначена как для учителей с небольшим педагогическим опытом, так и для педагогов давно работающих в школе. Она помогает более эффективно разобраться учащимся в решении задач где используются проценты. Ведь именно в задачах на эту тему ребята делают ошибки на ЕГЭ и ГИА. долговременная тренировка позволяет лучше понять механизм решения таких задач и позволяет выпускникам не делать ошибки на экзамене. Также этот тренинг даст возможность будущим абитуриентам чувствовать себя увереннее.
Общая информация

Номер материала: 186161092723

Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель математики
Подробнее о курсе
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель, преподаватель экономики
Подробнее о курсе
Курс профессиональной переподготовки
Теория и методика обучения информатике в начальной школе
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель информатики в начальной школе
Подробнее о курсе
Цена от 6.720 руб. 500 часов
Квалификация: Учитель математики и информатики
Подробнее о курсе
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Преподаватель инженерной графики
Подробнее о курсе
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель, преподаватель по черчению
Подробнее о курсе
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.