Пояснительная записка

 

Математика- это язык, на котором говорят не только наука и техника, математика – это язык человеческой цивилизации. Она практически проникла во все сферы человеческой жизни. Современное производство, компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требует математической грамотности. Это предполагает и конкретные математические знания,  и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой.

           Данный спецкурс примыкает к основному курсу, углубляя отдельные, наиболее важные вопросы, систематизируя материал, изучаемый на уроках в разное время, дополняя основной курс сведениями, важными в общеобразовательном или прикладном отношении. Распределение часов по темам дано из расчета 35 часов в год (1 час в неделю).

 Предназначен для учащихся 7 классов общеобразовательной школы. Курс составлен по   учебнику  Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк  «Алгебра 7»,  «Просвещение» 2007г.

     

Цель данного спецкурса: Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности. Повышение уровня математической культуры учащихся.

Задачи:

-        расширить рамки школьной программы;

-        показать практическое значение математики;

-        развить интерес к математике;

-        способствовать развитию логического мышления.

 

Формы проведения занятий: Сочетание индивидуальных форм с групповыми

 

 Результат работы учащихся по данной программе должен быть таким: развитие интереса к математике; углубление материала основного курса, расширение кругозора; развитие логического мышления.

     Инструментарием для оценивания результатов: тестирование; творческие работы. Сведения о прохождении программы спецкурса, посещаемости, результатах выполнения различных заданий фиксируются в специальном журнале.

 

 В результате освоения  содержания программы учащийся получает возможность совершенствовать и расширить круг умений, навыков и способов деятельности:

 

1)Познавательная деятельность. Умение самостоятельно и мотивированно организовать свою познавательную деятельность.

 

2)Информационно-коммуникативная деятельность. Поиск и извлечение нужной информации по заданной теме в источниках различного типа. Умение развернуто обосновать суждение, давать определения, приводить доказательства.

 

3)Рефлексивная деятельность. Владение навыками организации и участие в коллективной деятельности: постановка общей цели и определение средств её достижения, конструктивное восприятие иных мнений и идей, учет индивидуальности партнеров по деятельности, объективное определение своего вклада в общий результат.

 

Формирование ключевых компетентностей:

-   готовность к самообразованию;

-   готовность к использованию информационных ресурсов;

-   готовность к социальному взаимодействию;

-   коммуникативная компетентность.

 

 

 

 

 

 

 

Содержание программы спецкурса

7 класс. 35 часов

 

Формулы. Понятие формул. Применение формул при решении задач. Выражение одной переменной через другие.

 

 Цель: научить применять формулы  при решении задач, выражать переменные.

 

 Функции. Кусочно-заданные функции. Построение графиков функций, содержащих знак модуля. Графики функций . Графический метод решения уравнений.

 

Цель: формировать навыки построения и чтения графика функции; познакомить с разнообразными видами функций; расширить кругозор.

 

Простые и составные числа. Понятие простых и составных чисел. Евклид о простых числах. Разложение чисел на простые множители.

      Цель: формировать навык разложения чисел на простые множители, находит наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.

 

Деление с остатком. Понятие остатка от деления целого числа. Разбиение множества целых чисел на подмножества, не имеющих общих элементов.

    Цель: научить находить числа по остатку и делителю.

 

Возведение двучлена в степень. Получение формул для возведения двучлена в 4,5,6, и т.д. степени. Треугольник Паскаля.

    Цель: Познакомить  с треугольником Паскаля. научить представлять выражения 3, 4,5,6 степеней в виде многочлена.

 

Линейные неравенства с двумя переменными и их системы. Понятие решения неравенств с двумя переменными. Графическое решение неравенств с двумя переменными.

 

   Цель научить графически на координатной плоскости показывать  решения неравенств и систем неравенств с двумя переменными.

 

 

 

Уравнения. Простейшие уравнения, содержащие модуль. Линейные уравнения, содержащие параметр. Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах.

 

Цель: дать  представление о классе задач с параметрами и модулем  как об исследовательских задачах, показать  основные способы. Познакомить со   стандартные уравнениями   содержащими  параметр  модуль.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учебно – тематический план.

 

№	Тема	Количество часов
1	Формулы.	4
2	Функции.	6
3	Простые и составные числа	5
4	Деление с остатком.	5
5	Возведение двучлена в степень	5
6	Линейные неравенства с двумя переменными и их системы.	5
7	Уравнения	5
	Итого	35

 

 

 

 

 

 

Тематика творческих работ:

1.      История формул.

2.      Теория Евклида о простых и составных числах.

3.      Признаки делимости и их применения на практике.

4.       Треугольник Паскаля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КАЛЕНДАРНО – ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Содержание.	Количество часов.	№ заданий по учебнику	план	факт
I.                   Формулы.    Формулы. Задачи на процентный рост. Выражение переменных из формул.   II.                Функции.   Кусочно-заданные функции. Построение графиков функций, содержащих знак модуля. Графический метод решения задач.   III.              Простые и составные числа   1.      Простые и составные числа. Теория Евклида. 2.      Разложение чисел на простые множители. 3.      Нахождение НОД и НОК.           IV.  Деление с остатком .          1.      Деление с остатком. 2.      Нахождение числа по делителю и остатку. 3.      Множества и подмножества.            V.  Возведение двучлена в степень.            1.Получение формул для возведения двучленов четвертой, пятой степеней. Треугольник Паскаля.          2. Представление выражений в виде многочлена.              VI.  Линейные неравенства с двумя переменными и их системы.           1.Неравенства с двумя переменными.            2.Решение систем неравенств.             VII. Уравнения. 1.      Простейшие уравнения, содержащие модуль. Линейные уравнения, содержащие параметр. Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах.	4   1 2 1   6   2 2   2   5   1 2 2   5   1 2 2   5   2   3   5   2 3         5   2 2 1	№196,197,198 №199- 202 №203-205       339-341 342-344   345-347       500,501 505-506 507-509       722,725 730,733 727,729       957-960   960-965       1128- 1131 1132-1136             приложение

 

 

 

 

Литература для учителя:

 

1. Г.И.Зубелевич  «Занятия математического кружка», М. «Просвещение», 2005г
2. Т.Д.Гаврилова  «Занимательная математика на уроках в 5-11 классах», Волгоград, 2008.
3. Ю.М.Колягин «Поисковые задачи по математике», М. «Просвещение», 2006г
4. «Математические олимпиады в школе», М. Айрис – пресс, 2005 г
5. А.В.Фарков. «Внеклассная работа по математике», Москва, Айрис – пресс, 2007г
6. С.В.Виноградов «Математика в 5-11 кл.», Волгоград, «Учитель», 2007г
7. Н.В.Заболотная, «Задачи для подготовки к олимпиадам», «Учитель», 2007г

8. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С.   «Математическая шкатулка» , - Москва: «Просвещение», 1988.

9.   Пичурин Л.Ф.   За страницами учебника алгебры.   -  Москва: «Просвещение», 1990.

10.    Никольская И.Л.  Факультативный курс по математике.- Москва: «Просвещение», 1991.

11.   Шуба М.Ю.  Занимательные задания в обучении математике.  -  Москва: Просвещение», 1995.

12. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Кострыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
13. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С.   «Математическая шкатулка» , - Москва: «Просвещение», 1988.
14.   Пичурин Л.Ф.   За страницами учебника алгебры.   -  Москва: «Просвещение», 1990.
15.   Никольская И.Л.  Факультативный курс по математике.- Москва: «Просвещение», 1991.
16.  Шуба М.Ю.  Занимательные задания в обучении математике.  -  Москва: Просвещение», 1995.
17. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Кострыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
18. Журнал «Математика в школе»,№3-2000г., Покорный Ю.В., Лазарев К.П. «О модулях и знаках чисел».
19. Журнал «Математика в школе»,№5-1999г., Зиновьева Л.А., Щеглова Н.Д., Зиновьев А.И. «Уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля».
20. Журнал «Математика в школе»,№9-2003г., Смоляков А.Н. «Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля».
21. Журнал «Математика в школе»,№9-2003г., Чаплыгин В.Ф. «Сравнение и классификация в упражнениях с модулями».
22. Первое сентября. Математика.№44-2004г., Шестаков С. «Геометрический смысл модуля и его применение к решению уравнений и неравенств».
23. Электронный учебник «Алгебра» 7-11 класс.

 

Литература  для учащихся:

 

1. «Задачи для подготовки к олимпиадам», Н.В.Заболотная. «Учитель», 2007
2. «Математические олимпиады в школе»,  А.В.Фарков. М. Айрис – пресс, 2005 г.
3. Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
4. Алгебра-7, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
5. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
6. Алгебра 7, Ю.Н. Макарычев., “Просвещение”.

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

VII. Уравнения.

4.      Простейшие уравнения, содержащие модуль.

5. Линейные уравнения, содержащие параметр.
6. Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах.

Решение линейных уравнений, содержащих параметры

Условия для поиска значения                   Характеристика

             параметра а                                множества корней

1.    к(а) не имеет смысла                                  корней нет

2.     b(а) не имеет смысла                                 корней нет

3.                                                       корней нет

4.                               один корень х = 

5.                                                        x – любое число

 

 

Пример 1:  Решите уравнение      *х =

Решение:  k(a) =  ,    b(a) =

1)k(a) не имеет смысла при а = 2

2)b (a) не имеет смысла при а = -3

3) , система решений не имеет

4)   ^, , если а ≠ - 2, а ≠ - 3, а ≠ 2, то

х =

5),система имеет единственное решение при

а= - 2.

Ответ: если а = 2, а = -3, то решений нет

если а ≠ - 2, а ≠ - 3, а ≠ 2, то

если а = -2, то х – любое число

 

Пример 2: Решите уравнение:

(k² – 1)x = k + 1

Решение:  1) k + 1 имеет смысл при любом k.

2)k² – 1 имеет смысл при любом k.

1)  ,   при k = 1 исходное уравнение решений не имеет

2)  () ≠ 0, (k – 1)(k + 1) ≠0, если k ≠ 1,  k ≠ -1 , то

Х = , x =

 

3)  , если k = - 1, то х – любое число.

Ответ: если k = 1, то решений нет;

если k = -1, то х – любое число;

если k ≠ 1, k ≠ - 1, то х = .

 

Пример 3: При каком значении а прямые х + 2y = 3 и

ax – 4y = 12 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?

Решение:   x + 2y = 3

аx – 4y = 12, при условии y = 0 система принимает вид:  

Ответ:  а = 4.

 

Пример 4:  При каких значениях параметров m и n уравнение  2m – nx = 1 не имеет решений? Решите это уравнение.

 

Решение:  2m – nx = 1, nx = 2m – 1

1)      n имеет смысл при любом n

2)      2m – 1 имеет смысл при любом m.

3)       , при этом условии исходное уравнение корней не имеет.

4)      n ≠ 0, т. е. х =

5)   ,  , x принимает любое значение из R.

  если n = 0 и m ≠ , то корней нет;

если n ≠ 0 и m – любое число, то х =

если n = 0 и m = то х – любое число.

 

Самостоятельная работа 2

Вариант 1

1)   При каком значении а 3х + 5y = 10 и 2x + ay = 6 пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат?

2)   Решите уравнения:

а) (х + а) + (2х – 3а) = а                                   б) ах = 3 + b

 

 

Вариант 2

1)   При каком значении k прямые 2x + 3y = 4 и kx – 5y = 13 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?

2)   Решите уравнения:

а) (2x – c) – (5c – x) = 3c                               б) 2yx – g = 3

 

 

 

Пример 5: При каких значениях параметра а уравнения  

ax = 12 и 3x = a  имеют общие корни? 

ax = 12,    x =

Решение:              (,     = 36

3x = a,       x =

       = 6 ,  = - 6.

Ответ:  при  = 6 ,  = - 6.

  Решите уравнение:   

    + 3 = 5 – х

х ( + 1) = 2

х= 2

1)   При а = 0 выражение  не имеет смысла

2)   ,  , если а = - 1 , то исходное уравнение не имеет корней.

3)  , если а  - 1, а  0, то х =

Ответ: если а = 0, а = - 1, то корней нет;

 если а  0, а  - 1, то х =

 Пример 7: Графики функций y = (4 – a)x + a и y = ax + 2 пересекаются в точке с абсциссой, равной – 2. Найдите ординату точки пересечения.

Решение: , 

3a – 8 = - 2a + 2

5a = 10

a = 12

y = - 4 + 2 = - 2

Ответ: - 2.

Пример 8: Графики функций y = kx – 4 и y = 2x + b симметричны относительно оси абсцисс.

а) найдите b и k

б) найдите точку пересечения этих графиков.

Решение: Графики симметричны относительно оси абсцисс, следовательно b = 4

, ,

В результате y = 2x + 4 и y = - 2x – 4, точка пересечения графиков (- 2; 0).

Ответ: а) b = 4, k = - 2;

б) (- 2; 0)

Самостоятельная работа 3

Решите уравнения:

а) ( а – 2 )х = 3                                б)  = 0

 

в) mx (m – 2) + 9 = mx + m 

 

2. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ.

               Свойства модуля:

1.│а·b│=│a│·│b│  для любых чисел a и b.

2. = при в0.

3. а²= а² для любого числа а.

2.Простейшим из уравнений, содержащих модули, является уравнение вида

  │f(x)│= а, где, а≥0.Данное  уравнение равносильно совокупности уравнений.

                             ┌  f(x)= а, когда f(x) ≥0

                             └   f(x)= -а, когда  f(x)< 0.  

Если а<0 , то множество решений такого уравнения  пусто.

  Пример 1. Решить уравнение │ 3x-2 │=2.                 

 Решение. Исходное уравнение при любом  x R равносильно совокупности уравнений: 1) 3x-4=2      3 x = 6      х₁  = 2,   2) 3х – 4 = - 2   =                                   Ответ: ; 2

     Предлагаем самостоятельно решить уравнения:

   1)│x-1│=5                         Ответ: -4;6.

   2)2│x-1│=3                       Ответ: -0,5;2,5

   3) │x+1│=2.5                    Ответ: -3,5;1,5

   4) │3x+2│=4                     Ответ: -2;

   5)  │-3-2x│=1                    Ответ: -2;-1

 

Более сложными  являются уравнения  вида │f(x)│=g(x),  где f(x), g(x)-

некоторые функции действительного переменного x.

 1)При g(x)<0  множество решений такого уравнения пусто;

 2) При g(x)=0  заданное уравнение эквивалентно уравнению f(x)= 0;

 3) При g(x)>0  исходное уравнение  равносильно совокупности

  f(x)=g(x),

  f(x)=-g(x).

  Пример 2.  Решить уравнение │1-2x│= 3x-2.

   Решение: Заметим, что  3x-2≥0, т.е. x≥  или x(;+∞)

   На множестве  x(;+∞) заданное уравнение  равносильно совокупности двух   уравнений :     

                                     1) 1-2x= 3x-2           =

                                     2) 1-2x=-(3x-2)         =1.

                    Решите самостоятельно уравнения:

1) │-7x+2│= 2-x                2) │x-1│=x+1           3) │x-1│= 3х -1            

  

Теперь рассмотрим уравнения вида │-│+│-│+...+│-│=

=аx+в, где  ,,,…,,,,-некоторые числа принадлежащие R,  x –действительная переменная – строится по следующей схеме.

    Область допустимых значений переменной заданного уравнения  разбивается на множества, на каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны.

    На каждом таком множестве исходное уравнение заменяется (с учётом знаков подмодульных выражений) эквивалентным ему уравнением, не содержащим  абсолютных   величин.

    Объединение решений  полученной таким образом совокупности уравнений  является решением заданного уравнения. 

   Пример 3.  Решить уравнение  │2x+5│-│3-x│=0,5

Решение. Область допустимых значений переменной – вся числовая ось.

    Найдём точки, в которых под модульные выражения равны 0:

2x+5=0, т.е.= -2,5;  3-x=0,т.е. =3.

Разобьём область допустимых значений полученными точками на множества :

                        (- ∞;-2,5),(-2,5;3),(3;+∞).

 Определим знаки подмодульных выражений  на каждом из полученных множеств (они записаны в таблице 1)

                                                                                                    Таблица  1

	(-∞;-2,5)	(-2,5;3)	(3;+∞)
2x+5	─	+	+
3-x	+	+	─

 

Таким образом, исходное уравнение │2x+5│-│ 3-x│=0,5 равносильно совокупности уравнений:

1)при x<-2.5         -(2x+5)- (3-x)=0,5

                               -2x-5- 3+x=0,5

                                -x=8,5

                                 x=-8,5 ,-8,5(-∞;-2,5).

2) при -2,5≤x<3     2x+5-(3-x)=0,5

                               2x+5- 3+x=0,5

                               3x=-1,5       

                                x=-0, 5          -0, 5

3) при  x≥3            2x+5+(3-x)=0,5

                               2x+5+3-x=0,5

                               x=-7, 5, -7, 5      

                                                   Ответ:-8,5;-0,5

Уравнение вида F(│(x) │,│(x) │,…, │(x) │)=0,где  (x), (x),…, (x)-некоторые функции действительно переменной x,  решаются  совершенно аналогично способу,  рассмотренному выше.

                           Решите уравнения:

1)│ x-2│+│ x+8│=10;         Ответ:

2)│4- x│+│5+ x│=19          Ответ: -10;9

3)│-2 x-1│+2│- x+3│=7     Ответ:

4)│7 x²- x-3│+│7 x²- x-5│=4   Ответ: -; ;

3. Теперь рассмотрим некоторые утверждения, применение которых позволяет значительно упростить решение уравнений с модулями .

   Утверждение 1. Равенство │а+в│=│а│+│в│ является верным, если ав ≥ 0.                     

Доказательство. Действительно, после возведения  обеих частей данного равенства в квадрат, получим,   │ а+в │²=│а│²+2│ав│+│в│²,

                                                      а²+2ав+в²=а²+2│ав│+в²,    откуда │ав│= ав

 А последнее равенство будет верным при ав≥0.

     

Утверждение 2. Равенство  │а-в│=│а│+│в│ является  верным  при ав≤0.

Доказательство. Для доказательства достаточно в равенстве

        │а+в│=│а│+│в│  заменить в на -в, тогда а·(-в) ≥0, откуда ав≤0.

 

   Утверждение 3.Равенство │а│+│в│= а+в выполняется при а ≥0 и в ≥0.

Доказательство. Рассмотрев четыре случая  а ≥0 и в ≥0; а ≥0 и  в<0; а<0 и      в ≥0; а<0 и в<0, непосредственно убедимся в том , что равенство выполняется  только при а ≥0 и в ≥0.

 

Утверждение 4. Равенство| а │ - │ в │ = │а-в│ справедливо при условии  

  в (а-в) ≥0.

Доказательство. Запишем данное равенство в виде │а-в│+│ в │=│а│. Согласно утверждению 1 полученное равенство является верным, если

(а-в) в ≥0.

 

Утверждение 5. Равенство  │а+в│=│а│-│в│ справедливо при в (а+в) ≤0. Это утверждение следует из предыдущего при замене в на - в.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.      РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

 

 

 

 

 

 

 

 

Управление образования администрации

Озинского муниципального района Саратовской области

 

Муниципальное образовательное учреждение

«Основная общеобразовательная школа р.п. Озинки»

 

 

ул.8-ое Марта, д.9, р.п. Озинки, Саратовская область,413620

Тел.: (884576) 4-15-78, e-mail: ozin-oosh@yandex.ru

ОКПО 51418924, ОГРН 1026400706650, ИНН/КПП 6423004423

 

«Рассмотрено» Руководитель ШМО _____________.Н.П.Лявинскова   Протокол № ___ от «____»____________2013 г.

«Согласовано» Заместитель директора школы по УВР ______________Н.П.Лявинскова «____»____________2013 г.

«Утверждено» Директор _____________Л.В.Кузнецова   Приказ № ___ от «___»____2013г.

 

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГА

 

Девициной Ирины Яковлевны

1 квалификационная категория

 

по математическому спецкурсу 

«Для тех, кто хочет знать больше»

 7 класс

 

 

2013-2014 учебный год

 

 

 

 

 

 

ОЗИНКИ       2013