1552916
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыУрок+презентация по теме ""Степенная и показательная функции"

Урок+презентация по теме ""Степенная и показательная функции"

Выбранный для просмотра документ План урока по теме Степенная и показательные функции.doc

библиотека
материалов

Тема: Степенная функция, её свойства и график. Показательная функция, её свойства и график

Цели: - образовательная: организовать работу учащихся по усвоению определения степенной и показательной функций;

- развивающая: развить умение построения графиков показательной и степенной функций, проводить преобразования графиков степенной и показательной функций;

- воспитательная: прививать познавательный интерес к предмету, аккуратность, любознательность.

Задачи: строить графики показательных и степенных функций;

Оборудование: маркерная доска, интерактивная доска, презентация Power Point.

Тип урока: комбинированный


Ход урока

  1. Организационная часть.

  2. Актуализация знаний

  1. Независимая переменная (х)

  2. Наглядный способ задания функции (графический)

  3. Относительно какой оси координат симметричен график чётной функции? (Оу)

  4. Что является графиком квадратичной функции? (парабола)

  5. Что обозначают буквой D? (область определения)

  6. Как называется способ задания функции с помощью формулы? (аналитический)

  7. Графиком какой функции является прямая? (линейной)

  8. О какой функции речь? Чем больше х, тем больше у? (возрастающая)

  9. Свойство функции f(-x) = f(x ) означает … (четность)

  10. Множество значений, принимаемых независимой переменной – это … (область определения)

  11. Что обозначают буквой Е? (область значений)

  12. Относительно чего симметричен график нечётной функции? (начала координат)

  13. Как называются точки пересечения графика функции с осью Ох? (нули функции)

  1. Изучение нового материала

Степенная функция

Вы знакомы с функциями hello_html_7aeee588.gifи т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т.е. функции hello_html_m1cca5e7a.gif, где n - заданное действительное число.

Сhello_html_m185d3635.pngвойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях и р имеет смысл степень hello_html_m3b422784.gif. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени р.

  1. Показатель hello_html_m6c6875a5.gif - четное натуральное число.

В этом случае степенная функция hello_html_m391adcf4.gif, где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:

  • область определения - все действительные числа, т. е. hello_html_m3742561f.gif;

  • множество значений - неотрицательные числа, т. е. hello_html_4d4740dd.gif;

  • функция обращается в нуль при hello_html_7a0d18b1.gif; на множествах hello_html_7a584a72.gif принимает положительные значения;

  • функция hello_html_m391adcf4.gif -  четная, так как hello_html_m7c6314eb.gif

  • функция не является периодической;

  • функция ограничена снизу и не является ограниченной сверху, причём hello_html_m74e386dd.gif;

  • точка hello_html_7a0d18b1.gifявляется точкой минимума, в ней функция принимает своё наименьшее значение hello_html_m5fa5143a.gif;

  • функция является убывающей на промежутке hello_html_9ecb472.gif и возрастающей на промежуткеhello_html_2360f9e.gif;

  • функция выпуклая вниз на области определения.

График функции hello_html_m391adcf4.gif имеет такой же вид, как например график функции hello_html_4ef3c7bc.gif.

  1. hello_html_4f48b14d.pngПоказатель hello_html_m4315a515.gif - нечетное натуральное число. В этом случае степенная функция  hello_html_51e1dd87.gif, где п - натуральное число, обладает следующими свойствами:

  • область определения - множество R;

  • множество значений - множество R;

  • функция обращается в нуль при hello_html_7a0d18b1.gif; на множествах hello_html_731a7643.gif она принимает отрицательные значения, а на множестве hello_html_m17760b2.gif - положительные значения;

  • функция hello_html_51e1dd87.gif - нечетная, так как hello_html_m628ffe2b.gif;

  • функция не является периодической;

  • функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу, причём hello_html_7e5c52c6.gif;

  • функция не имеет точек экстремума;

  • функция является возрастающей на всей действительной оси.

  • функция выпуклая вверх на промежутке hello_html_m7b0e6f7d.gif и выпуклая вниз на промежутке hello_html_393135da.gif.

График функции hello_html_51e1dd87.gif имеет такой же вид, как, например, график функции hello_html_m717453d6.gif.

  1. Пhello_html_m7ef2c5d5.pngоказатель hello_html_m33a6f723.gif, где n - натуральное число.

В этом случае степенная функцияhello_html_m5468f1b8.gif обладает следующим и свойствами:

  • область определения - множество R, кроме hello_html_m5904b298.gif;

  • множество значений - положительные числа hello_html_50801a95.gif;

  • функция в нуль не обращается; на промежутках hello_html_7a584a72.gif принимает положительные значения;

  • функция  hello_html_2669f24.gif - четная, так как hello_html_129dbd88.gif;

  • функция не является периодической;

  • функция ограничена снизу и не является ограниченной сверху, причём hello_html_14fb2c3c.gif; прямая hello_html_7a0d18b1.gif является вертикальной асимптотой, hello_html_m5fa5143a.gif горизонтальной асимптотой;

  • функция не имеет точек экстремума;

  • функция является возрастающей на промежутке hello_html_3ae91696.gifи убывающей на промежутке hello_html_1181c650.gif;

  • функция выпуклая вниз на промежутках hello_html_7a584a72.gif.

График функции hello_html_2669f24.gif имеет такой же вид, как, например, график функции hello_html_13457abd.gif.

  1. Пhello_html_25ab58ce.pngоказатель hello_html_m52b87b0c.gif, где n - натуральное число. В этом случае степенная функция hello_html_m27550c1.gif обладает следующими свойствами:

  • область определения - множество R, кроме hello_html_m4ab37b5a.gif;

  • множество значений - множество R, кроме hello_html_m18056e53.gif;

  • функция в нуль не обращается; на множествах hello_html_731a7643.gif она принимает отрицательные значения, а на множестве hello_html_m17760b2.gif - положительные значения;

  • функция hello_html_m27550c1.gif - нечетная, так как hello_html_m6833b98a.gif;

  • функция не является периодической;

  • функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу, причём hello_html_mc09bea6.gif; прямая hello_html_7a0d18b1.gif является вертикальной асимптотой, hello_html_m5fa5143a.gif горизонтальной асимптотой;

  • функция не имеет точек экстремума;

  • функция является убывающей на промежутках hello_html_3ae91696.gif и hello_html_2360f9e.gif;

  • функция выпукла вверх на промежутке hello_html_731a7643.gif и выпукла вниз – на hello_html_m17760b2.gif.

Гhello_html_152ee5e4.pngрафик функции hello_html_m27550c1.gif имеет такой же вид, как, например, график функции hello_html_697c01da.gif.

  1. Показатель р – положительное дробное число, hello_html_6b6025c6.gif

  • область определения: hello_html_m559cc6d9.gif;

  • множество значения: hello_html_1bfc44c5.gif;

  • функция обращается в нуль при hello_html_7a0d18b1.gif; на промежутке hello_html_m74dc45d0.gif принимает положительные значения;

  • функция не является ни чётной, ни нечётной;

  • функция не является периодической;

  • функция ограничена снизу и не является ограниченной сверху, причём hello_html_b6bc2c4.gif;

  • функция принимает наименьшее значение hello_html_m5fa5143a.gifпри hello_html_7a0d18b1.gif;

  • функция возрастает на промежутке hello_html_m3ccbe9ea.gif;

  • функция на всей области определения при hello_html_6c05c32d.gifвыпуклая вниз, а при hello_html_ac79a38.gif - выпуклая вверх.

  1. Показатель р – отрицательное дробное число, hello_html_m7e3d7090.gif

  • область определения: hello_html_m1e6dcbee.gif;

  • множество значения: hello_html_172060fe.gif;

  • функция на промежутке hello_html_m74dc45d0.gif принимает положительные значения;

  • функция не является ни чётной, ни нечётной;

  • фhello_html_m6d4bec97.pngункция не является периодической;

  • функция ограничена снизу и не является ограниченной сверху, причём hello_html_6d642b82.gif; прямая hello_html_7a0d18b1.gif является вертикальной асимптотой, hello_html_m5fa5143a.gif горизонтальной асимптотой;

  • функция не имеет точек экстремума;

  • функция убывает на всей области определения;

  • функция на всей области определения выпуклая вниз.


Показательная функция

 Функция, заданная формулой hello_html_6955f2f8.gif,  где  hello_html_m19ee7f0a.gifhello_html_36f5e451.gif называют показательной функцией.  а – основание показательной функции, х – показатель этой функции. График показательной функции называется экспонентой.

На рисунке представлены графики показательных функций hello_html_16306452.gif и hello_html_m6efd91c7.gif.

Так как hello_html_m8332069.gif, график любой показательной функции проходит через точку hello_html_7b31f961.gif. При  hello_html_m588fe613.gif мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1.

Оhello_html_4e9bcd56.pngсновные характеристики и свойства показательной функции:

- область определения функции: hello_html_m3742561f.gif;

- область значений:  hello_html_50801a95.gif;

- на области определения функция принимает только положительные значения;

- функция не является ни чётной, ни нечётной;

- функция не является периодической;

- функция ограничена снизу и не является ограниченной сверху, причём:

а) если hello_html_100a92d5.gif, то hello_html_182eefd.gif;

б) если hello_html_m1e7bb57f.gif, то hello_html_612b3ae4.gif; прямая hello_html_m5fa5143a.gif является горизонтальной асимптотой;

- функция не имеет точек экстремума;

- функция монотонна: возрастает при  hello_html_100a92d5.gif и убывает при  hello_html_m1e7bb57f.gif;

- функция выпуклая вниз на промежутке hello_html_m92db574.gif

Укажите, какие из данных функций являются показательными:

hello_html_m41188308.gif

Укажите, какая из данных функций является возрастающей, какая – убывающей на множестве R:

hello_html_315be7b0.gif

hello_html_5f50e833.gif

hello_html_m16fa797a.gif

  1. Закрепление нового материала

    1. Вычислите значение функции hello_html_1a18acbe.gif в точках 4; hello_html_1294f5ce.gif; 0; 0,01.

3. Дана функция hello_html_68bbe56f.gif. Вывести правило, по которому можно, не выполняя построение графика данной функции, найти область значения функции.

4. Найти область значений функции:

hello_html_6bbc1743.gif

hello_html_m283a7351.gif

hello_html_5e41f2b2.gif

hello_html_4014a032.gif

5. Установите соответствие между графиками, изображёнными на рисунке и степенными функциями:

hello_html_5add036.gif hello_html_7b8a2736.gifhello_html_58fc68f6.gif

hello_html_7ba8c94b.gif hello_html_m378ab0c0.gifhello_html_m824ac3c.gif

hello_html_79e05c30.png














    1. д 4) - б

    2. в 5) - а

    3. е 6) - u

6. Построить графики функций:

а) hello_html_1763cd16.gif

Рhello_html_2b39a561.pngешение:

Алгоритм:

hello_html_m1304dcc4.gif

hello_html_m488d321a.gif





б) hello_html_81b5a17.gif

Решение:

Алгоритм:

hello_html_m1304dcc4.gif

hello_html_m14f12deb.gif(переносим ось Оу на 2 единицы вправо)

hello_html_2cc290cc.gif(переносим ось Ох на 2 единицы вниз)


в) hello_html_79963053.gif

Рhello_html_m10e3d2b5.pngешение:

Алгоритм:

hello_html_m1304dcc4.gif

hello_html_56e350c9.gif(переносим ось Оу на 2 единицы вправо)

hello_html_2cc290cc.gif(переносим ось Ох на 2 единицы вниз)

hello_html_ed8fc4b.gif(та часть графика, которая находится ниже оси Ох, зеркально отображается вверх)

г) hello_html_m4a36a386.gif;

Решение:

Алгоритм:

hello_html_f6edab1.gif

hello_html_3e6e55da.gif(переносим ось Оу на 2 единицы

вправо)

hello_html_m51265ec2.gif(переносим ось Ох на 3 единицы

вверх)

д) hello_html_m789f3157.gif;

Решение:

Алгоритм:

hello_html_3f36ac05.gif

hello_html_499a4e5c.gif(сжимаем график функции вдоль оси Ох в 2 раза)

hello_html_m5b37f3c9.gif(переносим ось Ох на 3 единицы вверх)


hello_html_m7aadd834.gif; (та часть графика, которая находится ниже оси Ох, зеркально отображается вверх)


ж) hello_html_m7d5d865e.gif;

Решение:

Алгоритм:

hello_html_m1e7f2ea9.gifhello_html_401bd457.png

hello_html_7eeafed3.gif




7. В одной и той же системе координат построить графики функций:

а) hello_html_67d88152.gif;

б) hello_html_7f3ed2d1.gif;

V. Домашнее задание: Н.Я. Виленкин «Алгебра и начала анализа - 11» №110 (2), №114 (1, 3), № 181 (2, 6), № 184 (2, 4).











Выбранный для просмотра документ Степенная и показательная функции.ppt

библиотека
материалов
Степенная функция
Показатель p = 2n – чётное натуральное число
отрицательные значения 4. Нечетная 5. Непериодическая  6. Не ограничена ни св...
Показатель р = – 2n, где n – натуральное число 4. Четная 5. Непериодическая ...
Показатель р = – (2n-1), где n – натуральное число
Показатель р – положительное дробное число
y x -1 0 1 2 у = х-4 у = (х – 2)-4
y x -1 0 1 2 у = х-4 у = х– 4 – 3
y x -1 0 1 2 у = х-4 у = (х+1)– 4 – 3
y x -1 0 1 2 у = х-3 у = (х-2)– 3– 1
y x -1 0 1 2 у = (х+2)–1,3 +1 у = х-1,3
Функция вида называется показательной функцией с основанием а и показателем х
График показательной функции
Свойства показательной функции Свойства	 a>1 	0
 Какие из данных функций являются показательными?
Укажите возрастающую функцию:
Укажите убывающую функцию:
Вычислите значение функции в точках:
Дана функция . Вывести правило, по которому можно, не выполняя построение гра...
Решение: у=0,3х-4 0,3х>0, для всех х 0,3х -4>0-4 у>-4 Ответ: (-4;+∞)
Найдите область значений функций:
Установите соответствие между графиками, изображёнными на рисунке и степенным...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Степенная функция
Описание слайда:

Степенная функция

2 слайд Показатель p = 2n – чётное натуральное число
Описание слайда:

Показатель p = 2n – чётное натуральное число

3 слайд отрицательные значения 4. Нечетная 5. Непериодическая  6. Не ограничена ни св
Описание слайда:

отрицательные значения 4. Нечетная 5. Непериодическая  6. Не ограничена ни сверху, ни снизу  8. Возрастающая 9. Выпуклая вверх 1. 2. 3. - принимает - принимает положительные значения 7. Точек экстремума нет  , выпуклая вниз Показатель p = 2n-1 – нечётное натуральное число

4 слайд Показатель р = – 2n, где n – натуральное число 4. Четная 5. Непериодическая 
Описание слайда:

Показатель р = – 2n, где n – натуральное число 4. Четная 5. Непериодическая  6. Ограничена снизу  9. Выпуклая вниз 1. 2. 3. - принимает положительные значения 7. Точек экстремума нет  возрастает и 8. убывает и

5 слайд Показатель р = – (2n-1), где n – натуральное число
Описание слайда:

Показатель р = – (2n-1), где n – натуральное число

6 слайд Показатель р – положительное дробное число
Описание слайда:

Показатель р – положительное дробное число

7 слайд
Описание слайда:

8 слайд y x -1 0 1 2 у = х-4 у = (х – 2)-4
Описание слайда:

y x -1 0 1 2 у = х-4 у = (х – 2)-4

9 слайд y x -1 0 1 2 у = х-4 у = х– 4 – 3
Описание слайда:

y x -1 0 1 2 у = х-4 у = х– 4 – 3

10 слайд y x -1 0 1 2 у = х-4 у = (х+1)– 4 – 3
Описание слайда:

y x -1 0 1 2 у = х-4 у = (х+1)– 4 – 3

11 слайд y x -1 0 1 2 у = х-3 у = (х-2)– 3– 1
Описание слайда:

y x -1 0 1 2 у = х-3 у = (х-2)– 3– 1

12 слайд y x -1 0 1 2 у = (х+2)–1,3 +1 у = х-1,3
Описание слайда:

y x -1 0 1 2 у = (х+2)–1,3 +1 у = х-1,3

13 слайд Функция вида называется показательной функцией с основанием а и показателем х
Описание слайда:

Функция вида называется показательной функцией с основанием а и показателем х

14 слайд График показательной функции
Описание слайда:

График показательной функции

15 слайд Свойства показательной функции Свойства	 a>1 	0
Описание слайда:

Свойства показательной функции Свойства a>1 0<a<1 Область определения функции хє(-∞;+∞) Область значений функции ує(0;+∞) Монотонность возрастает убывает Наибольшее и наименьшее значение не существует Нули функции не существует

16 слайд  Какие из данных функций являются показательными?
Описание слайда:

Какие из данных функций являются показательными?

17 слайд Укажите возрастающую функцию:
Описание слайда:

Укажите возрастающую функцию:

18 слайд Укажите убывающую функцию:
Описание слайда:

Укажите убывающую функцию:

19 слайд Вычислите значение функции в точках:
Описание слайда:

Вычислите значение функции в точках:

20 слайд Дана функция . Вывести правило, по которому можно, не выполняя построение гра
Описание слайда:

Дана функция . Вывести правило, по которому можно, не выполняя построение графика данной функции, найти область значений функции

21 слайд Решение: у=0,3х-4 0,3х&gt;0, для всех х 0,3х -4&gt;0-4 у&gt;-4 Ответ: (-4;+∞)
Описание слайда:

Решение: у=0,3х-4 0,3х>0, для всех х 0,3х -4>0-4 у>-4 Ответ: (-4;+∞)

22 слайд Найдите область значений функций:
Описание слайда:

Найдите область значений функций:

23 слайд Установите соответствие между графиками, изображёнными на рисунке и степенным
Описание слайда:

Установите соответствие между графиками, изображёнными на рисунке и степенными функциями:

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
Разработка урока по теме "Степенная и показательная функции" содержит в себе материал, предназначенный для учеников 11 класса с углубленным изучением математики. В данной разработке имеется конспект урока с подробным объяснением понятий степенной и показательной функций, преобразованиями над этими функциями, их свойствами, сходством и различием между ними. В качестве наглядности вниманию учеников предоставляется презентация, в которой отображены основные моменты из данной темы. Для более широкого понимания темы, ученикам предлагаются задания на узнавание. Данная разработка также подходит для преподавателей колледжей и лицеев, где изучаются общеобразовательные предметы за курс 10-11 класса.
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.