Урок разноуровневого обобщающего повторения по теме «Решение логарифмических уравнений»

Подготовила  Рыбачук Нина Петровна- учитель математики высшей категории  МБОУ СОШ №4.

г. Тимашевск Краснодарский край

Длительность урока 40 минут.

Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответст­вии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.

Цель урока. Рассмотреть методы решения логарифми­ческих уравнений базового и повышенного уровня сложности. Организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

I этап урока - организационный (1 минута)

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раз­даточный материал, который находится на партах.

II этап урока (9 минут)

Повторение теоретического материала по теме «Равносильные уравнения. Решение логарифмических уравнений»

Перед решением задач, учащимся необходимо напомнить основные теоретические факты, на основании которых решаются уравнения. В зависимости от уровня подготовки класса это могут быть либо устные ответы учащихся на вопросы учителя, либо совместная работа учителя и учащихся, но в том или ином виде на уроке должны прозвучать следующие определения и выводы с примерами:

Определение 1. Два     уравнения     с     одной     переменной  f(х) = 0   и g(х) = 0 называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами,  два уравнения называют равносильными, если    они    имеют    одинаковые    корни    (например,     х = 2    и

x² - 4х + 4 = 0) или если оба уравнения не имеют корней

(например,  и х² - 5х +10 = 0).

Определение 2. Если каждый корень уравнения   f(x) = 0 является в то же время корнем уравнения g(х) = 0, то второе уравнение называют следствием первого.

Например, уравнение (х-2)(х + 4) = 0 является следствием уравнения, в то же время уравнение x-2=0 не является следствием уравнения (х + 5)(х-2) = (х+5)

Определение 3. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Определение 4. Областью    допустимых    значений    (ОДЗ) уравнения f(х)=g(х) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения  f(х) и g(х).

Учитель совместно с учащимися приходит к выводу:

- если при решении некоторого уравнения мы все время переходим к равносильному уравнению или осуществляем преобразования и отбор корней по ходу решения с учетом ОДЗ, то в итоге получим корни исходного уравнения, кото­рые не нуждаются в проверке;

- если же при решении уравнения мы на каком-либо шаге  получаем уравнение-следствие и/или осуществляем преобразования без учета ОДЗ, то в конце решения необходимо сделать проверку полученных корней.

Учитель просит ответить учащихся на вопрос «Какое уравнение называется простейшим логарифмическим уравнени­ем?»

Ответ: «Простейшее логарифмическое уравнение - это уравнение вида log_aх = b, где а > 0. а 1. Оно имеет единственное,  решение х=а^b    при любом b (уравнение записывается на доске).

Учитель предлагает учащимся привести пример простейшего логарифмического уравнения и записать его решение. Один из учащихся записывает на доске;  log₃х = 2

Решение:      х = 3²,   х = 9.

Учитель напоминает, что в качестве аргумента может выступать функция f(х), тогда:

Уравнение log_a f(x)=b, а>0, а 1   равносильно уравнению f(х)=a^b (уравнение записывается на доске).

Учитель приглашает одного из учащихся к доске для решения уравнения: log₃ (x²+8x) =2

Решение:     х² + 8х = 9, х²+8х - 9 = 0, х = 1, х = - 9.

Учитель задает вопрос «Нужно ли делать проверку полу­щенных решений?)

Ответ: Нет, т.к. при решении был совершен равносильный переход.

Учитель      записывает    следующее   уравнение

log_a f(x) = log_a g(x), а > 0, а1   на доске и предлагает учащимся изложить алгоритм его решения.

Ответ: Уравнение log_a f(x) = log_a g(x), а > 0, а1, равносильно каждой из следующих систем

1) и     2)

Система выбирается в зависимости от того, какое из неравенств f(х)>0 или g(х)>0 проще решить.

         Учитель приглашает, одного из учащихся к доске для решения уравнения log₂ (x²+5x) = log₂ (4+2x).

         Решение: .

Учитель обращает внимание учащихся, что в основании логарифма может стоять функция и тогда уравнение приобретает вид:

 log_u(x) f(x) = log_u(x) g(x), которое равносильно каждой из систем (предлагает сильному учащемуся записать на доске эти системы):

1)                 и       2)

Решите уравнение  log_1-x (x²+x) = log_1-x (4-2x)

Решение.

.

Учитель обращает, внимание сильной группы учащихся на полезность, знания формул, которые в раздаточном материале напечатаны на листочках белого цвета,

Белая карточка (для учащихся 1-й группы)

При решении логарифмических уравнений следует обра­тить внимание на преобразования выражений вида

log_a (f(x) g(x)) = log_a│f(x) │+ log_a│g(x) │,при  f(x) g(x)>0.

log_a= log_a│f(x) │- log_a│g(x) │,  при  f(x) g(x)>0.

log_a f(x)^2k ₌ 2k log_a│f(x) │, при kZ

log_(u(x))^2k (f(x))=  log_│u(x)│ f(x) ,при kZ, k≠0.

III этап урока (25 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа

Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на ее выполнение отводится 15 минут.

Для учащихся 3-й группы учителем составлены желтые карточки в 3-х вариантах. Учащиеся 3-й группы - это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой, педагогически запущенные школьники. Работа для них содержит простейшие задания и два задания на темы, по которым они уже демонстрировали успешное выполнение заданий. Все задания в варианте базового уровня сложности. Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

Желта я карточка № 1

1. Найдите значение выражения    3^-4,5а  3^2,5а,    при   а =

1)              2)   3              3)   1            4)  

2. Вычислите:   log₅ 15+ log₅   

1)   5              2)   1             3)             4)  -1

3. Укажите множество значений функции y = 2- log₂ x.

 1) (0; +)       2) (-; +)    3) (2; +)    4) (-; 2)

4. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции              y = ln x. Укажите номер этого рисунка.

1)                                                         3)      

2)                                                          4)

5.Решите уравнение log₂ (х-1) = 3.

6.Решите уравнение log₅ 3(х - 2) + log₅ 3 =  log₅ 3(х + 1).

Желтая карточка № 2

1. Упростите выражение    .

1)  7,2 а^2,5                 2) 11 а^2,5           3) 7,2 а^1,5        4) 11 a^1,5

2.  Вычислите:

1)  0                        2)  - 4                 3)   12            4)  11

3. Укажите множество значений функции   

1)              2)          3)      4)   

4.  На одном  из рисунков  изображен  эскиз  графика функции
. Укажите номер этого рисунка.

1)                                                                                                                                     3)

2)                                                     4)

5. Решите уравнение .

6. Решите уравнение  

Желтая карточка № 3

1. Вычислите:

1)  250                      2) 70                  3) 10     4) 430

2.  Вычислите:

1)  50                      2)  25                 3)   5              4)  70

3. Укажите множество значений функции   

1)                  2)                 3)      4)   

4.  На одном  из рисунков  изображен  эскиз  графика функции
. Укажите номер этого рисунка.

2)                                                                                                                                     3)

2)                                                     4)

5. Решите уравнение .

6. Решите уравнение  

Для учащихся 2-й группы учитель выдал книги «Тестовые задания, по алгебре и началам анализа» с вложенными бланками для ответов, в которых указан номер варианта, который должен выполнять каждый учащийся (10                                          вариантов).

Трем наиболее подготовленным учащимся из этой группы учитель предлагает решать задачи на доске по зеленым карточкам.

Зеленая карточка № 1

(задания выполняются на доске)

1.  Решите уравнение (если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите их сумму).

2.  Решите уравнение     .

Зеленая карточка № 2

(задания выполняются на доске)

1.  Решите уравнение (если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите их сумму).

2.  Решите уравнение     .

Зеленая карточка № 3

(задания выполняются на доске)

1.  Решите уравнение (если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите их сумму).

2.  Решите уравнение    

Учащимся 1-й группы учитель выдал розовые карточки с задачами повышенного уровня сложности. В своих работах учащиеся должны были представить краткий ответ на первую задачу и развернутое решение второй задачи.

Красная карточка № 1

1. Найдите сумму корней уравнения (или корень, если он единственный)         .

2. Решите уравнение .

Красная карточка № 2

1. Найдите произведение корней уравнения (или корень, если он единственный) .

2. Решите уравнение  

Красная карточка № 3

1. Найдите сумму корней уравнения (или корень, если он единственный)

2. Решите уравнение   

Во время выполнения работы учитель, при необходимости помогает учащимся 3-й группы выполнять задания наводящими вопросами и контролирует решение задач на доске.

По истечении времени учащиеся сдают работы.

IV этап урока (5 минут)

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

 Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравне­ний и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

В качестве домашнего задания учащиеся обмениваются вариантами самостоятельной работы, в своей группе.