•  

  Урок по теме «ЕГЭ. Группа В3.Методы вычисления площадей фигур»

   

  Работу выполнила учитель математики высшей категории Курылева Э. Р.

  МОУ «СОШ № 42» г. Воркуты Республики Коми.

   

  Данный урок проводится при подготовке обучающихся 11 класса к итоговой аттестации (ЕГЭ). В ходе урока обучающиеся повторяют и систематизируют теоретические сведения по данной теме, повторяют основные приёмы решения задач. Презентацию можно также использовать во время итогового повторения в 9 классах при подготовке к итоговой аттестации (ГИА). Работа содержит так же набор заданий для домашней работы и тест по рассматриваемой теме.

  
  

   

  Девизы  урока: -  «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».   Галилео Галилей.

  - «Глядя на мир, нельзя не удивляться»       Козьма Прутков.

   

  Тип  урока: урок повторения пройденного материала, изучения нового.

   

  Цели урока:

  Образовательные:

  - повторение основных известных формул вычисления площадей многоугольников;

  - изучение формулы Пика;

  - применение подобия при нахождении площадей фигур;

  - контроль уровня усвоения основных знаний, умений и навыков по данной теме.

   

  Развивающие:

   

  - развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;

   

  - развитие логического мышления;

  - обогащение математического словарного запаса обучающихся;

  - развитие самостоятельной деятельности обучающихся.

   

  Воспитательные:

  - воспитание познавательного интереса у обучающихся к математике;

  - трудолюбия, аккуратности;

  - умения работать в коллективе;

  - воспитание навыков самоконтроля.

   

  Оборудование:

  - карточки с заданиями для работы на уроке и дома;

   - компьютер, экран, проектор.

   

  Средства обучения: мультимедийная презентация к уроку.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Ход урока.

   

  № п/п	Действия учителя	Действия обучающихся
  1.Организационный момент	На экране слайд 1.   Девизы сегодняшнего урока: «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».   Галилео Галилей - «Глядя на мир, нельзя не удивляться»       Козьма Прутков Слайд 2 Учителем ставится цель урока: - повторение основных известных формул вычисления площадей многоугольников и применение их при решении задач из ЕГЭ; - изучение формулы Пика; - применение подобия при нахождении площадей фигур; - контроль уровня усвоения основных знаний, умений и навыков по данной теме.     Учитель сообщает план урока: 1.Повторение теоретических и практических вопросов темы вопросов темы; 2.Изучение формулы Пика; 3.Решение задач на формулу Пика; 4.Применение подобия для нахождения площадей; 5.Решение задач на применение подобия.	Успокаиваются после перемены, настраиваются на работу.
  2.Опрос обучающихся	Площади каких фигур мы можем вычислять с помощью наиболее известных формул, которые нам могут встретиться в ЕГЭ? Слайды 3,4,5,6,7,8. Учитель постепенно рассматривает возможные задачи, используя указанные  слайды.	Отвечают на вопрос, называют формулы: 1.       Площадь прямоугольника. 2.       Площадь параллелограмма 3.       Площадь треугольника 4.       Площадь ромба 5.       Площадь трапеции 6.       Площадь круга и кольца,.
  3. Изучение нового	А как можно искать площади «нестандартных» многоугольников? Слайд 9.   Учитель разбирает этот подход вместе с обучающимися. Слайд 10.   Учитель: Ребята, а есть ли ещё метод для таких фигур, кто может ответить?     Учитель разбирает пример. Слайд 11.   Учитель: Ребята, посмотрим ещё на один пример. Он нам покажет как применить осевую  симметрию. Слайд 12. Учитель: Есть один метод вычисления площадей многоугольников, который не входит в школьную программу (в Германии – входит), но он ОЧЕНЬ прост и КРАСИВ! Это формула Пика, о которой мы сегодня и поговорим на нашем занятии более подробно. Но сначала я хочу вам рассказать о том, кто же такой Пик. Слайд 13. Учитель даёт небольшую биографическую справку (см. Приложение 1) А теперь рассмотрим непосредственно саму теорему Пика. Слайды 14,15. Учитель: Здесь надо чётко понимать, что данная формула работает для многоугольников без самопересечений. Такой многоугольник называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат). Его граница – связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь. Рассмотрим примеры применения этой формулы на многоугольниках, площади которых мы уже нашли. Вы сами сможите оценить красоту и простоту этого метода. Слайды 16, 17.	Предлагают метод дополнительных построений.       Ответ: «разрезать» эту фигуру на более простые, т. е. такие, которые можно вычислить по формулам.                           Обучающиеся слушают учителя.
  4.Закрепление нового материала.	Учитель: Сейчас решим задачу № 1 из раздаточного материала «Задания для решения. Формула Пика». Ответ: ? 12	Обучающиеся решают задачу, решение записывают прямо на выданных листах, ответ сравнивают друг с другом.
  5.Применение подобия.	Учитель: А сейчас рассмотрим ещё один метод нахождения площадей плоских фигур, а именно – кругов. Мы привыкли, что площадь круга ищется с помощью всем нам известной формулы . Т. е. для решения задачи мы должны были в основном с этой формулой и работать. Но оказывается не всегда целесообразно её применение. Рассмотрим следующий пример из банка заданий для проведения ЕГЭ по математике. Пример. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 45. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Слайд 18.  Учитель разбирает решение задачи с помощью слайда.     Учитель: Этот метод применим и при решении задач на нахождение объёмов тел, о чём мы поговорим позднее, после изучения темы «Объёмы тел» на уроках геометрии. А сейчас решаем вторую задачу из того же набора. Ответ: ? 536	Обучающиеся записывают решение на выданных листах с заданиями. (Приложение 3) Обучающиеся решают задачу вместе с учителем, решение записывают прямо на выданных листах, ответ сравнивают друг с другом.               Обучающиеся решают задачу, один из них вызывается к доске.
  7.       Итоги урока	Учитель: Заканчивая занятие, я хочу вас спросить: Так какие методы вычисления площадей мы сегодня повторили и вновь изучили? Учитель работает со слайдом 19. - Что-то нового вы узнали сегодня? - Было ли вам интересно это новое? - Как вы думаете, помогут ли эти знания вам лучше сдать экзамен?	Идёт обсуждение тем урока, их целесообразность и необходимость.
  5.Домашнее задание	1. Дорешать все задачи на выданных листах и тест по В3. 2. Повторить формулы нахождения площади круга, площади сектора, формулы средней линии треугольника и трапеции. 3. Тест по группе В3. Всем спасибо за урок! Слайд 20.	Обучающиеся записывают задание.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

  Литература.

   

  1.Открытый банк заданий для подготовке к ЕГЭ по математике http://mathege.ru

  2.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010

  3. http://en.wikipedia.org/wiki/Pick’s_theorem

  4.Н. Б. Васильев. Вокруг формулы Пика. Журнал « Квант». 1974, № 12.

  5.А. Кушниренко. Целые точки в многоугольниках. Журнал « Квант». 1977, № 4.

  6.В. А. Семёнов. ЕГЭ 2013. Математика. Задача В3. Планиметрия: площади. Издание четвёртое, дополненное. Москва.: Изд. МЦНМО. 2013.

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    ЕГЭ. Группа В 3. Методы вычисления площадей фигур
    Работа учителя математики МОУ «СОШ №42» г. Воркуты
    Курылевой Э. Р.
    

  • 

    2 слайд

    «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».
    Галилео Галилей.
    
    
    «Глядя на мир, нельзя не удивляться»
    Козьма Прутков
    

  • 

    3 слайд

    Площадь прямоугольника
    S=a∙b
    
    Ответ: 6
    

  • 

    4 слайд

    Площадь параллелограмма
    S=a∙h
    
    
    Ответ: 9
    

  • 

    5 слайд

    Площадь треугольника
    S=a∙h/2
    
    
    

  • 

    6 слайд

    Площадь ромба
    
    Ответ: 24
    

  • 

    7 слайд

    Площадь трапеции
    
    
    

  • 

    8 слайд

    Площадь кольца
    Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны        .
    
    
    
    
    
    
    
    
    Ответ: 104
    

  • 

    9 слайд

    ????????????????????????????????
    

  • 

    10 слайд

    Дополнительное построение
    Ответ: 27
    

  • 

    11 слайд

    Разрезание
    Получили две фигуры: трапецию и прямоугольный треугольник.
    Ответ: 17
    

  • 

    12 слайд

    Симметрия
    Ответ: 12
    

  • 

    13 слайд

    Формула Пика
    Георг Алекса́ндр Пик
    (10.08.1859-13.07.1942) ,
    австрийский математик. 
    
    

  • 

    14 слайд

    Теорема Пика для вычисление площади многоугольника с целочисленными вершинами .
    
    
    
    
    
    
     Пусть  L — число целочисленных точек внутри многоугольника,   
    B— количество целочисленных точек на его границе, 
     S— его площадь.
    Тогда справедлива формула Пика:
    
    S=L+B/2-1
    
    

  • 

    15 слайд

    Мы будем пользоваться этой в более удобном для нас виде. Введём другие обозначения:
    В - число целочисленных точек внутри многоугольника,   
    Г - количество целочисленных точек на его границе, тогда формула Пика будет иметь вид:
    
    S=В+Г/2-1
    
    

  • 

    16 слайд

    Пример 1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см   1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
    Ответ: 27
    

  • 

    17 слайд

    Пример 2. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см   1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
    
    Ответ: 17
    

  • 

    18 слайд

    Применение подобия
    
    
    
    
    На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 45. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
    
    
    Ответ: 1080
    

  • 

    19 слайд

    Итоги занятия
    При решении задач на нахождение площадей фигур можно использовать следующие методы:
    1. Основные формулы вычисления площадей плоских фигур.
    2. Метод дополнительного построения .
    3. Метод разрезания.
    4. Формула Пика.
    5. Применение подобия.
    6. Осевая симметрия.
    

  • 

    20 слайд

    Удачи в учёбе и на ЕГЭ!
    

• Краткая биографическая справка.

   

  

   

  Георг Александр Пик (10.08.1859 – 13.07.1942) – австрийский математик, родился в еврейской семье.

              Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет он получил право преподавать математику и физику. 16 апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти хабилитацию. Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэпиллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла – Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

              В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м году стал ординарным профессором. В 1900 – 1901 годах пост декана философского факультета.

              В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Энштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Энштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете. Пик и Энштейн имели не только общие научные интересы, но они оба страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Энштейна в научное и музыкальное общества Праги.

              Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

              После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. Однако в 1938 году послеаншлюса Австрии 12 марта он вернулся в Прагу. За десять лет до того в 1928 году Пик был избран членом-корреспондентом Чешской академии наук и искусств, но в 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, он был исключён из академии.

  13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

   

   

•  

  ЗАДАНИЯ для решения. Формула Пика.

   

   

   

• Применение подобия.

  На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 45. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

  На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 67. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

  На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 8. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

  На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 39. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

  На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 16. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

  На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 81. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

  На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 92. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

  На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

   

• 

   

   

   

  

   

  

   

  

   

   

Краткое описание материала