Выбранный для просмотра документ Конспект урока.docx
Урок по теме «ЕГЭ. Группа В3.Методы вычисления площадей фигур»
Работу выполнила учитель математики высшей категории Курылева Э. Р.
МОУ «СОШ № 42» г. Воркуты Республики Коми.
Данный урок проводится при подготовке обучающихся 11 класса к итоговой аттестации (ЕГЭ). В ходе урока обучающиеся повторяют и систематизируют теоретические сведения по данной теме, повторяют основные приёмы решения задач. Презентацию можно также использовать во время итогового повторения в 9 классах при подготовке к итоговой аттестации (ГИА). Работа содержит так же набор заданий для домашней работы и тест по рассматриваемой теме.
Девизы урока: - «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». Галилео Галилей.
- «Глядя на мир, нельзя не удивляться» Козьма Прутков.
Тип урока: урок повторения пройденного материала, изучения нового.
Цели урока:
Образовательные:
- повторение основных известных формул вычисления площадей многоугольников;
- изучение формулы Пика;
- применение подобия при нахождении площадей фигур;
- контроль уровня усвоения основных знаний, умений и навыков по данной теме.
Развивающие:
- развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;
- развитие логического мышления;
- обогащение математического словарного запаса обучающихся;
- развитие самостоятельной деятельности обучающихся.
Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса у обучающихся к математике;
- трудолюбия, аккуратности;
- умения работать в коллективе;
- воспитание навыков самоконтроля.
Оборудование:
- карточки с заданиями для работы на уроке и дома;
- компьютер, экран, проектор.
Средства обучения: мультимедийная презентация к уроку.
Ход урока.
|
№ п/п |
Действия учителя |
Действия обучающихся |
|
1.Организационный момент |
На экране слайд 1.
Девизы сегодняшнего урока: «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». Галилео Галилей - «Глядя на мир, нельзя не удивляться» Козьма Прутков Слайд 2
Учителем ставится цель урока: - повторение основных известных формул вычисления площадей многоугольников и применение их при решении задач из ЕГЭ; - изучение формулы Пика; - применение подобия при нахождении площадей фигур; - контроль уровня усвоения основных знаний, умений и навыков по данной теме.
Учитель сообщает план урока: 1.Повторение теоретических и практических вопросов темы вопросов темы; 2.Изучение формулы Пика; 3.Решение задач на формулу Пика; 4.Применение подобия для нахождения площадей; 5.Решение задач на применение подобия.
|
Успокаиваются после перемены, настраиваются на работу.
|
|
2.Опрос обучающихся |
Площади каких фигур мы можем вычислять с помощью наиболее известных формул, которые нам могут встретиться в ЕГЭ? Слайды 3,4,5,6,7,8. Учитель постепенно рассматривает возможные задачи, используя указанные слайды. |
Отвечают на вопрос, называют формулы: 1.
Площадь прямоугольника. 2.
Площадь параллелограмма 3.
Площадь треугольника 4.
Площадь ромба 5.
Площадь трапеции 6.
Площадь круга и кольца |
|
3. Изучение нового |
А как можно искать площади «нестандартных» многоугольников? Слайд 9.
Учитель разбирает этот подход вместе с обучающимися. Слайд 10.
Учитель: Ребята, а есть ли ещё метод для таких фигур, кто может ответить?
Учитель разбирает пример. Слайд 11.
Учитель: Ребята, посмотрим ещё на один пример. Он нам покажет как применить осевую симметрию. Слайд 12. Учитель: Есть один метод вычисления площадей многоугольников, который не входит в школьную программу (в Германии – входит), но он ОЧЕНЬ прост и КРАСИВ! Это формула Пика, о которой мы сегодня и поговорим на нашем занятии более подробно. Но сначала я хочу вам рассказать о том, кто же такой Пик. Слайд 13.
Учитель даёт небольшую биографическую справку (см. Приложение 1) А теперь рассмотрим непосредственно саму теорему Пика. Слайды 14,15.
Учитель: Здесь надо чётко понимать, что данная формула работает для многоугольников без самопересечений. Такой многоугольник называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат). Его граница – связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь.
Рассмотрим примеры применения этой формулы на многоугольниках, площади которых мы уже нашли. Вы сами сможите оценить красоту и простоту этого метода. Слайды 16, 17.
|
Предлагают метод дополнительных построений.
Ответ: «разрезать» эту фигуру на более простые, т. е. такие, которые можно вычислить по формулам.
Обучающиеся слушают учителя.
|
|
4.Закрепление нового материала. |
Учитель: Сейчас решим задачу № 1 из раздаточного материала «Задания для решения. Формула Пика». Ответ: ? 12 |
Обучающиеся решают задачу, решение записывают прямо на выданных листах, ответ сравнивают друг с другом.
|
|
5.Применение подобия. |
Учитель: А сейчас рассмотрим ещё один метод нахождения площадей
плоских фигур, а именно – кругов. Мы привыкли, что площадь круга ищется с
помощью всем нам известной формулы Пример. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 45. Найдите площадь заштрихованной фигуры. Слайд 18.
Учитель разбирает решение задачи с помощью слайда.
Учитель: Этот метод применим и при решении задач на нахождение объёмов тел, о чём мы поговорим позднее, после изучения темы «Объёмы тел» на уроках геометрии. А сейчас решаем вторую задачу из того же набора. Ответ: ? 536
|
Обучающиеся записывают решение на выданных листах с заданиями. (Приложение 3) Обучающиеся решают задачу вместе с учителем, решение записывают прямо на выданных листах, ответ сравнивают друг с другом.
Обучающиеся решают задачу, один из них вызывается к доске. |
|
7. Итоги урока |
Учитель: Заканчивая занятие, я хочу вас спросить: Так какие методы вычисления площадей мы сегодня повторили и вновь изучили? Учитель работает со слайдом 19. - Что-то нового вы узнали сегодня? - Было ли вам интересно это новое? - Как вы думаете, помогут ли эти знания вам лучше сдать экзамен?
|
Идёт обсуждение тем урока, их целесообразность и необходимость. |
|
5.Домашнее задание |
1. Дорешать все задачи на выданных листах и тест по В3. 2. Повторить формулы нахождения площади круга, площади сектора, формулы средней линии треугольника и трапеции. 3. Тест по группе В3. Всем спасибо за урок! Слайд 20.
|
Обучающиеся записывают задание. |
Литература.
1.Открытый банк заданий для подготовке к ЕГЭ по математике http://mathege.ru
2.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Pick’s_theorem
4.Н. Б. Васильев. Вокруг формулы Пика. Журнал « Квант». 1974, № 12.
5.А. Кушниренко. Целые точки в многоугольниках. Журнал « Квант». 1977, № 4.
6.В. А. Семёнов. ЕГЭ 2013. Математика. Задача В3. Планиметрия: площади. Издание четвёртое, дополненное. Москва.: Изд. МЦНМО. 2013.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Презентация.ppt
Скачать материал "Конспект + презентация + вспомогательные материалы по математике «ЕГЭ. Методы вычисления площадей»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
ЕГЭ. Группа В 3. Методы вычисления площадей фигур
Работа учителя математики МОУ «СОШ №42» г. Воркуты
Курылевой Э. Р.
2 слайд
«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».
Галилео Галилей.
«Глядя на мир, нельзя не удивляться»
Козьма Прутков
3 слайд
Площадь прямоугольника
S=a∙b
Ответ: 6
4 слайд
Площадь параллелограмма
S=a∙h
Ответ: 9
5 слайд
Площадь треугольника
S=a∙h/2
6 слайд
Площадь ромба
Ответ: 24
7 слайд
Площадь трапеции
8 слайд
Площадь кольца
Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны .
Ответ: 104
9 слайд
????????????????????????????????
10 слайд
Дополнительное построение
Ответ: 27
11 слайд
Разрезание
Получили две фигуры: трапецию и прямоугольный треугольник.
Ответ: 17
12 слайд
Симметрия
Ответ: 12
13 слайд
Формула Пика
Георг Алекса́ндр Пик
(10.08.1859-13.07.1942) ,
австрийский математик.
14 слайд
Теорема Пика для вычисление площади многоугольника с целочисленными вершинами .
Пусть L — число целочисленных точек внутри многоугольника,
B— количество целочисленных точек на его границе,
S— его площадь.
Тогда справедлива формула Пика:
S=L+B/2-1
15 слайд
Мы будем пользоваться этой в более удобном для нас виде. Введём другие обозначения:
В - число целочисленных точек внутри многоугольника,
Г - количество целочисленных точек на его границе, тогда формула Пика будет иметь вид:
S=В+Г/2-1
16 слайд
Пример 1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 27
17 слайд
Пример 2. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 17
18 слайд
Применение подобия
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 45. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Ответ: 1080
19 слайд
Итоги занятия
При решении задач на нахождение площадей фигур можно использовать следующие методы:
1. Основные формулы вычисления площадей плоских фигур.
2. Метод дополнительного построения .
3. Метод разрезания.
4. Формула Пика.
5. Применение подобия.
6. Осевая симметрия.
20 слайд
Удачи в учёбе и на ЕГЭ!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Приложение 1 Георг ПИК.docx
Краткая биографическая справка.
Георг Александр Пик (10.08.1859 – 13.07.1942) – австрийский математик, родился в еврейской семье.
Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет он получил право преподавать математику и физику. 16 апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти хабилитацию. Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэпиллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла – Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.
В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м году стал ординарным профессором. В 1900 – 1901 годах пост декана философского факультета.
В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Энштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Энштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете. Пик и Энштейн имели не только общие научные интересы, но они оба страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Энштейна в научное и музыкальное общества Праги.
Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. Однако в 1938 году послеаншлюса Австрии 12 марта он вернулся в Прагу. За десять лет до того в 1928 году Пик был избран членом-корреспондентом Чешской академии наук и искусств, но в 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, он был исключён из академии.
13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Приложение 2 Формула Пика.docx
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Приложение 3. Применение подобия.docx
Применение подобия.
|
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 45. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
|
|
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 67. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
|
|
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 8. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
|
|
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 39. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
|
|
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 16. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
|
|
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 81. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
|
|
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 92. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
|
|
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Приложение 4 Тест.docx
Скачать материал "Конспект + презентация + вспомогательные материалы по математике «ЕГЭ. Методы вычисления площадей»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
"Описание материала:
Данный материал содержит разработку занятия по подготовке к сдаче ЕГЭ. Разработка содержит конспект занятия, презентацию, вспомогательные материалы.
На занятии систематизируются знания учащихся по теме. Разбираются практически все возможные методы решения задач на нахождение площадей: основные формулы геометрии (7-9 классы), формула Пика.
Кроме того ученикам предлагается для рассмотрения несколько способов решения одних и тех же задач. Считаю, что данная разработка полезна не только при подготовке к ЕГЭ, но и для подготовки к ГИА.
6 662 872 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Курылева Эви Ростиславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.