Цикл уроков по математике: «Квадратные уравнения»

Урок №1 Класс 8-А Дата 23.01

Тема: Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.

Цель: - ввести понятие квадратного уравнения и неполного квадратного уравнения; научить учащихся решать неполные квадратные уравнения;

- развивать познавательный интерес;

- воспитывать аккуратность, самостоятельность.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Ход урока.

I. Вступительное слово учителя:

Квадратные уравнения умели решать близко 2 тыс лет до н.э. в Вавилоне по правилам, что по сути совпадают с современными. Умели решать квадратные уравнения и в давней Индии, индийский ученый Брахмагупта дал общее правило решения уравнений ах²+вх=с. Умел решать квадратные уравнения в XVIII веке и среднеазиатский математик Аль-Хорезми. Трактат ал-Хорезми – это первая книга, которая дошла до нашего времени, в которой предложены формулы решений квадратных уравнений.

Есть задачи, которые приводят к квадратным уравнениям и в известной «Арифметике» греческого математика Диофанта.

Выведение корней квадратного уравнения общего вида встречается у Виета. С XVII века благодаря трудам Декарта, Ньютона, Жирара решение квадратных уравнений приобретает современный вид.

II. Мотивация. Создание проблемы.

Задача. У прямоугольника длина на 4 см. больше его ширины. Найти его стороны, если площадь равна 60 см².

х(х+4)=60

х²+4х-60=0

III. Изучение нового материала.

- Ввести понятие квадратного уравнения или уравнения второй степени с одной неизвестной.

ах² +вх+с=0.

а, в, с – числа, а≠0, х – переменная.

- Закрепление: Какие из уравнений квадратные?

х² -5х+3=0

3-х=0

3х-1=0

-х² +2х=0

3х² -1=0

х² =0

В данных уравнениях найти 1-й , 2-й коэффициенты и свободный член.

3х² +5х+7=0

-х² -2х+3=0

х² -х+5=0

-0,5х² +6х-8=0

7х -8+ х²=0

- Ввести понятие неполного квадратного уравнения. Предложить детям самим составить неполные квадратные уравнения. В ходе эвристической беседы подвести детей к решению 3-х видов неполных квадратных уравнений.

ах² +вх+с=0, а≠0

с=0

в=0

в=0, с=0

ах² +вх=0

х(ах+в)=0

х=0 или ах+в=0

ах=-в

х=-

Ответ: х₁=0

х₂=-

ах² +с=0

ах² =-с

х²=-

Ответ: если - >0, то х_1,2=±;

если -<0, то решений нет.

ах² =0

х²=0

х=0

Ответ: х₁=х₂=0

IV. Закрепление:

№ 293 (а, г), № 294 (б, в), №295 (б, в), № 296 (б, в), № 298, № 200, № 309 (б).

№ 293 а) 2х(х-3)=50, г) (1-х)(3х-2)=2х+х²,

2х²-6х-50=0 -4х²+3х-2=0.

№ 294 б) у²=0, в) –z²=0

у²=0, у=0 z=0

Ответ: 0 Ответ: 0

№295 б) 3z²-z=0 в) 2c=c²

3z(z-2)=0 c²-2c=0

z₁=0 или z₂=2 c=0 или c=2

Ответ: 0; 2. Ответ: 0; 2.

№ 296 б) 2х²-8=0 в) -х²+1=0

2(х-2)(х+2)=0 -х²=-1

х-2=0 или х+2=0 х_1,2=±1

х₁=2_,х₂=-2

Ответ: 2; -2. Ответ: 1; -1.

№ 298 а) (z+2)(z-2)=0 б) (х+2)(х-2)=4

Ответ: z=±2 х²=8

х_1,2=±=±

Ответ: ±

№ 300 а) 4х²-2х=х(х-2) б) 8-6z=2z(z-3)

3х²=0 2z²-8=0

Ответ: 0 Ответ: ±

№ 309 б) х²-=0,81

х=±0,9, -0,9 не удовлетворяет условию

Р=4×0,9=3,6 (м)

Ответ: 3,6 м.

V. Итоги урока. Рефлексия.

- С каким видом уравнений мы познакомились?

- Какие уравнения называются неполными?

- Какими способами мы можем решить неполные квадратные уравнения?

VI. Домашнее задание.

§39, № 293(д, е), № 295 (а), № 296 (а), № 297, № 299.

Урок № 2 Класс 8-А Дата 24.01

Тема: Решение неполных квадратных уравнений.

Цель: - формировать умения и навыки при решении неполных квадратных уравнений и уравнений, которые сводятся к ним;

- развивать память, мышление;

- воспитывать культуру, активность, трудолюбие.

Тип урока: урок формирования умений и навыков.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания.

1. Наличие проверяют консультанты.

2. Все учащиеся класса выполняют математический диктант. Один из учеников – на откидной доске. В конце самопроверка.

Математический диктант.

Решите уравнения:

а) 3х²-9х=0; б) 3х²-48=0; в) (х-1)(х+1)=2(х²-5)

Ответ: 0; 3. Ответ: ±4. Ответ: ±3.

II. Актуализация опорных знаний.

Упражнение «Микрофон».

Вопросы, которые необходимо осветить:

1) Определение квадратного уравнения. Пример.

2) Как называются числа а, в, с?

3) Определение неполного квадратного уравнения.

4) Виды этих уравнений и их решение. Примеры.

III. Устно.

1. Решить уравнения:

х²-36=0; 2х²=18; х²+2х=0; х²+16=0; 3х²=0.

2. Назвать числовые коэффициенты и свободный член квадратных уравнений:

5х² -3х+7=0 х² –х-1=0

-3х² +х+5=0 х² -7=0

3х² –х-11=0 х² -4х=0

х² +5х-7=0 х² +9х=0

-х² -2х+1=0 5х² +25=0

0,5х² +3х-2=0 -х² +х=0

IV. Формирование умений и навыков решать неполные квадратные уравнения.

1. По 2 человека – на доске.

а) х²=3х б) (х+5)(х-1)=4х

х(х-)=0 х²-5=0, х²=5

Ответ: 0; Ответ: ±

в) (2х+1)=4(х-2) г) =, х≠-3

4х²=-9 х² -9=5

х²=- х² =14

Ответ: решений нет. Ответ:±

д) 3(у²-1)=(у-1)(у+3) е) (3х+1)²=6(х-4)

2у²-2у=0 9х²=-25

2у(у-1)=0

Ответ: 0; 1. Ответ: решений нет

ё) , z≠1 ж)

z²-1=8 4(8х²+2)-5(9х²-5)=40

z²=9 -13х² =7

z=±3 х²=-

Ответ: ±3 Ответ: решений нет

2. Самостоятельное решение с взаимопроверкой.

№ 301 (а), № 302 (б), № 303 (а), № 304 (а).

№ 301 (а)

5х²+3х+7=7(х+1)

Ответ: 0;

№ 302 (б)

3(х²+5)=4х²+х(1-х)

Ответ: 15

№ 303 (а)

2(х²-1)=(х-1)(х+1)

2х²-2= х²-1

х²=1

Ответ: ±1

№ 304 (а)

4(4-х²)=3(3х² -2)

16-4х²=9х²-6

13х²=22

х²=

Ответ: ±

V. Итог урока.

На уроке познакомились с решениями неполных квадратных уравнений; выяснили, что уравнение может иметь два равные по модулю, но противоположные по знаку корни, и не иметь совсем корней. Вспомнили формулы сокращенного умножения, приведение дробей к общему знаменателю и основное свойство пропорции.

VI. Домашнее задание.

§39, № 301 (а), № 302 (б), № 304 (б), № 309 (б).

Урок № 3 Класс 8-А Дата 28.01

Тема: Решение неполных квадратных уравнений.

Цель: - закрепить и проверить знания и умения учащихся решать неполные квадратные уравнения;

- развивать умения учебно-познавательной деятельности;

- воспитывать настойчивость у учащихся для достижения конечных целей.

Тип урока: урок проверки и коррекции знаний.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания.

1. Наличие проверяют консультанты.

2. «Работа в парах». Вначале 1-й ученик выполняет, 2-й проверяет. Затем ролями меняются.

Для 1-го ученика: Для 2-го ученика:

а) а)

б) (5х+1)²=10(х-2) б) (3х+2)²=12(х-1)

Решение Решение

а) 3(3х²-5х)=2(х²+х) а) 5(5х²-х)=4(4 х + х²)

7 х²-17х=0 29 х²-21х=0

х(7х-17)=0 х(29х-21)=0

х=0 или 7х-17=0 х=0 или 29х-21=0

7х=17 29х=21

х=17/7 х=21/29

х= х=

Ответ:0, Ответ: 0,

б) 25 х²=-21 б) 9 х²=-16

х²=- х²=-

Ответ: решений нет Ответ: решений нет

II. Актуализация опорных знаний. Фронтальный опрос.

1. Сформулировать определение полного квадратного уравнения

2. Примеры неполных квадратных уравнений.

3. Сколько корней имеет полное квадратное уравнение?

4. Устно решить уравнения:

а) 1-4 х²=0; б) 4 х²-4х=0; в) 5 х²=0;

г) 6 х²-2=0; д) х²-5х=0; е) .

III. Решение уравнений и задач.

№ 315. Запись на доске. Упражнение «Аквариум».

Решение:

Х – сторона большего квадрата.

Р_{1кв.больш.}=4х (см), Р_{2 кв. меньш.}=(4х-8) см Þ его сторона см.

S₁=x², S₂=(x-2)²

Þ х²=4(х-2)²

IV. Решение уравнений. Игра «Змейка». 3 команды.

1-я команда:

1) 9 х²-1=0; х=±;

2) 1-25 х²=0; х=±;

3) 5х²-35х=0; х=0; х=7;

4) (х+5)(х-4)=-20; х=0; х=7;

5) -5 х²+7х=0. х=0; х=1,4.

2-я команда:

1) 4 х²-16=0; х=±;

2) 100 х²-1=0; х=±;

3) 6 х²-36х=0; х=0; х=6;

4) (х-4)(х+3)=-12; х=0; х=1;

5) -6 х²+11х=0. х=0; х=

3-я команда:

1) 5х²-125=0; х=±5;

2) 1-81 х²=0; х=±;

3) 3 х²-18х=0; х=0; х=6;

4) (х+7)(х-3)=-21; х=0; х=-4;

5) -4 х²+5х=0. х=0; х=

V. Самостоятельная работа (с копиркой).

1 вариант 2 вариант

1) Решить уравнения:

а) -0,2 х²+4=0; а) 3 - 0,4х²=0;

б) х²+х=0; б) х²- х=0;

в) (2х - 1)²=1 - 4х; в) (3х+2)²=4+12х;

г) 3 - (4х+1)(3-х)= х² г) х²- (2х-3)(1-х)= 3.

2) При каком значении а один из корней данного уравнения равен 1:

3х²-ах=0 3х²-а=0.

В конце работы учитель собирает работы, а ребята в парах проверяют, обговаривают свое решение. (На доске учитель записывает ответы для данных уравнений).

VI. Итог урока.

VII. Домашнее задание:

Сборник Мерзляк 3 вариант № 72, № 73(1).

Дополнительно: При каком а корни данного уравнения являются противоположными числами:

х²+(а -2) х+а – 6=0.

(Ответ: при а=2).

Урок № 4 Класс 8-А Дата 30.01

Тема: Формула корней полного квадратного уравнения.

Цель: - вывести формулу для решения квадратных уравнений; формировать умения находить дискриминант и корни квадратного уравнения;

- развивать логическое мышление, культуру записи;

- воспитывать настойчивость у учащихся для достижения конечных целей.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания.

За рекомендациями учителя оценивают консультанты.

II. Актуализация опорных знаний.

Среди уравнений

1) 11х²=121; 2) х²-3х=0; 3) х²=8х-16; 4) х²-3х=-11

назвать те, что:

а) есть полными квадратными уравнениями;

б) есть неполными квадратными уравнениями;

в) можно представить в виде (х-4)²=0;

г) имеют корни х_1,2=±

д) имеют решением число 0.

III. Мотивация.

Мы уже научились решать неполные квадратные уравнения, но вы знаете, что существуют еще и полные квадратные уравнения. Их обычно решают по формуле, которую также можно использовать для решения неполных квадратных уравнений, а также уравнений с параметрами.

Решению квадратных уравнений известный украинский математик, профессор Николай Чайковский (1887-1970) посвятил свои труды.

IV. Восприятие и осознание выведения формулы полного квадратного уравнения.

1. В уравнениях назвать коэффициенты а, в, с.

а) 9х²+6х+1=0; б) х²-4х+4=0;

в) х²+24х=0; г) 2х²+28=0.

2. Представить в виде квадратного двучлена выражения:

а) х²-6х+9 Ответ: (х-3)²

б) 4х²+20х+25 Ответ: (2х+5)²

в) 16х²⁺8х+1 Ответ: (4х+1)²

г) 36х²-60х+25 Ответ: (6х-5)²

3. Решите уравнения: Проблемная ситуация.

а) 9х²-12х+4=0.

Решение:

(3х-2)²=0,

3х-2=0,

х=

Ответ:

б) х²+8х+26=0,

Решение:

(х+4)²=0,

х+4=0

х= - 4,

Ответ: -4.

4. Решить уравнения, выделив квадрат двучлена:

а) х²-6х+8=0, б) 5х²+2х – 3=0,

Решение: Решение:

(х²-2х×3+9)-9+8=0, 25х²+10х-15=0,

(х-3)²-1=0, (25х²+2×5х×1+1)-1-15=0,

(х-3-1)(х-3=1)=0, (5х+1)²-16=0,

х=4 или х=2. (5х+1)²-4²=0,

Ответ: 4; 2. (5х+1-4)(5х+1+4)=0,

х=0,6 или х=-1,

Ответ: 0,6; -1.

V. Выведение формулы корней квадратного уравнения.

Выведем формулу корней квадратного уравнения ах²+вх+с=0.

Умножим обе его части на 4а (а≠0).

4а²х²+4авх+4ас=0,

(2ах)²+2×2ах×в+в²-в²+4ас=0,

(2ах+в)²-в²+4ас=0,

(2ах+в)²=в²-4ас.

в²-4ас=Д, Д – дискриминант ( от лат.»различает»)

1. Если Д<0, то выражение 2ах+в отрицательное и данное уравнение корней не имеет.

2. Если Д=0, то 2ах+в=0, откуда х_1,2== =

3. Если Д>0, то (2ах+в)²=()², откуда

2ах+в= или 2ах+в=

х= х=

Итак: ах²+вх+с=0, а≠0.

х_1,2=, где Д= в²-4ас

VI. Применение формул.

Решить уравнения:

а) 3х²+4х+1=0, б) 5х²+2х+3=0, в) 8х²+4х+0,5=0.

Решение

а=3, в=4, с=1 а=5, в=2, с=3 а=8, в=4, с=0,5

Д=4²-4×3×1=4 Д=2²-4×5×3=-56 Д=4²-4×8×0,5=0

Д>0, х_1,2= Д<0, решений нет Д=0, х=

Ответ: ; -1. Ответ: решений нет. Ответ: .

VII. Решить уравнения. (самостоятельно; взаимопроверка)

Учебник Бевз № 327(а), №326 (г), № 326(в)

№ 327(а)

2х²-7х-30=0

а=2, в=-7, с=-30

Д= (-7)²-4×2×(-30)=289

Д>0, х_1,2=

Ответ: 6; -2,5.

№326 (г)

8z²-z+4=0

a=0,5, b=2, c=2

Д= (-1)²-4×8×4=-127

Д<0, решений нет

Ответ: решений нет.

№ 326(в)

0,5х²+2х+2=0

а=0,5, в=2, с=2

Д= 2²-4×0,5×2=0

Д=0, х= =-2

Ответ: -2.

VIII. Рефлексия.

- Что новое на уроке мы узнали?

- Что было сложно на уроке?

IX. Домашнее задание.

§ 40 № 318, № 327(б), № 330.

Урок № 5 Класс 8-А Дата 31.01

Тема: Формула корней полного квадратного уравнения.

Цель: - сформировать знания, умения и навыки при решении квадратных уравнений методом выделения квадрата двучлена;

- развивать навыки самоконтроля;

- воспитывать самостоятельность, чувство ответственности.

Тип урока: урок закрепления изученного материала.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания.

Работа в парах. Взаимопроверка.

II. Актуализация опорных знаний.

1) Дать определение квадратного уравнения.

2) Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

3) От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

4) Что называется дискриминантом?

5) Записать формулу корней квадратного уравнения.

6) Формулы (а±в)².

III. Устно:

1. Представить в виде квадрата двучлена:

х²+6х+9= (х+3)²

х² - 14х+49= (х-7)²

4а²+12а+9= (2а+3)²

в² – 2в+9= (х-3)²

2. Решить уравнения:

а) m²-12m+36=0 б) х²+14х+49=0

Решение: Решение:

(m-6)²=0 (х+7)²=0

m=6 х=-7

Ответ: 6 Ответ: -7

IV. Письменно.

1) Решить уравнения, выделив квадрат двучлена.

(Учитель направляет деятельность учащихся наводящими указаниями)

№322 а) 4х²+4х-15=0

(1 чел. у доски) Решение:

(2х²)+2×2х×1+1-1-15=0

(2х+1)²-16=0

(2х+1)²-4²=0 – разность квадратов

(2х+1-4)(2х+1+4)-0

2х-3=0 или 2х+5=0

х=1,5 х=-2,5

Ответ: 1,5; -2,5.

Работа в парах (по образцу)

б) 9у²+18у+8=0

Решение:

(3у)²+2×3у×3+9-9=8=0

(3у+3)²-1²=0

(3у+3-1)(3у+3+1)=0

3у+2=0 или 3у+4=0

3у=-2 у=-

у=-

Ответ: ; .

№ 324 а) 2в²=9в-10

2в²-9в+10=0 |×2

4в²-18в+20=0

(2в)²-2×2в×+20,25-20,25+20=0

(2в-4,5)²-0,25=0

(2в-4,5-0,5)(2в-4,5+0,5)-0

2в=5 или 2в=4

в=2,5 в=2

Ответ: 2,5; 2.

2) Использование формулы корней квадратного уравнения.

№ 331 (2 чел у доски)

а) 2р²-7р+6=0 б) 10а²-53а+15=0

Д=49-4×2×6=1 Д=2809-600=2209

р₁=2; р₂= а₁=5; а₂=0,3

Ответ: 2; 1,5. Ответ: 5; 0,3.

(4 чел у доски)

а) 3у²-13у+4=0 б) 12в²+в-6=0 в) 3х²-4х-5=0 г) а²-8а+18=0

Д=169-4×12=121 Д=1-4×12×(-6)=289 Д=16-4×3×(-5)=76 Д=64-4×18=-8

у₁=4; у₂= в₁=; в₂= х_1,2= Д<0

Ответ: 4; . Ответ: ; . Ответ: . Ответ: решений нет.

№ 335 (б) 1 вариант

|×2

х²-5х-14=0

Д=81

х₁=7; х₂=-2

Ответ: 7; -2.

№ 335 (а) 2 вариант

5х²-7х+2=0 |×6

30х²-43х+15=0

Д=49

х₁=; х₂=

Ответ:; .

!!! Прежде обсудить ход решения. После решения по вариантам – взаимопроверка.

V. Итоги. Рефлексия.

VI. Домашнее задание.

№ 323(а), № 332, №334, №336(а).

Урок № 6 Класс 8-А Дата 04.02

Тема: Решение уравнений, приводимых к квадратным.

Цель: - научится приводить уравнения к виду ах²+вх+с=0 и решать их;

- развивать познавательный интерес;

- воспитывать аккуратность.

Тип урока: урок применения знаний и умений.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания.

Самостоятельная работа на 12 мин.

1 вариант 2 вариант

1. Решить уравнения:

а) х²-6х-27=0 (9;-3) а) х²-4х-32=0 (8; -4)

б) 10х²-9х+2=0 (;) б) 6х²-5х+1=0 (;)

в) х²+8х-13=0 (-4±) в) х²+6х-15=0 (-3±)

г) 9х²+42х+49=0 (-2) г) 4х²+28х+49=0 (-3,5)

д)3а²+а=-11 (нет решений) д) 4а²+5=а (нет решений)

2. При каких значениях х равны значения многочленов

(2-х)(2х+1) и (х-2)(х+2) (1-3х)(х+1) и (х-1)(х+1)

(2;-1) (-1; )

II. Актуализация опорных знаний.

1) Упражнение «Микрофон».

2) «Найди ошибку» (на доске)

а) 5х²+3х-2=0 б) х²+6х+8=0

Д=9+40=49 Д=36-4×8=4

х_1,2= х_1,2=

Ответ: 1; -. Ответ: -5; -1.

в) 3х²-2х-1=0 г) х²+7х-12=0

Д=-2²-4×3×(-1)=8 Д=49-4×1×12=1

х_1,2= х_1,2=

Ответ: Ответ: -4; -3.

III. Закрепление.

«Проблемная ситуация».

№ 340 (а) Решить уравнение:

3х(2х-5)=2(х²+2).

?! - формулы сокращенного умножения;

- приведение подобных слагаемых;

- перенесение членов уравнения из одной части в другую.

Решение:

6х²-15х-2х²-4=0

4х²-15х-4=0

Д=289

х₁=4; х₂=-

Ответ: 4; -.

Для работы в классе:

- По два человека у доски

№337

а) х(х-6)=7 б) 2в(в+4)=10

х²-6х-7=0 2в²+8в-10=0

Ответ: 7; -1. Ответ: 1; -5.

- Два человека на центральной доске, 2 человека на откидной. В завершении класс проверяет («Найди ошибку») уравнения на откидной доске.

Центральная

№339

а) х(7-х)=5х-8 б) 2х(3х+4) = 4х²+5х+27

7х-х²-5х+8=0 2х²+3х-27=0

х²-2х-8=0 Д=225

Д=36

Ответ: 4; -2. Ответ: 3; -4,5.

Откидная

№341(б) №342(б)

(х+4)²=3х²-8 (3с-5)²=10с+9

х²-4х-12=0 9с²-40с+16=0

Д=64 Д=1024

Ответ: 6; -2. Ответ: 4; .

- Работа по вариантам с взаимопроверкой (с копиркой).

1 вариант 2 вариант

№ 343 (б) № 345 (б)

(9-4х)²=5(4х+1) (2х-8)(3х+1)=(4х-12)(х-2)+8

16х²-72х+81-20х-5=0 6х²+2х-24х-8=4х²-20х+32

16 х²-92х+76=0 |:4 2х²-2х-40=0 |:2

4х²-23х+119=0 х²-х-20=0

Д=529-304=225 Д=81

х₁==1 х_1,2=

х₂= х₁=5; х₂=-4

Ответ: 1; . Ответ: 5; -4.

IV. Итоги.

V. Домашнее задание

§ 40 № 338, №341(а), №342 (а), №343(а).

Урок № 7 Класс 8-А Дата 07.02

Тема: Решение уравнений, приводимых к квадратным.

Цель: - сформировать у учащихся навыки и умения решать уравнения, приводимые к квадратным, в частности биквадратные; научиться решать уравнения, вводя новую переменную;;

- развивать познавательный интерес;

- воспитывать аккуратность, активность на уроке.

Тип урока: урок применения знаний и умений.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания.

(Проверить в конце урока, собрав тетради).

II. Актуализация опорных знаний.

Упражнение «Микрофон».

III. Совместная работа учителя и детей.

1 человек у доски.

(2х-1)(4х²+2х+1)-(2х+5)(4х²-7)=41+х²

8х³+4х²+2х-4х²-2х-1-8х³+14х-20х²+35-41-х²=0

-21х²+14х-7=0 |: (-7)

3х²-2х+1=0

Д=-8<0

Ответ: решений нет.

IV. «Проблемная ситуация»

Решить уравнение. (Какие способы решения?)

На доске заготовка. Использование магнитной доски.

(х+8)²-4(х+8)+3=0

х+8=у

у²-4у+3=0

Д=4

у₁=3; у₂=1

х+8=3 х+8=1

х₁=-5 х₂=-7

Ответ: -5; -7.

2 человека у доски. (По образцу решить уравнения)

1) (х²-2)²-9(х²-2)+14=0 2) (х-7)² – 6(х-7) +5=0

у= х²-2 у=х-7

у²-9у+14=0 у²-6у+5=0

у₁=2; у₂=7 у₁=5; у₂=1

х²-2=2, х²-2=7 х-7=5, х-7=1

х_1,2=±2, х_3,4=±3 х₁=12, х₂=8

Ответ: ±2; ±3. Ответ: 8; 12.

«Проблемная ситуация»

Можно ли решить уравнение вида ах⁴+вх²+с, а≠0, в≠0, методом ведения новой переменной.

ах⁴+вх²+с=0

х²=у, х⁴=у²

Примеры:

1) х⁴- 10х²+9=0

у²-10у+9=0

у₁=9, у₂=1

х²=9, х²=1

х_1,2=±3, х_3,4=±1.

Ответ: ±1;±3.

2) х⁴ - 5х²+4=0

у²- 5у+4=0

у₁=4, у₂=1

х²=4, х²=1

х_1,2=±2, х_3,4=±1.

Ответ: ±1;±2.

3) 2х⁴+3х² - 5=0

2у²+3у - 5=0

Д=49

у₁=1, у₂=-2,5

х²=1, х²=-2,5

х_1,2=±1, решений нет.

Ответ: ±1.

4) 7х⁴ - х² - 8=0

7у²- у - 8=0

Д=225

у₁=-1, у₂=

х²=-1, х²=

решений нет, х_1,2=±

Ответ: ±.

· По вариантам с взаимопроверкой

1 вариант 2 вариант

х⁴ - 5х²+6=0 х⁴ + 5х²+6=0

у²- 5у+6=0 у²+ 5у+6=0

у₁=2, у₂=3 у₁=-2, у₂=-3

х²=2, х²=3 х²=-2, х²=-3

х_1,2=±, х_3,4=±.

Ответ: ±;±. Ответ: решений нет.

· Решение уравнений в ходе эвристической беседы.

1) (х²+х+1)( х²+х+2)-12=0

х²+х+1=у

у(у+1)-12=0

у²+у-12=0

у₁=-4, у₂=3

х²+х+1=-4, х²+х+1=3

х²+х-2=0, х²+х+5=0

х₁=1, х₂=-2, Д=1-4×5

Ответ: 1; -2.

2) х²-2х+5=3

х²-2х+5=3

х²-2х=у

у+5=3

у+5=

(у+5)²=

у²-8у-20=0

у₁=-2; у₂=10

х²-2х=-2, х²-2х=10

х²-2х+2=0, х²-2х-10=0

Д<0 Д=44

решений нет; х_1,2=1±

Ответ: 1±.

V. Итоги.

VI. Домашнее задание.

№ 365(а, б). Сборник III вариант № 76 (4)

+ Дополнительно: а) 2(х²-х+1)²=2-х+х²

б) х²+3х-1=

Урок № 8 Класс 8-А Дата 11.02

Тема: Решение уравнений, приводимых к квадратным.

Цель: - отработать навыки и умения при решении уравнений, приводимых к квадратным (биквадратные; введение новой переменной);

- развивать память, вычислительные навыки;

- воспитывать уважение друг к другу.

Тип урока: урок закрепления знаний и умений.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания.

(Проверяют консультанты). На доске рассмотреть наиболее сложные, непонятные уравнения.

II. Актуализация опорных знаний.

Устно.

1) Решить уравнение, используя основные свойства пропорции.

2) Заполнить пропуски.

-13 :

-(-8)²

-9²

III. Совместная работа учителя и детей.

1) х-4 +3=0

=у, х=у²

²-4у+3=0

₁=3, у₂=1

₁=3², х₂=1²

₁=9, х₂=1

Ответ: 1; 9.

2) с²-с+2,5=0

Д=6-4×2,5=-4<0

Ответ: решений нет.

3) в²-3в+=0

Д=9-4××=1

в_1,2=

в₁= ,

в₂=

Ответ: .

· Работа в трех группах.

1. (х²-7х)²+12(х²-7х)+36=0 [6; 1]

2. 9(х²+1)²-13(х²+1)+4=0 [0]

3. (х²+1)² - 15(х²+1)+50=0 [±3; ±2]

* (х+)²+8(х+)+16=0 [-3; -1]

Обсуждение, проверка работы в группах.

IV. Итоги.

V. Домашнее задание.

На карточке.

№1. А) 4х⁴-15х²-4=0

Б) 3х⁴-х²-2=0

№2. А) 2(х²+3)²+3(х²+3)=27

Б)* 3(х+) – 30(х+)+48=0.

+ творческое задание: составить кроссворд на тему «Квадратные уравнения».

Урок № 9 Класс 8-А Дата 20.02

Тема: Решение уравнений, приводимых к квадратным.

Цель: - сформировать у учащихся навыки и умения решать дробные уравнения, приводимых к квадратным;

- развивать умения искать ответы на возникшие вопросы, опираясь на ранее изученную теоретическую базу;

- воспитывать волю и настойчивость у учащихся.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания.

(№1 – устно, №2 – 2 человека у доски).

№1. А) 4х⁴-15х²-4=0

4у²-1у-4=0

у₁=4; у₂=-

Ответ: х_1,2=±2

Б) 3х⁴-х²-2=0

3у²-у-2=0

у₁=1; у₂=-

Ответ: х_1,2=±1

№2. А) 2(х²+3)²+3(х²+3)=27

2у²+3у-27=0

у₁=3; у₂=-4,5

х²+3=3 или х²+3=-4,5

х²=0 х²=-7,5

Ответ:х=0.

Б)* 3(х+) – 30(х+)+48=0.

3у²-30у+48=0

У²-10у+16=0

у₁=8; у₂=2

х+=8 или х+=2

х²+15=8х х²+15=2х

х₁=3, х₂=5 решений нет

Ответ: 3; 5.

· №350 (а)

16=х²+2х

х²+2х-16=0

Д=68

х_1,2=

Ответ:

· Класс (Запись на доске)

а) х-=12

=а, х=а², а≥0

а²-а-12=0

а₁=-3; а₂=4

=-3 или =4

решений нет, х=16

Ответ: 16.

б) х+=7

=7-х при 7-х≥0, х≤7

х²-15х+50=0

х₁=5, х₂=10 – не удовлетворяет

2 способ

х – 1+1+ =7

=у, х-1=у², у≥0

у²+у-6=0

у₁=2, у₂=-3 – не удовлетворяет

х-1=2², х=5

Ответ: 5

II. Актуализация опорных знаний.

Устно.

1. Устный счет:

-(2+ ) :

-13²

: 0,1

+20

1. При каком значении переменной значение дроби равно 0?

а) б) в) г) д)

Ответы:

а) х=±2 б) х=4 в) х=-3 (х≠3) г) х=± д) не существует

2. Решить уравнения, используя основное свойство пропорции:

а) б) в)

х=±4 х=±2 х=±

III. Для работы в классе:

№ 351 (а, б), № 352 (б), № 353 (б), № 354 (б), № 355 (б)

№ 351 (а, б),

а) ,)

4z²-2z-2=0

ОДЗ: z≠0, z≠-1 ОДЗ: m≠5

2z-z-1=0 5=6m-m²

Д=9 Д=16

z₁=1, z₂= m₁=5, m₂=1

Ответ: 1; Ответ: 1.

№ 352 (б),

, х≠

(2х-1)(2х+3)=(х-1)(3-2х)

6х²-х=0

х(6х-1)=0

х=0, х=

Ответ: 0;

№ 353 (б),

, у≠±3

-у²-2у+51=0

у²+2у-51=0

Д=208

у_1,2=

Ответ:

№ 354 (б),

, х≠1, х≠1,5

7х-7+10х-15=12(2х²-2х-3х+3)

24х²-77х+58=0

Д=5929-5568=361=19²

х₁=2; х₂=

Ответ: 2; .

№ 355 (б)

, z≠2, z≠3, z≠0

5z²-15z-4z²+8z-z²+3z+2z-6=0

-2z-6=0

z=-3

Ответ: -3.

IV. Итоги урока.

V. Домашнее задание.

§ 39,40. № 349, №352 (а), №353 (а). Подготовиться к самостоятельной работе.

Урок № 10 Класс 8-А Дата 21.02

Тема: Решение уравнений, приводимых к квадратным.

Цель: - отработать навыки и умения решать дробные уравнения, приводимых к квадратным; проверить степень усвоения знаний по данной теме;

- развивать память, логическое мышление;

- воспитывать аккуратность, чувство ответственности.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока.

I. Проверка домашнего задания.

Наличие проверяют консультанты. В конце урока учитель собирает тетради для оценивания.

II. Актуализация опорных знаний.

Взаимоопрос «Ты мне, я тебе». Перечень вопросов предлагается учащимся на карточке.

1) Дать определение квадратного уравнения;

2) В уравнениях а) 5х² – 4х - 1=0 б) –х²+3-8х=0

назвать числовые коэффициенты и свободный член;

3) Дать определение неполного квадратного уравнения;

4) Способы решения неполных квадратных уравнений;

5) Что такое дискриминант, что он показывает?

6) Формула корней квадратного уравнения;

7) Когда значение дроби равно 0?

8) Дать определение биквадратного уравнения?

III. Совместная работа на доске.

(Задания повышенной сложности)

1) х³+3х²+х+3=0

х²(х+3)+(х+3)=0

(х+3)(х²+1)=0

х+3=0 или х²+1=0

х=-3 х²=-1 – решений нет.

Ответ: -3

ОДЗ: х≠4, х≠7

х²+3х-28=0

х₁=4, х₂=-7

Ответ: решений нет.

, х≠0

у²-5у+4=0

у₁=4, у₂=1

х-1=4х х-1=х

3х=-1 0≠1

х=- решений нет

Ответ: -

у²+3=4у

у²-4у +3=0

у₁=3, у₂=1

= 3х = х

= 0 = 0

х_1,2= х₃=2, х₄=1

Все корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: ; 2; 1.

IV. Самостоятельная работа. (на 20 мин)

Решить уравнение

на 6 баллов

1 вариант 2 вариант

a) х²-х-90=0 а) х²+х-90=0

b) х⁴-8х²-9=0 b) х⁴+8х²-9=0

c) х⁴-17х²+16=0 c) х⁴-26х²+25=0

d) d)

на 9 баллов

a) х⁴-7х²+12=0 а) х⁴-11х²+18=0

b) (х²+1)²-7(х²+1)+10=0 b) (х²-2)²-9(х²-2)+14=0

c) =а²+4 c) =а²+1

d) d)

на 12 баллов

a) х⁴-х²-2=0 а) х⁴-5х²+4=0

b) (2х²-3)²-4(2х²-3)-5=0 b) (4х²-5)²-10(4х²-5)- 11=0

c) ²+2- 3=0 c) ² - 2 +3=0

d) d)

V. Итоги урока.

VI. Домашнее задание.

1) х⁴-2х²-48=0

3) +=1

4) (*)

Урок № 11 Класс 8-А Дата 03.03

Тема: Контрольная работа: Квадратные уравнения.

1 вариант 2 вариант

на 6 баллов

1. Решить уравнение 1. Решить уравнение

a) х²- 9=0 а) х²-16=0

b) 5х²-45х=0 b) 3х²-27х=0

c) х²+3х - 18=0 c) х²- 3х - 18=0

d) х⁴- 8х²-9=0 d) х⁴+ 8х²-9=0

e) –t²-3t+1=0 e) –t²+t+3=0

2. Решить уравнение 2. Решить уравнение

a) a)

b) b)

на 9 баллов

1. Решить уравнение 1. Решить уравнение

a) 3х²-27=0 а) 9х²-81=0

b) 11x=7х² b) 3х²=7

c) 4х²-х - 3=0 c) 4х²+х - 3=0

d) х⁴+ х²-72=0 d) х⁴- 2х²-48=0

2. Решить уравнение 2. Решить уравнение

a) a)

b) b)

3. Решить уравнение, 3. Решить уравнение,

введя новую переменную. введя новую переменную.

(х²+1)²-7(х²+1)+10=0 (х²- 2)²-9(х²-2)+14=0

на 12 баллов

1. Решить уравнение 1. Решить уравнение

a) 4 -9(х-3)²=0 а) 9 -25(х-2)²=0

b) 2(х-5)²=9(х-5) b) 3(х-1)²=2х-2

c) ²+2- 3=0 c) ² - 2 +3=0

d) (х-3)⁴-13(х-3)²+36=0 d) (х+1)⁴-(х+1)²-12=0

2. Решить уравнение 2. Решить уравнение

a) a)

b) b)

3. При каком значении а корни 3. При каком значении а корни

уравнения являются уравнения являются

противоположными числами: противоположными числами:

х²+(а - 2)х+а - 6=0 х²+(а+1)х+а - 8=0

Скачать материал

Скачать материал "Цикл уроков по математике: «Квадратные уравнения»"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

Цикл уроков по алгебре для 8 класса по теме «Квадратные уравнения» с дифференцированной контрольной работой. Урок №1 Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения. Урок № 2 Решение неполных квадратных уравнений. Урок № 3 Решение неполных квадратных уравнений. Закрепление. Урок № 4 Формула корней полного квадратного уравнения. Урок № 5 Формула корней полного квадратного уравнения. Навыки. Урок № 6 Решение уравнений, приводимых к квадратным. Урок № 7 Решение уравнений, приводимых к квадратным. Навыки. Урок № 8-10 Решение уравнений, приводимых к квадратным. Закрепление. Урок № 11 Контрольная работа: Квадратные уравнения.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 661 495 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Урок-путешествие в 6 классе на тему «Умножение и деление обыкновенных дробей»

22.11.2012
4096
2

rar

Урок математики в 5 классе по теме «Числовые и буквенные выражения»

Рейтинг: 4 из 5

22.11.2012
12353
13

rar

Презентация к уроку математики в 5 классе по теме «Числовые и буквенные выражения»

Рейтинг: 5 из 5

22.11.2012
4784
0

rar

Конспект урока «Правила вычисления производных» (9 клас)

21.11.2012
5004
7

docx

Конспект урока «Признаки подобия треугольников» (9 класс)

Рейтинг: 4 из 5

21.11.2012
19260
439

docx

Конспект с презентацией урока по теме «Относительная частота случайного события»

21.11.2012
5708
29

docx

Конспект урока по теме «Десятичные дроби» (5 класс)

Рейтинг: 5 из 5

21.11.2012
6067
4

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 23.11.2012 3214
- DOCX 109.9 кбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Костенко Светлана Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Костенко Светлана Владимировна
- На сайте: 8 лет и 9 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 3350
- Всего материалов: 1