Урок математики по теме:

«Введение декартовых координат в пространстве.

Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками.»

 

Цели урока:

1.          Повторить применение координат на прямой и на плоскости; формулы середины отрезка и расстояния между точками.

2.          Ввести  декартовы координаты в пространстве.

3.          Познакомить с формулами середины отрезка и расстояния между двумя точками в пространстве.

4.          Развивать пространственное и логическое мышление.

5.          Прививать интерес к истории математики.

6.          Воспитывать эстетический вкус и культуру оформления работы.

 

Методическое обеспечение урока:

1.          Модель трёхмерной системы координат.

2.          Чертежные инструменты.

3.          Портрет Р. Декарта.

4.          Учебник «Геометрия 10-11» А.В.Погорелова, Москва «Просвещение» 2008 г.

5.          Презентация.

6.          Дидактический материал (карточки).

 

Тип урока: комбинированный

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие и размещение на рабочих местах.

Сообщение темы и цели урока:

 

 

        - Тема нашего урока «Введение декартовых координат в пространстве.

Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками.»

Сегодня на уроке мы с вами повторим применение координат на прямой и на плоскости, а также формулы середины отрезка и расстояния между точками. Затем ознакомимся с декартовыми координатами в пространстве, с формулами середины отрезка и расстояния между двумя точками в пространстве, для того чтобы

 

 

расширить ваш кругозор и научиться применять данный метод при решении задач. Желаю вам успехов!

       Выбор этой темы не случаен. Мы с вами практически закончили изучение геометрии, однако, решая задачи, вы показали, что некоторые вопросы у вас вызывают затруднения, кроме этого, тема имеет большую прикладную значимость не только в геометрии, но и в физике.

        Назовите раздел физики, где вам постоянно приходится встречаться с координатами и векторами.

В кинематике задачи решаются координатным способом.

В динамике и в задачах на закон сохранения импульса используют векторный способ решения задач.

Координатный метод используется при выводе основного уравнения МКТ.

При изучении изопроцессов в газах. Электромагнитные волны.

          Но оказывается, в современном мире это не самое главное приложение выбранной темы.      

          Главное – это ставшие возможными, благодаря развитию вычислительных средств, приложения к техническим наукам и непосредственно к технике, к практике. Вы знаете, что электронно-вычислительные машины умеют оперировать только с числами или с информацией, записанной с помощью чисел, но не с геометрическими объектами-точками, векторами и т.д. И когда ЭВМ управляет самолётом, подводной лодкой или космическим кораблём, она обрабатывает данные о положении, расположении, скорости, ускорения движущегося объекта, т.е. с геометрической точки зрения данные о точках и векторах не в геометрической форме, а в переводе их на язык чисел. Переход от точек и векторов к их координатам и представляет собой такой перевод. Таким образом, введение координат, даёт возможность использовать современной вычислительной технике в самых различных, геометрических с внешней точки зрения, ситуациях.

 

II. Повторение. Актуализация знаний. 

- Сейчас мы с вами совершим небольшой экскурс в историю математики. Слово предоставляется обучающимся.

 

В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автор книги Рене Декарт (1596 – 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел – её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным.

Главные правила метода гласят:

1.          Не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старательно избегать поспешности и предубеждения и включить в свои рассуждения только то, что представляется уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод к сомнению.

2.          Делить каждую из рассматриваемых трудностей на столько частей, на сколько требуется, чтобы лучше их разрешить.

 

 

3.          Руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало – помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существования порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.

4.          Делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

 

- Руководствуясь этими правилами, начнем с ранее изученного материала.

1. Сначала координаты точки ввели на луче, потом на прямой.

           - Что представляет собой координатная прямая?

 

Координатная прямая – это прямая с выбранными на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком.

 

Слайд 2.

 

- Что называют координатой точки?

Координатой точки М называют число, абсолютная величина которого равна расстоянию от начала отсчета до точки М.

Если точка расположена справа от точки О, то её координата положительная, если слева – то отрицательная.

2. Для определения положения точки на плоскости одной координаты недостаточно.

Поэтому по примеру географических координат Декартом были введены координаты на плоскости, добавив к оси х перпендикулярную ось и выбрав на ней направление и единичный отрезок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     Слайд 3.

- Что значит координатная плоскость задана?

                III. Введение координат в пространстве.

- Первое определение IX книги «Начала» Евклида гласит: «Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину». Тем не менее есть основание полагать, что в древности нашего понятия о трехмерном пространстве не существовало. У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трехмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и широко использовалась.

                           (Объяснение  с опорой на трехмерную модель )

Система координат в пространстве представляет собой три взаимно перпендикулярные прямые  х, y, z, пересекающиеся в одной точке.

О – начало отсчета_, x, y, z – координатные оси, xy, yz, xz – координатные плоскости.

 

                    Слайд 4.  

 

            Слайд 5.

 

                      Слайд 6.

 

- Где в повседневной жизни мы встречаем данную систему координат?

 (длина, ширина, высота).

- Для чего необходимы эти знания в вашей профессии, профессии «Бухгалтер»? (составление сметы расходов для ремонта помещения)

                     

 -  Определите координаты точки А на плоскости.

Координатой  х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОА_х  и т.д. Таким образом, точке А в пространстве ставится в соответствие тройка чисел – её координаты.

Обозначение: А(x; y; z).

- По внешнему виду точки можно определить место её расположения в пространстве.

Рассмотрим координаты частного расположения точек в пространстве.

 

                      Слайд 7.

 

Домашнее задание: обучающиеся получают  карточки с индивидуальным заданием

 

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

 

 

          z   

             В₁              С₁                            Ответы:

  

   А₁                  D₁                               А               А₁

                                                         В               В₁

         В                   С      y                 С               С₁

                                                          D               D₁

      А                D

   x

 

 

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.

 

 

В₁     z                   С₁

                                                         Ответы:

А₁                                D₁                                     

                                                         А                А₁

 В                            С                        В                  В₁

А                                  D     y                       С                С₁

                                                         D                D₁

   x

 

 

 

 

Ответы:

 

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

          z   

             В₁              С₁                                                     Ответы:

  

   А₁                  D₁                               А (4;0;0)             А₁ (4;0;4)                                                           

                                                         В (0;0;0)              В₁ (0;0;4)

         В                   С      y                 С (0;4;0)              С₁ (0;4;4)

                                                          D (4;4;0)             D₁ (4;4;4)

      А                D

   x

 

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.

В₁     z                   С₁

                                                         Ответы:

А₁                                D₁                                     

                                                         А (2;-3;0)             А₁ (2;-3;4)

 В                            С                        В (-2;-3;0)            В₁ (-2;-3;0)

А                                  D     y                       С (-2;3;0)             С₁ (-2;3;4)

                                                         D (2;3;0)              D₁ (2;3;4)

   x

 

IV. Практическое применение метода координат.

- В качестве иллюстрации приложения метода координат рассмотрим алгебраические равенства, имеющие простые геометрические истолкования. Это формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.

 

 

Слайд 8.

 

 

 

 

 

Слайд 9.

 

Задача№1 на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если:

 

1 вариант – А (3;-1), В (-2;4)

 

2 вариант – А (3;4), В (2; -1)

 

(Взаимопроверка работ с помощью слайда)

 

Слайд 10.             

 

- Аналогичные формулы применяются в пространстве.

 

 

 

Слайд 11.  

 

Слайд 12.   

 

    Задача №2. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

                    Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Решение:

1). Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (; ; ), С (2;0;0)

2). АВ =  =  = 2.

(Решение задачи у доски)

V. Подведение итогов урока.

VI. Домашнее задание:

учебник А.В.Погорелова «Геометрия 10-11» п. 23 – 25, стр.53 ответить на вопросы № 1 – 3. Все обучающиеся получают индивидуальные задания по карточкам на определение координат вершин фигуры.