Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике: «Введение декартовых координат в пространстве. Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками».
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по математике: «Введение декартовых координат в пространстве. Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками».

библиотека
материалов


Урок математики по теме:

«Введение декартовых координат в пространстве.

Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками.»


Цели урока:

  1. Повторить применение координат на прямой и на плоскости; формулы середины отрезка и расстояния между точками.

  2. Ввести декартовы координаты в пространстве.

  3. Познакомить с формулами середины отрезка и расстояния между двумя точками в пространстве.

  4. Рhello_html_5d75ac47.gifазвивать пространственное и логическое мышление.

  5. Прививать интерес к истории математики.

  6. Воспитывать эстетический вкус и культуру оформления работы.


Методическое обеспечение урока:

  1. Модель трёхмерной системы координат.

  2. Чертежные инструменты.

  3. Портрет Р. Декарта.

  4. Учебник «Геометрия 10-11» А.В.Погорелова, Москва «Просвещение» 2008 г.

  5. Презентация.

  6. Дидактический материал (карточки).


Тип урока: комбинированный

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие и размещение на рабочих местах.

Сообщение темы и цели урока:


hello_html_m2a79e3f5.gif


- Тема нашего урока «Введение декартовых координат в пространстве.

Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками.»

Сегодня на уроке мы с вами повторим применение координат на прямой и на плоскости, а также формулы середины отрезка и расстояния между точками. Затем ознакомимся с декартовыми координатами в пространстве, с формулами середины отрезка и расстояния между двумя точками в пространстве, для того чтобы



расширить ваш кругозор и научиться применять данный метод при решении задач. Желаю вам успехов!

Выбор этой темы не случаен. Мы с вами практически закончили изучение геометрии, однако, решая задачи, вы показали, что некоторые вопросы у вас вызывают затруднения, кроме этого, тема имеет большую прикладную значимость не только в геометрии, но и в физике.

Назовите раздел физики, где вам постоянно приходится встречаться с координатами и векторами.

В кинематике задачи решаются координатным способом.

В динамике и в задачах на закон сохранения импульса используют векторный способ решения задач.

Координатный метод используется при выводе основного уравнения МКТ.

При изучении изопроцессов в газах. Электромагнитные волны.

Но оказывается, в современном мире это не самое главное приложение выбранной темы.

Главное – это ставшие возможными, благодаря развитию вычислительных средств, приложения к техническим наукам и непосредственно к технике, к практике. Вы знаете, что электронно-вычислительные машины умеют оперировать только с числами или с информацией, записанной с помощью чисел, но не с геометрическими объектами-точками, векторами и т.д. И когда ЭВМ управляет самолётом, подводной лодкой или космическим кораблём, она обрабатывает данные о положении, расположении, скорости, ускорения движущегося объекта, т.е. с геометрической точки зрения данные о точках и векторах не в геометрической форме, а в переводе их на язык чисел. Переход от точек и векторов к их координатам и представляет собой такой перевод. Таким образом, введение координат, даёт возможность использовать современной вычислительной технике в самых различных, геометрических с внешней точки зрения, ситуациях.


II. Повторение. Актуализация знаний.

- Сейчас мы с вами совершим небольшой экскурс в историю математики. Слово предоставляется обучающимся.


В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автор книги Рене Декарт (1596 – 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел – её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным.

Главные правила метода гласят:

  1. Не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старательно избегать поспешности и предубеждения и включить в свои рассуждения только то, что представляется уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод к сомнению.

  2. Делить каждую из рассматриваемых трудностей на столько частей, на сколько требуется, чтобы лучше их разрешить.



  1. Руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало – помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существования порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.

  2. Делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.


- Руководствуясь этими правилами, начнем с ранее изученного материала.

1. Сначала координаты точки ввели на луче, потом на прямой.

- Что представляет собой координатная прямая?


Координатная прямая – это прямая с выбранными на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком.


hello_html_m684f44c6.gif

Слайд 2.


- Что называют координатой точки?

Координатой точки М называют число, абсолютная величина которого равна расстоянию от начала отсчета до точки М.

Если точка расположена справа от точки О, то её координата положительная, если слева – то отрицательная.

2. Для определения положения точки на плоскости одной координаты недостаточно.

Поэтому по примеру географических координат Декартом были введены координаты на плоскости, добавив к оси х перпендикулярную ось и выбрав на ней направление и единичный отрезок.










hello_html_m168f04d9.gif

Слайд 3.

- Что значит координатная плоскость задана?

III. Введение координат в пространстве.

- Первое определение IX книги «Начала» Евклида гласит: «Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину». Тем не менее есть основание полагать, что в древности нашего понятия о трехмерном пространстве не существовало. У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трехмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и широко использовалась.

(Объяснение с опорой на трехмерную модель )

Система координат в пространстве представляет собой три взаимно перпендикулярные прямые hello_html_m2a7690f7.gif х, y, z, пересекающиеся в одной точке.

О – начало отсчета, x, y, z – координатные оси, xy, yz, xz – координатные плоскости.

hello_html_6e884d1e.gif


Слайд 4.


hello_html_6d6eca44.gif

Слайд 5.


hello_html_m6aa8c3bf.gif

Слайд 6.


- Где в повседневной жизни мы встречаем данную систему координат?

(длина, ширина, высота).

- Для чего необходимы эти знания в вашей профессии, профессии «Бухгалтер»? (составление сметы расходов для ремонта помещения)

- Определите координаты точки А на плоскости.

Координатой х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОАх и т.д. Таким образом, точке А в пространстве ставится в соответствие тройка чисел – её координаты.

Обозначение: А(x; y; z).

- По внешнему виду точки можно определить место её расположения в пространстве.

Рассмотрим координаты частного расположения точек в пространстве.


hello_html_m266f89f.gif

Слайд 7.


Домашнее задание: обучающиеся получают карточки с индивидуальным заданием


Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.



hello_html_m792eb18e.gifz

В1 С1 Ответы:

А1D1 А А1

В В1

В С y С С1

D D1

А D

x



Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.



Вhello_html_3efb13cc.gif1z С1

hello_html_m182684af.gif Ответы:

А1D1

А А1

В С В В1

А D y С С1

D D1

x





Ответы:


Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

hello_html_m792eb18e.gifz

В1 С1 Ответы:

А1D1 А (4;0;0) А1 (4;0;4)

В (0;0;0) В1 (0;0;4)

В С y С (0;4;0) С1 (0;4;4)

D (4;4;0) D1 (4;4;4)

А D

x


Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.

Вhello_html_3efb13cc.gif1z С1

hello_html_m182684af.gif Ответы:

А1D1

А (2;-3;0) А1 (2;-3;4)

В С В (-2;-3;0) В1 (-2;-3;0)

А D y С (-2;3;0) С1 (-2;3;4)

D (2;3;0) D1 (2;3;4)

x


IV. Практическое применение метода координат.

- В качестве иллюстрации приложения метода координат рассмотрим алгебраические равенства, имеющие простые геометрические истолкования. Это формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.



hello_html_3125ca28.gif

Слайд 8.






hello_html_334f0363.gif

Слайд 9.


Задача№1 на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если:


1 вариант – А (3;-1), В (-2;4)


2 вариант – А (3;4), В (2; -1)


(Взаимопроверка работ с помощью слайда)


hello_html_6128678d.gif

Слайд 10.


- Аналогичные формулы применяются в пространстве.




hello_html_2fc955e8.gif

Слайд 11.


hello_html_m4fc17733.gif

Слайд 12.

Задача №2. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Решение:

1). Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (hello_html_70809f55.gif; hello_html_m489d44cf.gif; hello_html_m2e2548a7.gif), С (2;0;0)

2). АВ = hello_html_6755f74f.gif = hello_html_m53f26c8e.gif = 2hello_html_bf8cd8c.gif.

(Решение задачи у доски)

V. Подведение итогов урока.

VI. Домашнее задание:

учебник А.В.Погорелова «Геометрия 10-11» п. 23 – 25, стр.53 ответить на вопросы № 1 – 3. Все обучающиеся получают индивидуальные задания по карточкам на определение координат вершин фигуры.

Краткое описание документа:

"Выдержка из материала:


Презентация. Дидактический материал (карточки).

Тип урока: комбинированный

Сообщение темы и цели урока:

Тема нашего урока «Введение декартовых координат в пространстве.

Где в повседневной жизни мы встречаем данную систему координат? (длина, ширина, высота).

Для чего необходимы эти знания в вашей профессии, профессии «Бухгалтер»? (составление сметы расходов)

Домашнее задание: обучающиеся получают карточки с индивидуальным заданием

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин. z В1 С1 Ответы: А1 D1 А А1 В В1 В С y С С1 D D1 А D x

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин. В1 z С1 Ответы: А1 D1 А А1 В С В В1 А D y С С1 D D1 x Ответы:

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин. z В1 С1 Ответы: А1 D1 А (4;0;0) А1 (4;0;4) В (0;0;0) В1 (0;0;4) В С y С (0;4;0) С1 (0;4;4) D (4;4;0) D1 (4;4;4) А D x

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин. В1 z С1 Ответы: А1 D1 А (2;-3;0) А1 (2;-3;4) В С В (-2;-3;0) В1 (-2;-3;0) А D y С (-2;3;0) С1 (-2;3;4) D (2;3;0) D1 (2;3;4) x IV.

Практическое применение метода координат. - В качестве иллюстрации приложения метода координат рассмотрим алгебраические равенства, имеющие простые геометрические истолкования. Это формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.

Задача№1 на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если: 1 вариант А (3;-1), В (-2;4) 2 вариант А (3;4), В (2; -1) (Взаимопроверка работ с помощью слайда)

Аналогичные формулы применяются в пространстве. Слайд 11. Слайд 12. Задача №2. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2) Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину. Решение: 1). Пусть С середина отрезка АВ, тогда С С (2;0;0) 2). АВ 2 (Решение задачи у доски)

V. Подведение итогов урока. V

I. Домашнее задание: учебник А. В. Погорелова «Геометрия 10-11» п. 23 25, стр. 53 ответить на вопросы 1 3.

Все обучающиеся получают индивидуальные задания по карточкам на определение координат вершин фигуры.

Автор
Дата добавления 19.12.2013
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров3954
Номер материала 22866121927
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх