1256749
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыМетодическая разработка по математике для 8 - 11 классов «Решим квадратное уравнение устно!»

Методическая разработка по математике для 8 - 11 классов «Решим квадратное уравнение устно!»

библиотека
материалов



Методическая разработка

по математике:

«Решим квадратное уравнение УСТНО!».

Для учащихся 8 – 11 классов.



Полные квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0.

1.Свойство коэффициентов.

а) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 выполняется условие:

a + b + c = 0, то x1 = 1, x2 = hello_html_64ef67f6.gif.

Пример. 2x2 - 9x + 7 = 0.

Так как 2 - 9 + 7 = 0, то x1= 1, x2 = hello_html_289d5bdc.gif.

б) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 выполняется условие:

a + c = b, то x1 = - 1, x2 = - hello_html_64ef67f6.gif.

Пример. 2x2 + 9x + 7 = 0.

Так как 2 + 7 = 9, то x1= - 1, x2 = - hello_html_289d5bdc.gif.

2. Связь между коэффициентами. (А)

1) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m, b = m2 + 1, c = m, m > 0, то

x1= - m, x2 = - hello_html_m1ffc3678.gif.

Пример. 3x2 + 10x + 3 = 0.

m = 3; 10 = 32 + 1= m2 + 1.

x1= - 3, x2 = - hello_html_7f8f9891.gif.

2) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m, b = - (m2 + 1), c = m, m > 0, то

x1= m, x2 = hello_html_m1ffc3678.gif.

Пример. 4x2 - 17x + 4 = 0.

m = 4; - 17 = - (42 +1) = - (m2 + 1)

x1= 4 , x2 = hello_html_685d8d49.gif.

3) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m, b = m2 - 1, c = - m, m > 0, то

x1= - m, x2 = hello_html_m1ffc3678.gif.

Пример. 3x2 + 8x - 3 = 0.

m = 3; 8 = 32 - 1 = m2 - 1

x1= - 3, x2 = hello_html_7f8f9891.gif.

4) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m, b = - (m2 - 1), c = - m, m > 0, то

x1= m, x2 = - hello_html_m1ffc3678.gif.

Пример. 4x2 - 15x - 4 = 0.

m = 4; - 15 = - (42 -1) = - (m2 – 1)

x1= 4 , x2 = - hello_html_685d8d49.gif.

3. Связь между коэффициентами. (Б)

1) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m, b = m3 + 1, c = m2, m > 0, то

x1= - m2, x2 = - hello_html_m1ffc3678.gif.

Пример. 3x2 + 28x + 9 = 0.

m = 3; 28 = 33 +1 = m3 + 1; 9 = 32 = m2.

x1= - 9, x2 = - hello_html_7f8f9891.gif.

2) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m, b = - (m3 + 1), c = m2, m > 0, то

x1= m2, x2 = hello_html_m1ffc3678.gif.

Пример. 4x2 - 65x + 16 = 0.

m = 4; - 65 = - (43 +1) = - (m3 + 1); 16 = 42 = m2.

x1= 16 , x2 = hello_html_685d8d49.gif.

3) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m, b = m3 - 1, c = - m2, m > 0, то

x1= - m2, x2 = hello_html_m1ffc3678.gif.

Пример. 3x2 + 26x - 9 = 0.

m = 3; 26 = 32 -1 = m3 - 1; - 9 = - 32 = - m2.

x1= - 9, x2 = hello_html_7f8f9891.gif.

4) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m, b = - (m3 - 1), c = - m2, m > 0, то

x1= m2, x2 = - hello_html_m1ffc3678.gif.

Пример. 4x2 - 63x - 16 = 0.

m = 4; - 63 = - (43 - 1) = - (m3 - 1); - 16 = - 42 = - m2.

x1= 16 , x2 = - hello_html_685d8d49.gif.

4. Связь между коэффициентами. (В)

1) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m2, b = m3 + 1, c = m, m > 0, то

x1= - m, x2 = - hello_html_m7057269b.gif.

Пример. 9x2 + 28x + 3 = 0.

m = 3; 9 = 32 = m2; 28 = 33 + 1 = m3 + 1.

x1= - 3, x2 = - hello_html_m218a2db.gif.

2) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m2, b = - (m3 + 1), c = m, m > 0, то

x1= m, x2 = hello_html_m7057269b.gif .

Пример. 16x2 - 65x + 4 = 0.

m = 4; 16 = 42 = m2; - 65 = - ( 43 + 1) = - (m3 + 1).

x1= 4, x2 = hello_html_m12cf78a7.gif.

3) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m2, b = m3 - 1, c = - m, m > 0, то

x1= - m, x2 = hello_html_m7057269b.gif.

Пример. 9x2 + 26x - 3 = 0.

m = 3; 9 = 32 = m2; 26 = 33 -1 = m3 - 1.

x1= - 3, x2 = hello_html_m218a2db.gif.

4) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m2, b = - (m3 - 1), c = - m, m > 0, то

x1= m, x2 = - hello_html_m7057269b.gif.

Пример. 16x2 - 63x - 4 = 0.

m = 4; 16 = 42; - 63 = - (43 – 1) = - ( m3 - 1).

x1= 4 , x2 = - hello_html_m12cf78a7.gif.

5. Связь между коэффициентами. (Г)

1) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m∙n, b = m2 + n2, c = mn, m > 0,n > 0, то

x1= - hello_html_4b823660.gif, x2 = - hello_html_m4006e7db.gif.

Пример. 12x2 + 25x + 12 = 0.

m = 3, n = 4; 12 = 3∙4 = mn; 25 = 9 + 16 = 32 + 42 = m2 + n2 .

x1= - hello_html_m57c90caf.gif , x2 = - hello_html_m4d2614a7.gif.

2) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m∙n, b = - (m2 + n2), c = mn, m > 0, n > 0, то

x1= hello_html_4b823660.gif, x2 = hello_html_m4006e7db.gif.

Пример. 12x2 - 25x + 12 = 0.

m = 3, n = 4; 12 = 3∙4 = mn; - 25 = - (9 + 16) = - (32 + 42) = - (m2 + n2).

x1= hello_html_m57c90caf.gif , x2 = hello_html_m4d2614a7.gif.

3) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m∙n, b = m2 - n2, c = - mn, m > 0,n > 0, то

x1= - hello_html_4b823660.gif, x2 = hello_html_m4006e7db.gif.

Пример. 6x2 + 5x - 6 = 0.

m = 3, n = 2; 6 = 3∙2= mn, 5 = 9 - 4 = 32 - 22 = m2 - n2.

x1= - hello_html_m4aae006e.gif , x2 = hello_html_6a1c94eb.gif.

4) Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0: a = m∙n, b = - (m2 - n2), c = - mn, m > 0,n > 0, то x1= hello_html_4b823660.gif, x2 = - hello_html_m4006e7db.gif.

Пример. 6x2 - 5x - 6 = 0.

m = 3, n = 2; 6 = 3∙2 = mn, - 5 = - (9 – 4) = - (32 - 22) = - (m2 - n2).

x1= hello_html_m4aae006e.gif , x2 = - hello_html_6a1c94eb.gif.

6.Использование формулы квадрата суммы (разности):

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2.

Пример. 4x2 - 12x + 9 = 0.

(2х - 3)2 = 0, 2х - 3 = 0, 2х = 3, х = 1,5.

Пример. 4х2 + 20х + 25 = 0.

(2х + 5)2 = 0, 2х + 5 = 0, 2х = -5, х = -2,5.



Приведенные квадратные уравнения x2 + px + q = 0.

1.Решение уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0 существует следующая связь:

Если числа х1 и х2 таковы, что х1 + х2 = - p, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни уравнения.

Познакомили поэта
С теоремою Виета.
Оба корня он сложил,
Минус «пэ» он получил,
А корней произведение
Дает «ку» из уравнения.

По коэффициентам можно предсказать знаки корней:

1) Если свободный член приведенного квадратного уравнения положителен, то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента: при положительном р корни отрицательные, при отрицательном р корни положительные.

а) Если q > 0 и р > 0 , то оба корня отрицательны.

Пример. х2 + 8х + 7 = 0.

х1х2 = 7, х1 + х2 = - 8,

х1 = - 1, х2 = - 7.

б) Если q > 0 и р < 0, то оба корня положительные.

Пример. х2 - 8х + 7 = 0.

х1х2 = 7, х1 + х2 = 8,

х1 = 1, х2 = 7.

2) Если свободный член приведенного квадратного уравнения отрицателен, то уравнение имеет два различных по знаку корня, знак меньшего по модулю корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.

а) Если q < 0 и р > 0 , то меньший по модулю корень будет положителен.

Пример. х2 + 8х - 9 = 0.

х1х2 = - 9, х1 + х2 = - 8,

х1 = 1, х2 = - 9.

б) Если q < 0 и р < 0, то меньший по модулю корень будет отрицателен.

Пример. х2 - 8х - 9 = 0.

х1х2 = -9, х1 + х2 = 8,

х1 = - 1, х2 = 9.

Замечание. Зная, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, то для нахождения корней приведенного уравнения необходимо выполнить следующие действия:

1) найти такие пары делителей числа q, чтобы их разность была равна числу р,

2) поставить пред меньшим из найденных чисел второй знак уравнения, другой корень будет иметь противоположный знак.

Пример. х2 - 2х - 15 = 0.

Из пар делителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем ту, разность которых равна 2. Это числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак второго коэффициента уравнения, т. е. "минус".

Таким образом, х1 = - 3, х2 = 5.

Такой алгоритм помогает очень быстро решать уравнения тем учащимся, у которых имеются проблемы с подобным знаком в теореме Виета.

2.Свойство коэффициентов.

Для коэффициентов уравнения вида х2 + рх + q = 0 имеет место следующие соотношения:

1) если 1+ p + q = 0, то x1 = 1, x2 = q .

Пример. х2 - 8х + 7 = 0.

Так как 1 + (- 8) + 7 = 0, то х1 = 1, х2 = 7.

2) если 1 + q = p, то x1 = - 1, x2 = - q .

Пример. х2 + 8х + 7 = 0.

Так как 1 + 7 = 8, то х1 = - 1, х2 = - 7.

3. Связь между коэффициентами. (А)

1) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = 1, p = hello_html_731e07e9.gif, m > 0,

то х1 = - m, х2 = -hello_html_m1ffc3678.gif. (Оба корня отрицательны).

Пример. х2 + hello_html_4c7fca7.gifх + 1 = 0.

m = 3; p = hello_html_4c7fca7.gif = hello_html_4d6aa006.gif = hello_html_731e07e9.gif.

х1= - 3, х2 = - hello_html_7f8f9891.gif.

2) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = 1, p = -hello_html_731e07e9.gif, m > 0,

то х1 = m, х2 = hello_html_m1ffc3678.gif. (Оба корня положительны).

Пример. х2 - hello_html_4c7fca7.gifх + 1 = 0.

m = 3; p = - hello_html_4c7fca7.gif = - hello_html_4d6aa006.gif = hello_html_731e07e9.gif .

х1 = 3, х2 = hello_html_7f8f9891.gif.

3) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = - 1, p = hello_html_m3ea05b0a.gif, m > 0,

то х1 = - m, х2 = hello_html_m1ffc3678.gif. (Корни разных знаков).

Пример. х2 + hello_html_1bcba676.gifх – 1 = 0.

m = 3; p = hello_html_1bcba676.gif = hello_html_m3499864a.gif = hello_html_m3ea05b0a.gif.

х1= - 3, х2 = hello_html_7f8f9891.gif.

4) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = - 1, p = - hello_html_m3ea05b0a.gif, m > 0,

то х1 = m, х2 = - hello_html_m1ffc3678.gif. (Корни разных знаков).

Пример. х2 - hello_html_1bcba676.gifх – 1 = 0.

m = 3; p = - hello_html_1bcba676.gif = - hello_html_m3499864a.gif = - hello_html_m3ea05b0a.gif.

х1= 3, х2 = - hello_html_7f8f9891.gif.

4.Связь между коэффициентами. (Б)

1) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = m, p = hello_html_m663fb931.gif, m > 0,

то х1 = - m2, х2 = -hello_html_m1ffc3678.gif. (Оба корня отрицательны).

Пример. х2 + hello_html_ma1040f.gifх + 5 = 0.

m = 5; p = hello_html_ma1040f.gif = hello_html_m4f9e3d4b.gif = hello_html_m663fb931.gif .

х1= - 25, х2 = - hello_html_3b7b3c70.gif.

2) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = m, p = - hello_html_m663fb931.gif, m > 0,

то х1 = m2, х2 = hello_html_m1ffc3678.gif. (Оба корня положительные).

Пример. х2 - hello_html_ma1040f.gifх + 5 = 0.

m = 5; p = - hello_html_ma1040f.gif = - hello_html_m4f9e3d4b.gif = - hello_html_m663fb931.gif.

х1= 25, х2 = hello_html_3b7b3c70.gif.

3) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = - m, p = hello_html_7686fcf1.gif, m > 0,

то х1 = - m2, х2 = hello_html_m1ffc3678.gif. (Корни разных знаков).

Пример. х2 + hello_html_mccd47ec.gifх - 5 = 0.

m = 5; p = hello_html_mccd47ec.gif = hello_html_51e23a97.gif = hello_html_7686fcf1.gif .

х1= - 25, х2 = hello_html_3b7b3c70.gif.

4) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = - m, p = - hello_html_7686fcf1.gif, m > 0,

то х1 = m2, х2 = - hello_html_m1ffc3678.gif. (Корни разных знаков).

Пример. х2 - hello_html_mccd47ec.gifх - 5 = 0.

m = 5; p = - hello_html_mccd47ec.gif = - hello_html_51e23a97.gif = - hello_html_7686fcf1.gif .

х1= 25, х2 = - hello_html_3b7b3c70.gif.

5.Связь между коэффициентами. (В)

1) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = 1, p=hello_html_58d1bdc0.gif, m > 0,n > 0, то

x1= - hello_html_4b823660.gif, x2 = - hello_html_m4006e7db.gif.

Пример. x2 + hello_html_m72f9aa58.gifx + 1 = 0.

m = 3, n = 4; 12 = 3∙4 =m∙n; 25 = 9 + 16 = 32 + 42 = m2 + n2, p =hello_html_m27876998.gif= hello_html_58d1bdc0.gif.

x1= - hello_html_m57c90caf.gif , x2 = - hello_html_m4d2614a7.gif.

2) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = 1, p = - hello_html_58d1bdc0.gif, m > 0,n > 0, то

x1= hello_html_4b823660.gif, x2 = hello_html_m4006e7db.gif.

Пример. x2 - hello_html_m72f9aa58.gifx + 1 = 0.

m = 3, n = 4; 12 = 3∙4 = m∙n; - 25 = - (9 + 16) = - (32 + 42) = - (m2 + n2), p = - hello_html_m27876998.gif= -hello_html_58d1bdc0.gif.

x1= hello_html_m57c90caf.gif , x2 = hello_html_m4d2614a7.gif.

3) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = - 1, p = hello_html_m6c39429a.gif, m > 0,n > 0, то

x1= - hello_html_4b823660.gif, x2 = hello_html_m4006e7db.gif.

Пример. x2 + hello_html_6533ba.gifx - 1 = 0.

m = 3, n = 2; 6 = 3∙2 =m∙n, 5 = 9 - 4 = 32 - 22 = m2 - n2, p =hello_html_58033cbd.gif = hello_html_m6c39429a.gif.

x1= - hello_html_m4aae006e.gif , x2 = hello_html_6a1c94eb.gif.

4) Если в квадратном уравнении х2 + рх + q = 0: q = -1, p= - (m2 - n2), m > 0,n > 0, то x1= hello_html_4b823660.gif, x2 = - hello_html_m4006e7db.gif.

Пример. x2 - hello_html_6533ba.gifx - 1 = 0.

m = 3, n = 2; 6 = 3∙2 = m∙n, - 5 = - (9 – 4) = - (32 - 22) =- (m2 - n2), p = - hello_html_58033cbd.gif =hello_html_m6c39429a.gif

x1= hello_html_m4aae006e.gif , x2 = - hello_html_6a1c94eb.gif.

6.Использование формулы квадрата суммы (разности):

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2.

Пример. 1) х2 + 10х + 25 = 0.

(х + 5)2 = 0, х + 5 = 0, х = -5.

Пример. 1) х2 - 8х + 16 = 0.

(х - 4)2 = 0, х – 4 = 0, х = 4.

6.Метод переброски.

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

1) умножаем обе части уравнения на а:

ах2+ bх + с = 0 | ∙а

(ах)2+ bах + ас = 0.

2) вводим новую переменную y = ax, получаем уравнение: у2 + bу + ас = 0.

Происходит «переброска» старшего коэффициента а к свободному члену с.

3) решая приведенное уравнение, находим корни у1 и у2.

4) возвращаясь к переменной х, имеем: x1 = hello_html_m4940835d.gif, x2 = hello_html_m5fb26e14.gif.

Пример. 2х2 - 9х + 7 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену:

у2 - 9у + 14 = 0.

Согласно теореме, обратной теореме Виета у1= 2 и у2 = 7.

Следовательно: x1 = hello_html_m314db415.gif = 1, x2 = hello_html_289d5bdc.gif= 3,5.



Неполные квадратные уравнения.

1) ax2 + c = 0.

ax2 = - c, x2 = - hello_html_64ef67f6.gif. Пусть - hello_html_64ef67f6.gif = d, тогда имеем уравнение вида: x2 = d.

Если d > 0, то уравнение имеет два корня: x1 = + hello_html_m375ea1bb.gif, x2 = - hello_html_m375ea1bb.gif

Если d < 0, то уравнение не имеет корней.

Пример. 2x2 + 5 = 0.

2x2 = - 5; x2 = -2,5 – корней нет.

Пример. 2x2 - 14 = 0.

2x2 =14; x2 =7; x1,2 = ± hello_html_6f5e8cf4.gif.

Частный случай (применение формулы разности квадратов: a2b2 = (a - b)(a + b)).

Пример. x2 - 49 = 0.

(x - 7)(x + 7) = 0; x - 7 = 0 или x + 7 = 0; x1 = 7 или x2 = - 7.

2) ax2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0; x = 0 или ax +b = 0, откуда x1 = 0 или x2 = - hello_html_m6acef63e.gif

Пример.1) 2x2 - 5x = 0.

x (2x – 5) = 0; x = 0 или 2x – 5 = 0, откуда x1 = 0 или x2 = - 2,5.

3) ax2 = 0.

x2 = 0; x = 0



Литература.

1.Мордкович А.Г.Алгебра 8 класс. М., Мнемозина, 2010.

2.Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.

3. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

Интернет- ресурсы:

http://www.zavuch.info/methodlib/358/75891/

http://do.gendocs.ru/docs/index-1919.html

http://ru.wikipedia.org/wiki

http://detishka.ru/current.php?id=4209





Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

"Описание материала:

Современные школьные учебники знакомят обучающихся с несколькими методами решения квадратных уравнений:

1) нахождение корней квадратного уравнения по общей формуле, т.е. через «дискриминант»;

2) нахождение корней квадратного уравнения по формуле корней с четным вторым коэффициентом;

3) графический метод;

4) нахождение корней квадратного уравнения по формуле корней приведенного квадратного уравнения;

5) решение квадратных уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

На сдачу ГИА, ЕГЭ обучающимся дается не так уж много времени, поэтому я рекомендую познакомить их с устными способами решения квадратных уравнений. К некоторым методам мы пришли с обучающимися на занятиях объединения «Школа решения нестандартных задач по математике» в системе дополнительного образования. Это метод « Связь между коэффициентами».

Общая информация
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель математики
Подробнее о курсе
Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель, преподаватель экономики
Подробнее о курсе
Теория и методика обучения информатике в начальной школе
Курс профессиональной переподготовки
Теория и методика обучения информатике в начальной школе
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель информатики в начальной школе
Подробнее о курсе
Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Цена от 6.720 руб. 500 часов
Квалификация: Учитель математики и информатики
Подробнее о курсе
Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Преподаватель инженерной графики
Подробнее о курсе
Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации
Цена от 5.520 руб. 300 часов
Квалификация: Учитель, преподаватель по черчению
Подробнее о курсе
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.