Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Текст материала для НПК «Фракталы»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Текст материала для НПК «Фракталы»

библиотека
материалов


Содержание:



Содержание: 1

Введение. 3

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный). 5

Бенуа́ Мандельбро́т (фр. Benoît B. Mandelbrot; 20 ноября 1924, Варшава — 14 октября 2010, Кембридж) — французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993). 5

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг — это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли из в своей работе.

Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.
5

Рождение и развитие фрактальной геометрии 7

ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ФРАКТАЛЫ НА САМОМ ДЕЛЕ?
Слово "Фрактал” — это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от физиков до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Цветные картинки фракталов сегодня можно найти везде: от открыток до футболок. За последние два десятка лет количество производимых в месяц единиц продукции, связанной с фракталами, увеличилось от нескольких десятков до многих тысяч!
Итак, что это за цветные формы, которые мы видим повсюду вокруг? Говоря простым языком, фрактал — это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах. Отсюда следует принцип самоподобия. Все фракталы подобны сам себе, то есть они похожи на всех уровнях. 7

Система — это набор вещей, или область изучения, причем некоторые из обычных систем, которые хаологи любят изучать включают облачные образования, погода, движение водных потоков, миграции животных, и множество других аспектов из жизни матери природы. Так что, в конце концов, может быть, весь мир вокруг нас фрактален! 8

2. Геометрические фракталы 11

Звезда Коха. 11

Геометрические фракталы: список продолжается 13

14

Ковёр Серпинского. 15

Фрактальная кривая Пеано 17

Дракон Хартера 17

3. Стохастические фракталы 18

Применение фракталов 20

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. 20

Механика жидкостей и газов. 21

Телекоммуникации. 21

Физика поверхностей. 21

Биология. 22

Фрактальное искусство 23

Заключение. 24

Литература и ресурсы Интернета. 27

Введение.

В современном мире всё стремительно меняется. Это касается и самой «старой» науки – математики. Меня заинтересовало одно из открытий тридцатилетней давности – открытие фракталов – удивительно красивых и таинственных геометрических объектов.

hello_html_372796cc.pnghello_html_m635646aa.pnghello_html_1e48af4f.pngФракталы - это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его маленькая копия.

В данной работе мы уделили основное внимание различным определениям фрактала, классификации фракталов, связи фракталов с природой и искусством, а также построению геометрических фракталов.

Однако, несмотря на достаточную привлекательность работы, необходимое распространение на школьном уровне фракталы не получат в силу отсутствия литературы по рассматриваемому предмету. Кроме небольшого круга участников математических собраний и педагогов математики данная работа недоступна широкому кругу читателей.

Объект исследования: фрактальная геометрия.

Предмет исследования: фракталы.

Цель данной работы: обобщение и систематизация данных о фракталах, посредством использования различных способов представления информации.

Для достижения поставленной цели предполагается решение следующих задач:

1. сбор и дополнение сведений о фракталах;

2. разработка и усовершенствование способов представления полученной информации в форме, доступной большей части школьного сообщества;

3. сохранение данных о фракталах в печатном и электронном вариантах;

4. популяризация фрактальной геометрии среди членов школьного коллектива.

Поставленные задачи решаются посредством использования следующих методов исследования: частично-поисковый, анализ и обобщение научной литературы по теме, моделирование.

Таким образом, гипотеза нашего исследования заключается в следующем: если материал о фракталах обобщить, систематизировать и представить в доступных формах членам школьного коллектива, то основы фрактальной геометрии будут доступны каждому читателю, пользователю, что необходимо для всестороннего развития современного человека.



На уроках геометрии мы изучаем окружности, параллелограммы, треугольники, квадраты и т.д. Однако в природе большей частью объекты «неправильные» - шероховатые, зазубренные, изъеденные ходами и отверстиями.

hello_html_19ece81a.jpg

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный).

hello_html_m2eb6b980.pngБенуа́ Мандельбро́т (фр. Benoît B. Mandelbrot; 20 ноября 1924, Варшава — 14 октября 2010, Кембридж) — французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг — это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли из в своей работе.

Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.


Кто хотя бы раз видел фракталы — удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захваты­вающим научным явлением. Фрактальные рисунки — вершина вдохновения мастера на пути к совершенно­му единству математики, информатики и искусства. Такими представляются фракталы, которые строят современные компьютеры.

hello_html_m709d24bf.pnghello_html_3fb0d449.png


До недавнего времени геометрические модели при­родных объектов изображались с помощью комбина­ций простых фигур: прямых, треугольников, окруж­ностей, сфер, многогранников. Так, например, икосаэдр1 передает модель вируса, круг напоминает медузу, а поворотная симметрия описывает форму морской звезды. Правда, с помощью набора этих известных фи­гур трудно описать более сложные природные объекты: пористые материалы, формы облаков, кроны деревьев и т.п.

Современная наука не может обойтись без новых компьютерных средств. Они выводят математику на необычайно высокий уровень. Изучая фракталы, весьма трудно провести грань между математикой и информа­тикой — так тесно они переплелись в своем стремлении открыть уникальные модели, приближающие нас к по­ниманию некоторых природных процессов и явлений.

Рождение и развитие фрактальной геометрии

ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ФРАКТАЛЫ НА САМОМ ДЕЛЕ?
Слово "Фрактал” — это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от физиков до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Цветные картинки фракталов сегодня можно найти везде: от открыток до футболок. За последние два десятка лет количество производимых в месяц единиц продукции, связанной с фракталами, увеличилось от нескольких десятков до многих тысяч!
hello_html_4169a506.jpgИтак, что это за цветные формы, которые мы видим повсюду вокруг? Говоря простым языком, фрактал — это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах. Отсюда следует принцип самоподобия. Все фракталы подобны сам себе, то есть они похожи на всех уровнях.

Понятия "фрактал" и "фрактальная геометрия" воз­никли в 70—80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово "фрактал" происходит от латинского fractus, что в пе­реводе означает разбитый (поделенный на части). Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегуляр­ных самоподобных структур. По определению, данному Мандельбротом, "фракталом называется структура, со­стоящая из частей, которые в каком-то смысле подоб­ны целому". Свойство самоподобности отражает глав­ную особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несет в себе полную информацию обо всем организме.

С математической точки зрения фрактал — это, пре­жде всего множество дробной размерности. Всем, кто изучает геометрию, известно, что размерность отрез­ка равна 1, квадрата — 2, куба и параллелепипеда — 3. Дробная размерность — основное свойство фракталов.

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта "Фракталь­ная геометрия природы". В ней использованы научные результаты ученых, работавших в период 1875—1925 гг. в той же области. Среди них Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф. Только в наше время удалось объеди­нить эти работы в единую систему.

hello_html_m309f354f.jpgФрактальная геометрия — это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фракталь­ной геометрии Б. Мандельброт: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин за­ключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, горы — это не конусы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по пря­мой... Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно".

Новая фигура — фрактал — может выступать моде­лью сложных природных систем, таких, как кроны де­ревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны, и т.д. Древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы.

Однако фракталы — не просто сложные фигуры, сгенерированные компьютерами. Все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом. Теоретически, можно сказать, что все что существует в реальном мире является фракталом, будь то облако или маленькая молекула кислорода.

Если рассматривать фрактальные объекты в различ­ном масштабе, то нетрудно обнаружить одни и те же основные элементы. Эти повторяющиеся закономер­ности определяют дробную (фрактальную) размерность необычной геометрической фигуры.

Фракталы всегда ассоциируются со словом хаос. Я лично, определила бы фракталы, как частички хаоса. Фракталы проявляют хаотическое поведение, благодаря которому они кажутся такими беспорядочными и случайными. Но если взглянуть достаточно близко, можно увидеть много аспектов самоподобия внутри фрактала. Например, посмотрите на дерево, затем выберите определенную ветку и изучите ее поближе. Теперь выберите связку из нескольких листьев. Для ученых, занимающихся фракталами (которых иногда называют хаологами), все эти три объекта представляются идентичными.

Система — это набор вещей, или область изучения, причем некоторые из обычных систем, которые хаологи любят изучать включают облачные образования, погода, движение водных потоков, миграции животных, и множество других аспектов из жизни матери природы. Так что, в конце концов, может быть, весь мир вокруг нас фрактален!

Для многих хаологов, изучение хаоса и фракталов не просто новая область познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии — это революция. Это открытие нового типа геометрии, той геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе и везде в безграничной вселенной.

Типы фракталов и способы их построения

hello_html_m62d50d88.jpgДля того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации:детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ФРАКТАЛЫ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 

Первыми открытыми фракталами были т.н. детерминированные фракталы. Их отличительной чертой является свойство самоподобия, обусловленное особенностями метода их генерации. 

Некоторые предпочитают называть эти фракталы классическими, геометрическими фракталами или линейными фракталами. Эти фракталы обычно формируются начиная с инициатора — фигуры, к которой применяется определенный основной рисунок. Во всех детерминированных фракталах, само-подобие проявляется на всех уровнях. Это значит, что независимо от того насколько вы приближаете фрактал, вы увидите все тот же узор. Для сложных фракталов, которые будут рассмотрены позже, это не так. Детерминистские фракталы образуются в процессе, называемом итерацией, которая применяет основной рисунок к инициатору, после чего применяет его к результату и так далее. Большинство людей итерируют детерминированные фракталы 5-7 раз чтобы получить четкую красивую картинку. Эти фракталы линейны, так как при каждой итерации, что-то убирается либо прибавляется в форме прямых линий. Ниже находятся примеры некоторых обычных детерминированных фракталов, сгенерированных на обычном компьютере простыми программами на BASIC’е.

1. Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Они оправды­вают такое название, так как строятся на основе алге­браических формул, иногда довольно простых.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (рис. 1). Алгоритм его основан на многократном (итерационном) расчете по формуле: hello_html_5a9433e0.gif, где Z и С — так на­зываемые "комплексные переменные". Повторения вы­полняются для каждой точки начальной прямоугольной или квадратной области — подмножестве комплексной плоскости. В результате на плоскости образуется множество точек, которые выстраиваются в сложной закономерности.



hello_html_790ebaf9.jpghello_html_m787c2c11.png

Однако можно заметить, что это множество образу­ет в разных масштабах две подобные фигуры — круг и кардиоиду. Круг — знакомая фигура. Кардиоида — ма­лоизвестная, поскольку не изучается в школе. Это так называемая "замечательная кривая", которую можно построить как вручную — геометрически, так и с по­мощью компьютера. Если взять две окружности с рав­ными радиусами и вращать одну по другой, то конец зафиксированного радиуса второй окружности опишет кривую, которая и носит название кардиоиды (рис. 2). Она получила это имя из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца (первая часть названия кривой — "кардио" происходит от греческого слова "кардиа"— сердце).

Вернемся к фракталам, которые строятся по заранее определенным формулам. А как получается такое фан­тастическое многообразие цвета, которое мы наблюда­ем во фракталах? Оказывается, для этого можно разра­ботать компьютерные программы (правда, с достаточно сложным алгоритмом). Смена алгоритма выбора цвета порождает сложные фрактальные картины с причудли­выми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью алгорит­мов описывать очень сложные геометрические структу­ры :


hello_html_m3106d02.pnghello_html_8343d86.png

2. Геометрические фракталы

hello_html_m7112cde.jpgИстория фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, ведь в них невооруженным глазом видна самоподобность.

В двумерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих эту ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соот­ветствующем масштабе. В результате бесконечного по­вторения этой процедуры получается геометрический фрактал. С целью лучшего понимания этого описания рассмотрим процесс построения простейших геоме­трических фракталов.


Звезда Коха.

Эта кривая была описана в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом (Helge von Koch) (1870 - 1924).

Процесс построения "звезды" начинается с того, что на первом шаге стороны правильного треуголь­ника разбиваются на три равные части и их середины заменяются на правильные треугольники, подобные исходному. В результате получается пра­вильный звездчатый шестиугольник ("звезда Давида"). Стороны этого шестиугольника вновь раз­биваются на три равные части, а потом на каждом среднем отрезке стороны строятся треугольники (рис.).

hello_html_38aafa06.gif hello_html_m3b6c9dd9.pnghello_html_487aedc7.png

Повторяя этот процесс, будем получать все более сложные многоугольники и представляющие собой звезду Коха. Используется также название "снежинка Коха" (рис. 6).


hello_html_6f4f1379.png hello_html_468c90f0.jpg


С математической точки зрения звезда Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема (на это указывает ее "колючесть" в каждой точке). Она не имеет самопе­ресечений.

Геометрические фракталы: список продолжается

Интересный геометрический фрактал можно по­строить из квадратов последовательным добавлением к исходному квадрату подобных ему фигур.

На первом шаге стороны квадрата разбивают­ся на три равные части и их середины заменяются на квад­раты, подобные исходному. Стороны получивше­гося многоугольника снова разбиваются на три равные части и на их серединах строятся квадраты.

hello_html_57e7ca50.gif hello_html_5bb31bb8.jpg

Повторяя этот процесс, будем получать все бо­лее сложные фигуры, приближающиеся к искомому фракталу.


Древо Пифагора


Называется так потому, что каждая тройка попарно соприкасающихся квадратов ограничивает прямоугольный треугольник и получается картинка, которой часто иллюстрируют теорему Пифагора, «пифагоровы штаны во все стороны равны».

Хорошо видно, что всё дерево ограничено. Если самый большой квадрат единичный, то дерево поместится в прямоугольник 6 × 4. Значит, его площадь не превосходит 24. Но с другой стороны, каждый раз добавляется в два раза больше троек квадратиков, чем в предыдущий, а их линейные размеры в √2 раз меньше. Поэтому на каждом шаге добавляется одна и та же площадь, которая равна площади начальной конфигурации, то есть 2. Казалось бы, тогда площадь дерева должна быть бесконечна! Но на самом деле противоречия здесь нет, потому что довольно быстро квадратики начинают перекрываться, и площадь прирастает не так быстро. Она всё-таки конечна, но, по всей видимости, до сих пор точное значение неизвестно, и это открытая проблема.

Если менять углы при основании треугольника, то будут получаться немного другие формы дерева. А при угле 60° все три квадрата окажутся равными, а дерево превратится в периодический узор на плоскости:

hello_html_m1f087c91.png




Можно даже заменять квадраты на прямоугольники. Тогда дерево будет больше похоже на настоящие деревья. А при некоторой художественной обработке получаются довольно реалистичные изображения:

hello_html_m6a2f7a04.png

В качестве исходной геометрической фигуры можно взять не только правильный треугольник или квадрат, но и правильный шестиугольник или окружность. Применив к ним описанное выше пра­вило, получим еще более замысловатые и красивые фракталы ..

hello_html_m5ff3b4d6.png

Ковёр Серпинского.

Рассмотрим еще одну самоподобную фигуру, придуман­ную польским математиком Вацлавом Серпинским (1882—1969) в 1915 году.

Она получается из квадрата последовательным выреза­нием серединных квадратов. Проследим построения но­вого квартала более подробно. Разделим данный квадрат на девять равных квадратов и квадрат, расположенный в середине, вырежем. Получим квадрат с пустотой. Для оставшихся восьми квадратов вновь повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты удалим. Повторяя похожие построения, будем получать все более "дырявую" фигуру. То, что остается после всех вы­резаний, и будет ковром Серпинского (рис. 9).


hello_html_m5b119423.gif hello_html_m60823e60.png


Поскольку вырезаемые квадраты располагаются все бо­лее часто, то в результате на ковре Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без "дырки".

Начиная не с квадрата, а с равностороннего треугольни­ка, и вырезая центральные треугольники, получим еще одну самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского. Она носит название "салфетки Серпинского".


hello_html_m57d58867.jpg hello_html_b5ddf0e.png


Фрактальная кривая Пеано

Необычный пример кривой, имеющей фрактальный характер, был получен в 1890 году Джузеппе Пеано (1858—1932) и назы­вается в его честь. Для ее построения разобьем данный квадрат на четыре равные квадрата и соединим их цент­ры тремя отрезками. Уберем внутренние стороны квадратов и из четырех копий со­ставим фигуру, изображенную на рис.

Снова удалим внутренние стороны квадратов и сое­диним тремя отрезками концы ломаных, как показано на рис. 12.

Повторяя описанную процедуру, будем получать все более сложные ломаные (рис.), приближающиеся к кривой Пеано.

hello_html_m16ca4850.jpgОтметим, что кривая Пеано непрерывна. Ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Поэтому кривая Пеано будет проходить через все точ­ки исходного квадрата, т.е. будет полностью заполнять весь исходный квадрат. Кроме того, она будет иметь бес­конечную длину.

Дракон Хартера

Геометрическим фракталом является также так на­зываемая "кривая дракона"2. Для ее построения возьмем отрезок. Повернем его на 90° вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Получим уголок из двух отрезков. Повторим описанную процедуру. Повернем уголок на 90° вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной (рис.).



hello_html_mdd12843.gif


Повторяя названные действия и уменьшая ломаные, будем получать все более сложные линии, напоминаю­щие фигуру дракона (рис.).

hello_html_2ba88aa5.jpg



3. Стохастические фракталы

hello_html_m763715a4.pngФракталы, при построении которых случайным об­разом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин "стохастичность" проис­ходит от греческого слова, обозначающего "предполо­жение".

Стохастическим природным процессом является броуновское движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто за­дать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объ­екты, очень похожие на природные, — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделиро­вании рельефа местности и поверхности моря.

С помощью компьютерной программы можно по­строить какие-нибудь объекты живой природы, напри­мер, ветку дерева. Процесс конструирования этого гео­метрического фрактала задается более сложным прави­лом, нежели построение вышеописанных кривых.

Рассмотрим его на примере ветки. Всего лишь не­сколько шагов в компьютерном алгоритме... и мы ви­дим, как образуется ветка-фрактал (рис.).

hello_html_m4d27ec8c.gifhello_html_m45cc8749.png



Применение фракталов

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

hello_html_77c0028d.jpgГлавное применение фракталов — современная ком­пьютерная графика. С их помощью можно создавать плоские множества и поверхности очень сложной фор­мы, посредством изменения параметров в том или ином уравнении.

Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, морей, горных ландшафтов. Можно сказать, что ученые нашли простой способ пред­ставления сложных объектов, образы которых напоми­нают природные формы.

Большой вклад в теорию фракталов вносят мощные современные компьютерные программы, рисующие листья деревьев и папоротника, искусственные горные цепи, облака и не существующие в природе планеты с вымышленными океанами и континентами.

Таким образом, фракталы — это новая веха в науке XX в., с неисчерпаемой перспективой развития в веке XXI. Вот лишь несколько самых показательных при­меров.

hello_html_m465f92c1.pnghello_html_32c9200a.png

Компьютерные системы.

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе это­го вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами. Другое преимущество фрактального сжатия состоит в том, что при увеличе­нии картинки не наблюдается эффекта пикселизации3. При фрактальном сжатии после увеличения картинка часто выглядит даже лучше, чем до него. Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется

некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении.


Механика жидкостей и газов.

Изучение тур­булентности в потоках очень хорошо подстраивает­ся под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны, и поэтому очень сложно строить их модели. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя лучше понять динамику сложных потоков. Например, атмосфера Юпитера представляет собой одно из самых захватывающих зрелищ в Солнечной системе. Между ледяным холодом косми­ческого пространства и тысячеградусной жарой в глубинах атмосферного океана гигантской планеты зарождаются циклопические облачные вихри самых причудливых форм. hello_html_m232d18e9.jpg


Телекоммуникации.

Для передачи данных на рас­стояние используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес. hello_html_m5a811acf.png


Физика поверхностей.

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверх­ность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные

модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью", и свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели.

Наличие на фракталах равномерной меры, позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.

При помощи фракталов также можно моделировать языки пламени и другие, еще более сложные, физические процессы. Фрактальные формы хорошо передают пористые материалы, которые имеют очень сложную геометрическую структуру. Эти знания используются в науке о нефти.

Теория фракталов используется и при изучении структуры Вселенной.


hello_html_m6249c3f0.jpg

Биология.

Здесь такие примеры — биосенсорные взаимодействия и биения сердца, моделирование хао­тических процессов, в частности, при описании моделей популяций. Интересным приложением фракталов явля­ется генерация деревьев, как плоских, так и простран­ственных. Компьютерная программа, с помощью кото­рой строятся эти фракталы, позволяет изменять различ­ные параметры дерева: от ветвистости, толщины ствола и веток до угла наклона веток и цвета листьев.


hello_html_47a178aa.jpghello_html_mb309a08.pnghello_html_1fed5279.png


Надо сказать, что природные объекты и явления, ко­нечно, не являются фракталами в точном смысле этого слова. Однако с ассоциированными с ними фракталами можно производить точные расчеты, представляющие интерес для практики.

Роль фракталов в машинной графике

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы.С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов,образы которых весьма похожи на природные. hello_html_46cde9b1.png

В Математике


Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике.В теории множеств множество Кантора доказывает существованиесовершенных нигде не плотных множеств, в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница" является хорошим примером функции распределения сингулярной меры.


Фрактальное искусство hello_html_62e8a79e.png

hello_html_40cf8506.jpgЕще одной захватывающей, но спорной областью применения фракталов служит компьютерное искус­ство. Фракталы не только служат ученым, но и помогают художникам передавать их мысли, чувства и настроения, воплощая самые невероятные фантазии. В наше время живописец уже не может обойтись без компьютерной программы, которая строит причудливые картины-фракталы.

Таких картин в Интернете немало. Предпринима­ются попытки обоснования искусства с точки зрения фракталов.




hello_html_753824f6.pnghello_html_m5127ba93.pnghello_html_m20ce1a74.pnghello_html_m6212d856.png




Заключение.

hello_html_m79aecd19.jpgФрактальная наука ещё очень молода, и ей предстоит большое будущее.

Задачи, которые открываются перед новой областью математики – фрактальной геометрией, - сложны и многообразны.

Можно ли однозначно определить бесформенность?
Отыскать язык, на котором возможно рассказать о форме облаков или о цвете мерцающего снега? Существует ли наука, способная вычислить площадь снежинки или степень беспорядка хаоса?
hello_html_m1b1ce664.png

Фрактальная геометрия изъясняется на языке природы.
1. В мире природы не существует статических состояний.

2. Любая форма естественного происхождения является самоподобной

3. Любой процесс или движение в природе имеет прерывистый (скачкообразный) характер.

В окружающем мире - каждая точка является центром общей картины-Изображение, звук, слово, движение, мысль, эмоция, ощущение –
все это разные языки, говорящие об одном и том же и благодаря одному и тому же. Фрактальность окружает нас везде- Морозный узор на стекле,сверкающая молния,форма снежинки,периодический самоподобный шум морского прибоя;
звон насекомых и птиц в лесу,дробь дождя,очертания форм облаков,шум ветра,
сочетание ферментов, образующих аромат цветов.
Фрактальность прявляется в этнической словесности: мантры;гимны;молитвы;заклинания, сказания.
Фрактальность может проявляться в образе поведения или траектории движения человека: ритуальные танцы;
марши;

Многие объекты в природе (например человеческое тело) состоят из множества фракталов, смешанных друг с другом, причем каждый фрактал имеет свою размерность отличную от размерности остальных. Например, двумерная поверхность человеческой сосудистой системы изгибается, ветвится, скручивается и сжимается так, что ее фрактальная размерность равна 3.0. Но если бы она была разделена на отдельные части, фрактальная размерность артерий была бы только 2.7, тогда как бронхиальные пути в легких имели бы фрактальную размерность 1.07.

Если раньше ученым приходилось иметь дело, в основном, с числами и формулами, то теперь их работа стала гораздо интереснее. С помощью компьютеров они могут рисовать большие красивые картинки изучаемых явлений. Некоторые из ученых так увлеклись этим, что стали художниками, и сегодня простая любопытность математиков, коей являлись фракталы еще в начале 80-х, превратилась в уважаемый вид искусства. Выставки фрактальных изображений проходят в музеях всего мира, большое количество конкурсов проводится в компьютерной сети Интернет.

Фракталы стали незаменимыми помощниками астрофизиков, медиков, геологов. Фрактальное моделирование как инструмент для изучения неупорядоченных систем, каковыми являются нефтегазовые месторождения, стало технологической потребностью. Фрактальные модели упрощают анализ движения жидкости или газа, что важно для индустриальных технологий разработки месторождений нефти и газа. Модели, построенные на основе фрактальных изображений, позволяют с большой точностью моделировать космическое пространство и ткани внутренних органов живых организмов.

Фракталам посвящены тысячи публикаций и огромные ресурсы в международной компьютерной сети Интернет, однако для многих специалистов далеких от информатики данный термин представляется абсолютно новым. Поэтому, по нашему мнению, фракталы, как объекты, представляющие интерес для специалистов различных отраслей знания, должны получить надлежащее место в курсах математики и информатики.


Фракталам посвящено множество различных сайтов. Эти удивительные компьютерные объекты имеют огромный практический и художественный потенциал. Значение фракталов для науки трудно переоценить. Создание практически точных моделей окружающей среды позволит лучше изучить приро­ду и, кроме того, оценить и сами фракталы. И, может быть, когда-нибудь на уроках информатики и мате­матики ученики будут изучать не только треугольни­ки, пирамиды, углы и системы счисления, но и раз­нообразные фракталы.


В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо фрактальной живописи фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных (здесь в основном применяется свойство самоподобия фракталов — ведь чтобы запомнить небольшой фрагмент рисунка и преобразования, с помощью которых можно получить остальные части, требуется гораздо меньше памяти, чем для хранения всего файла). Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. А экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Мандельбротом более 30 лет назад).



hello_html_42ba6a0d.png


Литература и ресурсы Интернета.



  1. Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство. /Математика в школе, №5/2005.

  2. Шабаршин А.А. Введение во фракталы. Екатеринбург, 1998.

  3. Федер Е. Фракталы. Москва, Мир 1991.

  4. http://www.fractalartcontasts.com

  5. http://www.fractals.nsu.ru

  6. http://multifractal.narod.ru

  7. http://fractalworld.xaoc.ru

  8. http://mathworld.wolfram.com/

9. http://3dfractal.ru/stati-o-fraktalah/29.html

10. Бенуа Б. Мандельброт Фрактальная геометрия природы

11. Бенуа Б. Мандельброт, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах

12. Мандельброт Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса // Бенуа Мандельброт. 

13.«Геометрия безумия» Александр БОЖДАЙ











hello_html_0.gif

hello_html_0.gif










1 Икосаэдр — пространственная фигура, представляю­щая собой многогранник с 20 гранями, каждая из которых является равносторонним треугольником.

2 Кривая дракона в популярной литературе впервые была описана в 1967 году в журнале "Scientific American". Первоначально ис­пользовалось полное название кривой — "дракон Хартера — Хейтуэя", которое ей дал основатель компьютерной фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт. В дальнейшем стали говорить просто о кривой дракона.

3 Пикселизация - увеличение размеров точек до размеров, искажаю­щих изображение.


Краткое описание документа:

"Описание материала:

Текст материала для научно-практической конференции по математике по теме «Фракталы».

В тексте раскрываются -история фракталов ,их виды,рассматриваются некоторые приемы построения и описаны фракталы в природе.С этим материалом можно выступить как учителю,так и ученикам школы. На школьном этапе ученица 8 класса заняла второе место.

Презентацию можно сделать самим,труда не составит...

Также этот материал можно использовать на внеклассном мероприятии для ознакомления учащихся с таким прекрасным и захватывающим миром фракталов.

Автор
Дата добавления 20.12.2013
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2244
Номер материала 22993122001
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх