Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

библиотека
материалов

Алгебра 9 класс


Инструкция

Дорогой друг!

Выполняя задания, придерживайся следующих правил:

  1. Внимательно изучи тот материал, который тебе выслали.

  2. Разбери самостоятельно, прорешай те задачи и примеры, которые приведены в качестве образца.

  3. Оформляя задачи для самостоятельного решения, приводи полные решения, опираясь на эти образцы. Не забывай выписывать ответы.

  4. Если что-то не получилось, не огорчайся. С проверенной работой вышлем рекомендации по ее решению.

  5. Методички возвращать не надо. Рекомендуем хранить их в специальной папке вместе с проверенными работами и периодически к ним обращаться.

  6. Срок выполнения контрольной работы – 4 дня с момента получения задания.


Решение неравенств методом интервалов

Решим неравенство: hello_html_m355a5298.gif

Неравенство положительно, если оба множителя положительны или отрицательны одновременно. Значит надо решить две системы неравенств:

1)hello_html_m17ea0677.gif или 2)hello_html_3e0c4183.gif

hello_html_5023b7f3.gif hello_html_m7cac3b79.gif

(5;+hello_html_m192b6b21.gif) (-hello_html_m192b6b21.gif;-8)

Ответ: (-hello_html_m192b6b21.gif;-8)hello_html_1ba9886a.gif(5;+hello_html_m192b6b21.gif)

Решим другое неравенство: (x-2)(x+5)(x-12)>0

Если рассуждать как в предыдущем примере о возможных знаках каждого из трёх множителей, то вычисления будут громоздкими, потому необходим другой метод решения. Таким методом является метод интервалов.

Если левая часть неравенства является произведением, а правая часть – 0, то есть hello_html_57ee814d.gif (hello_html_m78e19f23.gif) и hello_html_m10bae459.gif, где х – переменная, а hello_html_570f113e.gif, hello_html_2b92f0a8.gif…,hello_html_4b558337.gif – не равные друг другу числа, то такие неравенства решаются методом интервалов.

Числа hello_html_570f113e.gif, hello_html_2b92f0a8.gif…,hello_html_4b558337.gif - нули функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак меняется.

Для решения неравенства (x-2)(x+5)(x-12)>0 воспользуемся следующим алгоритмом.

Алгоритм:

  1. Найти область определения функции.

  2. Найти нули функции.

  3. Отметить на координатной прямой интервалы, на которые область определения разбивается нулями функции.

  4. Определить знак функции на каждом промежутке (интервале), для этого выбираем число из данного промежутка и подставляем в функцию.

  5. Записать ответ, удовлетворяющий знаку неравенства.

Решение

(x-2)(x+5)(x-12)>0

  1. xhello_html_559182c5.gifR

  2. (x-2)(x+5)(x-12)=0

hello_html_570f113e.gif=2, hello_html_2b92f0a8.gif=-5, hello_html_m449eec04.gif=12

-5

2

12




-

+

-

+

-5

2

12



  1. Ответ: xhello_html_559182c5.gif (-5;2)hello_html_1ba9886a.gif(12:+hello_html_m192b6b21.gif).

Решим первое неравенство методом интервалов:

(х+8)(х-5)>0

  1. хhello_html_559182c5.gifR

  2. (х+8)(х-5)=0

х1 = - 8, х2 = 5

-8

5



+

+

-

-8

5





  1. Ответ: хhello_html_559182c5.gif (-hello_html_m192b6b21.gif;-8)hello_html_1ba9886a.gif(5;+hello_html_m192b6b21.gif)

Применение метода интервалов

Рассмотрим метод интервалов для решения неравенств высоких степеней.

Пример 1. Решим неравенство hello_html_m23752509.gif

Решение:

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель hello_html_m601076cd.gif, то говорят, что hello_html_3effcbef.gif - корень многочлена кратности hello_html_2193780b.gif.

Данный многочлен имеет корни: hello_html_760af796.gif кратности 6; hello_html_m4aba2f3f.gif кратности 3; hello_html_3aa6c99c.gif кратности 1; hello_html_4618262b.gif кратности 2; hello_html_6a093831.gif кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности – одной чертой.

hello_html_m684c7bc5.png

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

hello_html_m7370c829.png

Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

hello_html_m7edbf841.png

Из рисунка видно, что такими х являются hello_html_m27822276.gif.

Ответ: hello_html_m27822276.gif.

Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.

Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? В корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности – знак меняется.

Важные выводы:

  • Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.

  • При четном k многочлен справа и слева от hello_html_3effcbef.gif имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),

  • При нечетном k многочлен справа и слева от hello_html_3effcbef.gif имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).

Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т.е. разложить на множители).

Рассмотрим способы решения рациональных неравенств hello_html_164f6a26.gif методом интервалов.

Заметим, что рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких степеней. Умножим обе части такого неравенства на многочлен hello_html_m513d3eda.gif, который положителен при всех допустимых значениях х (т.к. hello_html_m5cc05f42.gif). Тогда знак исходного неравенства не меняется, и получаем неравенство hello_html_m7b0eff1c.gif, эквивалентное данному неравенству.

Итак: hello_html_164f6a26.gif эквивалентно системе неравенств hello_html_1360a265.gif которая далее решается методом интервалов.

Пример 2. Решим неравенство hello_html_m6e282ef9.gif

Отметим, прежде всего, что знаменатель неравенства не может быть равен нулю и найдем область определения неравенства:

hello_html_7fc5efa1.gifоткуда hello_html_m3a623376.gif

Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому. Для этого умножим обе части неравенства на положительное выражение – квадрат знаменателя (замети, что при этом знак неравенства не меняется).

Получаем: hello_html_m5775cf55.gif. Разложив квадратный трехчлен на множители, имеем: hello_html_2922e96f.gif. Решаем это неравенство методом интервалов. Находим корни многочлена и определяем их кратность: х =1 (четная кратность), остальные корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетной кратности). Отмечаем корни на числовой оси с учетом области определения неравенства и определяем знаки на промежутках с учетом кратности корней.

hello_html_a3e0586.png

Ответ: hello_html_m14d9f8ee.gif.

Литература

Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2001. – 207 с.

Контрольная работа

  1. Решите неравенства методом интервалов:

а) hello_html_m68aa4b4b.gif; б) hello_html_6657590d.gif;

в) hello_html_m619dfd7.gif.

  1. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а) hello_html_m490003d3.gif; б) hello_html_m3913511d.gif;

б) hello_html_m669db817.gif.

  1. Найдите область определения функции:

а) hello_html_m6ab996ab.gif; б) hello_html_2f195373.gif.

  1. Решите неравенство:

а) hello_html_6c380e16.gif; б) hello_html_m27129cfa.gif;

в) hello_html_514b0926.gif.

  1. Решите неравенство:

а) hello_html_4d3adaad.gif; б) hello_html_2374a640.gif.

Краткое описание документа:

"Описание материала:

В настоящее время становится очень актуальным дистанционное обучение.

Для разработки данного материала послужили курсы по дистанционному обучению. Материал представлен по теме «Решение неравенств методом интервалов» для учеников 9 класса.

Вначале дана пошаговая инструкция, которая поможет ученику и подскажет, что с этим материалом требуется сделать. Далее изложена теория с примерами, алгоритм решения неравенств методом интервалов и применение метода интервалов.

Для закрепления материала в конце предлагается выполнить тематическую контрольную работу.

"Выдержка из материала:

Алгебра 9 класс

Инструкция

Дорогой друг! Выполняя задания, придерживайся следующих правил:Внимательно изучи тот материал, который тебе выслали.Разбери самостоятельно, прорешай те задачи и примеры, которые приведены в качестве образца.

Оформляя задачи для самостоятельного решения, приводи полные решения, опираясь на эти образцы. Не забывай выписывать ответы.Если что-то не получилось, не огорчайся. С проверенной работой вышлем рекомендации по ее решению.Методички возвращать не надо.

Рекомендуем хранить их в специальной папке вместе с проверенными работами и периодически к ним обращаться.Срок выполнения контрольной работы – 4 дня с момента получения задания.

Автор
Дата добавления 21.12.2013
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров4629
Номер материала 23076122159
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх