Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыМатериал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»

Скачать материал

Алгебра 9 класс

 

Инструкция

Дорогой друг!

Выполняя задания, придерживайся следующих правил:

1.        Внимательно изучи тот материал, который тебе выслали.

2.        Разбери самостоятельно, прорешай те задачи и примеры, которые приведены в качестве образца.

3.        Оформляя задачи для самостоятельного решения, приводи полные решения, опираясь на эти образцы. Не забывай выписывать ответы.

4.        Если что-то не получилось, не огорчайся. С проверенной работой вышлем рекомендации по ее решению.

5.        Методички возвращать не надо. Рекомендуем хранить их в специальной папке вместе с проверенными работами и периодически к ним обращаться.

6.        Срок выполнения контрольной работы – 4 дня с момента получения задания.

 

Решение неравенств методом интервалов

Решим неравенство:  

Неравенство положительно, если оба множителя положительны или отрицательны одновременно. Значит надо решить две системы неравенств:

1)        или   2)

                            

    (5;+)                            (-;-8)

Ответ: (-;-8)(5;+)

Решим другое неравенство: (x-2)(x+5)(x-12)>0

Если рассуждать как в предыдущем примере о возможных знаках каждого из трёх множителей, то вычисления будут громоздкими, потому необходим другой метод решения. Таким методом является метод интервалов.

Если левая часть неравенства является произведением, а правая часть – 0, то есть  () и , где х – переменная, а , …, – не равные друг другу числа, то такие неравенства решаются методом интервалов.

Числа , …, - нули функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль её знак меняется.

Для решения неравенства (x-2)(x+5)(x-12)>0 воспользуемся следующим алгоритмом.

Алгоритм:

1)      Найти область определения функции.

2)      Найти нули функции.

3)      Отметить на координатной прямой интервалы, на которые область определения разбивается нулями функции.

4)      Определить знак функции на каждом промежутке (интервале), для этого выбираем число из данного промежутка и подставляем в функцию.

5)      Записать ответ, удовлетворяющий знаку неравенства.

Решение

(x-2)(x+5)(x-12)>0

1)   xR

2)      (x-2)(x+5)(x-12)=0

       =2, =-5, =12

3)     

 

 

4)       


       

5)   Ответ: x (-5;2)(12:+).

Решим первое неравенство методом интервалов:

(х+8)(х-5)>0

1)   хR

2)      (х+8)(х-5)=0

     х1 = - 8,  х2 = 5

3)     

 

4)       

 

 


5)   Ответ: х (-;-8)(5;+)

Применение метода интервалов

Рассмотрим метод интервалов для решения неравенств высоких степеней.

Пример 1. Решим неравенство

Решение:

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что  - корень многочлена кратности .

Данный многочлен имеет корни:  кратности 6;  кратности 3;  кратности 1;  кратности 2;  кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности – одной чертой.

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

Из рисунка видно, что такими х являются .

Ответ: .

Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.

Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? В корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности – знак меняется.

Важные выводы:

·  Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.

·  При четном k многочлен справа и слева от  имеет один и тот же знак (т.е. знак многочлена не меняется),

·  При нечетном k многочлен справа и слева от  имеет противоположные знаки (т.е. знак многочлена изменяется).

Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т.е. разложить на множители).

Рассмотрим  способы решения рациональных неравенств  методом интервалов.

Заметим, что рациональные неравенства легко сводятся к решению неравенств высоких степеней. Умножим обе части такого неравенства на многочлен , который положителен при всех допустимых значениях х (т.к. ). Тогда знак исходного неравенства не меняется, и получаем неравенство , эквивалентное данному неравенству.

Итак:  эквивалентно системе неравенств  которая далее решается методом интервалов.

Пример 2.  Решим неравенство

Отметим, прежде всего, что знаменатель неравенства не может быть равен нулю и найдем область определения неравенства:

 откуда

Сведем данное рациональное неравенство к алгебраическому. Для этого умножим обе части неравенства на положительное выражение – квадрат знаменателя (замети, что при этом знак неравенства не меняется).

Получаем: . Разложив квадратный трехчлен на множители, имеем: . Решаем это неравенство методом интервалов. Находим корни многочлена и определяем их кратность: х =1 (четная кратность), остальные корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетной кратности). Отмечаем корни на числовой оси с учетом области определения неравенства и определяем знаки на промежутках с учетом кратности корней.

Ответ: .

Литература

Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 8-е изд. –  М.: Просвещение, 2001. – 207 с.

Контрольная работа

1.     Решите неравенства методом интервалов:

а) ;                      б) ;

в) .

2.     Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а) ;                  б) ;

б) .

3.     Найдите область определения функции:

а) ;                   б) .

4.     Решите неравенство:

а) ;                  б) ;

в) .

5.     Решите неравенство:

а) ;                                      б) .

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Материал по математике для 9 класса «Решение неравенств методом интервалов»"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Менеджер гостиничного комплекса

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

"Описание материала:

В настоящее время становится очень актуальным дистанционное обучение.

Для разработки данного материала послужили курсы по дистанционному обучению. Материал представлен по теме «Решение неравенств методом интервалов» для учеников 9 класса.

Вначале дана пошаговая инструкция, которая поможет ученику и подскажет, что с этим материалом требуется сделать. Далее изложена теория с примерами, алгоритм решения неравенств методом интервалов и применение метода интервалов.

Для закрепления материала в конце предлагается выполнить тематическую контрольную работу.

"Выдержка из материала:

Алгебра 9 класс

Инструкция

Дорогой друг! Выполняя задания, придерживайся следующих правил:Внимательно изучи тот материал, который тебе выслали.Разбери самостоятельно, прорешай те задачи и примеры, которые приведены в качестве образца.

Оформляя задачи для самостоятельного решения, приводи полные решения, опираясь на эти образцы. Не забывай выписывать ответы.Если что-то не получилось, не огорчайся. С проверенной работой вышлем рекомендации по ее решению.Методички возвращать не надо.

Рекомендуем хранить их в специальной папке вместе с проверенными работами и периодически к ним обращаться.Срок выполнения контрольной работы – 4 дня с момента получения задания.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 221 материал в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 21.12.2013 17251
    • DOCX 96.4 кбайт
    • 298 скачиваний
    • Рейтинг: 4 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Палехова Екатерина Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Палехова Екатерина Викторовна
    Палехова Екатерина Викторовна
    • На сайте: 9 лет и 4 месяца
    • Подписчики: 2
    • Всего просмотров: 39974
    • Всего материалов: 7

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Методист-разработчик онлайн-курсов

Методист-разработчик онлайн-курсов

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 66 человек из 34 регионов

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к сдаче ЕГЭ по математике в условиях реализации ФГОС СОО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 193 человека из 56 регионов

Курс повышения квалификации

Применение математических знаний в повседневной жизни

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в сфере начального общего образования

Учитель математики в начальной школе

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 125 человек из 44 регионов

Мини-курс

Практические навыки трекинга и менторства

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Карьера и развитие в современном мире

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Инновационные методы обучения и игровые практики для детей с ОВЗ

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 22 регионов