1000

Задания олимпиады по математике для 9-11 классов

Предпросмотр материала:

МБОУ Алексеево-Лозовская СОШ

 

 

 

 

 

Задания

районного этапа олимпиады

школьников по математике

 

( 9, 10, 11 КЛАСС )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОДГОТОВИЛА:

учитель математики

высшей категории

МБОУ Алексеево-Лозовская СОШ

Чертковского района

Ростовской области

ШКОНДА ИРИНА АНДРЕЕВНА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания районного этапа олимпиады

школьников по математике

2013-2014 учебный год

11 класс

 

 

1.            Доказать, что, если а, в, с – положительные числа, то .

(5 баллов)

 

 

2.            Решите уравнение:    .

(7 баллов)

 

 

3.            Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции, Найти отрезок её, ограниченный продолжениями диагоналей, если основания равны а и в (а>в).

(10 баллов)

 

 

4.            Известно, что , найти .

(5 баллов)

 

 

5.            При каких значениях параметра a уравнение   не имеет корней?

(5 баллов)

 

Ответы и указания

к заданиям районного этапа олимпиады

школьников по математике

2013-2014 учебный год

11 класс

1. Указание. Использовать  неравенство   ;   

1) ; 2) ; 3)  . Складывая три  неравенства, получим то, что нужно было доказать.

2. Пусть , тогда уравнение принимает вид  .

Найдём нули модулей     Решим уравнение:

1)  Вернёмся к замене  ; корней нет.

2)

3)  Вернёмся к замене  ; два корня.  .

Ответ: .

3. Указание.

Сделать рисунок и рассмотреть  три пары подобных треугольников, записать пропорциональность сторон, обозначив высоту искомой трапеции за h, а построенной трапеции за .

Пусть ДМNЕ искомая трапеция, точка С  точка пересечения продолжения диагоналей, а АВ искомый отрезок. Тогда треугольники ДМЕ и СМА; ДNЕ и ВNС; МNЕ и АСЕ являются подобными, поэтому

 Откуда следует АС=СВ,  а из первого и третьего равенства следует АС=.

Ответ:  .

 

4. Возвести в квадрат обе части уравнения   , 

 

Ответ: .

5. Уравнение не имеет корней, если . ; .

 

Ответ:

 

 

 

Задания районного этапа олимпиады

школьников по математике

2013-2014 учебный год

9 класс

 

 

1.            Известно, что    ,  . Чему может равняться .

(5 баллов)

 

 

2.            Решите уравнение:     .

(5 баллов)

 

 

3.            На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСД вне его построены равносторонние треугольники АВМ  и ВСN. Докажите, что треугольник ДМN равносторонний.

(5 баллов)

 

 

4.            Четверо ребят - Алексей, Борис, Владимир и  Григорий участвовали в лыжных гонках. На следующий день, на вопрос кто какое место занял, они ответили так:

Алексей:                       Я не был ни первым и ни последним;

Борис:                           Я не был последним;

Владимир:                    Я был первым;

Григорий:                     Я был последним.

Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один - ложью. Кто сказал правду? Кто был первым?

(5 баллов)

 

 

5.            Среди 81 монеты имеется одна фальшивая (более лёгкая) монета. Как её найти, используя не более четырёх взвешиваний.

(5 баллов)

 

 

Ответы и указания

к заданиям районного этапа олимпиады

школьников по математике

2013-2014 учебный год

9 класс

 

 

 

1.  Указание. Возведите  обе части выражения   в квадрат.

Ответ. 15.

 

 

2. Умножьте обе части уравнения на 2,   , ,  после группировки получим , откуда  .

Ответ: .

 

 

3.  Построить. Стороны треугольника ДМN  найти по теореме косинусов. Эти стороны равны.

 

 

4.  Проверить каждое рассуждение, предположив, что оно ложно. Если солгал Алексей, то солгали ещё Владимир и Григорий, чего не может быть : Пусть солгал Борис, тогда он был последним, но Григорий: также утверждает, что он был  последним. Значит, данного случая тоже не может быть. Пусть солгал Владимир, тогда он был ни первым, в этом случае всё получается и первым был Борис. Последний случай, когда  солгал  Григорий  не может быть, так как тогда последним никто из ребят не был.

Ответ. Правду сказали Алексей, Борис и Григорий. Первым был Борис.

 

 

5.  Разделим монеты на три кучки по 27 монет. Взвесим первую и вторую кучки. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке.

Если весы не в равновесии, то фальшивая монета в той кучке, которая легче. После этого разбиваем кучку из 27 монет (в которой есть фальшивая монета) на три кучки по 9 монет и вторым взвешиванием определяем более лёгкую кучку. Третьим взвешиванием определяем более лёгкую тройку монет. И, наконец, четвёртым  взвешиванием определяем фальшивую монету.

 

Задания районного этапа олимпиады

школьников по математике

2013-2014 учебный год

10 класс

 

 

 

1.            Упростите выражение:   и найти его значение, если .

(6 баллов)

 

 

2.            Решите уравнение .

(5 баллов)

 

 

3.            Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный кран, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

(8 баллов)

 

 

4.            Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 5, а радиус вписанной в него окружности равен 2.

(5 баллов)

 

 

5.            Сколько цифр содержит число    ?

(5 баллов)

 

 

Ответы и указания

к заданиям районного этапа олимпиады

школьников по математике

2013-2014 учебный год

10 класс.

 

 

1.  Складываем последние два слагаемых, затем полученную сумму с впереди стоящим слагаемым и т. д. В результате получим  . Подставляя вместо , получаем  ответ  .

 

2.  Рассмотреть два случая, когда      и решить   квадратные уравнения.

Ответ: -5; 3.

 

3.  За 1минуту наливается горячей водой часть ванны, а за 1минуту наливается холодной водой часть ванны. Пусть холодной воды налили х литров, а горячей 1,5х литров. Итак, , откуда , то есть холодной водой  заполнено ванны, горячей  ванны. Для заполнения холодной водой ванны  потребуется  минут, а горячей  минут,  значит кран нужно открыть через 7 минут.

 

4.  Используя свойства вписанной и описанной окружности и теорему Пифагора, запишем систему.    . Откуда . Площадь равна .

Ответ: .

 

5.  .

Ответ: 13 цифр.

 

0%

Краткое описание материала

Задания олимпиады по математике для 9-11 классов

5

(2 оценки)

    DOCX

21.12.2013

19647

123

Файл будет скачан в формате:

    DOCX

Краткое описание материала

Автор материала

Шконда Ирина Андреевна

Шконда Ирина Андреевна

  • На сайте: 11 лет и 1 месяц
  • Всего просмотров: 47051
  • Подписчики: 0
  • Всего материалов: 12
  • 47051
    просмотров
  • 12
    материалов
  • 0
    подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Шконда Ирина Андреевна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.

ИИ для создания материалов

Создавайте материалы с ИИ

Если готовые материалы не подошли — помогут нейросети

Конспекты, тесты, презентации, рабочие листы и другие материалы по ФГОС — под ваш урок, класс и цели занятия за пару минут.

Попробовать бесплатно

Выберите инструмент

~230

Нейросети могут ошибаться. Обязательно проверяйте ответы.

Курсы по теме

Перейти в каталог курсов

Мини-курсы по теме

Перейти в каталог мини-курсов

Найдите подходящий для Вас курс

Найдите подходящий для Вас курс

В каталоге 7 585 курсов по разным направлениям

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: