-
Курсы
-
Другое
УРАВНЕНИЯ
Повторение.11 класс.
и неравенства
Учитель математики МБОУ СОШ №20 Мелюхина Т.А.
Равенство, содержащее переменную, называется уравнением.
Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнения
Примеры: 2х–3=5х+1; ; х2–2х+1=0.
Тригонометрические уравнения
cos t = a
t = ± arccos a + 2πn, nЄZ
cos t = 1 cos t = -1 cos t = 0
t=2πn, nЄZ t=π+2πn, nЄZ t=π/2+πn, nЄZ
sin t = a
t = (-1)karcsin a + πk, kЄZ
sin t = 1 sin t = -1 sin t = 0
t=π/2+2πn, nЄZ t=-π/2+πn, nЄZ t=πn, nЄZ
tg t = a ctg t = a
t=arctg a+πn, nЄZ t=arcctg a+πn, nЄZ
Значения sinα, cosα, tgα, ctgα.
x
y
0
1
1
-1
-1
Примеры уравнений
Простые уравнения: 2sinx = 1; -3cosx + 1 = 0
Уравнения, приводимые к квадратным:
2sin2x + sinx – 1 = 0 cos2x + 3sinx = 3
Уравнения с разложением на множители:
cos2x – cosx = 0; sin2x + cosx=0; cos6x – cos2x=0
Однородные уравнения первой степени:
asinx + bcosx = 0 sinx +2cosx = 0
Однородные уравнения второй степени:
3sin2x+ sinxcosx – 2cos2x = 0
Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.
Алгоритм решения уравнения:
1способ: 2способ 1) Решить уравнение, Привести уравнение к
возведя обе части равносильной системе,
уравнения в квадрат; используя определение и
2) Сделать проверку. возведение в квадрат.
Пример:
Примеры уравнений
а)
2x -1 = x2 – 4x + 4
x2 - 6x + 5 = 0
x1 = 5, x2 = 1
Проверка:
Равенство верное ═>
═>x=5 явл. корнем
Возведем обе части
уравнения в квадрат
√2∙1-1 =1-2
1=-1
√2∙5-1 = 5-2
3 = 3
Равенство неверное ═>
═>x=1 не явл. корнем
Ответ: x=5.
b)
2x-1=(x-2)2,
x-2≥0
x=5, x=1,
x≥2
<═>
<═>
<═> x=5
Ответ: x=5
2x-1=x2-4x+4,
x≥2
<═>
x2-6x+5=0,
x≥2
<═>
<═>
Показательные уравнения
Простейшее показательное уравнение:
аx = b , где a>0 и a ≠ 1.
Уравнение имеет единственный корень, если b>0.
Алгоритм решения простейшего показательного уравнения:
ax = b (b представить в виде b = ac)
ax = ac (основания равны ═> показатели равны)
x = c
Уравнение не имеет решений, если b≤0.
Примеры уравнений
Простые уравнения:
4х+2 = 64
4х∙42=64
4х=64:16
4х=41
х=1
Уравнения, решаемые другими способами:
7х+2 + 4∙7х+1 = 539
49∙7х + 28∙7х = 539
7х(49+28) = 539
7х∙77 = 539
7х = 539:77
7х = 7
х=1
Решений нет
Логарифмические уравнения
Простейшее логарифмическое уравнение:
logax = b , где a>0,a≠1 и x>0.
Алгоритм решения логарифмических уравнений:
1 способ: 2 способ:
Найти ОДЗ; 1) Решить уравнение, приведя
2) Решить уравнение, приведя обе обе части к логарифмам с
части к логарифмам с одинаковыми основаниями;
одинаковыми основаниями; 2) Выполнить проверку.
3) Сравнить корни с ОДЗ.
Пример: log2(x - 4) = 3
Примеры уравнений
Простые уравнения:
log5(x-4) = 2 ОДЗ: х-4 > 0
log5(x-4) = log525 х > 4
x-4 = 25
x=29
Уравнения, приводимые к квадратным:
lg2x + 2lgx – 1 = 0 ОДЗ: х>0
Пусть lgx = y
y2 + 2y – 1 = 0
y=1
lgx =1
x=10
Уравнения с использованием свойств логарифмов:
log3(x+1) + log3(x+3) = 1
log3(x+1)(x+3) = log33
log3(x2+4x+3) = log33
x2+4x+3=3
x2+4x=0
x(x+4)=0
x=0 x=-4
Проверка: x=0
log31+log33=1
1=1 => x=0 является корнем
х=-4
log(-3)+log(-1)=1
Выражение не имеет смысла =>х=-4 не
является корнем
Ответ: х=0
Неравенства
Неравенства – это выражения, содержащие переменную и записанные с помощью знаков >, <, ≥, ≤.
Решить неравенство – значит найти все значения переменной или доказать, что таких значений нет.
Решения неравенств можно отмечать на координатной прямой или записывать в виде промежутка.
Примеры: 2х > 6, -4x ≤ 8, x2 -16 < 0,
Показательные неравенства
Алгоритм решения показательных неравенств:
1). Приводим обе части неравенства к степеням с одинаковыми основаниями;
2). Сравниваем основания с единицей( при a>1 показательная функция возрастает ═>знак между показателями не меняем, при 0<а<1 функция убывает ═> знак между показателями меняем на противоположный);
3). Решаем неравенство относительно показателей.
Примеры: 2х ≥ 8 32х + 2∙3х – 15 > 0
Примеры решения неравенств
Основание < 0 =>
=> знак неравенства меняем на противоположный
х ≥ 3
Ответ: х ≥ 3
32х +2∙3х-15 ≥ 0
Пусть 3х = у, ОДЗ: у>0
у2+2у-15 ≥ 0
у1= 3, у2= -5 ¢ ОДЗ
Решаем методом интервалов
у ≥ 3 => 3х ≥ 3
Основание 3>0 =>знак неравенства
не меняем
х ≥ 1
Ответ: х ≥ 1.
0
3
+
-
Логарифмические неравенства
Алгоритм решения неравенств: 1). Находим ОДЗ;
2). Решаем логарифмическое неравенство:
- приводим обе части к логарифмам с одинаковыми
основаниями;
- сравниваем основания с единицей( при a>1 функция
логарифмическая возрастает ═> знак между подлога-
рифмическими выражениями не меняем, при 0<a<1
функция убывает ═> меняем на противоположный);
- решаем неравенство с подлогарифмическими выражениями;
3). Находим общие решения.
Примеры: log4(x-2) ≤ 3 log0,3(x2-1) > -3
Примеры решения неравенств
log4(x-2) ≤ 3 ОДЗ: х-2 > 0
log4(x-2) ≤ log464 х > 2
Основание 4≥0 => знак между
подлогарифмическими
выражениями не меняем
х-2 ≤ 64
х ≤ 66
Общее решение => 2 < х ≤ 66
Ответ: х є (2;66]
Системы уравнений и неравенств
Системы уравнений решаются:
способом подстановки;
способом сложения;
графическим способом.
Системы неравенств:
решается первое неравенство;
решается второе неравенство;
находятся общие решения.
Удачи!
Выполнение заданий:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 16.
Тест.
Ответы:
Домашнее задание: 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17.
Молодцы!
"Описание материала:
План урока и презентация по теме «Уравнения и неравенства» для 11 класса.
Цель урока: Обобщение и систематизация знаний по теме «Уравнения и неравенства».
Задачи:
Тип урока: Повторительно-обобщающий.
Технология: Личностно-ориентированная с применением новых информационных технологий.
Время проведения: 1 урок.
Оборудование:- ноутбук; -компьютеры; -мультимедиапроектор; -экран; -диск с презентацией «Уравнения и неравенства»; -тесты с заданиями по теме «Уравнения и неравенства» (на бумажных носителях и в электронном виде).
План урока:
I. Организация класса.
Объявление темы и цели урока.
II.Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся с использованием презентации:
1) Повторение по теме «Уравнения» (слайд 2): дать определение уравнения. что называется корнем уравнения? что значит решить уравнение? рассмотрение примеров уравнений, изучаемых в курсе основной школы: линейные, дробно-рациональные, квадратные и как они решаются.
2) Рассмотрение всех видов уравнений, изучаемых в курсе алгебры 10-11 классов, их способов и алгоритмов решений: - Тригонометрические уравнения (слайды 3,4,5): простейшие тригонометрические уравнения, таблица значений sinα, cosα, tgα, ctgα. разбор примеров тригонометрических уравнений и способы их решений (простые, уравнения, приводимые к квадратным, уравнения с разложением на множители, однородные уравнения I степени, однородные уравнения II степени).
- Иррациональные уравнения (слайды 6,7):
- Показательные уравнения (слайды 8,9):
- Логарифмические уравнения (слайды 10,11,12):
3) Повторение по теме «Неравенства» (слайд 13):
4) Рассмотрение всех видов неравенств, изучаемых в курсе алгебры 10-11 классов, их способов и алгоритмов решений:
- Показательные неравенства (слайд 14,15): примеры неравенств, рассмотрение алгоритма решения показательных неравенств. разбор примеров решения неравенств: простые неравенства, неравенства, приводимые к квадратным. - Логарифмические неравенства (слайд16,17): примеры неравенств, рассмотрение алгоритма решения логарифмических неравенств. разбор примера решения неравенств.
5) Рассмотрение способов решения систем уравнений (слайд 18).
III. Выполнение теста
(тест на бумажном носителе, содержащий части А, В и С тестов ЕГЭ) (слайд 19).
VI. Подведение итогов тестирования
(самопроверка) (слайд 20).
V. Домашнее задание:
выполнение оставшихся заданий теста на бумажном носителе и по желанию проверка своих знаний с помощью электронных тестов по всем темам (почти у всех учащихся 11 класса есть дома компьютеры, поэтому и презентация и тесты розданы всем на электронных носителях, у кого нет компьютера могут позаниматься в школе)
VI. Итоги урока (рефлексия).
Профессия: Преподаватель математики и информатики
В каталоге 6 648 курсов по разным направлениям
