Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Математикадан олимпиадалық есептерді шығару
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Математикадан олимпиадалық есептерді шығару

библиотека
материалов

Атырау облысы

Жылыой ауданы

«№23 жалпы орта білім беретін мектеп»

мемлекеттік мекемесі.





hello_html_m66ec8c00.gif


Математикалық индукция және теңсіздіктерді дәлелдеу.





Баймұхашева Лиза Қожантаевна.

математика пәні мұғалімі



Құлсары қаласы- 2013ж.







Жоспары:

1.Кіріспе ------------------------------------------------------------------2-3бет

2.Негізгі бөлім:

а)Математикалық индукция әдісіне берілген олимпиадалық есептерді шығару жолдары------------------------------------------3-10 бет

б)Теңсіздіктерді дәлелдеуге берілген олимпиадалық есептерді шығару жолдары-------------------------------------------------------11-23 бет

3.Қорытынды.----------------------------------------------------------23 бет.

4.Пайдаланылған әдебиеттер-----------------------------------------24 бет.























Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамды сапалы және терең білім мен іскерліктің болуын, ойлау қабілетінің жоғары, шығармашылықпен жұмыс істеуін талап етеді. Оқушылардың математика-лық білімін жоғары деңгейде оқыту, яғни тереңдету әр ұстаздың алдындағы міндет.

Мұғалім шеберлігінің негізгі көрсеткіштерінің бірі-әдістеме саласындағы ғылыми жаңалықтар мен озық тәжірибені жетік игеру.

Оқушылардың білімділік және тәрбиелік деңгейі шешуші дәрежеде мұға-лімге байланысты, яғни мұғалім ізденісін қажет етеді. Дарынды балалардың қабілетін дамытудың жолдары көп. Соның ішінде олимпиадалардың ролі ерекше. Оқушылардың пәнге қызығушылығын оятатын, олардың математи-калық ой-өрісінің, шығармашылық қабілетінің дамуына дәнекер болатын қосымша тақырыптар көп әсерін тигізеді. Атап айтқанда,«Математикалық индукция әдісі», «Диофант теңдеулері», «Параметрлі теңдеулер мен теңсіз-діктер», «Комбинаторика», «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру», «Теңсіздіктерді дәлелдеу» және тағы да басқа тақырыптарды айтуға болады. Бұндай тақырыптар математикалық пән олимпиадаларында өз үлесін қосары сөзсіз.

Олимпиадаға дайындалу кезінде әрбір тараудың есептерін шешудің бірне-ше тәсілдерін қарастырамыз. Олимпиадалық есептерді алып қарайтын болсақ, қиындығы өте жоғары. Мұндай есептерді шығару оқушылардан терең ізденуді, терең ойлануды, еңбекқорлықты, шыдамдылықты талап етеді және соған тәрбиелейді. Олимпиадада кездесетін есептер мектеп көлемінде нақты оқылмайды, сондықтан оған қосымша ізденіп, еңбектену керек.

Қарастырғалы отырған тақырыптар: «Теңсіздіктерді дәлелдеу» және «Математикалық индукция әдісі» . Теңсіздіктерді дәлелдеу кезінде матема-тикалық индукция әдісін қолдануға болады. Математикалық индукция әдісін пайдаланып натурал сан немесе натурал санға байланысты ұғымдары бар математикалық негіздеуді қажет ететін сөйлемдер дәлелденеді. Теңбе-теңдік-терді дәлелдеуге, шектеулі қосындыларды есептеуге және теңсіздіктерді шешуге көптеген дәлелдеу жолымен көз жеткізуге болады. Математикалық индукция әдісіне және теңсіздіктерді дәлелдеу тақырыптарына қысқаша ғана тоқталып, мектепаралық, аудандық, облыстық, республикалық, халықаралық олимпиадаларда осы тақырыптар бойынша шығарылған қиын есептерге тоқталмақпын.

Математика индукция әдісі

Математикалық индукция принципінің мәнісі төмендегідей : егер қайсыбір тұжырым (формула) n=1 болғанда (немесе бұл ұйғарымның мағынасы бар n-нің басқа мәндерінде ) ақиқат болса және n=k қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарылуынан келесі натурал n=k+1 үшін де тұжырымның ақиқаттығы шығатын болса, онда тұжырым n-нің барлық натурал мәнінде ақиқат. Математикалық индукция принципін қолдануға негізделген дәлелдеу әдісі математикалық индукция әдісі деп аталады.

Математикалық индукция әдісімен дәледеу тәсілі төмендегі келесі кезеңдерден тұрады:1) n=1 болғанда тұжырымның (формуланың) ақиқаттағы тікелей тексеріледі немесе дәлелденеді; 2) қайсыбір натурал n=k үшін тұжырым ақиқат, тура деп ұйғарылып, тұжырымның ақиқаттағы n=k+1 үшін дәлелденеді. Математикалық индукция әдісін , натурал n-ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге ғана қолдануға болатыны айқын. Негізінен ол есептің екі түрін шешуге қолданылады: 1)жекелеген бақылаулардан ой түйіп , кейбір заңдылықты тағайындайды және одан кейін оның дұрыстығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді; 2) кейбір формулалардың ақиқаттығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді.

Жалпы орта білім беретін мектептің 9- сыныбына арналған алгебра оқулы- ғында «математикалық индукция әдісі» қарастырылған. Оқулық авторлары: А.Е. Әбілқасымова , Н.П. Майкотов, Қ.И. Қаңлыбаев ,

Ә.С. Кенеш. Осы оқулықтың 162 бетіндегі қиынырақ есептерді мектепішілік олимпиадаларға алуға болады. Сол есептердің шығарылуына тоқталып өтейін.

Мектепішілік олимпиада:

8 есеп.

hello_html_48ead30e.gifқосындысын табыңдар.

Шешуі: hello_html_66576273.gif

hello_html_17f13c62.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_34253d50.gif

hello_html_mc68ffa9.gif

hello_html_4ab8991f.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m1e664963.gif

hello_html_60cc46b.gif

hello_html_m57a9b4ab.gif

hello_html_m28c0116e.gif.

Жауабы: hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m554576bd.gif.

9 есеп.

hello_html_35789ae3.gifқосындысын табыңдар.

Шешуі:hello_html_e75ad.gifhello_html_2179ab78.gifhello_html_m330d1e48.gif

Жауабы: hello_html_6500ce9.gif.



10 есеп.

hello_html_11577a65.gifқосындысын табу керек.

Шешуі: hello_html_m3dde8197.gif.

hello_html_3ced1227.gif

hello_html_m8ccd549.gif, мұнда

hello_html_m18bfd76.gifтепе-теңдігі математикалық индукция әдісімен дәлелденген (68 бет 2-мысал), ал hello_html_35bc6346.gif.

Сонда

hello_html_584d14ed.gif

hello_html_m6cd1f4b.gif.

Жауабы: hello_html_7a2d797f.gif.





11 есеп.

hello_html_2d4468bc.gifқосындысын табыңдар.

Шешуі:

hello_html_m5a6a74ad.gif

hello_html_2d524de3.gif

hello_html_b68be78.gif



hello_html_m15152bd8.gif

hello_html_242d8767.gifhello_html_m3576b0a0.gif.

hello_html_53f9cf2d.gif

Жауабы: hello_html_4ccffdf1.gif .

19 есеп.

hello_html_m6b5f70f1.gifқосындысын есептеңдер, hello_html_m591b9659.gif.

Шешуі:

hello_html_m79ccfa48.gif

hello_html_378e7950.gif

hello_html_3bd4cc2b.gif

hello_html_m6e7c3574.gif

hello_html_m24184a53.gif

hello_html_3cbd1800.gif

hello_html_m6d619142.gif.

Жауабы: hello_html_m6d619142.gif.





Аудандық олимпиадада берілген есептер:

9-сынып.

1.Кез-келген n натурал саны үшін n(n2-1)(5n+2) өрнегінің 24-ке бөлінетіндігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеуі: 5n+2=(5n+10)-8 теңдігін ескеріп өрнекті түрлендіріп жазайық:

n(n2-1)(5n+2)=5n(n2-1)(n+2)-8n(n2-1)= 5(n-1)n * (n+1)(n+2) -8 (n-1)n(n+1). (n-1)n(n+1)(n+2) өрнегі төрт тізбектес натурал санның көбейтіндісі болғандықтан , әрі 3-ке бөлінеді, әрі 8-ге бөлінеді. 8 бен 3 өзара жай сан болғандықтан бұл өрнек 24-ке бөлінеді.

8(n-1)n(n+1) өрнегі де 24-ке бөлінеді , себебі (n-1)n(n+1) көбейтіндісі 3-ке бөлінеді.

10-сынып.

1. а мен в сандары х2-6х+1=0 теңдеуінің түбірлері.Кез-келген натурал саны үшін аnn өрнегінің бүтін сан болатындығын және 5-ке бөлінбейтіндігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеуі:

hello_html_m353bbfb.gifМатематикалық индукция тәсілін қолданайық. Виет теоремасына сүйеніп жазайық:

ав=1 Сонымен n=1 болғанда аnn өрнегі бүтін және 5-ке

а+в=6 бөлінбейді n=k болғанда

аkk өрнегі бүтін болып 5-ке бөлінбейтін болсын n=k+1 болғанда ak+1 +вk+1 өрнегінің бүтін болып және 5-ке бөлінбейтінін дәлелдейік.

(akk)(а+в) = ak+1+авk+ ваk+ в k+1= (ak+1k+1 )+ав (вk-1+ ak-1)

Осыдан мынадай өрнекке келеміз.

ak+1k+1=(akk)(а+в)- ав (вk-1+ ak-1)

Индукция болжамы бойынша akk єZ; вk-1+ ak-1є z және ав=1 , а+в =6. Олай болса , ak+1 k+1 өрнегі бүтін және 5-ке бөлінбейді. Онда математикалық индукция принципі бойынша аnn өрнегінде кез-келген n натурал саны үшін бүтін болады және 5-ке бөлінбейді.

Республикалық олимпиада есептері:

9-сынып.

1.(1+√2)1981 санының а+ вhello_html_1caef8ee.gif түрінде өрнектелетінін дәлелдеңдер, мұндағы a мен в өзара жай сандар

Шешуі: Индукция бойынша дәлелдейміз. Айталық, (1+hello_html_1caef8ee.gif)n=a+вhello_html_1caef8ee.gif

мұндағы а және в – өзара жай сандар. n=1 бұл тура болсын. Сонда (1+hello_html_1caef8ee.gif)n+1= (a+вhello_html_1caef8ee.gif) ∙(1+hello_html_1caef8ee.gif)= (a+)+(а+в) hello_html_1caef8ee.gif

а+2в1және а+в1 сандары өзара жай, өйткені олай болмаса а=2 в1- а1 , в=а11 сандарының да ортақ d>1 бөлгіші бар болар еді. Сонымен, есеп қортындысы кез-келген натурал n үшін тура , демек n=1981 үшін де тура.

2.Екі бала мынандай ойын ойнайды. Бастаушы бірінші жүрісімен берілген n≥2 тастан тұратын үймені өзінің қалауынша 2 немесе 3 үймеге бөледі. Ары қарай кезектесіп жүреді және әрқайсысы өз жүріс кезеңінде кез-келген үймені таңдап алып, өз қалауынша оны 2 немесе 3 үймеге бөледі. Соңғы мүмкін жүрісті жасаған бала ұтады. Дұрыс ойнаса кім ұтады.

Шешуі:Дұрыс ойнаса әрқашанда бастаушы ұтады. Ол үшін ұту стратегиясын көрсетейік. Екі жағдайды қарастырамыз.

1)n- жұп сан. Бірінші жүрісімен бастаушы тастарды тең 2 үймеге бөледі. Сонан соң өз кезегінде қарсыласының жүрісіне симметриялы жүріс жасап отырады.

2)n=2m+1-тақ сан. Бірінші жүрісімен бастаушы тастарының саны m, m және 1 болатын үш үймеге бөледі. Бір тастан тұратын үймені қарастырмасақ та болады. Әры қарай «Симметриялық» әдісті қолданады.

Халықаралық олимпиада есептері:

11-сынып.

1. Кез-келген n натурал сан үшін теңдеуді шешіңіздер: cosnx-sinnx=1

Шешуі: Үш жағдай қарастырамыз:

1)n жұп болсын, яғни n=2m.Онда cos2mx=1+sin2mx , cos2mx≤1≤1+sin2mx болғандықтан sinx=0 және cosx=±1, яғни x=kπ , kєZ.

2) n-тақ , яғни n=2m+1(m≥1). Онда cos2m+1x-sin2m+1x=1.Бұл жағдайда теңдеудің шешімі мынадай түрде жазылады: x=2kπ, не x=2 kπ-hello_html_m77fdfc92.gif,kєZ

3) n=1. Бұл жағдайда теңдеу cosx-sinx=1түрінде жазылады, немесе cos(x+hello_html_m12edfb30.gif)=hello_html_18bb84e9.gif. Бұл жағдайдағы шешім екінші жағдайдағымен бірдей болады.





Теңсіздіктерді дәлелдеу.



І. Қарапайым теңсіздіктерді дәлелдеу

Мектеп көлемінде қарапайым теңсіздіктер дәлелденеді, сол теңсіздіктер арқылы күрделі теңсіздіктерде дәлелденеді.

1 а2 + b2 ≥ 2ab.

Дәлелдеуі:

a2+ b2 - 2аb = (а – b)2 ≥ 0.

2

hello_html_ce9e80e.pngкез келген a және b үшін.

Дәлелдеуі:

Берілген теңсіздіктен hello_html_39028452.png , біз мына теңсіздікті аламыз hello_html_m1c139ce5.png бұдан hello_html_m28f9bf8c.png немесе hello_html_386eb977.png соны мына түрде жазамыз hello_html_6b2e3f5e.png бұдан hello_html_m652fbea8.png

II. Штурм әдісін қолданып теңсіздікті дәлелдеу

Бұл әдісті неміс математигі Р.Штурм ұсынған. Бұл әдістің көмегімен бірнеше теңсіздікті дәлелдейік:

3 Егер hello_html_m1d037304.png қосындысы 1-ге тең болса, онда hello_html_495fa0a2.png дәлелдеу керек

Дәлелдеуі:

Егер hello_html_m16271e29.png онда hello_html_m3a16edc3.png .

Қаралатын сандардың ішінде ең болмағанда екі сан бір-біріне тең болмаса, онда сандардың ішінен екі сан табылады, сонын біреуі hello_html_m233a1bf9.png- нан үлкен болады, ал екіншісі hello_html_m233a1bf9.png кіші болады. Осы сандар hello_html_1d772522.png болсын, және де hello_html_5ede5f61.png hello_html_1030e83c.png болсын, онда hello_html_m6fa7af8b.png - ді hello_html_404c6b9a.png hello_html_1d5ee4d.png-ні hello_html_m130eacd2.png - мен алмастырып, мынандай теңсіздік аламыз hello_html_75c918f6.png және олардың қосындысы 1-ге тең.

hello_html_m54fcad51.pngболғандықтан, осыдан

hello_html_m597a9f9d.png.

Осы амалды бірнеше рет қайталап, шыққан тізбектің кез келген мүшесі hello_html_m233a1bf9.png -ге тең, ал олардың квадраттарының қосындысы берілген hello_html_m1d037304.png сандардың квадраттарының қосындысынан кіші болады.

hello_html_4209b99.png

III. Арифметикалық, геометриялық, квадраттық, гармониялық орталардың ара қатынасын қолдану әдісі

Кейбір теңсіздіктерді дәлелдегенде, оң a және b сандары үшін арифметикалық, геометриялық, квадраттық, гармониялық орталардың ара қатынасын қолданады: hello_html_m4c13c4d1.png .

Мына өрнекте hello_html_219473ff.png гармониялық орта,

hello_html_m7fbfb91d.pngгеометриялық орта,

hello_html_4b33f0b1.pngарифметикалық орта,

hello_html_3d8b5b29.pngквадраттық орта.

Бұл теңсіздікті дәлелдеу әдісі күрделі теңсіздіктерді дәлелдеуде көп қолданылады.

4 теңсіздікті дәлелде hello_html_m42de4509.png, мұндағы hello_html_e4264b2.png

Дәлелдеуі: егер hello_html_m60d6a045.png, онда hello_html_m2774cdb7.png- ны қолданып,

hello_html_m6036ba05.png-ны (1) аламыз және hello_html_403f6a36.png осыдан hello_html_44da1ae7.png(2)

(1) және (2) қосып hello_html_m42de4509.png аламыз.

IV. Коши-Буняковский әдісін қолдану

Коши-Буняковский әдісін бірінші hello_html_56558942.png сандар үшін дәлелдейміз. hello_html_m19ace0e8.png және hello_html_a1c5077.png векторлары берілсін, мектеп көлемінде белгілі hello_html_6bc40655.png

hello_html_m735927b4.png

hello_html_2d68e3a3.png

немесе

hello_html_m14006c84.png

Бұл Коши-Буняковскийдің теңсіздігі hello_html_56558942.png сандары үшін орындалатын дербес жағдайы болады.

Коши-Буняковскийдің теңсіздігі hello_html_m55434d76.png сандары үшін келесі жалпы түрде жазылады:



5. Дәлелдеу керек :

hello_html_m599cf489.png

Дәлелдеуі:

hello_html_m32739eb2.png



V. Жаңа айнымалы енгізу әдісі

Кейбір теңсіздіктерді дәлелдеу үшін жаңа айнымалы енгізу арқылы мақсатқа жетуге болады.

6. Теңсіздікті дәлелде

hello_html_m5d981d4c.png

Дәлелдеуі:

hello_html_2bfc2ec8.pnghello_html_m516377bb.png

hello_html_m2eac1481.png

VI. Симметриялық және біртекті қасиеттерді қолдану

7 Теңсіздікті дәлелде:

hello_html_6bd71c21.png

hello_html_73e1563a.png

Дәлелдеуі:

Теңсіздікті түрлендіре отырып келесі түрге көшеміз

hello_html_3b39a082.png

x, y, z айнымалы арқылы симметриялық теңсіздік аламыз, бұдан xhello_html_m1fad2ab1.gifyhello_html_m1fad2ab1.gifz hello_html_m56fec475.png

hello_html_6858bd49.png

VII. Математикалық индукция тәсілін қолдану

Теңсіздіктерді дәлелдеуде математикалық индукция тәсілін қолдануға болады. Математикалық индукция принциптерін келесі берілген тұжырымдамада барлық натурал n сандары p-дан кіші емес үшін ақиқат, егер:

1) n=p үшін тұжырымдама ақиқат болса,

2) n=k(khello_html_m1fad2ab1.gifp) тұжырымдама ақиқат деп, n=k+1 үшін тұжырымдама ақиқат екенін дәлелдеу керек.

8. Дәлелдеу керек:

hello_html_m5616bf74.gifмұндағы n>1, nhello_html_m1fad2ab1.gifN

Дәлелдеуі:

n=2 , hello_html_m73057daf.gif ақиқат

n=k тұжырымдама ақиқат деп алып

hello_html_m4a9411d4.gif

n=k+1 тұжырымдаманың ақиқат екенін дәлелдейміз

hello_html_m5ec88014.gif

hello_html_m703ea736.gif

hello_html_396c0c43.gif

hello_html_m1423ab03.gif

hello_html_m6a0d30fa.gif

n(n>1)

VIII. Бір теңсіздікті бірнеше рет қолдану тәсілі

9. Қос теңсіздікті дәлелдеу керек:

hello_html_m1f59be73.gif,

a>0, b>0, c>0, d>0.

Дәлелдеуі:

hello_html_414e3266.gif

x>0, y>0

осы теңсіздікті бірнеше рет қолданып дәлелдейміз

hello_html_7fd406.gifhello_html_438934b0.gif

IX. Туынды мен интегралды қолданып дәлелдеу тәсілі

Егер функция f(x) және g(x) І аралығында анықталса, және үздіксіз болса, онда, f(x)hello_html_m1fad2ab1.gifg(x) теңсіздігін [a,b]=I немесе [a, +)=I аралығында дәлелдеу үшін, келесі теореманы қолдануға болады:

Теорема: Егер f(x) және g(x) І аралығында дифференциалданса,

f(a)hello_html_m1fad2ab1.gifg(a) осы аралықта және h’(x) hello_html_m1fad2ab1.gif0, мұндағы h(x)= f(x) – g(x), онда

f(x)hello_html_m1fad2ab1.gifg(x) теңсіздігі осы аралықта орындалады.

1. 2x+1>x+2, xhello_html_m1fad2ab1.gif1 теңсіздікті дәлелде.

Дәлелдеуі: функция h(x)=2x+1-x-2 [1,+) аралығындағы функцияны қарастырамыз.

h(1)=1 және h/(x)=2x+1ln2-1 функциясы y=2x [1, +hello_html_77518d99.gif) аралығында өспелі болады, ендеше h/(x) hello_html_m1fad2ab1.gif4ln2-1>0 бұдан xhello_html_m1fad2ab1.gif1, h(x)hello_html_m1fad2ab1.gifh(1) болса немесе

2x+1hello_html_m1fad2ab1.gifx+3,

2x+1>x+2 онда орындалады.





Мектепішілік олимпиада

1.Теңсіздікті дәлелдеңдер.

(a+в+c)(hello_html_m6111d5b0.gif+hello_html_70d4453a.gif+hello_html_126bc410.gif)≥9 (мұндағы а>0, в>0,с>0)

Теңсіздіктің сол бөлігін түрлендірейік:

(a+в+c)(hello_html_m6111d5b0.gif+hello_html_70d4453a.gif+hello_html_126bc410.gif)=1+hello_html_4e47baaf.gif+hello_html_37512d35.gif+1+hello_html_71387d54.gif+hello_html_m6f3fc158.gif+hello_html_3b7066f3.gif+hello_html_m13de86ce.gif+1=3(hello_html_4e47baaf.gif+hello_html_71387d54.gif)+(hello_html_37512d35.gif+hello_html_3b7066f3.gif)+(hello_html_m6f3fc158.gif+hello_html_m13de86ce.gif)≥

3+2+2+2=9 (себебі әр жақшаның ішіндегі қосынды 2-ге тең немесе одан үлкен).

2.

hello_html_116c8b10.gifа1 а2 а3 а4 (мұндағы а1 >0,а2>0,а3>0,а4 >0)

Нұсқау.Екі оң санның арифметикалық орташасы мен геометриялық орташасын екі рет салыстыруды қолданамыз.

3.Егер а22 =1 болса , │а+в│≤hello_html_1caef8ee.gif онда екенін дәлелдеңіздер.

hello_html_m80cc554.gifжәне hello_html_m3c2e757f.gif екені есептің шартынан шығады. Сондай –ақ а22 =1 болғандықтан, а мен в-ны синуспен және косинуспен ауыстыруға болады: a=sinα , в=cosα. Онда а+в=sinα+cosα=sinα+sinhello_html_23c87bd8.gif= =2sinhello_html_m53fea764.gifcos hello_html_450d6739.gif=hello_html_1caef8ee.gifcoshello_html_450d6739.gif.

coshello_html_450d6739.gif≤1.Демек , │а+в│≤hello_html_1caef8ee.gif.

Басқаша талқылап көрелік: 1=а22≥2hello_html_6b6053d5.gif=2hello_html_41ffa7c1.gif; 2≥а22+2hello_html_41ffa7c1.gif=hello_html_60d4e2a1.gif;

hello_html_1caef8ee.gifhello_html_24ccf05a.gif.



Аудандық олимпиада

11-сынып

1.Теңсіздікті шеш:

hello_html_m73ad62fe.gif>0

Теңсіздіктің сол жағын ортақ бөлімге келтіріп ықшамдап жазайық.

hello_html_m1bd1648e.gif>0

Сhello_html_m23fdf599.gifhello_html_4b69ae52.gifhello_html_m3197c6ed.gifhello_html_m23fdf599.gifhello_html_m23fdf599.gifhello_html_m23fdf599.gifhello_html_64b998b3.gifhello_html_3a1fd629.gifонда берілген теңсіздікке мәндес теңсіздік hello_html_m775f1cd.gif>0 болады.

hello_html_4efd1a7c.gifhello_html_b6ce508.gifhello_html_b6ce508.gifhello_html_b6ce508.gifhello_html_b6ce508.gifhello_html_b6ce508.gifhello_html_b6ce508.gifhello_html_b6ce508.gif- + - + - + - +

-7 hello_html_m11cbda26.gif -5 0 5 hello_html_m61480d04.gif 7

hello_html_6fe892cc.gif.





2.Теріс емес, а,в,с сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер: (а+в)(в+с)(с+а)≤8hello_html_2c8b52fb.gif

Нұсқау:Мынадай үш теңсіздікті көбейту керек hello_html_m6a7f383b.gif.

10-сынып.

1.х-кез-келген сан болсын, дәлелдеңдер: hello_html_3b06eb77.gif

Дәлелдеуі: x(x+3)(x+1)(x+2)=(x2+3x)(x2+3x+2)=((x2+3x+1)-1)((x2+3x+1)+1)=(x2+3x+1)2-1≥-1



Облыстық олимпиада

10-сынып

1.Теңсіздікті дәлелдеңдер.

hello_html_m7d6fa362.gif

Шешуі: hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m4915911b.gif

11-сынып

2.Теңсіздікті дәлелдеңдер.

hello_html_195b29f0.gif>hello_html_m7cae8f8f.gif

Дәлелдеуі:Теңсіздікті К≤999 натурал сандар үшін дәлелдейік:

hello_html_m1cc0e34b.gif>

>hello_html_535fb5d6.gif

Сондықтан, hello_html_7d7eb05b.gif>hello_html_69e472f7.gif;

hello_html_28179421.gif>hello_html_5a94ec95.gif... hello_html_m3804d004.gifhello_html_m53d4ecad.gif>hello_html_m5e2331a.gif

hello_html_m53d4ecad.gifБұл теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп, дәлелденілген теңсіздікке келеміз.

9-сынып

1. a>в>0 сандары үшін hello_html_m6d015a09.gif>hello_html_4e9761aa.gif теңсіздігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеуі: Дәлелденетін теңсіздік мынадай теңсіздікпен мәндес:

hello_html_10c55e93.gif<hello_html_6092c7d8.gif

немесе hello_html_m26c2c956.gif < hello_html_m407c73d1.gif

немесе hello_html_m30000ae4.gif<hello_html_410ee56b.gif

немесе hello_html_m16214a92.gif>hello_html_m74bfda8e.gif

немесе hello_html_4313f480.gif>hello_html_m49f25758.gif

Соңғы теңсіздік тура болғандықтан дәлелденілетін теңсіздік те тура болады.

Республикалық олимпиада

11-сынып

1.а+в+с=1, (a,в,с≥0) шарттарын қанағаттандыратын а,в,с сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіздер. (1+а)(1+в)(1+с)≥8(1-а)(1-в)(1-с).

Дәлелдеуі: 1+а=(1-в)+(1-с) онда 1+hello_html_823c188.gif. Осы сияқты hello_html_m57251e78.gifhello_html_m7869f57a.gif.Бұл теңсіздіктерді мүшелеп көбейтсек , дәлелденілетін теңсіздік шығады.

9-сынып

1.Оң x,y,z сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:

x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)≥6hello_html_m4f1712cc.gif

Дәлелдеуі:Белгілі а+в≥2hello_html_m66288efd.gif теңсіздігін (а,в, ≥0) пайдаланып x+yz≥2hello_html_m4f1712cc.gif, y+xz≥2hello_html_m4f1712cc.gif, z+xy≥2hello_html_m4f1712cc.gifтеңсіздіктерін аламыз. Осы үш теңсіздікті қосып

x+yz+y+xz+z+xy=x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)>6hello_html_m4f1712cc.gifтеңсіздігін аламыз.

10-сынып.

1.Теріс емес а,в үшін hello_html_683ce935.gif≤а+в теңсіздігін дәлелдеңдер.

Бізге hello_html_m50d18c7a.gif теңсіздігінен hello_html_m60f6f4b3.gif

шығатыны анық.Соңғы теңсіздіктің екі жағын hello_html_5eee6e0a.gif -қа көбейтсек, бізге керекті теңсіздік шыға келеді.





Халықаралық олимпиада

1. а,в,с оң сандар болып және авс=1. Мынадай теңсіздікті дәлелдеңіздер:

hello_html_567828d5.gif

Дәлелдеуі:Жаңа белгілер енгізейік: hello_html_1d12c06c.gif

Есептің шарты бойынша xyz=1.Енді дәлелденілетін теңсіздік мынадай теңсіздікпен мәндес болады.

S=hello_html_m2e837d2d.gif (1)

Біз оң сандардың арифметикалық ортасы мен геометриялық ортасының арасындағы байланысты қолданамыз:hello_html_15486d2c.gif (2)

Енді Коши-Буняковский теңсіздігін қолданамыз:

hello_html_7e9600fd.gif

бұл теңсіздікті hello_html_3370d6c2.gifжәне hello_html_4fa1a70f.gif векторларына қолданып жазамыз:hello_html_mcc2eeec.gif немесе hello_html_m4be9c01b.gif

Енді 2) теңсіздікті қолданып табамыз

hello_html_m609ac268.gif

2. Ауданы S келетін үшбұрыштың қабырғалары а,в,с болсын. Мынадай теңсіздікті дәлелдеңіздер: а222≥4Shello_html_m980c3de.gif. Теңдік қашан болады?

Дәлелдеуі: Герон формуласын жазайық.

hello_html_62707239.gif

hello_html_m73458527.gifкөбейтіндісын бағалау үшін мынадай теңсіздікті қолданайық hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m5b08253a.gif немесе xyzhello_html_57ee8d08.gif. Белгілеулер енгізейік: hello_html_6105d152.gif. Енді мынадай теңсіздіктерді жазуға болады:

hello_html_m1bed5cc8.gif





теңдік а=в=с болғанда орындалады.

Қорытындылай келе, қазіргі уақытта білім беру қызметкерлерінің алдында тұрған басты мақсат- еліміздегі білім беруді халықаралық деңгейге көтеру және білім сапасын көтеру, жеке тұлғаны қалыптастыру, қоғам қажеттілігін өтеу, оны әлемдік білім кеңістігіне кіріктіру болмақ. Сондықтан, математика пәнінен деңгейі жоғары оқушылармен олимпиадалық есептерді дайындық ретінде қарастыруға болады деп ойлаймын.

















Пайдаланылған әдебиеттер.



1.Алгебра оқулығы 9-кл. А.Е. Әбілқасымова, Н.Р.Майкотов , Қ.И.Қаңлыбаев.

2. Т.Т.Абылайханов , Т.Т. Абылайханов «Математика есептері»

3. «Математика в школе» №3; 1991

4.Информатика, физика, математика №6; 1998

5.Информатика, физика, математика №3; 2001

6.Математика,физика №2; 2003











hello_html_m53d4ecad.gif



25



Краткое описание документа:

"Описание материала:

"Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамды сапалы және терең білім мен іскерліктің болуын, ойлау қабілетінің жоғары, шығармашылықпен жұмыс істеуін талап етеді. Мұғалім шеберлігінің негізгі көрсеткіштерінің бірі-әдістеме саласындағы ғылыми жаңалықтар мен озық тәжірибені жетік игеру. Оқушылардың білімділік және тәрбиелік деңгейі шешуші дәрежеде мұғалімге байланысты, яғни мұғалім ізденісін қажет етеді. Оқушылардың пәнге қызығушылығын оятатын, олардың математикалық ой-өрісінің, шығармашылық қабілетінің дамуына дәнекер болатын қосымша тақырыптар көп әсерін тигізеді.

"«Математикалық индукция әдісі», «Диофант теңдеулері», «Параметрлі теңдеулер мен теңсіздіктер», «Комбинаторика», «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру», «Теңсіздіктерді дәлелдеу» және тағы да басқа тақырыптарды айтуға болады. Бұндай тақырыптар математикалық пән олимпиадаларында өз үлесін қосары сөзсіз. Олимпиадаға дайындалу кезінде әрбір тараудың есептерін шешудің бірнеше тәсілдерін қарастырамыз. Олимпиадалық есептерді алып қарайтын болсақ, қиындығы өте жоғары. Мұндай есептерді шығару оқушылардан терең ізденуді, терең ойлануды, еңбекқорлықты, шыдамдылықты талап етеді және соған тәрбиелейді. Олимпиадада кездесетін есептер мектеп көлемінде нақты оқылмайды, сондықтан оған қосымша ізденіп, еңбектену керек. Қарастырғалы отырған тақырыптарым: «Теңсіздіктерді дәлелдеу» және «Математикалық индукция әдісі». Теңсіздіктерді дәлелдеу кезінде математикалық индукция әдісін қолдануға болады.

"Математикалық индукция әдісін пайдаланып натурал сан немесе натурал санға байланысты ұғымдары бар математикалық негіздеуді қажет ететін сөйлемдер дәлелденеді. Теңбе-теңдіктерді дәлелдеуге, шектеулі қосындыларды есептеуге және теңсіздіктерді шешуге көптеген дәлелдеу жолымен көз жеткізуге болады. Математикалық индукция әдісіне және теңсіздіктерді дәлелдеу тақырыптарына қысқаша ғана тоқталып, мектепаралық, аудандық, облыстық, республикалық, халықаралық олимпиадаларда осы тақырыптар бойынша шығарылған қиын есептерге тоқталмақпын.

"Қазіргі кезде ғылым мен техниканың даму деңгейі әрбір адамды сапалы және терең білім мен іскерліктің болуын, ойлау қабілетінің жоғары, шығармашылықпен жұмыс істеуін талап етеді. Оқушылардың математика-лық білімін жоғары деңгейде оқыту, яғни тереңдету әр ұстаздың алдындағы міндет.

"Выдержка из материала:

"Мұғалім шеберлігінің негізгі көрсеткіштерінің бірі-әдістеме саласындағы ғылыми жаңалықтар мен озық тәжірибені жетік игеру.

"Оқушылардың білімділік және тәрбиелік деңгейі шешуші дәрежеде мұға-лімге байланысты, яғни мұғалім ізденісін қажет етеді. Дарынды балалардың қабілетін дамытудың жолдары көп. Соның ішінде олимпиадалардың ролі ерекше. Оқушылардың пәнге қызығушылығын оятатын, олардың математи-калық ой-өрісінің, шығармашылық қабілетінің дамуына дәнекер болатын қосымша тақырыптар көп әсерін тигізеді. Атап айтқанда, «Математикалық индукция әдісі», «Диофант теңдеулері», «Параметрлі теңдеулер мен теңсіз-діктер», «Комбинаторика», «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру», «Теңсіздіктерді дәлелдеу» және тағы да басқа тақырыптарды айтуға болады. Бұндай тақырыптар математикалық пән олимпиадаларында өз үлесін қосары сөзсіз.

"Олимпиадаға дайындалу кезінде әрбір тараудың есептерін шешудің бірне-ше тәсілдерін қарастырамыз. Олимпиадалық есептерді алып қарайтын болсақ, қиындығы өте жоғары. Мұндай есептерді шығару оқушылардан терең ізденуді, терең ойлануды, еңбекқорлықты, шыдамдылықты талап етеді және соған тәрбиелейді. Олимпиадада кездесетін есептер мектеп көлемінде нақты оқылмайды, сондықтан оған қосымша ізденіп, еңбектену керек.

"Қарастырғалы отырған тақырыптар: «Теңсіздіктерді дәлелдеу» және «Математикалық индукция әдісі». Теңсіздіктерді дәлелдеу кезінде матема-тикалық индукция әдісін қолдануға болады. Математикалық индукция әдісін пайдаланып натурал сан немесе натурал санға байланысты ұғымдары бар математикалық негіздеуді қажет ететін сөйлемдер дәлелденеді. Теңбе-теңдік-терді дәлелдеуге, шектеулі қосындыларды есептеуге және теңсіздіктерді шешуге көптеген дәлелдеу жолымен көз жеткізуге болады. Математикалық индукция әдісіне және теңсіздіктерді дәлелдеу тақырыптарына қысқаша ғана тоқталып, мектепаралық, аудандық, облыстық, республикалық, халықаралық олимпиадаларда осы тақырыптар бойынша шығарылған қиын есептерге тоқталмақпын.

"Математика индукция әдісі

"Математикалық индукция принципінің мәнісі төмендегідей: егер қайсыбір тұжырым (формула) n=1 болғанда (немесе бұл ұйғарымның мағынасы бар n-нің басқа мәндерінде) ақиқат болса және n=k қандай бір натурал мәні үшін ақиқат деп ұйғарылуынан келесі натурал n=k+1 үшін де тұжырымның ақиқаттығы шығатын болса, онда тұжырым n-нің барлық натурал мәнінде ақиқат. Математикалық индукция принципін қолдануға негізделген дәлелдеу әдісі математикалық индукция әдісі деп аталады.

"Математикалық индукция әдісімен дәледеу тәсілі төмендегі келесі кезеңдерден тұрады:

  1. "
  2. "n=1 болғанда тұжырымның (формуланың) ақиқаттағы тікелей тексеріледі немесе дәлелденеді;
  3. қайсыбір натурал n=k үшін тұжырым ақиқат, тура деп ұйғарылып, тұжырымның ақиқаттағы n=k+1 үшін дәлелденеді. Математикалық индукция әдісін, натурал n-ге тәуелді тұжырымдарды дәлелдеуге ғана қолдануға болатыны айқын.

"Негізінен ол есептің екі түрін шешуге қолданылады:

  1. "
  2. жекелеген бақылаулардан ой түйіп , кейбір заңдылықты тағайындайды және одан кейін оның дұрыстығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді;
  3. кейбір формулалардың ақиқаттығын математикалық индукция әдісімен дәлелдейді.

"Жалпы орта білім беретін мектептің 9- сыныбына арналған алгебра оқулы- ғында «математикалық индукция әдісі» қарастырылған. Оқулық авторлары: А.Е. Әбілқасымова , Н.П. Майкотов, Қ.И. Қаңлыбаев, Ә.С. Кенеш. Осы оқулықтың 162 бетіндегі қиынырақ есептерді мектепішілік олимпиадаларға алуға болады. Сол есептердің шығарылуына тоқталып өтейін.

Автор
Дата добавления 28.12.2013
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров18740
Номер материала 24006122839
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх