Выбранный для просмотра документ _открытый урок 28.11.13.doc
Тема «Теорема косинусов»
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Место урока – первый урок по данной теме
Обучающая цель урока:
· знание учениками формулировки теоремы косинусов;
· умение:
Ø находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу
между ними;
Ø определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным
сторонам;
Ø определять вид треугольника по трем известным сторонам.
Задачи личностного развития:
организовать ситуации для:
Ø самоопределения учащихся на прогнозируемый результат
познавательной деятельности;
Ø развития рефлексивных способностей;
создать условия для:
Ø развития коммуникативных способностей учащихся;
Ø развития мышления учеников, умения аргументировать, доказывать.
Оборудование и материалы: мультимедийная установка, экран, доска, мел.
Краткий план урока
1. Организационный момент.
2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.
3. Мотивация и целеполагание.
4. Основная часть. Доказательство теоремы косинусов. Представление
образцов применения теоремы косинусов при решении задач.
Самостоятельное применение знаний. (Мини-тест).
5. Рефлексия. Подведение итогов урока.
Ход урока
1этап Организационный. Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя, выставляя отметки в рабочую карту.
2этап Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.
1) Предлагаю для начала разминку (тест) по формулам «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰».
2) Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.
3этап Создание проблемной ситуации, ее разрешение. Мотивация и целеполагание.
Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.
Работа в группе.
Решение задачи. Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС ▲ АВС, если А(0;0), В ( с;0), С(bcosA; bsinA).
Вывод: дадим словесную формулировку, полученного равенства. Получим теорему, которая называется теоремой косинусов:
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.
-Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Да, т.к. cos90o=0.
6этап. Постановка проблемы: какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена? Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника.
Вопрос для обсуждения. Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?
Ø находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;
Зная, что формула имеет вид a2=b2+c2
- 2bc×cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой
величиной стал угол γ: b2+c2=2bc×cosγ+a2.
Затем приведите показанное выше уравнение к несколько иному виду: b2+c2-
a2 =2bc×cosγ. Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже:
cosγ=√b2+c2-a2/2bc.
Вопрос
для обсуждения. Что можно находить по этой формуле?
Ø Значение косинуса угла в треугольнике.
Ученикам предлагается вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.
|
Вычислить косинус большего угла в треугольнике, если его стороны равны: |
||
|
Вариантам №1 |
Вариант №2 |
Вариант №3 |
|
c = 6, b = 8, a = 9 |
c = 6, b = 8, a = 10 |
c = 6, b = 8, a = 11 |
|
cosa =19/96 |
cosa = 0 |
cosa = 0 |
|
a » 790 |
a = 900 |
a »1030
|
Результаты вычислений каждой группы заносятся в таблицу, обсуждаются, делаются выводы:
Для определения вида треугольника ( остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)
необходимо:
Ø Вычислить косинус угла, лежащего напротив большей стороны;
Ø v Если cosa > 0 , треугольник остроугольный;
Ø v Если cosa = 0 , треугольник прямоугольный;
Ø v Если cosa < 0, треугольник тупоугольный.
Вопрос для обсуждения. Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).
ВЫВОД.
Пусть с –
наибольшая сторона
– если с2 < a2 + b2,
то треугольник остроугольный;
– если с2 = a2 + b2,
то треугольник прямоугольный;
– если с2 > a2 + b2,
то треугольник тупоугольный.
Проверьте вывод на выполненных задачах(дома).
7 этап. Построение перспективного плана дальнейшей работы.
-вопрос учителя: Вопрос для обсуждения. Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?
-ответы учеников
Ø находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;
Ø определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам
Ø определять вид треугольника по трем известным сторонам
5этап. Закрепление. Мини-тес
|
Мини-тест |
||
|
Условие |
Варианты ответа |
|
|
В треугольнике со сторонами m, n, p против стороны p лежит угол α . Тогда справедлива следующая формула: |
А) m2 = n2 + p2 - 2 npcosα Б) m = n2 + p2 - 2 npcosα; В) p2 = m2 + n2 - 2mn cosα ; Г) p = m2 + n2 - 2mn cosα ; |
|
|
Если косинус большего угла треугольника отрицателен, то этот треугольник: |
А) остроугольный; Б) прямоугольный; В) тупоугольный. |
|
|
Длины
двух сторон треугольника равны между ними 450. Тогда длина третьей стороны равна: |
А) 2; Б) 3; В) √5; Г) 5
|
|
|
В треугольнике длины сторон равны √3; 4; √7. Определить вид треугольника
|
А) остроугольный; Б) прямоугольный; В) тупоугольный. |
|
Проверка.
|
№ |
Варианты ответа |
|
1 |
В) p2 = m2 + n2 - 2mn cosα ;
|
|
2 |
В) тупоугольный. |
|
3 |
В)√5 |
|
4 |
В) тупоугольный |
Что еще нужно сделать, чтобы урок был завершен?»
Ученики: « Задать домашнее задание».
Учитель: «Если бы вы были учителем, то, какое бы домашнее задание вы бы задали?»
8этап. Домашнее задание. П.98, № 1025(д).
Предлагаю выставить итоговую отметку в рабочих картах и провести рефлексию по заполнению таблицы.
Обсуждение заполнение таблицы. Оценки
Приложения № 1. Разминка. Тест
«Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰»
1.sin( 90⁰ - α) = 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα
2. cos( 90⁰ -α) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα
3. sin( 180⁰- α) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα
4. cos (180⁰ - α) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα
5. cos 60⁰ = 1) 
2) 
3) 
6. cos 30⁰ = 1) 2) 3)
7. cos 45⁰= 1. 2. 3.
8. sin 60⁰ = 1. 2. 3.
9. sin 30⁰ = 1. 2. 3.
Приложение № 3. Рабочая карта урока
ФИО учащегося: _____________________________________
|
№ |
Этапы урока |
Наивысшее кол-во баллов |
Оценка Баллы |
||
|
1 |
Выполнение домашнего задания в тетрадях (выполнил +1 балл; не выполнил -1 балл) |
+1 |
|
||
|
2 |
Разминка (тест) Взаимопроверка: 1 ошибка — минус балл. |
+5 |
|
||
|
3 |
Работа в группе. Решение задачи Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС треугольника АВС, если А(0;0), В ( с;0), С(bcosA; bsinA).. Оценка группы: Самооценка |
+5 |
|
||
|
4 |
Решение задачи по вариантам (найден косинус угла +1 балл и определен вид треугольника +1 балл) |
+2 |
|
||
|
5 |
Мини-тест |
+4 |
|
||
|
6 |
Итоги урока. Всё понял, могу рассказать, объяснить, применить на практике. |
|
|
||
|
7 |
Оценка за работу на уроке. |
Мое кол-во баллов |
Моя оценка |
16 |
|
|
8 |
Критерии оценивания |
|
|
12-16 баллов |
Оценка «5» |
|
|
|
10-11 баллов |
Оценка «4» |
||
|
|
|
7-8 баллов |
Оценка «3» |
||
|
|
|
ниже 7 баллов |
Оценка «2» |
||
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ т.косинусов.ppt
Скачать материал "Урок + презентация по геометрии для 9 класса по теме «Теорема косинусов»"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Математика, правильно понятая, обладает не только истинной, но и величайшей красотой.
Бертран Рассел
2 слайд
Разминка. Тест
Вариант 1
Cos ( 90⁰ - α) =
2. Sin ( 180⁰- α) =
3. Sin 60⁰ =
4. Cos 45⁰ =
Sin 30⁰ =
Вариант 2
1. Sin ( 90⁰ - α)
2. Cos (180⁰ - α)
3. Cos 60⁰ =
4. Sin 45⁰ =
5. Cos 30⁰ =
3 слайд
Проверка
Вариант 1
1. sin α
2. sin α
3.
4.
5.
Вариант 2
1. cos α
2. -cos α
3.
4.
5.
4 слайд
Задача. Используя данные, указанные на рисунке, найдите расстояние между недоступными пунктами А и В, расположенными на разных берегах озера.
5 слайд
Математическая модель задачи
Используя данные, указанные на рисунке, найдите расстояние между недоступными пунктами А и В, расположенными на разных берегах озера.
6 слайд
Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.
Работа в группе (решение задачи)
7 слайд
х
у
А
С
B
BC=a
CA=b
с
b
AB=с
a
B(c;0)
Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС треугольника АВС, если А(0;0), В ( с;0), С(bcosA; bsinA).
8 слайд
Проверим:
9 слайд
28.11.13.
ТЕОРЕМА
КОСИНУСОВ
10 слайд
Работа с учебником
Стр.257, п.98, рис.293
Составить
план доказательства теоремы косинусов
11 слайд
х
у
А
С
B
BC=a
CA=b
с
b
КВАДРАТ СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН СУММЕ КВАДРАТОВ ДВУХ ДРУГИХ СТОРОН МИНУС УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЭТИХ СТОРОН НА КОСИНУС УГЛА МЕЖДУ НИМИ
AB=с
a
B(c;0)
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
12 слайд
Сферическая тригонометрия
рассматривает треугольники на сфере и позволяет находить одни элементы этих треугольников по другим их элементам.
13 слайд
Замечательная сферическая теорема косинусов
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A.
Сферический треугольник
14 слайд
M
N
K
Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК:
Задача 1
15 слайд
Задача 2
Ответ:
16 слайд
какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена?
Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?
17 слайд
Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?
Задача 1.
нахождение длины третьей стороны по известным двум другим и углу между ними
18 слайд
Выразим косинус угла из теоремы косинусов
19 слайд
Что можно находить по этой формуле?
20 слайд
Что можно находить по этой формуле?
Задача 2.
угол (или косинус угла) треугольника по трем известным сторонам
21 слайд
ГИА - 2014
Открытый банк заданий
по математике.
Задача №15
22 слайд
Какие из следующих утверждений верны?
Задание 15
(№ 169935)
1
2
3
4
Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного
произвед-ия этих сторон на sin угла между ними.
Если катеты прямоугольного треугольника
равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
Треугольник ABC, у которого АВ=5, ВС=6, АС=7,
является остроугольным.
В прямоугольном треугольнике
квадрат катета равен разности квадратов
гипотенузы и другого катета.
Не верно!
Верно.
Верно.
Верно.
23 слайд
Задача о футболисте.
Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот.
Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.
С
α
23 м
24 м
7 м
В
А
24 слайд
Математическая модель задачи
В
А
α
23 м
24 м
С
7 м
найдем угол А, равный α.
По теореме косинусов определим cos A
Угол α находим по таблице: α ≈ 1657
25 слайд
Вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.
26 слайд
Проверка
27 слайд
Сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон и записать сравнение в виде равенства или неравенства.
28 слайд
Проверка
29 слайд
Как можно ответить на вопрос:
«Определить вид этого треугольника (без вычисления косинуса наибольшего угла)?
с
а
b
30 слайд
Как можно ответить на вопрос:
«Определить вид этого треугольника» без вычисления косинуса наибольшего угла?
Пусть с – наибольшая сторона
– если с2 < a2 + b2, то треугольник остроугольный;
– если с2 = a2 + b2, то треугольник прямоугольный;
– если с2 > a2 + b2, то треугольник тупоугольный.
31 слайд
Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?
находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;
определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам
определять вид треугольника по трем известным сторонам
32 слайд
Мини-тест
33 слайд
34 слайд
Домашнее задание
П.98 прочитать
Подготовить доказательство (презентацию доказательства) теоремы косинусов
№ 1025 (ж)
№1031
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
"Описание материала:
Разработка урока геометрии в 9 классе «Теорема косинусов» по учебнику авторов Атанасяна Л.С. и другие
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Место урока – первый урок по данной теме. Создание проблемной ситуации, ее разрешение, мотивация и целеполагание являются ключевыми моментами на уроке.
Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.
"Выдержка из материала:
Ход урока
1этап Организационный.
Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя, выставляя отметки в рабочую карту.
2 этап Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.
1) Предлагаю для начала разминку (тест) по формулам «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰».
2) Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.
3 этап Создание проблемной ситуации, ее разрешение.
Мотивация и целеполагание. Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность.
6 661 533 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Прокопенко Тамара Кирилловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.