•                   Разработка урока геометрии в 9 «Б» классе
                                 «Теорема косинусов»

   

  Тема «Теорема косинусов»

  Тип урока: урок усвоения новых знаний

  Место урока – первый урок по данной теме

  Обучающая цель урока:

  · знание учениками формулировки теоремы косинусов;

  · умение:

  Ø находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу

  между ними;

  Ø определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным

  сторонам;

  Ø определять вид треугольника по трем известным сторонам.

  Задачи личностного развития:

  организовать ситуации для:

  Ø самоопределения учащихся на прогнозируемый результат

  познавательной деятельности;

  Ø развития рефлексивных способностей;

  создать условия для:

  Ø развития коммуникативных способностей учащихся;

  Ø развития мышления учеников, умения аргументировать, доказывать.

  Оборудование и материалы: мультимедийная  установка, экран, доска, мел.

  Краткий план урока

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.

  3. Мотивация и целеполагание.

  4. Основная часть. Доказательство теоремы косинусов. Представление

  образцов применения теоремы косинусов при решении задач.

  Самостоятельное применение знаний. (Мини-тест).

  5. Рефлексия. Подведение итогов урока.

  Ход урока

   

  1этап    Организационный.   Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя, выставляя отметки в рабочую карту.

   

  2этап   Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.

  1)     Предлагаю для начала разминку (тест) по формулам  «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰».

  2)    Записать  формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.

  3этап Создание проблемной ситуации,  ее разрешение.  Мотивация и целеполагание.

  Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.

  Работа в группе.

  Решение задачи. Задача.  Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны  ВС  ▲ АВС, если А(0;0),  В ( с;0), С(bcosA; bsinA).

  Вывод:  дадим словесную формулировку, полученного равенства. Получим теорему, которая называется теоремой косинусов:

  квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

  Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.

   

  -Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Да, т.к. cos90^o=0.

  4этап.   Физминутка.

  6этап. Постановка проблемы: какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена? Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника.

    Вопрос для обсуждения.  Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?

  Ø находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

   

  Зная, что формула имеет вид a²=b²+c² - 2bc×cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b²+c²=2bc×cosγ+a².
  Затем приведите показанное выше уравнение к несколько иному виду: b²+c^2- a² =2bc×cosγ. Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже:

  cosγ=√b²+c²-a2/2bc.
  Вопрос для обсуждения.  Что можно находить по этой формуле?

  Ø Значение косинуса угла в треугольнике.

  Ученикам предлагается вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.

   

  Вычислить косинус большего угла в треугольнике, если его стороны равны:
  Вариантам №1	Вариант №2	Вариант  №3
  c = 6, b = 8, a = 9	c = 6, b = 8, a = 10	c = 6, b = 8, a = 11
  cosa =19/96	cosa = 0	cosa = 0
  a » 790	a = 900	a »1030

   

  Результаты вычислений каждой группы заносятся в таблицу, обсуждаются, делаются выводы:

  Для определения вида треугольника ( остроугольный,  прямоугольный, тупоугольный)

  необходимо:

  Ø  Вычислить косинус угла, лежащего напротив большей стороны;

  Ø v Если cosa > 0 , треугольник остроугольный;

  Ø v Если cosa = 0 , треугольник прямоугольный;

  Ø v Если cosa < 0, треугольник тупоугольный.

   

  Вопрос для обсуждения.  Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника.  (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).

  ВЫВОД.

  Пусть с – наибольшая сторона
  – если с² < a² + b², то треугольник остроугольный; 
  – если с² = a² + b², то треугольник прямоугольный; 
  – если с² > a² + b², то треугольник тупоугольный.

  Проверьте вывод на выполненных задачах(дома).

  7 этап.   Построение перспективного плана дальнейшей работы.

  -вопрос учителя:  Вопрос для обсуждения. Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?

  -ответы учеников

  Ø находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

  Ø определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам

  Ø определять вид треугольника по трем известным сторонам

  5этап.   Закрепление. Мини-тес

  Мини-тест
  Условие	Варианты ответа
  В треугольнике со сторонами m, n, p против стороны p лежит угол α . Тогда справедлива следующая формула:	А)   m2 = n2 + p2 - 2 npcosα Б) m = n2 + p2 - 2 npcosα;  В)  p2 = m2 + n2 - 2mn cosα ; Г) p = m2 + n2 - 2mn cosα ;
  Если косинус большего угла треугольника отрицателен, то этот треугольник:	А) остроугольный; Б) прямоугольный; В) тупоугольный.
  Длины двух сторон треугольника равны  и 3, а угол между ними 450. Тогда длина третьей стороны равна:	А) 2; Б) 3; В) √5;  Г) 5
  В треугольнике длины сторон равны √3; 4; √7. Определить вид треугольника	А) остроугольный; Б) прямоугольный; В) тупоугольный.

  Проверка.

  №	Варианты ответа
  1	В)   p2 = m2 + n2 - 2mn cosα ;
  2	В) тупоугольный.
  3	В)√5
  4	В) тупоугольный

   

  Что еще нужно сделать, чтобы урок был завершен?»

  Ученики: « Задать домашнее задание».

  Учитель: «Если бы вы были учителем, то, какое бы домашнее задание вы бы задали?»

  8этап.   Домашнее задание.  П.98, № 1025(д).

  Предлагаю выставить итоговую отметку в рабочих картах и провести рефлексию по заполнению таблицы.

  Обсуждение заполнение таблицы. Оценки

  Приложения № 1. Разминка. Тест

  «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰»

  1.sin( 90⁰ - α) =                         1) cosα         2) sinα        3) - cosα       4) - sinα

  2. cos( 90⁰ -α) =                        1. cosα         2. sinα        3. - cosα       4. - sinα

  3. sin( 180⁰- α) =                      1. cosα         2. sinα        3. - cosα       4. - sinα

  4. cos (180⁰ - α)                        1) cosα         2) sinα        3) - cosα       4) - sinα

  5.  cos 60⁰ =                              1)                       2)                        3)

   6. cos 30⁰ =                              1)                       2)                         3) 

  7. cos 45⁰=                            1.                      2.                        3.

  8. sin 60⁰ =                          1.                      2.                        3.

  9. sin 30⁰ =                          1.                      2.                        3.

  10. sin 45⁰ =                       1.                      2.                        3.

   

   

  Приложение № 3. Рабочая карта урока

  ФИО учащегося: _____________________________________

   

  №	Этапы урока			Наивысшее кол-во баллов	Оценка Баллы
  1	Выполнение домашнего задания в тетрадях (выполнил +1 балл; не выполнил -1 балл)			+1
  2	Разминка (тест) Взаимопроверка: 1 ошибка — минус балл.			+5
  3	Работа в группе. Решение задачи Задача.  Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС треугольника АВС, если А(0;0),       В ( с;0), С(bcosA; bsinA).. Оценка группы: Самооценка			+5
  4	Решение задачи по вариантам (найден косинус угла +1 балл и определен вид треугольника +1 балл)			+2
  5	Мини-тест			+4
  6	Итоги урока. Всё понял, могу рассказать, объяснить, применить на практике.
  7	Оценка за работу на уроке.	Мое кол-во баллов	Моя оценка	16
  8	Критерии оценивания			12-16 баллов	Оценка «5»
  				10-11 баллов	Оценка «4»
  				7-8 баллов	Оценка «3»
  				ниже 7 баллов	Оценка «2»

   

   

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Математика, правильно понятая, обладает не только истинной, но и величайшей красотой.
    
    Бертран Рассел
    

  • 

    2 слайд

    Разминка. Тест
    
    Вариант 1
    Cos ( 90⁰ - α) =
    2. Sin ( 180⁰- α) =
    3. Sin 60⁰ =
    4. Cos 45⁰ =
    Sin 30⁰ =
    
    Вариант 2
    1. Sin ( 90⁰ - α)
    2. Cos (180⁰ - α)
    3. Cos 60⁰ =
    4. Sin 45⁰ =
    5. Cos 30⁰ =
     
    
    

  • 

    3 слайд

    Проверка
    Вариант 1
    1. sin α
    2. sin α
    3.
    4.
    5.
    
    
    
    Вариант 2
    1. cos α
    2. -cos α
    3.
    4.
    5.
    
    
    
    
    

  • 

    4 слайд

    
    Задача. Используя данные, указанные на рисунке, найдите расстояние между недоступными пунктами А и В, расположенными на разных берегах озера.
    

  • 

    5 слайд

    
    Математическая модель задачи
    Используя данные, указанные на рисунке, найдите расстояние между недоступными пунктами А и В, расположенными на разных берегах озера.
    
    

  • 

    6 слайд

    
    Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.
    
    Работа в группе (решение задачи)
    

  • 

    7 слайд

    х
    у
    А
    С
    B
    BC=a
    CA=b
    с
    b
    AB=с
    a
    B(c;0)
    Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС треугольника АВС, если А(0;0), В ( с;0), С(bcosA; bsinA).
    

  • 

    8 слайд

    Проверим:
    

  • 

    9 слайд

    28.11.13.
    ТЕОРЕМА
    КОСИНУСОВ
    

  • 

    10 слайд

    Работа с учебником
    Стр.257, п.98, рис.293
    Составить
    план доказательства теоремы косинусов
    

  • 

    11 слайд

    х
    у
    А
    С
    B
    BC=a
    CA=b
    с
    b
    КВАДРАТ СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВЕН СУММЕ КВАДРАТОВ ДВУХ ДРУГИХ СТОРОН МИНУС УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЭТИХ СТОРОН НА КОСИНУС УГЛА МЕЖДУ НИМИ
    AB=с
    a
    B(c;0)
    ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
    

  • 

    12 слайд

    Сферическая тригонометрия
    рассматривает треугольники на сфере и позволяет находить одни элементы этих треугольников по другим их элементам.
    
    

  • 

    13 слайд

    Замечательная сферическая теорема косинусов
    cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A.
    
    Сферический треугольник
    

  • 

    14 слайд

    M
    N
    K
    Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК:
    Задача 1
    

  • 

    15 слайд

    Задача 2
    Ответ:
    

  • 

    16 слайд

    какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена?
    Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?
    

  • 

    17 слайд

    Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?
    
    Задача 1.
    нахождение длины третьей стороны по известным двум другим и углу между ними
    

  • 

    18 слайд

    Выразим косинус угла из теоремы косинусов
    

  • 

    19 слайд

    Что можно находить по этой формуле?
    

  • 

    20 слайд

    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Что можно находить по этой формуле?
    Задача 2.
    угол (или косинус угла) треугольника по трем известным сторонам
    
    
    
    
    

  • 

    21 слайд

    ГИА - 2014
    Открытый банк заданий
    по математике.
    Задача №15
    

  • 

    22 слайд

    Какие из следующих утверждений верны?
    Задание 15
    (№ 169935)
    1
    2
    3
    4
    Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме
    квадратов двух других сторон без удвоенного
    произвед-ия этих сторон на sin угла между ними.
    Если катеты прямоугольного треугольника
    равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
    Треугольник ABC, у которого АВ=5, ВС=6, АС=7,
    является остроугольным.
    В прямоугольном треугольнике
    квадрат катета равен разности квадратов
    гипотенузы и другого катета.
    Не верно!
    Верно.
    Верно.
    Верно.
    

  • 

    23 слайд

    Задача о футболисте.
    Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот.
    Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.
    С
    α
    23 м
    24 м
    7 м
    В
    А
    

  • 

    24 слайд

    Математическая модель задачи
    В
    А
    α
    23 м
    24 м
    С
    7 м
    найдем угол А, равный α.
    По теореме косинусов определим cos A
    Угол α находим по таблице: α ≈ 1657
    

  • 

    25 слайд

    Вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.
    

  • 

    26 слайд

    Проверка
    

  • 

    27 слайд

    Сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон и записать сравнение в виде равенства или неравенства.
    

  • 

    28 слайд

    Проверка
    

  • 

    29 слайд

    Как можно ответить на вопрос:
    
    «Определить вид этого треугольника (без вычисления косинуса наибольшего угла)?
    с
    а
    b
    

  • 

    30 слайд

    Как можно ответить на вопрос:
    «Определить вид этого треугольника» без вычисления косинуса наибольшего угла?
    Пусть с – наибольшая сторона
    – если с2 < a2 + b2, то треугольник остроугольный; 
    – если с2 = a2 + b2, то треугольник прямоугольный; 
    – если с2 > a2 + b2, то треугольник тупоугольный.
    
    

  • 

    31 слайд

    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?
    
    находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;
    определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам
    определять вид треугольника по трем известным сторонам
    
    

  • 

    32 слайд

    Мини-тест
    

  • 

    33 слайд

  • 

    34 слайд

    Домашнее задание
    П.98 прочитать
    Подготовить доказательство (презентацию доказательства) теоремы косинусов
    № 1025 (ж)
    №1031
    

Краткое описание материала