Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Статья по алгебре «Метод интервалов при решении задач части С»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Статья по алгебре «Метод интервалов при решении задач части С»

библиотека
материалов

 Методическая разработка по алгебре для подготовки к ЕГЭ 2014 по теме:

«Метод интервалов при решении задач части С».


Вот уже на протяжении нескольких лет формой сдачи итогового экзамена в школе является ЕГЭ. Внедрялся он посредством эксперимента. Конечно, как и любой масштабный проект ЕГЭ имеет сторонников и противников, плюсы и минусы, как бы то ни было, без него уже трудно представить школу сегодня.

Часть С ЕГЭ по математике предназначается для определения математической компетенции выпускников образовательных учреждений, реализующих программы среднего(полного) общего образования на базовом уровне. Задание С – 3 относится к заданиям повышенного уровня. Чаще всего оно представлено в виде комбинированного неравенства или системы неравенств, поиск решения которого заставляет мобилизовать знания по всем основным разделам алгебры и начал анализа.

Ниже рассмотрим наиболее интересные задачи, решаемые методом интервалов, с методическими пояснениями (замечаниями) к каждому примеру, иллюстрирующими математические «тонкости» применения метода интервалов.

Метод интервалов позволяет наиболее рационально решать такие неравенства, так как он основан на одном важном свойстве рациональной функции, которое сформулировано следующим образом: в интервале между двумя своими соседними критическими точками рациональная функция сохраняет знак.

Метод интервалов состоит в следующем. Рациональное неравенство приводят к стандартному виду:

1) hello_html_2dd00c49.gif>0 или hello_html_2dd00c49.gif< 0 (в случае строгого неравенства)

2) hello_html_2dd00c49.gif≥0 или hello_html_2dd00c49.gif ≤ 0 (в случае нестрогого неравенства)

Затем находят все критические точки рациональной функции. Эти точки отмечают на числовой оси. Вся числовая ось разбивается критическими точками на конечное число интервалов, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак. Чтобы определить знак левой части на всем интервале, достаточно определить знак hello_html_2dd00c49.gif в одной какой-либо точке этого интервала и тем самым установить, входит ли этот интервал в множество решений данного неравенства.

Что касается самих критических точек, то в случае строгого неравенства hello_html_2dd00c49.gif>0 они не входят во множество решений; в случае нестрогого неравенства hello_html_2dd00c49.gif≥0 нули многочлена hello_html_139c6a1.gif входят во множество решений, если только они не являются нулями и многочлена hello_html_m2e01df27.gif, если же они являются нулями многочлена hello_html_m2e01df27.gif, то во множество решений они уже не войдут.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих преимущество использования метода интервалов.

Пример 1 Решить неравенство:

hello_html_m21f9fa5a.gif

Данное неравенство можно классифицировать как логарифмическое. Решение выглядит следующим образом:

hello_html_294405e3.gif

Теперь мы можем обратиться к методу интервалов. Для этого найдем нули функций:

hello_html_625cd808.gifhello_html_m30c07f63.gif

hello_html_m26853097.gifhello_html_5572756e.gif

hello_html_m799b1813.gifhello_html_7ac6b976.gif

hello_html_m2f9f30d.gif

После этого наносим нули функции на числовую прямую (рис. 1).



hello_html_m773a4226.png

3 4 6 х


Рис. 1


Но знак функции на этом этапе не проверяем, т.к. область определения неравенства неизвестна, и есть риск проделать лишние действия, затратив на это время и силы. Найдем область определения неравенства (ООН):

ООН:

hello_html_m36118124.gif

ООН: (- ∞;4)

Отметим ООН на числовой прямой и определим знак функции на промежутках, принадлежащих ООН (рис. 2).


hello_html_576bb91f.png

3 4 6 х



Рис.2


Для этого из промежутка (-∞;3] возьмем число 0 и подставим в выражение hello_html_5f3fd1e1.gif. Выражение принимает положительное значение, значит, и на всем промежутке (-∞;3] функция принимает положительное значение. Аналогично, определим знак функции и на промежутке [3;4). Решением неравенства будет являться промежуток (-∞;3].

Ответ: (-∞;3]

Замечание Если не использовать метод интервалов для решения данного неравенства, то тогда пришлось бы рассматривать два случая, когда

hello_html_mbbbc4ae.gif

1 случай: 2 случай:

hello_html_4a9f6033.gifhello_html_6856d79b.gif

Рассматривать две системы не целесообразно с точки зрения потери времени и рациональности решения. Тем более, в данном случае можно запутаться с понятиями совокупности неравенств и системы неравенств. Метод интервалов представляет собой наиболее рациональный путь решения представленного неравенства.

Пример 2 Решить неравенство:

hello_html_701229c0.gif

Сначала необходимо упростить левую часть:

hello_html_5fab7d06.gif

В данном случае трудно представить какой-либо другой способ решения неравенства, кроме метода интервалов.

hello_html_745cc69d.gifhello_html_m66fa7522.gif


Отмечаем нули функции на числовой прямой. Важно понять, где на числовой прямой располагается число hello_html_6e3e3e1e.gif. Для этого представим числа в логарифмической форме:

hello_html_m6106fbe8.gif, hello_html_m425f2b4e.gif, hello_html_1e40ff07.gif. Остальные числа необязательно представлять в логарифмической форме, т.к. местоположение числа hello_html_6e3e3e1e.gifуже известно (рис. 3)



hello_html_3593b72a.pngх

-2 -1 -hello_html_m1d347ddf.gifhello_html_1e40ff07.gifhello_html_4ed2a826.gif


Рис.3


Далее находим ООН:

hello_html_5fe005e9.gif

ООН: (-2; hello_html_m19e8bb17.gif)

Отметим ООН на числовой прямой и определим знаки функции на промежутках, входящих в ООН. Далее, отбираем те промежутки, на которых знак функции совпадает со знаком исходного неравенства (рис.4).



hello_html_19e026c9.pngх

-2 -1 -hello_html_42567408.gif hello_html_6e3e3e1e.gifhello_html_m19e8bb17.gif


Рис. 4


Ответ : hello_html_m17445563.gif

Замечание Трудности при решении этого неравенства возникают лишь на этапе определения местоположения числа hello_html_6e3e3e1e.gif на числовой прямой.

Пример 3 Решить неравенство:

hello_html_94c83dd.gif

Предварительно анализируя неравенство, можно заметить, что оно комбинированное, в нем встречаются степенные, показательные, логарифмические функции, а также модули. В предыдущих случаях сначала производились упрощения неравенства, а затем находились нули функции. В данном же примере, нули функции начинаем искать уже в начале решения.

hello_html_2d511d1b.gif

hello_html_m21de2662.gifhello_html_5a84a669.gifhello_html_m2de7f0a.gif

hello_html_d869e8b.gifhello_html_maf0b4e5.gifhello_html_m7549c8ae.gif

hello_html_m6b9e7ae9.gif

Для решения этого показательно-степенного уравнения необходимо рассмотреть несколько случаев:

1) hello_html_7c185bb2.gif 2)hello_html_5513544.gif 3) hello_html_m278033a9.gif 4) hello_html_411af58c.gif

решений нет hello_html_51f3791d.gif решений нет

hello_html_55ec539d.gif

hello_html_49255def.gif

После того, как все нули функции найдены, наносим их на числовую прямую. Затем ищем ООН:

hello_html_m4e343eb1.gif

hello_html_129b4c1b.gif

hello_html_46dc89f.gif

hello_html_449fe757.gif

Отмечаем ООН на числовой прямой и проверяем знаки функции на промежутках, которые входят в ООН (рис.5)



hello_html_m669fea4d.png

-6 -5 -2 -1 0 2 3 5 6 х

Рис. 5


Ответ: hello_html_m71556566.gif

Замечание Этот пример иллюстрирует необходимость проверять знаки функции на числовой прямой после нахождения ООН.


Пример 4 Решить неравенство:

hello_html_1903ab07.gif

Данное неравенство можно решить двумя способами.

1 способ:

В основании логарифма находится переменное выражение под модулем, которое влияет на знак неравенства при его упрощении. Поэтому необходимо рассмотреть две системы:


1 случай 2 случай

hello_html_34767894.gifhello_html_m1559b3ce.gif

hello_html_609ebbe7.gifhello_html_m92cbcbd.gif

hello_html_m764955e3.gifhello_html_m298077ec.gif

решений нет hello_html_m230d0ebf.gif

Ответ: hello_html_f254d54.gif

2 способ:

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого приведем логарифм к новому основанию.

hello_html_m5112d5b2.gif

hello_html_m3c15396e.gifhello_html_m5d47dc6f.gif

hello_html_m781c6d89.gifhello_html_m6528e864.gif

hello_html_12c595ac.gif



Найдем область определения неравенства:

hello_html_1898bf1b.gifhello_html_m3fec654a.gif

Нанесем область определения неравенства и нули функции на числовую прямую (рис. 6)


hello_html_763f5aca.pngх

hello_html_6ef42ede.gif-2 -1 0 1 9


Рис. 6

Определим знаки функции на промежутках, выберем ответ.

Ответ: hello_html_f254d54.gif

Замечание Сравнивая оба способа решения неравенства, можно сделать вывод, что метод интервалов является более рациональным для решения данного неравенства. Т.к. он позволяет избежать лишних действий и экономить время, в отличие от первого способа.

Пример 5 Решить неравенство:

hello_html_m1bc63e2.gif

Данное неравенство является комбинированным. Решим его методом интервалов. Для этого найдем нули функции

hello_html_m4f2f7bbe.gif

hello_html_459933fe.gifhello_html_m3c75c9f8.gifhello_html_m5ddcf3d8.gifhello_html_m1a5111c7.gif

hello_html_1490658a.gifhello_html_2e65a36e.gif,hello_html_m5e73f74f.gif х = 3 х = hello_html_6b4719a3.gif

х=2, х=-1

Найдем область определения неравенства:

hello_html_150cfc23.gifhello_html_m69f15e22.gifhello_html_423973c.gif

Нанесем область определения и нули функции на числовую прямую и проверим знаки функции на полученных промежутках (рис. 7)



hello_html_470f32ab.pngх

-2 hello_html_m7dffbab.gif -1 0 hello_html_m667a0225.gif 2 hello_html_m5ada6324.gif 3 hello_html_1bfc1af9.gifhello_html_m53d4ecad.gif


Рис. 7


Ответ: hello_html_297df0cf.gif

Замечание 1 В данном неравенстве присутствует периодическая функция у = sin 3x, и важно помнить, что нулей этой функции бесконечное множество, а не одно число hello_html_m667a0225.gif .

Замечание 2 Нули функции достаточно близко расположены к друг другу, и важно проявить внимательность при расстановке нулей на числовой прямой.

Подводя итог, можно сказать, что метод интервалов актуален и сегодня, и его использование целесообразно и рационально для решения подобных задач при подготовке школьников к ЕГЭ, а также на факультативах и элективных курсах с углубленным изучением математики.


Краткое описание документа:

"Описание материала:

Методическая разработка по алгебре,посвященная методу интервалов (представлена в виде статьи).

Содержит "подборку наиболее сложных и интересных задач из части С единого государственного экзамена 2014, решаемых методом интервалов и иллюстрирующих преимущество применения этого метода.

Каждый пример имеет свои математические «тонкости» и дополнен методическим указанием (пояснением).

Работа может быть использована учителем при подготовке школьников к ЕГЭ, а также на факультативных занятиях. Будет интересна не только учителям,но и ученикам.

"Выдержка из материала:

Методическая разработка по алгебре для подготовки к ЕГЭ 2014 по теме: «Метод интервалов при решении задач части С».

Вот уже на протяжении нескольких лет формой сдачи итогового экзамена в школе является ЕГЭ. Внедрялся он посредством эксперимента. Конечно, как и любой масштабный проект ЕГЭ имеет сторонников и противников, плюсы и минусы, как бы то ни было, без него уже трудно представить школу сегодня. Чаще всего оно представлено в виде комбинированного неравенства или системы неравенств, поиск решения которого заставляет мобилизовать знания по всем основным разделам алгебры и начал анализа. 

Теперь мы можем обратиться к методу интервалов. Для этого найдем нули функций:После этого наносим нули функции на числовую прямую (рис. 1). Но знак функции на этом этапе не проверяем, т.к. область определения неравенства неизвестна, и есть риск проделать лишние действия, затратив на это время и силы. Найдем область определения неравенства (ООН): ООН:

Для этого из промежутка (-∞;3] возьмем число 0 и подставим в выражение . Выражение принимает положительное значение, значит, и на всем промежутке (-∞;3] функция принимает положительное значение. Аналогично, определим знак функции и на промежутке [3;4).

Решением неравенства будет являться промежуток (-∞;3].Ответ: (-∞;3]Замечание Если не использовать метод интервалов для решения данного неравенства, то тогда пришлось бы рассматривать два случая, когда 

1 случай: 2 случай:

Рассматривать две системы не целесообразно с точки зрения потери времени и рациональности решения. Тем более, в данном случае можно запутаться с понятиями совокупности неравенств и системы неравенств. Метод интервалов представляет собой наиболее рациональный путь решения представленного неравенства.Пример 2 Решить неравенство:

Сначала необходимо упростить левую часть:

В данном случае трудно представить какой-либо другой способ решения неравенства, кроме метода интервалов.

Отмечаем нули функции на числовой прямой. Важно понять, где на числовой прямой располагается число . Для этого представим числа в логарифмической форме: , , . Остальные числа необязательно представлять в логарифмической форме, т.к. местоположение числа уже известно (рис. 3)

Отметим ООН на числовой прямой и определим знаки функции на промежутках, входящих в ООН. Далее, отбираем те промежутки, на которых знак функции совпадает со знаком исходного неравенства (рис.4). 

Замечание

Трудности при решении этого неравенства возникают лишь на этапе определения местоположения числа на числовой прямой. Пример 3 Решить неравенство:

Данное неравенство можно решить двумя способами.1 способ:В основании логарифма находится переменное выражение под модулем, которое влияет на знак неравенства при его упрощении. Поэтому необходимо рассмотреть две системы:

Замечание 1

В данном неравенстве присутствует периодическая функция у = sin 3x, и важно помнить, что нулей этой функции бесконечное множество, а не одно число . 

Замечание 2

Нули функции достаточно близко расположены к друг другу, и важно проявить внимательность при расстановке нулей на числовой прямой.Подводя итог, можно сказать, что метод интервалов актуален и сегодня, и его использование целесообразно и рационально для решения подобных задач при подготовке школьников к ЕГЭ, а также на факультативах и элективных курсах с углубленным изучением математики.

Автор
Дата добавления 13.01.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров581
Номер материала 25717011348
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх