Методическая разработка по алгебре для подготовки к ЕГЭ 2014 по теме:

«Метод интервалов при решении задач части С».

Вот уже на протяжении нескольких лет формой сдачи итогового экзамена в школе является ЕГЭ. Внедрялся он посредством эксперимента. Конечно, как и любой масштабный проект ЕГЭ имеет сторонников и противников, плюсы и  минусы, как бы то ни было, без него уже    трудно  представить школу сегодня.

 Часть С ЕГЭ по математике предназначается для определения математической компетенции выпускников образовательных учреждений, реализующих программы среднего(полного) общего образования на базовом уровне. Задание С – 3  относится к заданиям повышенного уровня. Чаще всего оно представлено в виде комбинированного неравенства или системы неравенств, поиск решения которого  заставляет мобилизовать знания по всем основным разделам алгебры и начал анализа.

Ниже рассмотрим наиболее интересные задачи, решаемые методом интервалов, с методическими пояснениями (замечаниями) к каждому примеру, иллюстрирующими математические «тонкости» применения метода интервалов.

Метод интервалов позволяет наиболее рационально решать такие неравенства, так как он основан на одном важном свойстве рациональной функции, которое сформулировано следующим образом: в интервале между двумя своими соседними критическими точками рациональная функция сохраняет знак.

         Метод интервалов состоит в следующем.  Рациональное неравенство  приводят к стандартному виду:

1) >0 или < 0 (в случае строгого неравенства)

2) ≥0 или  ≤ 0 (в случае нестрогого неравенства)

         Затем находят все критические точки рациональной функции. Эти точки отмечают на числовой оси. Вся числовая ось разбивается критическими точками на конечное число интервалов, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак. Чтобы определить знак левой части на всем интервале, достаточно определить знак  в одной какой-либо точке  этого интервала и тем  самым установить, входит ли этот интервал в множество решений данного неравенства.

         Что касается самих критических точек, то в случае строгого неравенства >0 они не входят во множество решений; в случае нестрогого неравенства ≥0  нули многочлена  входят во множество решений, если только они не являются нулями и многочлена  , если же они являются нулями многочлена , то во множество решений они уже не войдут.

 Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих преимущество использования метода интервалов.

Пример 1 Решить неравенство:

Данное неравенство можно классифицировать как логарифмическое. Решение выглядит следующим образом:

Теперь мы можем обратиться к методу интервалов. Для этого найдем нули функций:

После этого наносим нули функции на числовую прямую (рис. 1).

                 3                           4                     6                                х

Рис. 1

Но знак функции на этом этапе не проверяем, т.к. область определения неравенства неизвестна, и есть риск проделать лишние действия, затратив на это время и силы. Найдем область определения неравенства (ООН):   

ООН:

ООН: (- ∞;4)

Отметим ООН на числовой прямой и определим знак функции на промежутках, принадлежащих ООН (рис. 2).

                  3                            4                     6                                 х

Рис.2

Для этого из промежутка (-∞;3] возьмем число 0 и подставим в выражение  . Выражение принимает положительное значение, значит, и на всем промежутке (-∞;3] функция принимает положительное значение. Аналогично, определим знак функции и на промежутке [3;4). Решением неравенства будет являться промежуток (-∞;3].

         Ответ: (-∞;3]

Замечание Если не использовать метод интервалов для решения данного неравенства, то тогда пришлось бы рассматривать два случая, когда

              1 случай:                                                          2 случай:

Рассматривать две системы не целесообразно с точки зрения потери времени и рациональности решения. Тем более, в данном случае можно запутаться с понятиями совокупности неравенств и системы неравенств. Метод интервалов представляет собой наиболее рациональный путь решения представленного неравенства.

Пример 2 Решить неравенство:

Сначала необходимо упростить левую часть:

В данном случае трудно представить какой-либо другой способ решения неравенства, кроме метода интервалов.

Отмечаем нули функции на числовой прямой. Важно понять, где на числовой прямой располагается число . Для этого представим числа в логарифмической форме:

, , . Остальные числа необязательно представлять в логарифмической форме, т.к. местоположение числа   уже известно (рис. 3)

х

     -2             -1          -             

Рис.3

Далее находим ООН:

ООН: (-2; )

Отметим ООН на числовой прямой и определим знаки функции на промежутках, входящих в ООН. Далее, отбираем те промежутки, на которых знак функции совпадает со знаком исходного неравенства (рис.4).

х

       -2             -1                  -                                                  

Рис. 4

Ответ :

Замечание Трудности при решении этого неравенства возникают лишь на этапе определения местоположения числа  на числовой прямой.

Пример 3 Решить неравенство:

Предварительно анализируя неравенство, можно заметить, что оно комбинированное, в нем встречаются степенные, показательные, логарифмические функции, а также модули. В предыдущих случаях сначала производились упрощения неравенства, а затем находились нули функции. В данном же примере, нули функции начинаем искать уже в начале решения.

Для решения этого показательно-степенного уравнения необходимо рассмотреть несколько случаев:

1)      2)   3)           4)

                  решений нет                     решений нет

После того, как все нули функции найдены, наносим их на числовую  прямую. Затем ищем ООН:

Отмечаем ООН на числовой прямой и проверяем знаки функции на промежутках, которые входят в ООН (рис.5)

     -6         -5           -2          -1           0           2            3              5         6          х        

Рис. 5

Ответ:     

Замечание Этот пример иллюстрирует необходимость проверять знаки функции на числовой прямой после нахождения ООН.

Пример 4  Решить неравенство:

Данное неравенство можно решить двумя способами.

1 способ:

В основании логарифма находится переменное выражение под модулем, которое влияет на знак неравенства при его упрощении. Поэтому необходимо рассмотреть две системы:

1 случай                                                 2 случай

решений нет                                            

Ответ:

2 способ:

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого приведем логарифм к новому основанию.

Найдем область определения неравенства:

              Нанесем область определения неравенства и нули функции на числовую прямую (рис. 6)

х

                       -2              -1               0                1               9

Рис. 6

Определим знаки функции на промежутках, выберем ответ.

Ответ:

Замечание  Сравнивая оба способа решения неравенства, можно сделать вывод, что метод интервалов является более рациональным для решения данного неравенства. Т.к. он позволяет избежать лишних действий и экономить время, в отличие от первого способа.

Пример 5   Решить неравенство:

Данное неравенство является комбинированным. Решим его методом интервалов. Для этого найдем нули функции

                   ,                  х = 3                  х =

х=2, х=-1                    

         Найдем область определения неравенства:

        Нанесем область определения и нули функции на числовую прямую и проверим знаки функции на полученных промежутках (рис. 7)

х

  -2                       -1            0                         2               3          

Рис. 7

        Ответ:

       Замечание 1 В данном неравенстве присутствует периодическая функция у = sin 3x, и важно помнить, что нулей этой функции бесконечное множество, а не одно число  .

       Замечание 2 Нули функции достаточно близко расположены к друг другу, и важно проявить внимательность при расстановке нулей на числовой прямой.

       Подводя итог, можно сказать, что метод интервалов актуален и сегодня, и его использование   целесообразно и рационально для решения подобных задач при подготовке школьников к ЕГЭ, а также на факультативах и  элективных курсах с углубленным изучением математики.