Инфоурок / Математика / Конспекты / Открытый урок по математике по теме «Интегрирование по частям»
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Открытый урок по математике по теме «Интегрирование по частям»

библиотека
материалов


Тема: Интегрирование по частям


Тип занятия: практическое занятие


Цели урока:
- научить учащихся находить интегралы путем интегрирования функции по частям.

- воспитать самостоятельность, внимательность.

- развить умения и навыки решения задач на нахождение интегралов особого вида.


Ход занятия:


I. Орг. момент.


Приветствие, проверка присутствующих, проверка готовности аудитории к занятию, проверка присутствующих. Объявление темы и хода занятия.


II. Изложение нового материала.


hello_html_41333610.pngИнтегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du hello_html_35ec423e.png. Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом hello_html_m4703ad2b.png):
hello_html_41333610.pnghello_html_739fe8a6.png.
hello_html_41333610.pngЭта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv = vdx , du = udx):

hello_html_49367c52.png.

Примеры:
hello_html_5a1b4324.png. hello_html_ma279f03.png.
hello_html_41333610.pngФормула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде hello_html_236b6f9b.png: hello_html_m61f740d1.pnghello_html_15afccc1.pnghello_html_55e85f37.pnghello_html_m3ca1d022.png.

hello_html_41333610.pngПриведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
Интегралы вида hello_html_m71d3b144.png, hello_html_m742dfd23.png, hello_html_3f64397f.png, где Pn(x) - многочлен n-ой степени. Так, для hello_html_m71d3b144.pngимеем hello_html_me081bd6.png, hello_html_b4f3c2a.pnghello_html_m5bd26435.png, и hello_html_m27da8dee.png. В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n-кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
Интегралы hello_html_m39b7e44f.png, где hello_html_md290ad4.png- трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f(x), dv = Pn(x)dx, для того, чтобы в интеграле hello_html_35a94808.pngучаствовала не f(x), а её производная.

Пример: hello_html_m19a5f507.pnghello_html_m403dd4e2.pnghello_html_5ffa9f44.png.
Для некоторых функций применяется приём “сведения интеграла к самому себе”. С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:
Сведение интеграла к самому себе – самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида hello_html_m3ef8305e.pngи hello_html_m44ae1f5b.png(hello_html_m60cba6d8.png). Например,
hello_html_24a05ef7.pnghello_html_4d0ef15a.pnghello_html_m2d7a821.pnghello_html_m2bc5737b.png. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно hello_html_m6126aa53.png: hello_html_m3b206798.png, решение которого hello_html_24dddce2.png.
hello_html_41333610.pngПри нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = eax dx или u = eax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).

III. Закрепление материала.


№ 75(1,2), № 76(1), № 77(1), № 79(1,2) ( Богомолов, Практику по математике)

Пример № 75-1.

Найти интегралhello_html_4b198d07.png


Решение: Положим u = x, dv = sin(x)dx. Тогда du = dx, v = -cos(x).

Отсюда

hello_html_5fb1f75b.png



Пример № 75-2.

Найти интеграл hello_html_m3385c73a.png
Решение: Обозначим u = lnx, dv = xdx,
тогда du = dx/x, v = x2/2.
Далее, по формуле: hello_html_1feba98e.png


Привет № 76-1.

Найти интегралhello_html_228b1cae.png

Решение. Возьмем данный интеграл по частям, положив hello_html_m7d643210.png, hello_html_39ac4cf1.png, тогда hello_html_15db4b26.png,hello_html_m117c76d4.png , тогда:

hello_html_m1c83cae1.png

hello_html_mc8e2b18.png

Пример № 77-1 .

Найти интеграл hello_html_m194dadd.png
Решение. Произведем интегрирование по частям дважды:

hello_html_4b31fa50.png

Пример № 79-1.

Найти интеграл hello_html_76019b71.png.

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: hello_html_1246c521.png, hello_html_m3e366d1d.png

hello_html_m3eaa249d.png, hello_html_3ae9f381.png

hello_html_m5e268001.png

hello_html_m5fd6ec72.png



Пример № 79-2.

Найти интеграл hello_html_2d339537.png.

Решение. Применим формулу интегрирования по частям. Положим hello_html_50001b69.png, hello_html_1f72f51.png, тогда hello_html_m5fdd27e8.png, hello_html_m6d2b74d9.png, следовательно,

hello_html_414c9423.png.


IV. Подведение итогов.


Повторение теоретического материала пройденного на занятии.

Выставление оценок в журнал.

Домашнее задание:

  1. Выучить теоретическую часть лекции ( формулы).

  2. Выполнить упражнения № 76(2), № 77(2), № 73(3).

Краткое описание документа:

"Выдержка из материала:

Тип занятия: практическое занятие

Цели урока:

- воспитать самостоятельность, внимательность.

- развить умения и навыки решения задач на нахождение интегралов особого вида.

Ход занятия:

I. Орг. момент.

Приветствие, проверка присутствующих, проверка готовности аудитории к занятию, проверка присутствующих. Объявление темы и хода занятия.

II. Изложение нового материала.

IV. Подведение итогов. 

Повторение теоретического материала пройденного на занятии. Выставление оценок в журнал

Домашнее задание:

1. Выучить теоретическую часть лекции ( формулы).

2. Выполнить упражнения № 76(2), № 77(2), № 73(3).

Общая информация

Номер материала: 25726011301

Похожие материалы