-
Курсы
-
Другое
Тема: Интегрирование по частям
Тип занятия: практическое занятие
Цели урока:
- научить учащихся находить интегралы путем интегрирования функции по частям.
- воспитать самостоятельность, внимательность.
- развить умения и навыки решения задач на нахождение интегралов особого вида.
Ход занятия:
I. Орг. момент.
Приветствие, проверка присутствующих,
проверка готовности аудитории к занятию, проверка присутствующих. Объявление
темы и хода занятия.
II. Изложение нового материала.
Интегрирование по частям - приём, который
применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x)
и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные
производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv)
= u∙dv + v∙du 
. Находим неопределённые интегралы для обеих
частей этого равенства (при этом 
):
.
Эта формула и называется
формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv = v’∙dx , du = u’∙dx):
.
Примеры:
.
.
Формула интегрирования по
частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых
интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u
= …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл
в виде 
: 
.
Приведённые примеры показывают, для каких функций
надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
Интегралы вида 
, 
, 
, где Pn(x)
- многочлен n-ой степени. Так, для имеем 
, 
, и 
. В результате мы получили интеграл того же типа
с многочленом степени на единицу меньше. После n-кратного
применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен
превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
Интегралы 
, где 
- трансцендентная функция, имеющая
дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x,
arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x).
В этом случае имеет смысл взять u = f(x),
dv = Pn(x)dx,
для того, чтобы в интеграле 
участвовала не f(x),
а её производная.
III. Закрепление материала.
№ 75(1,2), № 76(1), № 77(1), № 79(1,2) ( Богомолов, Практику по математике)
Пример № 75-1.
Найти интеграл
Решение: Положим u = x, dv = sin(x)dx. Тогда du = dx, v = -cos(x).
Отсюда
Пример № 75-2.
Найти интеграл 
Решение: Обозначим u = lnx, dv = xdx,
тогда du = dx/x, v = x2/2.
Далее, по формуле: 
Привет № 76-1.
Найти интеграл
Решение. Возьмем
данный интеграл по частям, положив 
, 
, тогда 
,
, тогда:
Пример № 77-1 .
Найти интеграл 
Решение. Произведем интегрирование по частям дважды:
Пример № 79-1.
Найти интеграл 
.
Решение. Применим
формулу интегрирования по частям: 
, 
, 
Пример № 79-2.
Найти интеграл 
.
Решение. Применим
формулу интегрирования по частям. Положим 
, 
, тогда 
, 
, следовательно,
.
IV. Подведение итогов.
Повторение теоретического материала пройденного на занятии.
Выставление оценок в журнал.
Домашнее задание:
"Выдержка из материала:
Тип занятия: практическое занятие
Цели урока:
- воспитать самостоятельность, внимательность.
- развить умения и навыки решения задач на нахождение интегралов особого вида.
Ход занятия:
I. Орг. момент.
Приветствие, проверка присутствующих, проверка готовности аудитории к занятию, проверка присутствующих. Объявление темы и хода занятия.
II. Изложение нового материала.
IV. Подведение итогов.
Повторение теоретического материала пройденного на занятии. Выставление оценок в журнал
Домашнее задание:
1. Выучить теоретическую часть лекции ( формулы).
2. Выполнить упражнения № 76(2), № 77(2), № 73(3).
Профессия: Учитель математики
Профессия: Учитель математики
В каталоге 6 688 курсов по разным направлениям
. 
и 
(
). Например, 
. Итак, после двукратного интегрирования по
частям получено уравнение относительно 
: 
, решение которого 
.
