Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок + презентация по математике (геометрия) для 7 класса по теме «Сумма углов треугольника»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок + презентация по математике (геометрия) для 7 класса по теме «Сумма углов треугольника»

Выбранный для просмотра документ Конспект урока_Сумма углов треугольника.docx

библиотека
материалов

hello_html_3fbc394d.gif


Тема урока: Сумма углов треугольника


Цели:

образовательная – сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника; рассмотреть применение теоремы при решении задач;

развивающая – развитие абстрактного мышления, навыков исследовательской деятельности; устной и письменной математической речи;

воспитательная – воспитание нравственных качеств личности, аккуратности, формирование интереса к изучению геометрии.


Тип урока: урок изучения нового материала


Метод обучения: объяснительно-иллюстративный, эвристический


Требование к знаниям, умениям и навыкам учащихся:

учащиеся должны знать формулировку теоремы о сумме углов треугольника и ее доказательство; уметь применять теорему при решении задач.


Оборудование: линейка, проектор, экран, презентация, модели треугольников и ножницы (для каждого ученика)


Литература:

  1. Геометрия : учебник для 7-9 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2008.

  2. Гаврилова Н. Ф. Поурочные разработки по геометрии. 8 класс. – М. : ВАКО, 2004.

  3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М. : Просвещение, 1964.


План урока:

  1. Оргмомент

  2. Актуализация знаний

  3. Выполнение исследовательской работы

  4. Доказательство теоремы

  5. Физкультминутка

  6. Закрепление изученного материала

  7. Самостоятельная работа

  8. Домашнее задание

  9. Подведение итогов

Ход урока:


I. Оргмомент

(слайд 1)

Учитель:

Посмотрите, всё в порядке –

Книжки, ручки, тетрадки?

Прозвенел звонок, начинаем наш урок!

Запишите в тетрадях сегодняшнее число, классная работа.


II. Актуализация знаний, умений, навыков


(слайд 2)


Учитель: В учебнике геометрии Игоря Фёдоровича Шарыгина можно найти такие слова: «Высшее проявление души – это разум; высшее проявление разума – это геометрия. Клеткой геометрии, основным ее понятием, является некоторая геометрическая фигура. По его мнению, свойства этой фигуры так же неисчерпаемы, как и Вселенная». Как вы думаете, о какой геометрической фигуре идет речь?

Ученики: Треугольник.

(слайд 3)


Учитель: Совершенно верно, речь идет о треугольнике. Треугольник в геометрии играет особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о геометрии треугольника, как самостоятельном разделе геометрии.

Давайте вспомним, что мы знаем о треугольнике?


(слайд 4)


Ученики: Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Учитель: Какие бывают треугольники?

Ученики: Разносторонние, равносторонние, равнобедренные.

Учитель: Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника.

Ученики: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; а также биссектриса, проведенная к основанию является медианой и высотой.


(слайд 5)


Учитель: Нами изучены признаки равенства треугольников. Сколько признаков равенства треугольников вы знаете?

(слайд 6)


Учитель: Назовите основные элементы треугольника?

Что называется медианой, биссектрисой, высотой треугольника?

Ученики: Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.


(слайд 7)


Учитель: Сегодня на уроке мы изучим еще одно важное свойство треугольника – рассмотрим теорему о сумме его треугольника.

Запишите в тетрадях тему урока «Сумма углов треугольника».



Учитель: Начнем урок с небольшой геометрической разминки – решим несколько задач на готовых чертежах.


Задачи на готовых чертежах.

(слайды 8 – 12)


Задача 1.

hello_html_4d4b7687.pngОтвет: 450

Задача 2.

hello_html_63f311ad.pngОтвет: 500

Задача 3.

hello_html_1c76a7a0.pngОтвет: 600

Задача 4.

hello_html_m775b6cfc.pngОтвет: 500

Задача 5.

hello_html_677689e8.pngОтвет: 600, 700, 500


Учитель: В последней задаче получили, что сумма углов треугольника равна 1800. Случайно ли, это? А чему равна сумма углов этого треугольника (показывает модель), или этого? Также 1800? Или все-таки равняется другому числу? Это нам пока неизвестно и только лишь предстоит узнать.


III. Выполнение исследовательской работы


Ребята! Очень часто ученые устанавливают важные факты экспериментальным путем. Это происходит в разных областях науки: в физике, химии, математики. Я вам тоже сегодня предлагаю побыть в роли исследователей. Выполним небольшую исследовательскую работу. Работаем в парах. На столах у каждого из вас лежат треугольники. Сейчас с помощью эксперимента установим, чему равна сумма углов треугольника.

(слайд 13)


План исследования:

  1. Отрежьте ножницами углы треугольника

  2. Соберите их в одной точке.

  3. Ответьте на вопросы: какой угол образовали углы треугольника? Чему равна его градусная мера?

  4. Сделайте вывод.


Учитель: Таким образом, мы экспериментальным путем установили, что сумма углов треугольника равна 1800. Можем ли мы это утверждение считать истинным для любого треугольника?

Ученик: Нет, это всего лишь предположение. В геометрии истинность утверждений устанавливается путем логических рассуждений, опирающихся на аксиомы и ранее изученные теоремы.


IV. Доказательство теоремы

(слайд 14)


Учитель: Итак, нам необходимо доказать теорему:


Сумма углов треугольника равна 1800.


Изобразим в тетрадях произвольный треугольник АВС.

Учитель: Ребята, из каких частей состоит любая теорема?

Ученики: Теорема состоит из условия и заключения.

Учитель: Что в данной теореме является условием (что дано)?

Ученики: Дан треугольник.

Учитель: Сформулируйте заключение теоремы (что нужно доказать).

Ученики: Необходимо доказать, что сумма углов треугольника равна 1800.

(Делаем рисунок и запись на доске)


Учитель: Посмотрите внимательно на заключение теоремы. Нам необходимо доказать, что сумма углов треугольника равна 1800. А в каких ранее изученных фактах, мы сталкиваемся с числом 180?

Ученики: 1) развернутый угол равен 1800; 2) сумма смежных углов равна 1800; 3) если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 1800.

Учитель: Так как смежные углы в сумме образуют развернутый угол, то предлагаю 1) и 2) варианты рассматривать как один факт. Развернутый угол равен 1800. Как же можно доказать теорему?


(слайд 15)


Учитель: Я предлагаю еще раз вернуться к задаче, решенной нами в начале урока. Она нам поможет найти способ доказательства теоремы. В задаче нам была дана прямая, параллельная одной из сторон треугольника, путем составления пар равных накрест лежащих углов мы нашли углы треугольника, и тем самым увидели, что их сумма равна 1800.


Учитель: Чтобы доказать теорему я предлагаю вам выполнить дополнительные построения. Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Введем обозначения получившихся углов. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ. Углы 3 и 5 – накрест лежащие углы при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому hello_html_m3b8c471b.gif4 = hello_html_m3b8c471b.gif1, hello_html_m3b8c471b.gif5 = hello_html_m3b8c471b.gif3. Сумма углов 4, 2, 5 равна развернутому углу с вершинойВ, т. е. hello_html_m3b8c471b.gif4 + hello_html_m3b8c471b.gif2 + hello_html_m3b8c471b.gif5 = 1800. Отсюда, учитывая равенства , получаем, hello_html_m3b8c471b.gif1 + hello_html_m3b8c471b.gif2 + hello_html_m3b8c471b.gif3 = 1800 илиhello_html_m3b8c471b.gifА + hello_html_m3b8c471b.gifВ + hello_html_m3b8c471b.gifС =1800.


Запишем доказательство теоремы в тетрадь:

  1. Проведем через вершину В прямую аhello_html_m3bd0edd4.gifАС.

  2. hello_html_7e7e1ee1.gif4; hello_html_m3b8c471b.gif3=hello_html_m3b8c471b.gif5 (как накрест лежащие).

  3. hello_html_m6960fb6b.gif2 + hello_html_m3b8c471b.gif5 =hello_html_370604e9.gif (т.к. образуют развернутый угол с вершиной В).

  4. Из (2) =>hello_html_m3b8c471b.gif1 + hello_html_m3b8c471b.gif2 + hello_html_m3b8c471b.gif3 = 1800 илиhello_html_m3b8c471b.gifА + hello_html_m3b8c471b.gifВ + hello_html_m3b8c471b.gifС =1800.


(слайд 16)


Учитель: Подтвердилось наше предположение? Еще раз сделаем вывод о сумме углов треугольника.

Ученики: Сумма углов треугольника равна 1800


(слайд 17)


Учитель: Ни на миг не прерывается связь между поколениями, ежедневно мы усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Такое доказательство теоремы о сумме углов треугольника было открыто Пифагором еще в (V в. до н.э.). А вот Евклид в своих «Началах» излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, основанное на свойстве односторонних улов при пересечении двух параллельных прямых секущей. Рассмотрим этот способ.


(слайд 18)


hello_html_b4ec3b8.png

Доказательство:

  1. Проведем через вершину С прямую СЕ hello_html_m3bd0edd4.gif АВ.

  2. hello_html_m4eda4f0d.gif

  3. hello_html_4172f36a.gif(как односторонние при пересечении параллельных прямых АВ и СЕ секущей ВС)

  4. hello_html_m7cbd4581.gif(как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и СЕ секущей АС)

  5. Из (3) и (4) => hello_html_m504fc634.gif или hello_html_m3b8c471b.gifА + hello_html_m3b8c471b.gifВ + hello_html_m3b8c471b.gifС =1800.

Учитель: Итак, мы доказали одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника. Теперь предлагаю вам немного отдохнуть.


(на фоне музыки)

V. Физкультминутка

(слайд 19)


Встаньте, поднимите руки вверх, потянитесь к звездам; покажите развернутый угол; прямой угол; тупой угол; острый угол.

Молодцы! Садитесь!


VI. Закрепление изученного материала.


Учитель:


Решение задач на готовых чертежах

(слайды 20 – 25)



hello_html_m542e6985.png
hello_html_m77c5f055.png hello_html_m7ee84b9b.pnghello_html_m80266b0.png


hello_html_m64081f75.pnghello_html_7852e105.png

(слайд 26)


Решение задачи из учебника № 224 стр. 71


hello_html_m5b87d787.png

Дано: ∆ АВС,

hello_html_66ffc285.gifА : hello_html_66ffc285.gifВ : hello_html_66ffc285.gifС = 2 : 3 : 4.

Найти: hello_html_66ffc285.gifА, hello_html_66ffc285.gifВ, hello_html_66ffc285.gifС.

Решение:

1. Пусть одна часть xº. Тогда hello_html_66ffc285.gifА = 2 x º , hello_html_66ffc285.gifВ = 3 xº, hello_html_66ffc285.gifС = 4 xº .

2. hello_html_66ffc285.gifА +hello_html_66ffc285.gifВ +hello_html_66ffc285.gifС=180º (по теореме о сумме углов треугольника) =>

3. 2х + 3х + 4х = 1800,

х = 20

hello_html_66ffc285.gifА=40º, hello_html_66ffc285.gifВ=60º, hello_html_66ffc285.gifС=80º.



VII. Самостоятельная работа. (слайд 27)


hello_html_a2d3d5d.png


(слайд 28)


hello_html_18e63f38.png


(слайд 29)


VIII. Домашнее задание: §1, п. 33 (с. 71); № 223 (а, б), № 228 (а)


(слайд 30)


IX. Подведение итогов


Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Сегодня на уроке мы доказали одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника, рассмотрели два способа ее доказательства, и решение задач на применение теоремы.

Мы не открыли что-то новое в геометрии, но каждый сделал открытие для себя. К тайнам извечный разум влекущий, путь бесконечный осилит идущий (Т. Малевич).



9


Выбранный для просмотра документ Самостоятельная работа.docx

библиотека
материалов

hello_html_205135af.png

hello_html_205135af.png

Выбранный для просмотра документ Сумма углов треугольника.pptx

библиотека
материалов
Классная работа
«Высшее проявление души – это разум; высшее проявление разума – это геометрия...
Треугольник В А С Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура,...
ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ТРЕУГОЛЬНИК ΔАВС - треугольник АВ, ВС, АС – стороны треуго...
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ ПО СТОРОН...
ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА БИССЕКТРИСА Т...
Сумма углов треугольника В А С
 Найдите неизвестный угол
 Прямые а и b параллельны, с - секущая Найдите неизвестный угол а b с
 Прямые а и b параллельны, с - секущая Найдите неизвестный угол а b с
 Прямые а и b параллельны, с - секущая Найдите неизвестный угол а b с
 Найдите углы треугольника АВС, m АС m 2 1 3
План исследования: 1. Отрежьте ножницами углы треугольника. 2. Соберите их в...
Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800
 Найдите углы треугольника АВС, m АС m 2 1 3
Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800
Пифагор Самосский (580 – 500 гг. до н. э.) Доказательство теоремы о сумме угл...
Евклид (365 – 300 гг. до н. э.) Фрагмент папируса из «Начал» Евклида А В С Е...
Задача 1. ? М N K Ответ:
Задача 2. А В С ? Ответ:
Задача 3. ? В А С ?
Задача 4. ? Р K S ? Ответ:
Задача 5. А В С ? ? Ответ:
Задача 6. C D F ? ? ? Ответ:
Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800
Самостоятельная работа
Самостоятельная работа Ответы: Вариант 1. Вариант 2.
Домашнее задание §1, п. 33 (с. 71); № 223 (а, б), № 228 (а)
Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800
30 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Классная работа
Описание слайда:

Классная работа

№ слайда 2 «Высшее проявление души – это разум; высшее проявление разума – это геометрия
Описание слайда:

«Высшее проявление души – это разум; высшее проявление разума – это геометрия. Клеткой геометрии является … Свойства … так же неисчерпаемы, как и Вселенная» И. Ф. Шарыгин (1937 – 2004) - известный математик и деятель

№ слайда 3 Треугольник В А С Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура,
Описание слайда:

Треугольник В А С Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах.

№ слайда 4 ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ТРЕУГОЛЬНИК ΔАВС - треугольник АВ, ВС, АС – стороны треуго
Описание слайда:

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ТРЕУГОЛЬНИК ΔАВС - треугольник АВ, ВС, АС – стороны треугольника А,  В,  С – углы треугольника Р = АВ + ВС + АС – периметр боковая сторона боковая сторона основание А В С РАЗНОСТОРОННИЙ РАВНОБЕДРЕННЫЙ РАВНОСТОРОННИЙ

№ слайда 5 ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ ПО СТОРОН
Описание слайда:

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ ПО СТОРОНЕ И ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ

№ слайда 6 ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА БИССЕКТРИСА Т
Описание слайда:

ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

№ слайда 7 Сумма углов треугольника В А С
Описание слайда:

Сумма углов треугольника В А С

№ слайда 8  Найдите неизвестный угол
Описание слайда:

Найдите неизвестный угол

№ слайда 9  Прямые а и b параллельны, с - секущая Найдите неизвестный угол а b с
Описание слайда:

Прямые а и b параллельны, с - секущая Найдите неизвестный угол а b с

№ слайда 10  Прямые а и b параллельны, с - секущая Найдите неизвестный угол а b с
Описание слайда:

Прямые а и b параллельны, с - секущая Найдите неизвестный угол а b с

№ слайда 11  Прямые а и b параллельны, с - секущая Найдите неизвестный угол а b с
Описание слайда:

Прямые а и b параллельны, с - секущая Найдите неизвестный угол а b с

№ слайда 12  Найдите углы треугольника АВС, m АС m 2 1 3
Описание слайда:

Найдите углы треугольника АВС, m АС m 2 1 3

№ слайда 13 План исследования: 1. Отрежьте ножницами углы треугольника. 2. Соберите их в
Описание слайда:

План исследования: 1. Отрежьте ножницами углы треугольника. 2. Соберите их в одной точке. 3. Ответьте на вопросы: Какой угол образовали углы треугольника? Чему равна его градусная мера? 4. Сделайте вывод. 1 2 3 1 2 3

№ слайда 14 Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800
Описание слайда:

Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800

№ слайда 15  Найдите углы треугольника АВС, m АС m 2 1 3
Описание слайда:

Найдите углы треугольника АВС, m АС m 2 1 3

№ слайда 16 Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800
Описание слайда:

Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800

№ слайда 17 Пифагор Самосский (580 – 500 гг. до н. э.) Доказательство теоремы о сумме угл
Описание слайда:

Пифагор Самосский (580 – 500 гг. до н. э.) Доказательство теоремы о сумме углов треугольника, изложенное в современных учебниках, было открыто пифагорейцами (V в. до н. э.).

№ слайда 18 Евклид (365 – 300 гг. до н. э.) Фрагмент папируса из «Начал» Евклида А В С Е
Описание слайда:

Евклид (365 – 300 гг. до н. э.) Фрагмент папируса из «Начал» Евклида А В С Е 1 2 3 4 Дано: ∆ АВС Доказать: Доказательство:

№ слайда 19
Описание слайда:

№ слайда 20 Задача 1. ? М N K Ответ:
Описание слайда:

Задача 1. ? М N K Ответ:

№ слайда 21 Задача 2. А В С ? Ответ:
Описание слайда:

Задача 2. А В С ? Ответ:

№ слайда 22 Задача 3. ? В А С ?
Описание слайда:

Задача 3. ? В А С ?

№ слайда 23 Задача 4. ? Р K S ? Ответ:
Описание слайда:

Задача 4. ? Р K S ? Ответ:

№ слайда 24 Задача 5. А В С ? ? Ответ:
Описание слайда:

Задача 5. А В С ? ? Ответ:

№ слайда 25 Задача 6. C D F ? ? ? Ответ:
Описание слайда:

Задача 6. C D F ? ? ? Ответ:

№ слайда 26 Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800
Описание слайда:

Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800

№ слайда 27 Самостоятельная работа
Описание слайда:

Самостоятельная работа

№ слайда 28 Самостоятельная работа Ответы: Вариант 1. Вариант 2.
Описание слайда:

Самостоятельная работа Ответы: Вариант 1. Вариант 2.

№ слайда 29 Домашнее задание §1, п. 33 (с. 71); № 223 (а, б), № 228 (а)
Описание слайда:

Домашнее задание §1, п. 33 (с. 71); № 223 (а, б), № 228 (а)

№ слайда 30 Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800
Описание слайда:

Теорема о сумме углов треугольника А В С Сумма углов треугольника равна 1800

Краткое описание документа:

"Выдержка из материала:

План урока:

  1. Оргмомент
  2. Актуализация знаний 
  3. Выполнение исследовательской работы
  4. Доказательство теоремы
  5. Физкультминутка
  6. Закрепление изученного материала 
  7. Самостоятельная работа
  8. Домашнее задание
  9. Подведение итогов

Ход урока:

I. Оргмомент (слайд 1)

Учитель: Посмотрите, всё в порядке – Книжки, ручки, тетрадки?

Прозвенел звонок, начинаем наш урок!

Запишите в тетрадях сегодняшнее число, классная работа.

II. Актуализация знаний, умений, навыков

Учитель: В учебнике геометрии Игоря Фёдоровича Шарыгина можно найти такие слова: «Высшее проявление души – это разум; высшее проявление разума – это геометрия. Клеткой геометрии, основным ее понятием, является некоторая геометрическая фигура. По его мнению, свойства этой фигуры так же неисчерпаемы, как и Вселенная». 

III. Выполнение исследовательской работы

Ребята! Это происходит в разных областях науки: в физике, химии, математики. Я вам тоже сегодня предлагаю побыть в роли исследователей. Выполним небольшую исследовательскую работу.

Автор
Дата добавления 16.01.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1087
Номер материала 26135011649
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх