• 

   

  Тема урока: Сумма углов треугольника

   

  Цели:

  образовательная – сформулировать и доказать теорему о сумме углов треугольника; рассмотреть применение теоремы при решении задач;

  развивающая – развитие абстрактного мышления, навыков исследовательской деятельности; устной и письменной математической речи;

  воспитательная – воспитание нравственных качеств личности, аккуратности, формирование интереса к изучению геометрии.

   

  Тип урока: урок изучения нового материала

   

  Метод обучения: объяснительно-иллюстративный, эвристический

   

  Требование к знаниям, умениям и навыкам учащихся:

  учащиеся должны знать формулировку теоремы о сумме углов треугольника и ее доказательство; уметь применять теорему при решении задач.

   

  Оборудование: линейка, проектор, экран, презентация, модели треугольников и ножницы (для каждого ученика)

   

  Литература:

  1.     Геометрия : учебник для 7-9 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2008.

  2.     Гаврилова Н. Ф. Поурочные разработки по геометрии. 8 класс. – М. : ВАКО, 2004.

  3.     Глейзер Г. И. История математики в школе. – М. : Просвещение, 1964.

   

  План урока:

  1.     Оргмомент

  2.     Актуализация знаний

  3.     Выполнение исследовательской работы

  4.     Доказательство теоремы

  5.     Физкультминутка

  6.     Закрепление изученного материала

  7.     Самостоятельная работа

  8.     Домашнее задание

  9.     Подведение итогов

  Ход урока:

   

  I. Оргмомент

  (слайд 1)

  Учитель:

  Посмотрите, всё в порядке –

  Книжки, ручки, тетрадки?

  Прозвенел звонок, начинаем наш урок!

  Запишите в тетрадях сегодняшнее число, классная работа.

   

  II. Актуализация знаний, умений, навыков

   

  (слайд 2)

   

  Учитель: В учебнике геометрии Игоря Фёдоровича Шарыгина можно найти такие слова: «Высшее проявление души – это разум; высшее проявление разума – это геометрия. Клеткой геометрии, основным ее понятием, является некоторая геометрическая фигура. По его мнению, свойства этой фигуры так же неисчерпаемы, как и Вселенная». Как вы думаете, о какой геометрической фигуре идет речь?

  Ученики: Треугольник.

  (слайд 3)

   

  Учитель: Совершенно верно, речь идет о треугольнике. Треугольник в геометрии играет особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о геометрии треугольника, как самостоятельном разделе геометрии.

  Давайте вспомним, что мы знаем о треугольнике?

   

  (слайд 4)

   

  Ученики: Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.

  Учитель: Какие бывают треугольники?

  Ученики:  Разносторонние, равносторонние, равнобедренные.

  Учитель: Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника.

  Ученики: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; а также биссектриса, проведенная к основанию является медианой и высотой.

   

  (слайд 5)

   

  Учитель: Нами изучены признаки равенства треугольников. Сколько признаков равенства треугольников вы знаете?

  (слайд 6)

   

  Учитель: Назовите основные элементы треугольника?

  Что называется медианой, биссектрисой, высотой треугольника?

  Ученики: Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

  Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

  Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

   

  (слайд 7)

   

  Учитель: Сегодня на уроке мы изучим еще одно важное свойство треугольника – рассмотрим теорему о сумме его треугольника.

  Запишите  в тетрадях тему урока «Сумма углов треугольника».

   

   

  Учитель: Начнем урок с небольшой геометрической разминки – решим несколько задач на готовых чертежах.

   

  Задачи на готовых чертежах.

  (слайды 8 – 12)

   

  Задача 1.

    Ответ: 45⁰

  Задача 2.

   Ответ: 50⁰

  Задача 3.

   Ответ: 60⁰

  Задача 4.

  Ответ: 50⁰

  Задача 5.

  Ответ: 60⁰, 70⁰, 50⁰

   

  Учитель: В последней задаче получили, что сумма углов треугольника равна 180⁰. Случайно ли, это? А чему равна сумма углов этого треугольника (показывает модель), или этого? Также 180⁰? Или все-таки равняется другому числу? Это нам пока неизвестно и только лишь предстоит узнать.

   

  III. Выполнение исследовательской работы

   

  Ребята! Очень часто ученые устанавливают важные факты экспериментальным путем. Это происходит в разных областях науки: в физике, химии, математики. Я вам тоже сегодня предлагаю побыть в роли исследователей. Выполним небольшую исследовательскую работу. Работаем в парах. На столах у каждого из вас лежат треугольники. Сейчас с помощью эксперимента установим, чему равна сумма углов треугольника.

  (слайд 13)

   

  План исследования:

  1.     Отрежьте ножницами углы треугольника

  2.     Соберите их в одной точке.

  3.     Ответьте на вопросы: какой угол  образовали углы треугольника? Чему равна его градусная мера?

  4.     Сделайте вывод.

   

  Учитель: Таким образом, мы экспериментальным путем установили, что сумма углов треугольника равна 180⁰. Можем ли мы это утверждение считать истинным для любого треугольника?

  Ученик: Нет, это всего лишь предположение. В геометрии истинность утверждений устанавливается путем логических рассуждений, опирающихся на аксиомы и ранее изученные теоремы.

   

  IV. Доказательство теоремы

  (слайд 14)

   

  Учитель: Итак, нам необходимо доказать теорему:

   

  Сумма углов треугольника равна 180⁰.

   

  Изобразим в тетрадях произвольный треугольник АВС.

  Учитель: Ребята, из каких частей состоит любая теорема?

  Ученики: Теорема состоит из условия и заключения.

  Учитель: Что в данной теореме является условием (что дано)?

  Ученики: Дан треугольник.

  Учитель: Сформулируйте заключение теоремы (что нужно доказать).

  Ученики: Необходимо доказать, что сумма углов треугольника равна 180⁰.

  (Делаем рисунок и запись на доске)

   

  Учитель: Посмотрите внимательно на заключение теоремы. Нам необходимо доказать, что сумма углов треугольника равна 180⁰. А в каких ранее изученных фактах, мы сталкиваемся с числом 180?

  Ученики: 1) развернутый угол равен 180⁰; 2) сумма смежных углов равна 180⁰; 3) если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180⁰.

  Учитель: Так как смежные углы в сумме образуют развернутый угол, то предлагаю 1) и 2) варианты рассматривать как один факт. Развернутый угол равен 180⁰. Как же можно доказать теорему?

   

  (слайд 15)

   

  Учитель: Я предлагаю еще раз вернуться к задаче, решенной нами в начале урока. Она нам поможет найти способ доказательства теоремы. В задаче нам была дана прямая, параллельная одной из сторон треугольника, путем составления пар равных накрест лежащих углов мы нашли углы треугольника, и тем самым увидели, что их сумма равна 180⁰.

   

  Учитель: Чтобы доказать теорему я предлагаю вам выполнить дополнительные построения. Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Введем обозначения получившихся углов. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ. Углы 3 и 5 – накрест лежащие углы при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому 4 = 1, 5 = 3. Сумма углов 4, 2, 5 равна развернутому углу с вершинойВ, т. е. 4 + 2 + 5 = 180⁰. Отсюда, учитывая равенства , получаем, 1 + 2 + 3 = 180⁰ илиА + В + С =180⁰.

   

  Запишем доказательство теоремы в тетрадь:

  1.   Проведем через вершину В прямую аАС.

  2.   4; 3=5 (как накрест лежащие).

  3.   2 + 5 = (т.к. образуют развернутый угол с вершиной В).

  4.   Из (2) =>1 + 2 + 3 = 180⁰ илиА + В + С =180⁰.

   

  (слайд 16)

   

  Учитель: Подтвердилось наше предположение? Еще раз сделаем вывод о сумме углов треугольника.

  Ученики: Сумма углов треугольника равна 180⁰

   

  (слайд 17)

   

  Учитель: Ни на миг не прерывается связь между поколениями, ежедневно мы усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Такое доказательство теоремы о сумме углов треугольника было открыто Пифагором еще в (V в. до н.э.). А вот Евклид в своих «Началах» излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, основанное на свойстве односторонних улов при пересечении двух параллельных прямых секущей. Рассмотрим этот способ.

   

  (слайд 18)

   

  

                     Доказательство:

  1.   Проведем через вершину С прямую СЕ  АВ.

  2.  

  3.   (как односторонние при пересечении параллельных прямых АВ и СЕ секущей ВС)

  4.   (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и СЕ секущей АС)

  5.    Из (3) и (4) =>  или А + В + С =180⁰.

  Учитель: Итак, мы доказали одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника. Теперь предлагаю вам немного отдохнуть.

   

  (на фоне музыки)

  V. Физкультминутка

  (слайд 19)

   

  Встаньте, поднимите руки вверх, потянитесь к звездам; покажите развернутый угол; прямой угол; тупой угол; острый угол.

  Молодцы! Садитесь!

   

  VI. Закрепление изученного материала.

   

  Учитель:

   

  Решение задач на готовых чертежах

  (слайды 20 – 25)

   

   

                
                  

   

                          

  (слайд 26)

   

  Решение задачи из учебника № 224 стр. 71

   

  	Дано: ∆ АВС, А : В : С = 2 : 3 : 4.
  	Найти: А, В, С.

  Решение:

  1.     Пусть одна часть xº. Тогда А = 2 x º , В = 3 xº, С = 4 xº .

  2.     А +В +С=180º (по теореме о сумме углов треугольника) =>

  3.     2х + 3х + 4х = 180⁰,

          х = 20

  А=40º, В=60º, С=80º.

   

  VII. Самостоятельная работа. (слайд 27)

   

  

   

  (слайд 28)

   

  

   

  (слайд 29)

   

  VIII. Домашнее задание: §1, п. 33 (с. 71); № 223 (а, б), № 228 (а)

   

  (слайд 30)

   

  IX. Подведение итогов

   

  Что нового вы узнали сегодня на уроке?

  Сегодня на уроке мы доказали одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника, рассмотрели два способа ее доказательства,  и решение задач на применение теоремы.

  Мы не открыли что-то новое в геометрии, но каждый сделал открытие для себя. К тайнам извечный разум влекущий, путь бесконечный осилит идущий (Т. Малевич).

   

   

• 

  

• Описание презентации по слайдам:

  • 

    1 слайд

    Классная работа
    

  • 

    2 слайд

    «Высшее проявление души – это разум;
    высшее проявление разума – это геометрия.
    Клеткой геометрии является …
    Свойства … так же неисчерпаемы, как и Вселенная»
    И. Ф. Шарыгин
    (1937 – 2004) - известный математик
    и деятель
    

  • 

    3 слайд

    Треугольник
    В
    А
    С
    Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах.
    

  • 

    4 слайд

    ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
    боковая сторона
    боковая сторона
    основание
    ТРЕУГОЛЬНИК
    А
    В
    С
    ΔАВС - треугольник
    АВ, ВС, АС – стороны треугольника
    А,  В,  С – углы треугольника
    Р = АВ + ВС + АС – периметр
    

  • 

    5 слайд

    ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
    

  • 

    6 слайд

    ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
    

  • 

    7 слайд

    Сумма углов треугольника
    В
    А
    С
    

  • 

    8 слайд

    Найдите неизвестный угол
    

  • 

    9 слайд

    Прямые а и b параллельны, с - секущая
    Найдите неизвестный угол
    а
    b
    с
    

  • 

    10 слайд

    Прямые а и b параллельны, с - секущая
    Найдите неизвестный угол
    а
    b
    с
    

  • 

    11 слайд

    Прямые а и b параллельны, с - секущая
    Найдите неизвестный угол
    а
    b
    с
    

  • 

    12 слайд

    Найдите углы треугольника АВС, m АС
    А
    С
    В
    m
    2
    1
    3
    

  • 

    13 слайд

    План исследования:
    1. Отрежьте ножницами углы треугольника.
    2. Соберите их в одной точке.
    3. Ответьте на вопросы:
    Какой угол образовали углы треугольника?
    Чему равна его градусная мера?
    4. Сделайте вывод.
    
    1
    2
    3
    1
    2
    3
    

  • 

    14 слайд

    Теорема о сумме углов треугольника
    Сумма углов треугольника равна 1800
    А
    В
    С
    

  • 

    15 слайд

    Найдите углы треугольника АВС, m АС
    А
    С
    В
    m
    2
    1
    3
    

  • 

    16 слайд

    Теорема о сумме углов треугольника
    Сумма углов треугольника равна 1800
    А
    В
    С
    

  • 

    17 слайд

    Пифагор Самосский
    (580 – 500 гг. до н. э.)
    Доказательство теоремы о сумме углов треугольника, изложенное в современных учебниках, было открыто пифагорейцами
    (V в. до н. э.).
    

  • 

    18 слайд

    Евклид
    (365 – 300 гг. до н. э.)
    Фрагмент папируса из «Начал» Евклида
    А
    В
    С
    Е
    1
    2
    3
    4
    Дано: ∆ АВС
    Доказать:
    
    
    Доказательство:
    

  • 

    19 слайд

  • 

    20 слайд

    Задача 1.
    ?
    М
    N
    K
    Ответ:
    

  • 

    21 слайд

    Задача 2.
    А
    В
    С
    Ответ:
    ?
    

  • 

    22 слайд

    Задача 3.
    ?
    В
    А
    С
    ?
    Ответ:
    

  • 

    23 слайд

    Задача 4.
    ?
    Р
    K
    S
    Ответ:
    ?
    

  • 

    24 слайд

    Задача 5.
    А
    В
    С
    Ответ:
    ?
    ?
    

  • 

    25 слайд

    Задача 6.
    C
    D
    F
    Ответ:
    ?
    ?
    ?
    

  • 

    26 слайд

    Теорема о сумме углов треугольника
    Сумма углов треугольника равна 1800
    А
    В
    С
    

  • 

    27 слайд

    Самостоятельная работа
    

  • 

    28 слайд

    Самостоятельная работа
    Ответы:
    Вариант 1.
    
    Вариант 2.
    
    

  • 

    29 слайд

    Домашнее задание
    
    §1, п. 33 (с. 71); № 223 (а, б), № 228 (а)
    

  • 

    30 слайд

    Теорема о сумме углов треугольника
    Сумма углов треугольника равна 1800
    А
    В
    С
    

Краткое описание материала