Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Элективный курс «Метод неопределенных коэффициентов»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Элективный курс «Метод неопределенных коэффициентов»

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ MНK.doc

библиотека
материалов




МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН

ГАОУ СПО Башкирский архитектурно-строительный колледж

hello_html_m783cf4f4.jpghello_html_72cce0d5.gif

hello_html_602123ef.gif





hello_html_m2faa4d9f.gif




Халиуллин Асхат Адельзянович,

преподаватель математики Башкирского

архитектурно-строительного колледжа


г.УФА

2014 г.





ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение___________________________________________________3

Глава I. Теоретические аспекты использования метода неопределенных коэффициентов______________________________________________4

Глава II. Поиски решения задач с многочленами методом неопределенных коэффициентов_______________________________7

2.1.Разложение многочлена на множители_____________________7

2.2. Задачи с параметрами__________________________________ 10

2.3. Решение уравнений____________________________________14

2.4. Функциональные уравнения_____________________________19

Заключение_________________________________________________23

Список использованной литературы____________________________24

Приложение________________________________________________25






Введение.

Данная работа посвящена теоретическим и практическим аспектам внедрения в школьный курс математики метода неопределенных коэффициентов. Актуальность данной темы определяется следующими обстоятельствами.

Никто не будет спорить с тем, что математика как наука не стоит на одном месте, все время развивается, появляются новые задачи повышенной сложности, что часто вызывает определенные трудности, поскольку эти задачи, как правило, связаны с исследованием. Такие задачи в последние годы предлагались на школьных, районных и республиканских математических олимпиадах, они также имеются в вариантах ЕГЭ. Поэтому потребовалось специальный метод, который позволял бы наиболее быстро, эффективно и доступно решать хотя бы часть из них. В этой работе доступно излагается содержание метода неопределенных коэффициентов, широко применяющегося в самых разнообразных разделах математики, начиная от вопросов, входящих в курс общеобразовательной школы, и до самых продвинутых ее частей. В частности, применения метода неопределенных коэффициентов в решении задач с параметрами, дробно-рациональных и функциональных уравнений особенно интересны и эффективны; они легко могут заинтересовать любого, кто интересуется математикой. Главная цель предлагаемой работы и подборки задач состоит в том, чтобы предоставить широкие возможности для оттачивания и развития способности находить короткие и нестандартные решения.

Данная работа состоит из двух глав. В первой рассматриваются теоретические аспекты использования

метода неопределенных коэффициентов, во второй-практико-методологические аспекты такого использования.

В приложении к работе приведены условия конкретных задач для самостоятельного решения.



Глава I. Теоретические аспекты использования метода неопределенных коэффициентов

«Человек … родился быть господином,

повелителем, царем природы, но мудрость,

с которой он должен править, не дана ему

от рождения: она приобретается учением»

Н.И.Лобачевский

Существуют различные способы и методы решения задач, но одним из самым удобным, наиболее эффективным, оригинальным, изящным и вместе с тем очень простым и понятным всем является метод неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов —метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен.

Прежде чем рассмотреть применение метода неопределенных коэффициентов к решению различного рода задач, приведем ряд сведений теоретического характера.

Пусть даны,

An(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ··· + an-1x + an

и

Bm(x) = b0xm + b1xm-1 + b2xm-2 + ··· + bm-1x + bm ,

многочлены относительно х с любыми коэффициентами.

Теорема. Два многочлена, зависящие от одного и того же аргумента,тождественно равны в том и только в том случае, если n=m и их соответственные коэффициенты равны a0=b0 , a1=b1 ,a2=b2 ,··· , an-1=bm-1 , an=bm и т.д.

Очевидно, что равные многочлены принимают при всех значениях х одинаковые значения. И наоборот, если значения двух многочленов равны при всех значениях х, то многочлены равны, то есть их коэффициенты при одинаковых степенях х совпадают.

Следовательно, идея применения метода неопределенных коэффициентов к решению задач состоит в следующем.




Пусть нам известно, что в результате некоторых преобразований получается выражение определенного вида и неизвестны лишь коэффициенты в этом выражении. Тогда эти коэффициенты обозначают буквами и рассматривают как неизвестные. Затем для определения этих неизвестных составляется система уравнений.

Например, в случае многочленов эти уравнения составляют из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях х у двух равных многочленов.

Покажем сказанное выше на следующих конкретных примерах, причем начнем с самого простого.

Так, например, на основании теоретических соображений дробь

hello_html_2c1c3a60.gifможет быть представлена в виде суммы

hello_html_1db4d94c.gif, где a , b и c - коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравниваем второе выражение первому :

hello_html_1db4d94c.gif= hello_html_2c1c3a60.gif

и освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х , получаем :

(a + b + c )х2 + ( b - c)х - а = 2х2 – 5 х – 1

Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковы. Таким образом, получаются три уравнения для определения трех неизвестных коэффициентов:


hello_html_5b902363.gif a + b + c = 2

b - c = - 5

а = 1 , откуда a = 1 , b = - 2 , c = 3




.

Следовательно ,

hello_html_2c1c3a60.gif= hello_html_m6f359cd0.gif ,

справедливость этого равенства легко проверить непосред-ственно.

Пусть ещё нужно представить дробь

hello_html_m7cd40b0d.gifв виде a + bhello_html_1caef8ee.gif + chello_html_m980c3de.gif + d hello_html_bf8cd8c.gif , где a , b , c и d - неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому :

a + bhello_html_1caef8ee.gif + chello_html_m980c3de.gif + d hello_html_bf8cd8c.gif = hello_html_m7cd40b0d.gif или , освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знаков корней и приводя подобные члены в левой части, получаем :

(a -2 b +3 c) + (- a + b +3 d ) hello_html_1caef8ee.gif+ ( a + c - 2 d )hello_html_m980c3de.gif +

+ (b - c + d ) hello_html_bf8cd8c.gif = 1 + hello_html_1caef8ee.gif- hello_html_m980c3de.gif .

Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Таким образом, получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов a , b , c и d :


hello_html_4d982c0.gif a -2 b + 3c = 1

- a + b +3 d = 1

a + c - 2 d = - 1

b - c + d = 0 , откуда a = 0 ; b = - hello_html_m3a9adbac.gif ; c = 0 ; d = hello_html_m3a9adbac.gif , то есть hello_html_m7cd40b0d.gif = - hello_html_m3a9adbac.gifhello_html_1caef8ee.gif + hello_html_7f291647.gifhello_html_bf8cd8c.gif.



Глава II. Поиски решения задач с многочленами методом неопределенных коэффициентов.


«Ничто так не содействует усвоению предме-

та, как действие с ним в разных ситуациях »

Академик Б.В.Гнеденко

2.1. Разложение многочлена на множители.


Способы разложения многочленов на множители:

1) вынесение общего множителя за скобки;2) метод груп-пировки; 3) применение основных формул умножения; 4) введение вспомогательных членов;5)предварительное преобразование данного многочлена с помощью тех или иных формул; 6) разложение с помощью отыскания корней данного многочлена; 7) метод введения параметра; 8)метод неопределенных коэффициентов.

З а д а ч а 1. Разложить на действительные множители многочлен х4 + х2 + 1 .

Решение. Среди делителей свободного члена данного многочлена нет корней. Другими элементарными средствами корни многочлена найти не можем. Поэтому выполнить требуемое разложение с помощью предварительного отыскания корней данного многочлена не представляется возможным. Остается искать решение задачи либо методом введения вспомогательных членов, либо методом неопределенных коэффициентов. Очевидно, что х4 + х2 + 1 = х4 + х3 + х2 - х3 - х2 - х + х2 + х + 1 =

= х2(х2 + х + 1) - х (х2 + х + 1) + х2 + х + 1 =

= (х2 + х + 1)( х2 - х + 1).

Полученные квадратные трёхчлены не имеют корней, а потому неразложимы на действительные линейные множители.

Изложенный способ технически прост, но труден вследствие своей искусственности. Действительно, очень трудно придумать требующиеся вспомогательные члены. Найти это разложение нам помогла всего лишь догадка. Но



существуют и более надёжные способы решения таких задач.

Можно было бы действовать так: предположить, что данный многочлен разлагается в произведение

(х2 + ах + b)( х2 + cх + d)

двух квадратных трёхчленов с целыми коэффициентами.

Таким образом, будем иметь, что

х4 + х2 + 1 = (х2 + ах + b)( х2 + cх + d)

Остается определить коэффициенты a , b , c и d .

Перемножив многочлены, стоящие в правой части последнего равенства, получим : х4 + х2 + 1 = х4 +

+ (а + с) х3 + (b + аc + d )х2 + (ad + bc )х + bd .

Но поскольку нам необходимо, чтобы правая часть этого равенства превратилась в такой же многочлен, который стоит в левой части, потребуем выполнения следующих условий :

hello_html_m1fb5ccf2.gif а + с = 0

b + аc + d = 1

ad + bc = 0

bd = 1 .

Получилась система четырех уравнений с четырьмя неизвестными a , b , c и d . Легко найти из этой системы коэффициенты a = 1 , b = 1 , c = -1 и d = 1.

Теперь задача решена полностью. Мы получили :

х4 + х2 + 1 = (х2 + х + 1)( х2 - х + 1).

З а д а ч а 2. Разложить на действительные множители многочлен х3 – 6х2hello_html_m53d4ecad.gif+ 14х – 15 .

Решение. Представим данный многочлен в виде

х3 – 6х2hello_html_m53d4ecad.gif+ 14х – 15 = (х + а)(х2 + bx + c) , где a , b и с - не определённые пока коэффициенты. Так как два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях х равны, то, приравнивая коэффициенты соответственно при х2 , х и свободные члены , получим систему трёх уравнений с тремя неизвестными:





ahello_html_m1021b5e.gif + b = - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

Решение этой системы значительно упростится, если учесть, что число 3 (делитель свободного члена) является корнем данного уравнения, и, следовательно, a = - 3 ,

b = - 3 и с = 5 .

Тогда х3 – 6х2hello_html_m53d4ecad.gif+ 14х – 15 = (х – 3 )(х2 – 3 x + 5).

Примененный метод неопределенных коэффициентов по сравнению с изложенным выше методом введения вспомогательных членов не содержит ничего искусственного, но зато требует применения многих теоретических положений и сопровождается довольно большими выкладками. Для многочленов более высокой степени такой метод неопределенных коэффициентов приводит к громоздким системам уравнений.




















2.2.Задачи с параметрами.

В последние годы в вариантах ЕГЭ предлагаются задачи с параметрами. Их решение часто вызывает определенные трудности. При решении задач с параметрами наряду с другими методами можно достаточно эффективно применить метод неопределенных коэффициентов. Именно данный метод позволяет намного упростить их решение и быстро получить ответ.

З а д а ч а 3. Определите, при каких значениях параметра а уравнение 2х3– 3 х2 – 36 х + а – 3 = 0 имеет ровно два корня.

Решение. 1 способ . С помощью производной.

Представим данное уравнение в виде двух функций

3– 3 х2 – 36 х – 3 = – а .

f(x) = 3– 3 х2 – 36 х – 3 и φ(х) = – а .

Исследуем функцию f(x) = 3– 3 х2 – 36 х – 3 при помощи производной и построим схематически ее график ( рис. 1.).

  1. D(f) : x hello_html_46ccc088.gif R. Функция дифференцируема при любом x hello_html_46ccc088.gif R как целая рациональная функция.

  2. f(–x) = 2(–х)3– 3(– х)2 – 36(– х )– 3 = – 3– 3 х2+ +36х– 3 ,

f(x)hello_html_m590107be.gif f(x) , f(– x)hello_html_m590107be.gif f(x). Функция не является четной и не является нечетной.

3. Найдем критические точки функции, ее промежутки возрастания и убывания, экстремумы. f /(x) = 6x2– 6 х – 36. D(f /) = R, поэтому все критические точки функции найдем, решив уравнение f /(x) = 0 .

6(х2х – 6 ) = 0 ,

х2х – 6 = 0 ,

х1 = 3 , х2 = – 2 по теореме, обратной теореме Виета.

f /(x) = 6(х – 3 )( х + 2 ).


+ max - min +

hello_html_223097c7.gifhello_html_m78002eda.gifhello_html_59877d8a.gifhello_html_m7967d44f.gif - 2 3 x





f /(x) > 0 при всех х < – 2 и х > 3 и функция непрерывна в точках х = – 2 и х = 3 , следовательно, она возрастает на каждом из промежутков (-hello_html_1ab7d95b.gif; - 2] и [ 3 ; hello_html_1ab7d95b.gif ).

f /(x) < 0 при - 2 < х < 3 , следовательно, она убывает на промежутке [- 2 ; 3 ].

х = - 2 точка максимума, т.к. в этой точке знак производной изменяется с « + » на «» .

f(– 2 ) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 = =72 – 31 = 41 ,

х = 3 точка минимума, так как в этой точке знак производной изменяется «» на « + » .

f(3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84 .

  1. Найдем точку пересечения графика с осью ординат х = 0 , у = – 3 .

  2. lim f(x) = hello_html_1ab7d95b.gif , lim f(x) = – hello_html_1ab7d95b.gif .

График функции φ(х) = – а есть прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0 ; а ). Графики имеют две общие точки при – а = 41 , т.е. а = – 41 и – а = – 84 , т.е. а = 84 .

hello_html_m31cdcb11.gifhello_html_42d29531.gif

у

hello_html_1e3b9cb2.gifhello_html_m303c252c.gif41 φ(х)



hello_html_m6a2855ad.gifhello_html_50f16788.gif-2 3 х


-3 f(x) = 3 – 3 х2 – 36 х – 3




hello_html_6a0ae378.gif

-84





2 способ. Методом неопределенных коэффициентов.

Так как по условию задачи данное уравнение должно иметь всего лишь два корня, то очевидно выполнение равенства :

2х3– 3 х2 – 36 х + а – 3 = (х + b)2(2x + c) ,

2х3– 3 х2 – 36 х + а – 3 = 2x3 + (4b + c)x2 + (2b2 + +2bc)x + b2c ,

Теперь приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х , получим систему уравнений

hello_html_182fe563.gif 4b + c = - 3

2b2 + 2bc = - 36

b2c = a3 .


Из первых двух уравнений системы найдем b2 + b6 = 0, откуда b1 = - 3 или b2 = 2 . Соответственные значения с1 и с2 легко найти из первого уравнения системы : с1 = 9 или с2 = - 11 . Окончательно, искомое значение параметра, можно определить из последнего уравнения системы :

а = b2c + 3 , a1 = - 41 или a2 = 84.

О т в е т : данное уравнение имеет ровно два различных

корня при а = - 41 и а = 84 .

З а д а ч а 4 .Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение х3 + 5х2 + ах + b = 0

с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен – 2 .

Решение. 1 способ. Подставив х = - 2 в левую часть уравнения, получим

-8 + 20 – 2а + b = 0, а значит, b = 2a12 .

Так как число – 2 является корнем, то можно вынести общий множитель х + 2 :

х3 + 5х2 + ах + b = х3 + 2х2 + 3 х2+ ах + (2a12) =

= x2(х + 2) + 3x(х + 2) – 6x + ах + (2a12) =

= x2(х + 2) + 3x(х + 2) + ( a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2a – 12) =

= (х + 2 )( х2 + 3x + (a – 6) ) .




По условию имеются еще два корня уравнения. Значит, дискриминант второго множителя положителен.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0 , то есть а < 8,25 .

Казалось бы, что ответом будет а = 8 . Но при подстановке числа 8 в исходное уравнение получаем :

х3 + 5х2 + ах + b = х3 + 5х2 + 8х + 4 = (х + 2)( х2 + 3x + 2 ) =

= (х + 1 ) (х + 2 )2 ,

то есть уравнение имеет только два различных корня. А вот при а = 7 действительно получается три различных корня.

2 способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Если уравнение х3 + 5х2 + ах + b = 0 имеет корень х = - 2, то всегда можно подобрать числа c и d так, чтобы при всех х было верно равенство

х3 + 5х2 + ах + b = (х + 2 )( х2 + сx + d ).

Для нахождения чисел c и d раскроем скобки в правой части, приведем подобные члены и получим

х3 + 5х2 + ах + b = х3 + ( 2 + с)х2 +( 2с + d) х + 2d

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х имеем систему

hello_html_m375a8ecd.gif2 + с = 5

2с + d = a

2d = b, откуда с = 3 .


Следовательно, х2 + 3x + d = 0 , D = 9 – 4d > 0 или

d < 2,25 , итак d hello_html_46ccc088.gif (-hello_html_1ab7d95b.gif ; 2 ].

Условию задачи удовлетворяет значение d = 1 . Окончательно искомое значение параметра а = 7.


О т в е т : при а = 7 данное уравнение имеет три различных корня.







2.3. Решение уравнений.


«Помните, что решая маленькие задачи, вы

готовите себя к решению больших и труд-

ных задач.»

Академик С.Л.Соболев

При решении некоторых уравнений можно и нужно проявить находчивость и остроумие, применять специальные приемы. Владение разнообразными приемами преобразований и умение проводить логические рассуждения имеет в математике большое значение. Один из этих приемов состоит в том, чтобы прибавить и вычесть некоторые удачно подобранное выражение или число. Сам по себе сформулированный факт, конечно, хорошо всем известен - основная трудность состоит в том, чтобы увидеть в конкретной конфигурации те преобразования уравнений, к которым его удобно и целесообразно применить.

На простом алгебраическом уравнении проиллюстрируем один нестандартный прием решения уравнений.

З а д а ч а 5. Решить уравнение

hello_html_m6e49cbec.gif= hello_html_38ad1bd2.gif.

Решение. Умножим обе части данного уравнения на 5 и перепишем следующим образом

hello_html_m1db7a4e3.gif= 0 ; х hello_html_m590107be.gif0; -hello_html_m41d513cd.gif; hello_html_18fde4d6.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_24334256.gif= 0 ,

hello_html_4b81686f.gif= 0 ,

hello_html_m74bbab62.gif= 0,





hello_html_m220e863e.gif= 0 или hello_html_m41257fc1.gif = 0

Полученные уравнения решим методом неопределенных коэффициентов

х4 - х3 –7х – 3 = (х2 + ах + b)(x2 + cx + d) = 0

х4 - х3 –7х – 3 = х4 + (а + с) х3 + (b + аc + d )х2 + (ad + bc )х+ +bd

Приравнивая коэффициенты при х3 , х2 , х и свободные члены, получим систему

hello_html_m586f3d10.gifа + с = -1

b + аc + d = 0

ad + bc = -7

bd = -3 , откуда находим : а = -2 ; b = - 1 ;

с = 1 ; d = 3 .

Итак х4 - х3 –7х – 3 = (х2 – 2 х – 1 )(х2 + х + 3) = 0 ,

х2 – 2 х – 1 = 0 или х2 + х + 3 = 0

х1,2 = hello_html_1e4948d1.gif нет корней .

Аналогично имеем

х4 – 12х – 5 = (х2 – 2 х – 1)(х2 + 2х + 5) = 0 ,

откуда х2 + 2х + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

О т в е т : х1,2 = hello_html_1e4948d1.gif

З а д а ч а 6. Решить уравнение

hello_html_4a1ddc08.gif= 10.

Решение. Для решения данного уравнения необходимо подобрать числа а и b таким образом, чтобы числители обеих дробей были одинаковыми. Следовательно, имеем систему :

hello_html_m6d29ccc7.gif hello_html_m2ee7d8eb.gif= 0 , х hello_html_m590107be.gif 0; -1 ; - hello_html_m3a9adbac.gif

hello_html_m4ba68ea9.gif= - 10

Таким образом, задача заключается в том, чтобы подобрать числа а и b,для которых выполняется равенство



(а + 6) х2 + ах – 5 = х2 + (5 + 2b)x + b

Теперь, согласно теореме о равенстве многочленов, необходимо, чтобы правая часть этого равенства превратилась в такой же многочлен, который стоит в левой части.

Иначе говоря, должны выполняться соотношения

hello_html_1fa81e70.gif а + 6 = 1

а = 5 + 2b

5 = b , откуда находим значения а = - 5 ;

b = - 5 .

При этих значениях а и b равенство а + b = - 10 тоже справедливо.

Далее, очевидно

hello_html_3f7b5885.gif= 0 , х hello_html_m590107be.gif 0; -1 ; - hello_html_m3a9adbac.gif

hello_html_m2609721d.gif= 0 ,

hello_html_mba5d9f7.gif= 0 ,

(х2 – 5х – 5 )(х2 + 3х + 1) = 0 ,

х2 – 5х – 5 = 0 или х2 + 3х + 1 = 0 ,

х1,2 = hello_html_m6257f962.gif , х3,4 = hello_html_46b11245.gif

О т в е т : х1,2 = hello_html_m6257f962.gif , х3,4 = hello_html_46b11245.gif

З а д а ч а 7. Решить уравнение

hello_html_mf391261.gif= 4

Решение. Данное уравнение сложнее предыдущих и поэтому сгруппируем таким образом, х hello_html_m590107be.gif 0;-1;3;-8;12






hello_html_7b0ed07c.gifhello_html_76475bc1.gif= 0 ,

hello_html_1763baec.gif= - 4.


Из условия равенства двух многочленов

ах2 + (а + 6 )х + 12 = х2 + (b + 11)x – 3b ,

получим и решим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов а и b :

hello_html_m5574befc.gif а = 1

а + 6 = b + 11

12 = – 3b , откуда а = 1 , b = - 4 .

Многочлены - 3 – 6х + сх2 + 8сх и х2 + 21 + 12ddx равны друг другу тождественно лишь тогда, когда

hello_html_2ac7fd01.gif с = 1

8с – 6 = - d

- 3 = 21 + 12d , с = 1 , d = - 2 .

При значениях а = 1 , b = - 4 , с = 1 , d = - 2

равенство hello_html_1763baec.gif = - 4 справедливо .

В результате данное уравнение принимает следующий вид:

hello_html_67866e27.gif= 0 ,

hello_html_1ee964b.gif= 0,

hello_html_m5691dca4.gif= 0,





hello_html_434a0d6c.gif= 0,



hello_html_2a75495a.gif= 0,


hello_html_m5bf2f327.gif= 0 или hello_html_7ee22eec.gif = 0 или hello_html_46789bbe.gif = 0 ,

hello_html_4569c28.gif = - 4 , hello_html_m3cc09a50.gif= - 3 , hello_html_m39d70825.gif= 1 ,hello_html_m4433198f.gif = - hello_html_cc7d123.gif .

Из рассмотренных примеров видно, как умелое использование метода неопределенных коэффициентов,

помогает упростить решение довольно сложного, необычного уравнения.























2.4. Функциональные уравнения.

«Высшее назначение математики... состоит

в том, чтобы находить скрытый порядок в

хаосе, который нас окружает»

Н.Винер

Функциональные уравнения-весьма общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций

[ например, функциональное уравнение f(x) = f(- x) характеризует класс четных функций, функциональное уравнение f(x + 1) = f(x) – класс функций, имеющих период 1, и т.д.].

Одним из простейших функциональных уравнений является уравнение f(x + y) = f(x) + f(y). Непрерывные решения этого функционального уравнения имеют вид

f(x) = Cx.Однако в классе разрывных функций это функциональное уравнение имеет и иные решения. С рассмотренным функциональным уравнением связаны

f(x + y) = f(x) · f(y), f(x y) = f(x) + f(y), f(x y) = f(xf(y),

непрерывные решения, которых, имеют соответственно вид

есх , Сlnx , xα ( x > 0).

Таким образом, эти функциональные уравнения могут служить для определения показательной, логарифмической и степенной функций.

Наибольшее распространение получили уравнения, в сложных функциях которых искомыми являются внешние функции. Теоретические и практические применения

именно таких уравнений побуждали выдающихся математиков к их изучению.



Так, например,уравнение

f 2(x) = f(x - yf(x + y)

Н.И.Лобачевский использовал при определении угла параллельности в своей геометрии.

В последние годы задачи, связанные с решением функциональных уравнений, довольно часто предлагают на математических олимпиадах. Их решение не требует знаний, выходящих за рамки программы по математике общеобразовательных школ. Однако решение функциональных уравнений часто вызывает определенные затруднения.

Одним из способов нахождения решений функциональных уравнений является метод неопределенных коэффициентов. Его можно применять тогда, когда по внешнему виду уравнения можно определить общий вид искомой функции. Это относится, прежде всего, к тем случаям, когда решения уравнений следует искать среди целых или дробно-рациональных функций.

Изложим суть этого приема, решая следующие задачи.

З а д а ч а 8. Функция f(x) определена при всех действительных х и удовлетворяет при всех хhello_html_46ccc088.gifR условию

3f(x) - 2 f(1- x) = x2.

Найдите f(x).

Решение. Так как в левой части данного уравнения над независимой переменной х и значениями функции f выполняются только линейные операции, а правая часть уравнения — квадратичная функция, то естественно предположить, что искомая функция также квадратичная:

f(х) = ax2 + bx + c, где a, b, c – коэффициенты, подлежащие определению, то есть неопределенные коэффициенты.

Подставляя функцию в уравнение, приходим к тождеству:

3(ax2 + bx + c) – 2(a(1 – x)2 + b(1 – x ) + c) = x2.

ax2 + (5b + 4a)x + ( c – 2a – 2b) = x2.

Два многочлена будут тождественно равны, если равны



коэффициенты при одинаковых степенях переменной:

hello_html_634c6843.gifa = 1

5b + 4a = 0

c – 2a – 2b = 0.

Из этой системы находим коэффициенты

a = 1 , b = - hello_html_m7bcf40b3.gif , c = hello_html_m1d0a5c54.gif ,

а вместе с тем и функцию f(x) = x2 - hello_html_m7bcf40b3.gifx + hello_html_m1d0a5c54.gif , являющуюся искомым решением функционального уравнения.

Докажем, что других решений нет. Предположим, что

функция g(x) также удовлетворяет равенству

3f(x) - 2 f(1- x) = x2 на множестве всех действительных чисел. При этом существует такое x0 hello_html_46ccc088.gif R , что g(x0) hello_html_m590107be.giff(x0).

Тогда при x = x0 и x =1 - x0 должны выполняться равенства:

3g(x0) - 2 g(1- x0) = x02 ,

3g(1-x0) - 2 g( x0) = ( 1 – x0)2 ,

из которых следует, что g(x0) = x2 - hello_html_m7bcf40b3.gifx + hello_html_m1d0a5c54.gif = f(x0).

Полученное противоречие опровергает сделанное предположение.

Следовательно, задача имеет единственное решение.


О т в е т : f(x) = x2 - hello_html_m7bcf40b3.gifx + hello_html_m1d0a5c54.gif.


З а д а ч а 9. Функция у = f(x) при всех х определена, непрерывна и удовлетворяет условию f (f (x)) – f(x) = 1 + 2x. Найдите две такие функции.

Решение. Над искомой функцией выполняются два действия – операция составления сложной функции и




вычитание. Учитывая, что правая часть уравнения – линейная функция, естественно предположить, что искомая функция тоже линейная: f(x) = ах + b, где а и b – неопределённые коэффициенты. Подставив эту функцию в f (f (x)) – f(x) = 1 + 2x и выполнив преобразования, получим равенство ( а2 – а )х + аb = 2х + 1 , которое должно выполняться для всех х hello_html_46ccc088.gifR .

Это возможно только тогда, когда

аhello_html_m51c1566.gif2а = 2

аb = 1 .

Отсюда находим а1 = -1 , b1 = - 1 , а2 = 2 , b2 = hello_html_m4bf21f14.gif . Следовательно, имеем две функции f1 (x) = - х - 1 ;

f2 (x) = 2х + hello_html_m4bf21f14.gif, являющиеся решениями функционального уравнения f (f (x)) – f(x) = 1 + 2x .
























Заключение.



В заключении необходимо отметить, что эта работа безусловно будет способствовать дальнейшему изучению оригинального и эффективного метода решения разнообразных математических задач, которые являются задачами повышенной трудности и требует глубокого знания школьного курса математики и высокой логической культуры.Все желающие самостоятельно углубить свои знания по математике, также найдут в данной работе материал для размыщлений и интересные задачи, решение которых принесет пользу и удовлетворение.

В работе в рамках существующей школьной программы и в форме, доступной для эффективного восприятия изложен метод неопределенных коэффициентов, способствующий углублению школьного курса математики.

Конечно, все возможности метода неопределенных коэффициентов нельзя показать в одной работе. В самом деле метод еще требует дальнейшего изучения и исследования.









Список использованной литературы.



  1. Глейзер Г.И..История математики в школе.—М.: Просвещение, 1983.

  2. Гомонов С.А. Функциональные уравнения в школьном курсе математики // Математика в школе. – 2000 . – №10 .

  3. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х.. Пособие по математике.— М. : Наука , 1972 .

  4. Курош А.Г.. Алгебраические уравнения произвольных степеней.—М.: Наука, 1983.

  5. Лихтарников Л.М.. Элементарное введение в функциональные уравнения. – СПб . : Лань , 1997 .

  6. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г..Толковый словарь математических терминов.-М.:Просвещение ,1971

  7. Моденов В.П.. Пособие по математике . Ч.1.—М.: МГУ, 1977.

  8. Моденов В.П.. Задачи с параметрами.—М.: Экзамен, 2006.

  9. Потапов М.К., Александров В.В.,Пасиченко П.И.. Алгебра и анализ элементарных функций.— М. : Наука , 1980.

  10. Халиуллин А.А.. Можно решать проще // Математика в школе . 2003 . - №8 .

  11. Халиуллин А.А.. Метод неопределенных коэффициентов // «Магариф» . – 2006 . - №7 .






Приложение.

Предлагаем попробовать свои силы в решении нижеследующих задач методом неопределенных коэффициентов самостоятельно.

1. Преобразовать выражение hello_html_m4e0bff0f.gif в сумму двух рациональных дробей.

2. Представить выражение hello_html_m479b40b9.gif в виде суммы рациональных дробей.

3. Представьте в виде суммы рациональных дробей: hello_html_541a8575.gif .

4. Разложить многочлен 2х4 – 5х3 + 9х2 – 5х + 3 на множители с целыми коэффициентами.

5. При каком значении а выполняется без остатка деление х3 + 6х2 + ах + 12 на х + 4 ?

6. При каком значении параметра а уравнение х3+5х2+ +ах + b = 0 с целыми коэффициентами имеет два различных корня,один из которых равен 1?

7. Среди корней многочлена х4 + х3 – 18х2 + ах + b с целыми коэффициентами имеются три равных целых числа. Найдите значение b.

8. Найдите наибольшее целое значение параметра а , при котором уравнение х3 – 8х2 + ах + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен 2.

9. При каких значениях а и b выполняется без остатка деление х4 + 3х3 – 2х2 + ах + b на х2 – 3х + 2 ?

10. Разложить многочлены на множители:

а) х4 + 2х2х + 2 в) х4 – 4х3 +9х2 –8х + 5 д) х4 + 12х – 5

б) х4 + 3х2 + 2х + 3 г) х4 – 3х –2 е) х4 – 7х2 + 1 .





11.Решите уравнения :

а) hello_html_705ba2af.gif = 2

б) hello_html_76477096.gif = 1

в) hello_html_75f8f917.gif = 1

г) hello_html_m64f5bd3b.gif = 2

д) hello_html_4be4fd5e.gif = 3

е) hello_html_m65785f1a.gif = 4

ж) hello_html_76836a1f.gif = 2

з) hello_html_m44a98e5f.gif = 5

и) hello_html_m39af5a67.gif = 2

к) hello_html_79a4d0ab.gif = 1

л) hello_html_m68e8a755.gif = 4

м) hello_html_m4d1c5d72.gif = 2

12. Функция f(х) определена при всех действительных х и удовлетворяет при всех х hello_html_46ccc088.gifR условию 2 f(х) + f(1 – х) = х2 .

Найдите f(х) .

13. Функция у = f(х) при всех х определена, непрерывна и удовлетворяет условию f ( f(х)) = f(х) + х .Найдите две такие функции.


Выбранный для просмотра документ Пояснительная записка.doc

библиотека
материалов

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к работе «Метод неопределенных коэффициентов».


  1. Автор (полностью фамилия, имя, отчество, должность, предмет) Халиуллин Асхат Адельзянович, преподаватель математики Башкирского архитектурно-строительного колледжа .

  2. Образовательное учреждение (полное название), регион ГАОУ СПО Башкирский архитектурно-строительный колледж Республика Башкортостан,г.УФА

3. Предмет, класс, в котором используется продукт Математика, 1 курс(386 часов)


Целесообразность использования работы «Метод неопределенных коэффициентов» на факультативных курсах обусловлена следующими факторами:

  1. интенсификацией учебного процесса:

  • улучшением наглядности изучаемого материала,

  • увеличением количества предлагаемой информации,

  1. повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся.

Метод неопределенных коэффициентов широко применяется в разных областях математики, начиная от элементарного курса и до самых сложных областей математического исследования. Заниматься серьёзно изучением математики невозможно без овладения этим методом. В то же время идеи метода неопределенных коэффициентов имеют и большое общеобразовательное значение, так что ознакомление с ним представляет интерес даже для лиц, далеких от математики. Основное содержание метода неопределенных коэффициентов доступно даже восьмиклассникам.

При решении задач обычно используют известные алгоритмы. Тогда как решения предлагаемых задач нужно самостоятельно искать, внимательно её анализировать. Каждая задача по-своему интересна и посильна, не требует особых знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы, но и не решается наскоком, а, напротив, заставляет думать и рассуждать, вовлекать в математическое исследование. Полагаем, что представленные задачи обогатят копилку и доставят немного творчества.

Задачи для самостоятельного решения можно также взять с сайта Александра Ларина. Скачать задания можно по ссылке: http://alexlarin.narod.ru/ege.html









Цели и задачи курса:

  • изучение методов решения задач избранного класса и формирование умений, направленных на ре­ализацию метода неопределенных коэффициентов;

  • сформировать у учащихся представление о зада­чах с параметрами как задачах исследовательского характера;

  • научить применять метод неопределенных коэффициентов в реше­нии различных задач, в том числе и задач с параметрами;

  • научить осуществлять выбор рационального ме­тода решения задач и обосновывать сделанный вы­бор;

  • предоставить широкие возможности для оттачивания и развития способности находить короткие и нестандартные решения;

  • способствовать подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

Ожидаемые результаты

  • уметь решать задачи на разложение многочлена на множители;

  • использовать метод неопределенных коэффициентов в решении дробно-рациональных и функциональных уравнений;

  • овладеть методами решения задач с параметрами с использованием метода неопределенных коэффициентов;

  • осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;

Учебно-тематический план

для проведения факультативного курса

« Метод неопределенных коэффициентов»

Тема факультативного занятия

Упражнения из учебного пособия

Количество часов


1

Теоретические аспекты использования метода неопределенных коэффициентов

1

2

2

Представление правильной дроби в виде суммы простейших дробей

2

3

3

Разложение многочлена на множители

Задача 1

2

4

Способы разложения многочленов на множители:

а) вынесение общего множителя за скобки;

б) метод группировки;

в) применение основных формул умножения;

г) введение вспомогательных членов;

д) предварительное преобразование данного многочлена с помощью тех или иных формул;

е) разложение с помощью отыскания корней данного многочлена;

ж) метод введения параметра;

з) метод неопределенных коэффициентов






Задача 2




4





10(г)












8

5

Решение задач с параметрами:

а) с помощью производной;

б) методом неопределенных коэффициентов

Задача 3

Задача 4

7,9

6

6

Решение уравнений:

а) применение нестандартного приема;

б) методом неопределенных коэффициентов


Задача 5-7



11(б,д,з,л,)


6

7

Функциональные уравнения:

а) определение функциональных уравнений;

б) решение функциональных уравнений

Задача 8,9


13

3

8

Решение разнообразных (дополнительных) задач по всему курсу

10(д,е)

11(а,г,ж,к,м)


4


Задачи, для проведения занятия.


Задачи для контрольной работы.

1.Представьте в виде суммы рациональных дробей: hello_html_541a8575.gif.


2.Решите уравнение: hello_html_75f8f917.gif = 1


3.При каком значении параметра а уравнение х3+5х2+ах + b = 0 с целыми коэффициентами имеет два различных корня,один из которых равен 1?


Задачи для самостоятельной работы.


1. Разложить многочлены на множители:

а) х4 + 2х2х + 2 б) х4 – 4х3 +9х2 –8х + 5 в) х4 + 3х2 + 2х + 3

2.Найдите наибольшее целое значение параметра а,при котором уравнение х3–8х2+ах+b=0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен 2.

3. Решите уравнение: hello_html_m65785f1a.gif = 4

Задачи для домашней работы.


1. При каком значении а выполняется без остатка деление х3 + 6х2 + ах + 12 на х + 4 ?

2. Решите уравнение: hello_html_m39af5a67.gif = 2

3. Функция f(х) определена при всех действительных х и удовлетворяет при всех х hello_html_46ccc088.gifR условию 2 f(х) + f(1 – х) = х2 . Найдите f(х) .


Методические рекомендации. Теоретический материал дается в виде лекции, основное внимание уделяется отработке практических навыков. Обращается внимание на то, что использование данного материала значительно экономит время при решении подобных заданий на экзамене. В ходе изучения этой темы учащиеся должны усвоить основные способы решения дробно-рациональных уравнений и уравнений высших степеней. Решение каждой задачи, разобранной на занятиях, представляет собой метод решения большого класса задач. Эти методы повторяются и углубляются при решении последующих задач. В каждой лекции разбираются задачи разного уровня сложности. От простых, повторяющих школьную программу задач, до сложных задач, решение которых обеспечивает хорошую и отличную оценку на экзаменах. Так как на решение заданий на применение метода неопределенных коэффициентов требуется время, то качество ее усвоения проверяется при выполнении домашней самостоятельной работы.





Список использованной литературы.



  1. Глейзер Г.И..История математики в школе.—М.: Просвещение, 1983.

  2. Гомонов С.А. Функциональные уравнения в школьном курсе математики // Математика в школе. – 2000 . – №10 .

  3. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х.. Пособие по математике.— М. : Наука , 1972 .

  4. Курош А.Г.. Алгебраические уравнения произвольных степеней.—М.: Наука, 1983.

  5. Лихтарников Л.М.. Элементарное введение в функциональные уравнения. – СПб . : Лань , 1997 .

  6. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г..Толковый словарь математических терминов.-М.:Просвещение ,1971

  7. Моденов В.П.. Пособие по математике . Ч.1.—М.: МГУ, 1977.

  8. Моденов В.П.. Задачи с параметрами.—М.: Экзамен, 2006.

  9. Потапов М.К., Александров В.В.,Пасиченко П.И.. Алгебра и анализ элементарных функций.— М. : Наука , 1980.

  10. Халиуллин А.А.. Можно решать проще // Математика в школе . – 2003 . - №8 .

  11. Халиуллин А.А.. Метод неопределенных коэффициентов // «Магариф» . – 2006 . - №7 .

hello_html_m4d466bb7.png

Краткое описание документа:

""Описание материала:

""Целесообразность использования работы «Метод неопределенных коэффициентов» на элективных курсах" обусловлена следующими факторами:

  1. "
  2. "интенсификацией учебного процесса: а) улучшением наглядности изучаемого материала, б) увеличением количества предлагаемой информации,
  3. повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся.

"При решении задач обычно используют известные алгоритмы. Тогда как решения предлагаемых задач нужно самостоятельно искать, внимательно её анализировать. Каждая задача по-своему интересна и посильна, не требует особых знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы, но и не решается наскоком, а, напротив, заставляет думать и рассуждать, вовлекать в математическое исследование. Полагаем, что представленные задачи обогатят копилку и доставят немного творчества.

Автор
Дата добавления 03.02.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров978
Номер материала 29050020359
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх