Урок в 11 классе по теме «Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений вида аrcsin x+ b cos x=c»

План-конспект элективного занятия по алгебре и началом анализа в 11 классе. Повторение. 2 часа.

Тема: «Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений вида

аrcsin x+ b cos x=c»

Работа учителя МКОУ ГСШ Капустиной Н.П.

Урок в 11 классе (повторение)

Тема: Различные методы решения одного тригонометрического вида

arcsin x+b cos x=c

Цели урока:

ü Образовательные

-решение одного тригонометрического уравнения sinx+ cosx=1всеми способами и выбрать наиболее рациональный

-Указать внешние признаки, по которым устанавливается способ решения.

ü Развивающие

-Развить творческую и мыслительную деятельность учащихся через решение разнотипных заданий

-Умение анализировать; сравнивать математические объекты;

-Способствовать развитию интеллектуальных качеств (самостоятельность мышления, способность к переключению, общению, обобщению);

-Формировать навыки самостоятельной и коллективной работы.

ü Воспитательные

-Привить учащимся интерес к предмету через решение задач;

-Способствовать выработке умения обобщать изучаемые факты;

-Формировать умение ясно и четко излагать свои мысли и грамотно выполнять математические задачи, воспитывать веру в свои силы.

Ход урока.

I. Устная работа.

Не решая уравнений, сообщите каким способом, следовало бы решать каждое уравнение.

1) 2cos²3x+sin 3x-1=0

cos²3x=1-sin²3x

2sin²3x-sin3x-1=0

(алгебраический способ)

2) 7соs²x-sinxcosx+4 sin²x=5; Однородное уравнение

7cоs² x-sin x cos x+4 sin²x=5(sin²x+cos²x);

3) 2tgx-3=2 ctgx; алгебраический способ

Ctg x= 1/tg x

4) 3 sinx +4 cosx=2; введение вспомогательного угла уравнение видаacosx+bsinx=c

5) Cos 3x *cos 2x = sin 3x*sin2x

Косинус суммы

6) 3sin²x + sin 2x =3

Прийти к однородному уравнению

Sin2x=2sin x cos x

3=3cos²x+ 3 sin²x

7) Cosx – cos 3x= sin 2xразность косинусов

-2 sin 2x *sin(-x)=sin 2x

Sin2x( 2 sinx-1)=0 произведение равно нулю

8) Сos 2x= (cos x- sin x)

П=0

cos²x-sin²x=(cos x-sin x)

(cos x – sin x) (cosx+sin x+2)=0

II. Новый материал (Слово учителя).

Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений разберем на примере уравнения sinx + cosx =1

Замечание

1 .При решении могут получаться внешне различные ответы.

2. если решение получено в виде нескольких формул, то необходимо проверить, не повторяют ли эти формулы одни и те же значения х.

Перед вами различные способы ( оформить на доске) решения этого уравнения

1) Введение вспомогательного угла.

2) Универсальная подставка sinL=

X=П+2Пn, n€ Z

3) Сведение к однородному уравнению 2-ой степени, т.е.

4) Преобразование суммы в произведение (формулы приведения).

5) Возведение в квадрат обеих частей уравнения.

6) Разложение левой части на множители.

7) Замена переменных.

8) Графический метод.

9) Метод оценивания.

10) Замена соsx=±.

II B

Рассмотрим общий способ решения уравнения asin x + b cos x=c, который вызывает серьезные затруднения при решении.

Способ введения вспомогательного угла

a sin x + cos x=c

A =

Cos f= , sin f=

a sin x + b cos x= A ∙sin x+ A cos x=A sin (x+f)

или a sin x + b cos x=A cos (x-f)

Значит,

Sin(x+f)=, где

IIC

Решить уравнение (самостоятельно) с проверкой у доски

1 способ. Метод введения вспомогательного аргумента

Решение. Cos x + sin x=1

A==. (разделим обе части на

sinx=

Заметим, что =сos= sin

coscos x +sin sin x=

cos(x-) =,

x-=, n€Z/

x₁=

x₂=2

Множество решений уравнения изобразим на числовой окружности, отметив ключевые точки

Ответ:

Х=2

2 способ Универсальный ( Этот способ применяют лишь тогда, когда не видно путей решения)

Пусть , nj, то , cosx=, причем tgне существует, если cos,

т.е. х=П+2Пn, n

Выполнив замену, получаем

1+t²0, то

2t(1-t)=0

t=0 или 1-t=0

t=1

Тогда,

или

X=2; х=

Ответ: 2; х=

3 способ. Решение используя формулы двойного аргумента для и и основное тригонометрическое тождество получим:

2=0 ( разделим 2 0 =0 не является решением)

tg-tg²=0

Значит, tg или g,

2π

Ответ: х

4 способ. ( Использование тригонометрии)

(Формула приведения)

;

2=1 ;

;

Х-=±

2π

Ответ: х=

X=2

5 способ. Возведение в квадрат обеих частей.

(Замечание:При возведение в квадрат получаем неравносильное преобразование, поэтому полученные корни нужно проверить! )

X=n, nZ

N=0, x=—решение y

2π

N=1, x=-решение

N=2, x=- является решением

N=3, x=- не является решением

Ответ: х=

X=2

6 способ. Разложение на множители левой части

Решение ;

;

2илиоднородное уравнениеcos

X=2 1-tg

Ответ:X=2πn,n∈Z

7 способ.X=π/2+2πK,K∈Z7 способ. Замена переменных.

Решение. Пусть , ,

То

1) a+b=1

2) Добавим к нему основное тригонометрическое тождество.

или

Ответ: х=2 , x=

8 способ.графический sinx+ cosx=1.

Построим графики двух функций

y=, y=1-

Ответ: х

9 способ. Метод оценивания.

sin x+ cos x=1.

Решение.

Рассмотрим четыре случая.

а) Если х чет., то 0, значит

, ,

То ,

б) Если х чет., то 0 -1

в) Если х чет.,

Значит

г) Если х

Значит

Итак, решения могут быть только в граничных точках (

Проверим каждую.

Х=0, х= , х=П, х=

Ответ: корни х=2Пк, кили х=

10 способ. Замена

Решение.

(иррациональное уравнение)

-2

или

Х=ПM, m x=

X=2

Ответ: x=

Х=

Вывод. Видим, что одно уравнение можем решить различными способами. При этом простота и красота зависит от способа решения.

Выбор наиболее целесообразных методов решения достигается практикой!

III. Задание на дом.

Решите уравнения любыми разными способами.

А)

Б)

В)

Оценки за работу.

Краткое описание материала

"Описание материала:

"Данная методическая разработка урока в 10- 11 классах по теме «Разнообразие способов решения тригонометрического уравнения вида аrcsin x+ b cos x=c” предназначена учителям математики, студентам технических вузов, учащимся 10-11 классов с углубленным изучением математики.

"В методической разработке рассмотрены 10 способов решения одного и того же тригонометрического уравнения.Материал интересен и полезен всем, кто увлекается математикой.

"При разработке урока испоьзовались следующие источники: Журнал «Математика в школе», газета «Приложение к Первое сентября», учебник «Алгебра и начала анализа» Ю.Н. Колмогорова, «Алгебра и начала математического анализа» С.М.Никольского.

Урок в 11 классе по теме «Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений вида аrcsin x+ b cos x=c»

Алгебра

11 класс

Конспекты

DOCX

06.02.2014

1402

Файл будет скачан в формате:

DOCX

Автор материала

Миргород Светлана Леонидовна

На сайте: 10 лет и 7 месяцев
Всего просмотров: 10917
Подписчики: 0
Всего материалов: 3

10917
просмотров
3
материалов
0
подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Миргород Светлана Леонидовна.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.