Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок в 11 классе по теме «Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений вида аrcsin x+ b cos x=c»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок в 11 классе по теме «Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений вида аrcsin x+ b cos x=c»

библиотека
материалов

hello_html_m57ac5949.gifhello_html_34756ff3.gifhello_html_215908e7.gifhello_html_m38e66e06.gifhello_html_13456480.gifhello_html_215908e7.gifhello_html_15a9db8b.gifhello_html_m6045026c.gifhello_html_215908e7.gifhello_html_15a9db8b.gifhello_html_m6045026c.gifhello_html_215908e7.gifhello_html_15a9db8b.gifhello_html_m6045026c.gifhello_html_215908e7.gifhello_html_m6e10998.gifhello_html_87992cf.gifhello_html_m2ff6b22c.gifhello_html_4be3b48d.gifПлан-конспект элективного занятия по алгебре и началом анализа в 11 классе. Повторение. 2 часа.

















Тема: «Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений вида

аrcsin x+ b cos x=c»























Работа учителя МКОУ ГСШ Капустиной Н.П.





Урок в 11 классе (повторение)

Тема: Различные методы решения одного тригонометрического вида

arcsin x+b cos x=c





Цели урока:

  • Образовательные

-решение одного тригонометрического уравнения sinx+ cosx=1всеми способами и выбрать наиболее рациональный

-Указать внешние признаки, по которым устанавливается способ решения.

  • Развивающие

-Развить творческую и мыслительную деятельность учащихся через решение разнотипных заданий

-Умение анализировать; сравнивать математические объекты;

-Способствовать развитию интеллектуальных качеств (самостоятельность мышления, способность к переключению, общению, обобщению);

-Формировать навыки самостоятельной и коллективной работы.

  • Воспитательные

-Привить учащимся интерес к предмету через решение задач;

-Способствовать выработке умения обобщать изучаемые факты;

-Формировать умение ясно и четко излагать свои мысли и грамотно выполнять математические задачи, воспитывать веру в свои силы.









Ход урока.

  1. Устная работа.

Не решая уравнений, сообщите каким способом, следовало бы решать каждое уравнение.

  1. 2cos²3x+sin 3x-1=0

cos²3x=1-sin²3x

2sin²3x-sin3x-1=0

(алгебраический способ)

  1. 7соs²x-sinxcosx+4 sin²x=5; Однородное уравнение

7cоs² x-sin x cos x+4 sin²x=5(sin²x+cos²x);

  1. 2tgx-3=2 ctgx; алгебраический способ

Ctg x= 1/tg x

  1. 3 sinx +4 cosx=2; введение вспомогательного угла уравнение видаacosx+bsinx=c

  2. Cos 3x *cos 2x = sin 3x*sin2x

Косинус суммы

  1. 3sin²x + sin 2x =3

Прийти к однородному уравнению

Sin2x=2sin x cos x

3=3cos²x+ 3 sin²x

  1. Cosxcos 3x= sin 2xразность косинусов

-2 sin 2x *sin(-x)=sin 2x

Sin2x( 2 sinx-1)=0 произведение равно нулю

  1. Сos 2x= hello_html_m2605e48.gif(cos x- sin x)

П=0

cos²x-sin²x=hello_html_39f1b7ec.gif(cos x-sin x)

(cos x – sin x) (cosx+sin x+2)=0









































  1. Новый материал (Слово учителя).

Разнообразие способов решения тригонометрических уравнений разберем на примере уравнения sinx + cosx =1

Замечание

1 .При решении могут получаться внешне различные ответы.

2. если решение получено в виде нескольких формул, то необходимо проверить, не повторяют ли эти формулы одни и те же значения х.

Перед вами различные способы ( оформить на доске) решения этого уравнения

  1. Введение вспомогательного угла.

  2. Универсальная подставка sinL=hello_html_m7d5a194d.gif

X=П+2Пn, n€ Z

  1. Сведение к однородному уравнению 2-ой степени, т.е.

  2. Преобразование суммы в произведение (формулы приведения).

  3. Возведение в квадрат обеих частей уравнения.

  4. Разложение левой части на множители.

  5. Замена переменных.

  6. Графический метод.

  7. Метод оценивания.

  8. Замена соsxhello_html_m64fd9264.gif.



II B

Рассмотрим общий способ решения уравнения asin x + b cos x=c, который вызывает серьезные затруднения при решении.

Способ введения вспомогательного угла

a sin x + cos x=c

A =hello_html_m4b5338f0.gif

Cos f=hello_html_25dcb6ce.gif , sin f=hello_html_fc3be22.gif

a sin x + b cos x= A ∙hello_html_25dcb6ce.gifsin x+ Ahello_html_fc3be22.gif cos x=A sin (x+f)

или a sin x + b cos x=A cos (x-f)

Значит,

Sin(x+f)=hello_html_745c19ee.gif, где hello_html_79ae6ac9.gif

IIC

Решить уравнение (самостоятельно) с проверкой у доски

1 способ. Метод введения вспомогательного аргумента

Решение. Cos x + sin x=1

A=hello_html_m60e4d710.gif=hello_html_39f1b7ec.gif. (разделим обе части на hello_html_39f1b7ec.gif

hello_html_71fbab4c.gifsinx=hello_html_m41f3a28f.gif

Заметим, что hello_html_m41f3a28f.gifoshello_html_m31efd0a6.gif= sinhello_html_m31efd0a6.gif

coshello_html_m31efd0a6.gifcos x +sin hello_html_m31efd0a6.gif sin x=hello_html_m41f3a28f.gif

cos(x-hello_html_m31efd0a6.gif) =hello_html_2b0905f.gif,

x-hello_html_m31efd0a6.gif=hello_html_m64b7fec.gif, n€Z/

x1=hello_html_630e54a9.gif

x2=2hello_html_602730ed.gif

Множество решений уравнения изобразим на числовой окружности, отметив ключевые точки

y hello_html_4a7c6de3.gif

x

hello_html_4e904039.gif



Ответ: hello_html_41b80501.gif

Х=2hello_html_602730ed.gif

2 способ Универсальный ( Этот способ применяют лишь тогда, когда не видно путей решения)

Пусть hello_html_m3a45b4fc.gif, njhello_html_2468f723.gif, то hello_html_23d376e0.gif, cosx=hello_html_632252ec.gif, причем tghello_html_m418f76f4.gifне существует, если coshello_html_69a4a185.gif,

т.е. х=П+2Пn, nhello_html_2398a09d.gif

Выполнив замену, получаем

hello_html_79da5d39.gif 1+t2hello_html_m7c48e444.gif0, то

hello_html_m7dedb3dc.gif,

hello_html_m6ff73e33.gif,

2t(1-t)=0

t=0 или 1-t=0

t=1

Тогда,

hello_html_m57492706.gif илиhello_html_md0eafaa.gif

hello_html_3b9d06c8.gif

X=2hello_html_m21c6cb83.gif; х=hello_html_m28b96696.gif

y hello_html_4a7c6de3.gif

x

hello_html_4e904039.gif



Ответ: 2hello_html_m21c6cb83.gif; х=hello_html_m28b96696.gif



3 способ. Решение используя формулы двойного аргумента для hello_html_c7f0377.gif иhello_html_m22a1186d.gif и основное тригонометрическое тождество получим:

2hello_html_42fa0830.gif

2hello_html_m7a6dfaa0.gif=0 ( разделим 2 hello_html_5920edea.gif0 hello_html_3f6d772c.gif=0 не является решением)

tghello_html_m418f76f4.gif-tg2hello_html_m418f76f4.gif=0

Значит, tghello_html_7a60225a.gif или ghello_html_m1e5e7be6.gif, hello_html_3d917ef0.gif

X=hello_html_m4b802ab7.gif

y hello_html_4a7c6de3.gif

x

2π

Ответ: хhello_html_138c347.gif

X=hello_html_m4b802ab7.gif



4 способ. ( Использование тригонометрии)

hello_html_7f77a438.gif (Формула приведения)

hello_html_m46312a0a.gif ;

hello_html_28e13fe.gif ;

2hello_html_m71feebf8.gif=1 ;

2hello_html_m22aa4fd.gif

hello_html_m675e9088.gif ;

hello_html_m36b097a7.gif ;

Х-hello_html_m31efd0a6.gifhello_html_36a529e4.gif

y hello_html_4a7c6de3.gif

x

2π





Ответ: х=hello_html_42993528.gif

X=2hello_html_1ee18abd.gif



5 способ. Возведение в квадрат обеих частей.

(Замечание:При возведение в квадрат получаем неравносильное преобразование, поэтому полученные корни нужно проверить! )

hello_html_m382450fd.gif

hello_html_6026c578.gif

hello_html_m56f72cb1.gif

1+hello_html_m2395ff2f.gif

hello_html_m790dd88d.gif

X=hello_html_4a7c6de3.gifn, nhello_html_559182c5.gifZ

N=0, x=hello_html_4a7c6de3.gif—решение y hello_html_4a7c6de3.gif

x

2π



N=1, x=hello_html_4a7c6de3.gif-решение

N=2, x=hello_html_4bbc8ba.gif- является решением

N=3, x=hello_html_35f2255b.gif- не является решением

Ответ: х=hello_html_3b33d2b3.gif

X=2hello_html_49f7b442.gif



6 способ. Разложение на множители левой части

Решение hello_html_m382450fd.gif;

hello_html_m2fab5ada.gif;

2hello_html_31924481.gif;

hello_html_m6e6b73cc.gif;

2hello_html_4408844.gifилиhello_html_m52bcdb9f.gifоднородное уравнениеcoshello_html_m27dccd2d.gif

X=2hello_html_780f2244.gif 1-tghello_html_69a4a185.gif

hello_html_3523adfa.gif+hello_html_59e938a4.gif

X=hello_html_m30fedf62.gif

Ответ:X=2πn,nZ



7 способ.X=π/2+2πK,KZ7 способ. Замена переменных.

Решение. Пусть hello_html_m77003fd4.gif, hello_html_m7a1b708f.gif,

То hello_html_5b2b631.gif

  1. a+b=1

  2. Добавим к нему основное тригонометрическое тождество.

hello_html_m1970fadf.gif

hello_html_m459b4a41.gif

hello_html_m2cfc1975.gifилиhello_html_m6ee5e33a.gif



Ответ: х=2hello_html_99a40a1.gif , x=hello_html_55ba4ec9.gif









8 способ.графический sinx+ cosx=1.

Построим графики двух функций

y=hello_html_39b6f98e.gif, y=1-hello_html_m5cca13d6.gif









Ответ: хhello_html_138c347.gif

X=hello_html_m4b802ab7.gif





9 способ. Метод оценивания.

sin x+ cos x=1.

Решение.

Рассмотрим четыре случая.

а) Если хhello_html_1d83bc93.gif чет., то 0hello_html_m24a2b92f.gif, значит

hello_html_m3c17c4f0.gif, hello_html_36d8cd60.gif,

То hello_html_59d377d3.gif, hello_html_77b28e87.gif

б) Если хhello_html_m2d193694.gif чет., то 0hello_html_7edbdccc.gif -1hello_html_1d321560.gif

и hello_html_59d377d3.gif

в) Если хhello_html_m547990a1.gif чет., hello_html_m275b2df9.gif

Значит hello_html_59d377d3.gif

г) Если хhello_html_6722a289.gif

1hello_html_m6ad45c90.gif

Значит hello_html_59d377d3.gif

Итак, решения могут быть только в граничных точках (hello_html_m279522c7.gif

Проверим каждую.

Х=0, х=hello_html_4a7c6de3.gif , х=П, х=hello_html_35f2255b.gif

Ответ: корни х=2Пк, кhello_html_1725acdb.gifили х=hello_html_25738919.gif



10 способ. Замена hello_html_726741da.gif

Решение.

hello_html_m46312a0a.gif

hello_html_m74ae4364.gif(иррациональное уравнение)

1-hello_html_56410144.gif

1-hello_html_3ae3e633.gif

-2hello_html_m46f49aa0.gif

-2hello_html_681ef42a.gif

hello_html_b86ab6e.gif или hello_html_m2c4a728d.gif

Х=ПM, mhello_html_1725acdb.gifx=hello_html_48ed86c0.gif

X=2hello_html_330189fd.gif

Ответ: x=hello_html_54792098.gif

Х=hello_html_m15ea653f.gif

Вывод. Видим, что одно уравнение можем решить различными способами. При этом простота и красота зависит от способа решения.

Выбор наиболее целесообразных методов решения достигается практикой!

  1. Задание на дом.

Решите уравнения любыми разными способами.

А) hello_html_24076808.gif

Б)hello_html_232e2b11.gif

В)hello_html_de78cb5.gif

Оценки за работу.






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

"Описание материала:

"Данная методическая разработка урока в 10- 11 классах по теме «Разнообразие способов решения тригонометрического уравнения вида аrcsin x+ b cos x=c” предназначена учителям математики, студентам технических вузов, учащимся 10-11 классов с углубленным изучением математики.

"В методической разработке рассмотрены 10 способов решения одного и того же тригонометрического уравнения.Материал интересен и полезен всем, кто увлекается математикой.

"При разработке урока испоьзовались следующие источники: Журнал «Математика в школе», газета «Приложение к Первое сентября», учебник «Алгебра и начала анализа» Ю.Н. Колмогорова, «Алгебра и начала математического анализа» С.М.Никольского.

Автор
Дата добавления 06.02.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров480
Номер материала 29553020642
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх